2. Plana vågors fortskridande i oändliga media Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: 2.0.. Tredimensionella vågor En harmonisk elementarvåg i tre dimensioner skrivs som där κ = κbu och bu anger vågens fortskridningsriktning. Vi har nu att ea(κ)e i(κ r ωt) (2.) så att fashastigheten är som tidigare ω = κ v = κv (2.2) v f = du dt = ω κ c n (2.3) Vektorn är v f = vbu. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.
Två viktiga specialfall av tredimensionella vågor är plana vågor och sfäriska vågor. Vi återkommer eventuellt i ett senare skede till sfäriska vågor, tills dess fokuserar vi uteslutande på plana vågor. Plana vågor är vågor vars fas är konstant på varje plan som är vinkelrätt mot vågens fortskridningsriktning. Om exempelvis bu = bz så får vi och κ måste vara oberoende av x och y. ea(κ)e i(κz ωt) (2.4) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
Produkten av vågvektorn och positionen kan skrivas där u = r cos α är koordinaten längs med riktningen κ. κ r = κr cos α κu (2.5) Elementarvågen kan vi nu skriva som ea(κ)e i(κ r ωt) = e A(κ)e i(κu ωt) (2.6) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
Storleken av en godtycklig komplex-värd våg utan riktningsvektorn ges av integralen ee(r, t) = (2π) 3/2 dv κ e A(κ)e iω(κ)t e iκ r (2.7) Detta motsvarar den tredimensionella Fouriertransformen. Observera att dispersiva effekter har inkluderats i och med att ω = ω(κ). Amplituden ges av ea(κ) = (2π) 3/2eiω(κ)t dv r e E(r, t)e iκ r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.4
Det fysikaliska fältet eller den fysikaliska amplituden fås med hjälp av följande regler. Antag z = a + ib där a, b är reella. Då gäller a = Re(z) = 2 (z + z ) (2.9) där z betyder komplexkonjugering. b = Im(z) = 2i (z z ) (2.0) 2.0.2. Initialvillkor Om vågens form Re( e E(r, 0)) = E r (r, 0) och dess tidsderivata är kända vid t = 0 kan amplituden bestämmas enligt följande. Vi börjar med att notera att ee(r, t) = E r (r, t) + ie i (r, t) (2.) = dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iω(κ)t e iκ r (2.2) te(r, e t) = t E r (r, t) + i t E i (r, t) (2.3) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.5
= (2π) 3/2 dv κ ( iω(κ) e A(κ)e iω(κ)t e iκ r (2.4) Insättning av t = 0 och tillbakatransformation ger oss Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.6
Detta system ger att så att vi får ea(κ) = dv (2π) 3/2 r [E r (r, 0) + ie i (r, 0)] e iκ r (2.5) iω(κ) A(κ) e = dv (2π) 3/2 r [ t E r (r, 0) + i t E i (r, 0)] e iκ r (2.6) E i (r, 0) = ω(κ) te r (r, 0) (2.7) ea(κ) = (2π) 3/2 dv r» E r (r, 0) + i ω(κ) te r (r, 0) e iκ r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.7
Exempel :: Vi har genererat en sinusvåg som rör sig i z-riktningen, och som består av N våglängder, L = Nλ 0. Bestäm frekvensspektret e A(κ). Låt vågen vara E r (z, t) = sin(kz ωt). Vågen och dess tidsderivata är E r (z, 0) = sin(κ 0 z), 0 < z < L (2.9) t E r (z, 0) = ω cos(κ 0 z), 0 < z < L (2.20) Amplituden: ea(κ) = (2π) /2 L = i (2π) /2 = i (2π) /2 = 0 L dz [sin(κ 0 z) i cos(κ 0 z)] e iκz (2.2) 0 L 0 dz [cos(κ 0 z) + i sin(κ 0 z)] e iκz (2.22) dze i(κ κ 0 )z (2.23) (e i(κ 0 κ)l ) (2.24) (2π) /2 κ κ 0 Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.8
