Den inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt

Den inverterade pendeln med oscillerande fästpunkt Den inverterade pendeln är ett klassiskt reglertekniskt problem, här behandlas den för de olika periodiska rörelser av fästpunkten som kan ge stabil jämvikt. PETER BERGSTRÖM KARIM GABER ANDERS MEURK Kandidatexamensrapport vid Mekanik Handledare: Hanno Essén, Gunnar Maxe Examinator: Hanno Essén, Gunnar Maxe

Referat Denna rapport undersöker den inverterade pendelns beteende när dess fästpunkt ges en påtvingad oscillation. Förutom rakt nedåt har systemet stabila jämviktslägen både för horisontell och vertikal oscillation av fästpunkten. I båda dessa fall uppkommer dessa jämviktslägen då a 2 ω 2 > 2gl vilket motsvarar en tillräckligt stark oscillation. Jämviktsläget uppkommer rakt uppåt för den vertikala rörelsen och snett nedåt för den horisontella rörelsen.

Abstract Inverted pendulum with oscillating pivot point This report investigates the behaviour of the inverted pendulum when its pivot point is given a forced oscillation. The system exhibits stable behaviour apart from the trivial downwards direction for both horizontal and vertical oscillations of the pivot point. In both these cases the stable equilibriums occur when a 2 ω 2 > 2gl which corresponds to a rapid enough oscillation. For the vertical oscillation the stable equilibrium occur upwards. However for the horizontal oscillation the stable equilibrium occur below the pivot point, but not downwards.

Innehåll 1 Bakgrund 1 2 Problemformulering 2 3 Den generella rörelseekvationen 4 3.1 Massans kinematik............................ 4 3.2 Lagrangefunktionen........................... 4 3.3 Rörelseekvationen............................. 5 4 Fästpunktens rörelser 6 4.1 Horisontell oscillation.......................... 6 4.1.1 Rörelseekvationen........................ 6 4.1.2 Effektiva potentiella energin................... 7 4.1.3 Jämviktslägen och stabilitet................... 7 4.1.4 Bifurkation............................ 8 4.2 Vertikal oscillation............................ 8 4.2.1 Rörelseekvationen........................ 9 4.2.2 Effektiva potentiella energin................... 9 4.2.3 Jämviktslägen och stabilitet................... 9 4.2.4 Bifurkation............................ 10 4.3 Cirkulär oscillation............................ 11 4.3.1 Rörelseekvationen........................ 11 4.3.2 Effektiva potentiella energin................... 11 4.3.3 Jämviktslägen och stabilitet................... 12 5 Resultat 13 5.1 Simulering................................. 13 5.1.1 Horisontell oscillation...................... 13 5.1.2 Vertikal oscillation........................ 13 6 Slutsats 15 Litteraturförteckning 16

Kapitel 1 Bakgrund Denna rapport är ett kandidatexamensarbete som ingår i civilingenjörsutbildningen vid Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm och ges av Mekanikinstitutionen. Arbetet genomförs VT 2009 och omfattar 15hp. Utvecklingen inom det reglertekniska området är idag viktig för att göra styrningen av instabila system säkrare. Flygplan, maskiner i industrin och hushållsprodukter är några få exempel på system som kan vara instabila eller ha instabila delsystem. Utöver den manuella styrningen kräver dessa system reglering för att kompensera omgivningens motverkan. JAS 39 Gripen är ett bra exempel på detta eftersom att stridsflygplanet är aerodynamiskt instabilt och kräver regulatorer för att stabilisera planet utan att påverka pilotens manövrering. Då dessa i vissa fall kan motverka varandra krävs ett väl fungerande reglersystem för att upprätthålla hög säkerhet och noggrann positionering. Vid testning av reglersystem är det vanligt att man använder sig av det klassiska ickelinjära problemet med den inverterade pendeln. Till skillnad från en vanlig pendel vars massa hänger nedanför sin upphängningspunkt och är naturligt stabil har den inverterade pendeln sin massa ovanför upphängningspunkten vilket medför att den istället blir väldigt instabil. Därför måste man ständigt balansera pendeln för att den ska hålla sig upprätt. Detta görs genom att anpassa upphängningspunkts position i förhållande till pendelns vinkel. Vad skulle hända om upphängningspunkten rörde sig med en oscillerande rörelse vid problemet med den inverterade pendeln? Skulle man kunna finna stabila jämviktslägen för pendeln? Hur skulle de i sådana fall se ut och med vilken precision skulle de upprätthållas? Kommer jämviktslägena att variera beroende på om upphängningspunkten oscillerar i horisontalled, vertikalled eller rent cirkulärt? Vilka samband finns mellan ingående parametrar och hur påverkar de stabiliteten? Detta arbete berör och diskuterar dessa frågor och ett resultat sammanställs tillsammans med en grundlig analys. 1

Kapitel 2 Problemformulering Problemet är att analysera den inverterade pendelns beteende för olika påtvingade oscillationer av fästpunkten. De rörelser som kommer studeras är horisontell, vertikal och cirkulär oscillation. y ϕ l x Figur 2.1. Pendeln med införda storheter. Pendeln i Figur 2.1 består av en stång, som betraktas som lätt och utan luftmotstånd, och en punktmassa i änden med massan m. Den har längden l och bildar vinkeln φ mot y-axeln. Leden mellan pendeln och fästpunkten betraktas som friktionsfri. Pendeln befinner sig i ett gravitationsfält med accelerationen g. 2

KAPITEL 2. PROBLEMFORMULERING y ϕ l a x ωt Figur 2.2. Pendeln vid cirkulär oscillation av fästpunkten. När fästpunkten rör sig cirkulärt införs även frekvensen ω som en fysisk vinkel tillsammans med tiden t enligt Figur 2.2. 3

Kapitel 3 Den generella rörelseekvationen Systemets rörelseekvation tas fram för godtyckliga påtvingade rörelser av pendelns fästpunkt. 3.1 Massans kinematik Massans läge i x- respektive y-led fås som och x m = l sin φ + x (3.1) y m = l cos φ + y (3.2) där x = x(t) och y = y(t) är fästpunktens påtvingade rörelse. Tidsderiveras dessa fås hastighetens båda komponenter ẋ m = l φ cos φ + ẋ (3.3) och ẏ m = l φ sin φ + ẏ. (3.4) 3.2 Lagrangefunktionen Dessa två hastighetskomponenter ger hastighetsvektorn ( v = l φ cos φ + ẋ, l φ ) sin φ + ẏ (3.5) vilket gör att systemets kinetiska energi kan skrivas som T = m 2 v v = m [ ( l 2 φ 2 ( cos φ + ẋ) + l φ ) ] 2 sin φ + ẏ = m [ ẋ 2 + ẏ 2 + l 2 2 φ2 + 2l φ(ẋ ] cos φ ẏ sin φ). (3.6) 4

KAPITEL 3. DEN GENERELLA RÖRELSEEKVATIONEN Systemets potentiella energi kan skrivas som om V y=0 = 0. Detta gör att Lagrangianen blir L = T V = m 2 3.3 Rörelseekvationen V = mgl cos φ + mgy (3.7) [ l 2 φ2 + ẋ 2 + ẏ 2] + ml φ(ẋ cos φ ẏ sin φ) mgl cos φ mgy. (3.8) Derivering av (3.8) med avseende på φ ger L φ = mgl sin φ ml φ(ẋ sin φ + ẏ cos φ) (3.9) och derivering av (3.8) med avseende på φ ger L φ = ml2 φ + ml(ẋ cos φ ẏ sin φ), (3.10) tidsderiveras detta fås ( ) d L [ dt φ = ml 2 φ + ml ẍ cos φ ẋ φ sin φ ÿ sin φ ẏ φ ] cos φ (3.11) vilket gör att systemets rörelseekvation enligt Euler-Lagranges ekvationer blir d dt ( L φ ) L φ = ml2 φ + mlẍ cos φ mlÿ sin φ mgl sin φ = 0 (3.12) 5