0.6 0.4 L = 2 cm 0 = 3 cm - A r ( ) [cm] 0.2 0.0-0.2-0.4-0.6-20 -5-0 -5 0 5 0 5 20 [cm - ] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.9
Check: Får vi tillbaka samma fält som vi startade med? ee(r, t) = = 2π (2π) /2 2π dκ e A(κ)e iω(κ)t e iκz (2.25) dκ e i(κ 0 κ)l e iω(κ)t+iκz κ κ 0 = 2π eiκ 0 L 2π dκ e iω(κ)t+iκz (2.26) κ κ 0 dκ e iω(κ)t e iκ(z L) κ κ 0 (2.27) dκ e iω(κ)t+iκz (2.28) κ κ 0 (2.29) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.0
Vid t = 0: Från residykalkyl har vi följande regel: ee(r, 0) = 2π eiκ 0 L 2π dκ eiκ(z L) κ κ 0 eiκz dκ (2.30) κ κ 0 eiaκ dκ = sgn(a)πie iaκ 0 (2.3) κ κ 0 där sgn(a) = a/ a ger tecknet på a. Då z < 0 och z > L fås ee(r, 0) = ±πi 2π eiκ 0 L e iκ 0 (z L) (±)πi 2π eiκ 0 z = 0 (2.32) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.
Då 0 < z < L: ee(r, 0) = πi 2π eiκ 0 L e iκ 0 (z L) πi 2π eiκ 0 z (2.33) = πi 2π eiκ 0 z πi 2π eiκ 0 z (2.34) = ie iκ 0 z = i cos(κ 0 z) + sin(κ 0 z) (2.35) så att E r (r, 0) = sin(κ 0 z), 0 < z < L, exakt som väntat! Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
2.. Energitäthet och -ström Vi har upp tills nu kunnat använda komplexvärda fält i Maxwells ekvationer. Detta har möjliggjorts av det att ekvationerna är linjära, och reella och imaginära delarna av ett komplext fält därför var för sig uppfyller ekvationerna. Vi kommer nu att granska energitätheten u EM och Poynting-vektorn S, som båda innehåller produkter av fälten. I dessa sammanhang måste vi använda de reella eller imaginära fälten, och inte den komplexa versionen. De fysikaliska fälten är ju E P (r, t) = E 0p sin(ωt κ r φ)bp + E 0s sin(ωt κ r)bs (2.36) B P (r, t) = n c (E 0p sin(ωt κ r φ)bs E 0s sin(ωt κ r)bp) (2.37) Välj r = 0 för att förenkla uttrycken. E P (r, t) = E 0p sin(ωt φ)bp + E 0s sin(ωt)bs (2.38) B P (r, t) = n c E 0p sin(ωt φ)bs n c E 0s sin(ωt)bp (2.39) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
Kvadraterna är E 2 P = E 2 0p sin2 (ωt φ) + E 2 0s sin2 (ωt) (2.40) B 2 P = n2 c 2 E2 0p sin2 (ωt φ) + n2 c 2 E2 0s sin2 (ωt) (2.4) = n2 c 2 E2 P = εµe2 P (2.42) Energitätheten: u EM = 2 (E P D P + B P H P ) = 2 (εe2 P + µ B 2 P ) = 2 (εe2 P + εe2 P ) = εe 2 P = µ B2 P (2.43) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.4
Poyntingvektorn: S = E P H P = µ E P B P = µ E P B P bu = µ E P εµep bu = εµ ε εµe 2 P bu = µ n c E2 P bu = c µ n B2 P bu = εµ u EM bu = c n u EMbu = u EM v f (2.44) där v f är vågens fas-hastighet. Observera att enheten för S är J/(m 2 s) = W/m 2, d.v.s. energi per area och tid, eller effekt per area. Detta är ju enheten för intensitet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.5
Jämför: Vågen transporterar alltså energi i.o.m. Poyntingvektorn. J = ρv (2.45) Vid höga frekvenser går det inte alltid att mäta den momentana intensiteten S, så man bestämmer istället tidsmedelvärdet S. Vi bevisar nu ett teorem med vilket dylika tidsmedelvärden fås snabbare från de komplexa ursprungsuttrycken. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.6