Kapitel 4 Fästpunktens rörelser Tre fall för fästpunktens rörelse ska behandlas utifrån den rörelseekvation som härletts. Den effektiva potentiella energin U eff ställs upp och dess nollställen ger systemets jämviktslägen för olika parametrar. Denna metod approximerar för höga frekvenser oscillationen med ett effektivt tidsmedelvärde [1]. 4.1 Horisontell oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt fram och tillbaka horistontellt enligt x = a cos ωt, y = 0. 4.1.1 Rörelseekvationen Efter två tidsderiveringar av de påtvingade rörelserna fås accelerationerna till ẍ = ω 2 a cos ωt (4.1) ÿ = 0. (4.2) Ersätts accelerationerna i (3.12) med (4.1) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse som ml 2 φ mlaω 2 cos ωt cos φ mgl sin φ = 0. (4.3) Rörelseekvationen är nu skriven på energiform, på kraftform blir den ml φ = maω 2 cos φ cos ωt + mg sin φ. (4.4) Ur (4.4) kan den oscillerande kraften f identifieras som Denna kraft består av två delar f = maω 2 cos φ cos ωt. (4.5) f = f 1 cos ωt + f 2 sin ωt (4.6) 6

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER där 4.1.2 Effektiva potentiella energin Den effektiva potentiella energin U eff blir f 1 = maω 2 cos φ (4.7) f 2 = 0. (4.8) U eff = U g + f 1 2 + f 2 2 4mω 2 = +mgl cos φ + (maω2 cos φ) 2 4mω 2 = m a2 ω 2 cos 2 φ + mgl cos φ. (4.9) 4 Ekvationen är nu tidsinvariant och kan behandlas analytiskt. Energin normeras med den karakteristiska potentiella energin mgl som u = a2 ω 2 4gl cos 2 φ + cos φ (4.10) där u = U eff är dimensionslös energi och en dimensionslös parameter γ = a2 ω 2 mgl 2gl införs vilket ger den dimensionslösa ekvationen u = γ 2 cos 2 φ + cos φ. (4.11) 4.1.3 Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.11) ger systemets jämviktslägen, derivering med avseende på φ ger du = sin φ (1 + γ cos φ) = 0. (4.12) dφ Alltså fås jämvikt antingen då sin φ = 0 vilket motsvarar vinklarna φ = 0 eller φ = π eller då 1 + γ cos φ = 0 vilket bara kan inträffa om γ > 1 och då motsvarar vinkeln cos φ = γ 1. Stabiliteten bestäms av tecknet hos energifunktionens andraderivata d 2 u [ ] dφ 2 = cos φ γ 2 cos 2 φ 1. (4.13) Då andraderivatan är positiv är jämviktsläget stabilt och då andraderivatan är negativ är jämviktsläget instabilt. Jämviktslägenas stabilitet sammanfattas i Tabell 4.1. 7

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Stabilitet då φ cos φ d 2 u dφ 2 γ > 1 γ < 1 0 1 1 γ Instabil Instabil π 1 1 γ Instabil Stabil φ γ 1 γ ( 1 γ 2) Stabil Tabell 4.1. Jämvikternas stabilitet 2 1.5 φ 1 0.5 0 0 1 2 3 γ Figur 4.1. Bifurkationsdigram för horisontell rörelse. 4.1.4 Bifurkation Parametern γ gör att systemet genomgår en bifurkation vid det kritiska värdet γ = 1. En bra bild av dynamiken fås ur ett bifurkationsdiagram [2] där jämviktslägena samt deras stabilitet plottas som en funktion av parametern. Ur (4.12) får man φ(γ) = cos 1 γ 1 (4.14) vilket ger en bifurkationsdiagrammet i Figur 4.1. När fästpunkten oscillerar långsamt finns ett stabilt jämviktsläge längst ner och ett instabilt jämviktsläge längst upp. Däremot när fästpunkten oscillerar snabbt nog uppstår två nya stabila jämviktslägen medan jämviktsläget längst ner förlorar sin stabilitet i en superkritisk pitchforkbifurkation. 4.2 Vertikal oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt upp och ner vertikalt enligt x = 0, y = a sin ωt. 8

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER 4.2.1 Rörelseekvationen De påtvingade accelerationerna är ẍ = 0 (4.15) ÿ = ω 2 a sin ωt. (4.16) Sätts detta in i (3.12) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse till När ekvationen är skriven på kraftform ml 2 φ + mlaω 2 sin ωt sin φ mgl sin φ = 0. (4.17) ml φ = maω 2 sin φ sin ωt + mg sin φ (4.18) kan den oscillerande kraften f identifieras som där 4.2.2 Effektiva potentiella energin För detta fall blir den effektiva potentiella energin f = maω 2 sin φ sin ωt (4.19) f 1 = 0 (4.20) f 2 = maω 2 sin φ. (4.21) U eff = U g + f 1 2 + f 2 2 4mω 2 = mgl cos φ + ( maω2 sin φ) 2 4mω 2 (4.22) = m a2 ω 2 sin 2 φ + mgl cos φ. 4 (4.23) Ekvationen normeras med mgl som u = γ 2 sin 2 φ + cos φ (4.24) där u = U eff mgl och γ = a2 ω 2 2gl. 4.2.3 Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.24) ger systemets jämviktslägen. Derivering med avseende på φ ger du = sin φ(γ cos φ 1) = 0. (4.25) dφ 9

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER Alltså fås jämvikt antingen då sin φ = 0 vilket motsvarar vinklarna φ = 0 eller φ = π eller då γ cos φ 1 = 0 vilket bara kan inträffa om γ > 1 och då motsvarar vinkeln cos φ = γ 1. Stabiliteten bestäms av tecknet hos energifunktionens andraderivata d 2 u dφ 2 = γ(2 cos 2 φ 1) cos φ. (4.26) Då andraderivatan är positiv är jämviktsläget stabilt och då andraderivatan är negativ är jämviktsläget instabilt. Jämviktslägenas stabilitet sammanfattas i Tabell 4.2. Stabilitet då φ cos φ d 2 u dφ 2 γ > 1 γ < 1 0 1 γ 1 Stabil Instabil π 1 γ + 1 Stabil Stabil φ γ 1 γ ( γ 2 1 ) Instabil Tabell 4.2. Jämvikternas stabilitet 4.2.4 Bifurkation Precis som för den horisontella oscillationen gör parametern γ att systemet genomgår en bifurkation vid det kritiska värdet γ = 1. 1 0.5 φ 0-0.5-1 0 1 2 3 γ Figur 4.2. Bifurkationsdigram för vertikal rörelse. Bifurkationsdiagrammet i Figur 4.2 visar hur den instabila punkten rakt upp blir stabil då γ > 1 medan två nya instabila punkter uppkommer. 10

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER 4.3 Cirkulär oscillation I detta fall rör sig fästpunkten periodiskt i en cirkelbana enligt x = a cos ωt, y = a sin ωt. 4.3.1 Rörelseekvationen De påtvingade accelerationerna är ẍ = ω 2 a cos ωt (4.27) ÿ = ω 2 a sin ωt. (4.28) Sätts detta in i (3.12) fås rörelseekvationen för denna påtvingade rörelse till ml 2 φ + mlaω 2 sin ωt sin φ mlaω 2 cos ωt cos φ mgl sin φ = 0 (4.29) vilket på kraftform blir ml φ = maω 2 cos ωt cos φ maω 2 sin ωt sin φ + mg sin φ. (4.30) Den oscillerande kraften f identifieras som där 4.3.2 Effektiva potentiella energin f = maω 2 cos ωt cos φ maω 2 sin ωt sin φ (4.31) För detta fall blir den effektiva potentiella energin f 1 = maω 2 cos φ (4.32) f 2 = maω 2 sin φ. (4.33) U eff = U g + f 1 2 + f 2 2 4mω 2 = mgl cos φ + (maω2 cos φ) 2 + ( maω 2 sin φ) 2 4mω 2 (4.34) = m a2 ω 2 + mgl cos φ. 4 (4.35) Ekvationen normeras med mgl till u = γ 2 + cos φ (4.36) där u = U eff mgl och γ = a2 ω 2 2gl. 11