Teorem Låt f = f 0 e iωt = (f 0r + if 0i )e iωt (2.46) g = g 0 e iωt = (g 0r + ig 0i )e iωt (2.47) Realdelarna är f r = f 0r cos(ωt) f 0i sin(ωt) (2.48) g r = g 0r cos(ωt) g 0i sin(ωt) (2.49) medan imaginärdelarna är f i = f 0r sin(ωt) + f 0i cos(ωt) (2.50) g i = g 0r sin(ωt) + g 0i cos(ωt) (2.5) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.7
Följande gäller: f r g r = f i g i = 2 (f g) r = 2 (fg ) r (2.52) Bevis: f r g r = f 0r g 0r cos 2 (ωt) f 0r cos(ωt)g 0i sin(ωt) f 0i sin(ωt)g 0r cos(ωt) + f 0i g 0i sin 2 (ωt) (2.53) så att f r g r = 2 f 0rg 0r + 2 f 0ig 0i (2.54) f i g i = f 0r g 0r sin 2 (ωt) + f 0r sin(ωt)g 0i cos(ωt) +f 0i cos(ωt)g 0r sin(ωt) + f 0i g 0i cos 2 (ωt) (2.55) så att Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.8
f i g i = 2 f 0rg 0r + 2 f 0ig 0i (2.56) (f g) r = ˆ(f 0r + if 0i ) (g 0r + ig 0i ) r = [(f 0r if 0i )(g 0r + ig 0i )] r = f 0r g 0r + f 0i g 0i (2.57) eftersom (z z 2 ) = z z 2 så att vi kan plocka bort exponentialfunktionerna direkt. (fg ) r = ˆ(f 0r + if 0i )(g 0r + ig 0i ) r = [(f 0r + if 0i )(g 0r ig 0i )] r = f 0r g 0r + f 0i g 0i (2.58) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.9
Vi kan nu enkelt bestämma tidsmedelvärdet för E 2 P : D E E 2 P = 2 (E E) r = 2 ((E 0pe i( φ) bp + E 0s bs) (E 0p e i( φ) bp + E 0s bs)) r = 2 q E 2 0p + E2 0s (2.59) Detta ger tidsmedelvärdet av Poynting-vektorn som S = n q E0p 2 µ c 2 + E2 0sbu (2.60) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.20
2.2. Hastighetsbegrepp Det existerar ett flertal olika hastighetsbegrepp angående elektromagnetisk strålning: Fashastighet i vågens fortskridningsriktning, v f, och v f c. Fashastighet i annan riktning, v f, v f c eller v f c. Grupphastighet Hastigheten från väntevärdet av vågens position Energins transporthastighet... Då man frågar efter en vågs eller signals hastighet bör man ha klart för sig vad för slags hastighet man egentligen är intresserad av. 2.2.. Fashastighet [J. Weber, Am. J. Phys. 22 (954) 68; R. L. Smith, Am. J. Phys. 38 (970) 978; A. M. Steinberg, No thing goes faster than light, Phys. World, September (2000)] Fashastigheten i vågens färdriktning ges av kravet att argumentet κ r ωt ska vara konstant. Om vi rör oss i vågens färdriktning gäller att r = r 0 + sbu och Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
κ r = κ r 0 + κs (2.6) så att d dt κ r = κds dt = κv f = ω (2.62) och v f = ω/κ. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.22
Låt en signal bestående av t.ex. N st sinusoidala våglängder sändas ut från A. Signalen anländer till mottagaren i C, efter att ha rört sig den kortaste möjliga sträckan mellan A och C. Om mediet är icke-dispersivt är signalens hastighet c. Enligt bilden sammanfaller detta med fashastigheten i signalens fortskridningsriktning, så att v = r/ t = c. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.23