KAPITEL 4. FÄSTPUNKTENS RÖRELSER 4.3.3 Jämviktslägen och stabilitet Minimum för (4.36) ger systemets jämviktslägen. Derivering med avseende på φ ger du = sin φ = 0 (4.37) dφ vilket ger jämvikt då φ = 0 eller φ = π. Jämviktslägenas stabilitet bestäms av energifunktionens andraderivata d 2 u = cos φ (4.38) dφ2 vilket betyder att φ = 0 är instabil medan φ = π är stabil, precis som för en vanlig pendel. 12

Kapitel 5 Resultat De viktigaste resultaten är att pendeln för vertikal och horisontell oscillation kan ha stabila jämviktslägen förutom nedåt. 5.1 Simulering Systemets beteende har simulerats med hjälp av numerisk integration av rörelseekvationen för de olika oscillationerna och för olika värden på parametern γ. 5.1.1 Horisontell oscillation Ekvation (4.4) kan skrivas om som φ = aω2 l cos ωt cos φ + g sin φ (5.1) l vilket kan integreras numeriskt med Matlab. I simuleringen valdes värdena på de olika storheterna till g = 9.81m/s 2, l = 1m, a = 0.05m och för att testa olika värden på parametern γ så varierades ω. Dessa värden valdes för att de motsvarar en pendel som är i den storleksordningen som skulle användas vid en demonstration av systemet. Vid dessa värden fås den kritiska frekvensen ω 88.59Hz. Alla simuleringar skedde från samma initialvärden φ(0) = φ(0) = 0 och φ(0) = 90. Resultatet av simuleringen syns i Figur 5.1. 5.1.2 Vertikal oscillation Precis som för den horisontella oscillationen kan (4.18) skrivas om som φ = g l sin φ aω2 l sin ωt sin φ (5.2) vilket kan integreras numeriskt. I simuleringen valdes samma värden på storheterna medan initialvinkeln valdes till φ(0) = 10. Resultatet av simuleringen syns i Figur 5.2. 13

KAPITEL 5. RESULTAT φ [deg] 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 0 1 2 3 4 5 6 7 t [s] Figur 5.1. Simulering av horisontell oscillation för ω = 50Hz, γ 0.3 (blå) och ω = 200Hz, γ 5.1 (röd). 400 350 300 250 φ [deg] 200 150 100 50 0-50 0 1 2 3 4 5 6 7 t [s] Figur 5.2. Simulering av vertikal oscillation för ω = 50Hz, γ 0.3 (blå) och ω = 200Hz, γ 5.1 (röd). 14

Kapitel 6 Slutsats Två av rörelserna visar upp intressant beteende med både stabila jämviktslägen och bifurkationer medan den tredje rörelsen beter sig som en vanlig pendel. Både den horisontella och den vertikala rörelsen är stabil åt ett annat håll än rakt ner då a 2 ω 2 > 2gl vilket motsvarar tillräckligt stark oscillation. Att den cirkulära rörelsen inte har någon stabilitet förutom nedåt kan tyckas vara konstigt då den är en kombination av de två första men det visar på systemets starka ickelinjäritet. Hade systemet varit linjärt hade de båda första fallen gått att superponera men det är inte fallet för ickelinjära system. Massans rörelse kring det stabila jämviktsläget för den horisontella oscillationen har en amplitud som beror på hur långt ifrån jämviktslägen initialvinkeln är. Efter en period har massan återvänt till initialvinkeln. Systemet beter sig i princip som en vanlig pendeln fast det oscillerar kring cos φ = γ 1 istället för φ = π. För den vertikala oscillationen bestäms amplituden av de instabila jämviktslägenas placering som befinner sig vid vinkeln cos φ = γ 1. Massan rör sig mellan de båda instabila jämviktslägena så amplituden är oberoende av initialvärdet. Det är även värt att notera att massan måste befinna sig ovanför dessa instabila jämviktslägen för att oscillera kring φ = 0. 15

Litteraturförteckning [1] L.D. Landau and E.M. Lifshitz. Mechanics: Volume 1. 1960. [2] Steven H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. 2000. 16