Å andra sidan, om sträckan BC består av en ljuskänslig vägg så kommer ljuspulsen som faller in på väggen att röra sig längs väggen mot mottagaren i C, eftersom vågfronten utanför gör det. Hastigheten för denna ljusspalt längs med väggen rör sig med en hastighet r / t. Eftersom ger vars storlek är v f = c! cos α = r r (2.63) v f = r t = r cos α t = cos α v f (2.64) Strider inte detta mot lagen att ingen signal kan röra sig snabbare än ljuset?! Förklaringen är att det som rör sig längs med väggen inte är en signal. Ljusspalten är en sekundär effekt till signalen, och består egentligen av skärningspunkten mellan väggen och vågfronterna i den riktiga signalen. Endast om vi har en mottagare och sändare i B, som skickar signalen från A vidare till C, så kommer en riktig signal att gå längs med sträckan ABC, med maximalt ljusets hastighet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.24
Observera, att mottagaren i C tar emot signalen längs med linjen AB och signalen längs med ACB vid samma tillfälle. För att mäta signalens hastighet dividerar mottagaren sträckan AC mellan sig själv och sändaren med den tid som gått åt för att signalen att anlända. Detta ger c som största möjliga hastighet för information att passera mellan A och C. 2.2.2. Grupphastighet [Jackson; J. Weber, Am. J. Phys. 22 (954) 68; H. M. Bradford, Am. J. Phys. 44 (976) 058; P. C. Peters, Am. J. Phys. 56 (988) 29; K. T. McDonald, Am. J. Phys. 66(8) (998) 656-658 ] En vågs eller ett vågpakets grupphastighet definieras som v g = dω (2.65) dκ κ=κ0 evaluerat i nåt värde κ 0 av vågvektorn κ. Denna definition kan motiveras med följande resonemang. Låt ett vågpakets amplitudfunktion vara e A(κ). Antag att e A(κ) är stor då κ = κ 0 och liten för övriga värden. Detta betyder att vågpaketet innehåller många vågor med vågtalet exakt lika med eller mycket nära κ 0. Låt vågen röra sig längs med z-axeln, så att κ = κbz och κ 0 = κ 0 bz. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.25
Expandera vinkelfrekvensen kring vågtalet κ 0 enligt Elfältet blir ω(κ) ω(κ 0 ) + (κ κ 0 ) κ ω(κ) κ=κ0 ω 0 + ω 0 (κ κ 0) (2.66) ee(z, t) = dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iκ z e iω(κ)t dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iκ z e iω 0 t e iω 0 t(κ κ 0 ) = e iω 0 t+iω 0 tκ 0 dv (2π) 3/2 κa(κ)e e i(z ω 0 t)κ = e it(ω 0 ω 0 κ 0 ) E(z ω 0t, 0) (2.67) Detta är en funktion i z ω 0 t. Detta motsvarar en våg som rör sig med hastigheten ω 0. Amplituden varierar periodiskt med tiden, p.g.a. exponentialfaktorn. Vågens hastighet är alltså v g = ω 0 = dω (2.68) dκ κ=κ0 Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.26
och kallas grupphastighet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.27
I allmänhet gäller v f = c n(κ) (2.69) så att κ = ω(κ) v f = ω(κ)n(κ) c (2.70) Detta ger v g = dκ dω = n c + ω c dn dω = n + ωdn/dω c (2.7) och v g = c n + ωdn/dω (2.72) För normal dispersion gäller n och dn/dω > 0 så att v g < c. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.28
[Jackson] I vissa frekvensområden med anomalisk/abnomal (eng. anomalous) dispersion kan dock gälla att dn/dω 0, så att man rentav kan få v g > c, så att vågen tycks röra sig snabbare än ljuset! Denna paradox är snabbt löst genom att inse att en snabb variation i n = n(ω) innebär en snabb variation i κ = κ(ω) så kan vi inte längre göra expansionen Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.29
ω(κ) ω(κ 0 ) + dω (κ κ 0 ) (2.73) dκ κ=κ0 Detta betyder att v g = ω 0 = dω (2.74) dκ κ=κ0 inte längre duger som definition av vågens hastighet. 2.2.3. Hastigheten från väntevärdet av vågens position [E. E. Bergmann, Am. J. Phys. 44(9) (976) 890-89, H. M. Bradford, Am. J. Phys. 44() (976) 058-063] En möjlig definition av ett vågpakets hastighet får vi från väntevärdet av vågens position. Väntevärdet är = = r(t) r dv re e (r, t)re(r, e t) dv (2π) 3 r dv κ dv κ e A (κ)e iω(κ)t e iκ r r e A(κ )e iω(κ )t e iκ r (2.75) (2.76) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.30
= = (2π) 3/2 (2π) 3/2 dv κ dv κ» dv κ A e (κ)e iω(κ)t dv (2π) 3/2 r re iκ r e iκ r dv κ A e (κ)e iω(κ)t F A(κ e )e iω(κ )t ea(κ )e iω(κ )t (2.77) där F är Fouriertransformen av re iκ r : Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
F = (2π) 3/2 dv r re iκ r e iκ r = (2π) 3/2 dv r re i(κ κ) r = i κ δ(κ κ) (2.78) Detta ger r(t) r = dv (2π) 3/2 κ dv κ A e (κ)e iω(κ)t i κ δ(κ κ) A(κ e )e iω(κ )t» = dv i(2π) 3/2 κa e (κ)e iω(κ)t dv κ κ δ(κ κ) A(κ e )e iω(κ )t = dv i(2π) 3/2 κa e (κ)e iω(κ)t κa(κ)e e iω(κ)t (2.79) (2.80) där vi använde regeln dv r f(r) δ(r r ) = dv r ( f(r))δ(r r ) = f(r) r=r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.32
Vi får nu r(t) r = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 +i (2π) 3/2 = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 dv κ e A (κ)e iω(κ)t κ e A(κ)e iω(κ)t dv κ e A (κ)e iω(κ)t e iω(κ)t κ e A(κ) dv κ e A (κ)e iω(κ)t e A(κ) κ e iω(κ)t dv κ e A (κ)i κ e A(κ) + t (2π) 3/2 dv κ e A(κ) 2 κ ω(κ) (2.82) dv κ e A (κ) κ e A(κ) + t κ ω(κ) r (2.83) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.33
Jämför: r(t = 0) r = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 dv κ e A (κ)e iω(κ)0 κ e A(κ)e iω(κ)0 dv κ e A (κ) κ e A(κ) (2.84) Vi får alltså: r(t) r = r(0) r + t κ ω(κ) r (2.85) r(0) r + tv (2.86) där V kan kallas vågpaketets medelhastighet: V = κ ω(κ) r (2.87) = dv (2π) 3/2 κ A(κ) e 2 κ ω(κ) (2.88) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.34
Konsistens-check: Om vinkelfrekvensen kan approximeras som ω ω(κ 0 ) + (κ κ 0 ) κ ω κ=κ0 (2.89) får vi V = = D κ κ κ ω κ=κ0 E E D κ ω κ=κ0 κ κ E D κ ω κ=κ0 r r r = κ ω κ=κ0 (2.90) som är samma svar som tidigare. 2.2.4. Energins transporthastighet [ R. L. Smith, Am. J. Phys. 38 (970) 978; F. S. Johnson, Am. J. Phys. 58 (990) 044; A. Bers, Am. J. Phys. 68 (2000) 482 ] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.35
Då man i praktiken vill mäta em signals hastighet genom ett medium använder man en detektor. Denna ger utslag då den träffas av en puls med en styrka över ett visst gränsvärde. Antag att signalen som sänds ut har den maximala intensiteten I m = E 2 r,m. Som villkor för att signalen skall anses ha anlänt till detektorn kan man ha att den uppmätta intensiteten skall vara I m /α, där α. Då dispersiva eller dissipativa effekter inte spelar nån större roll kommer detta villkor att ge korrekt uppskattning av vågpaketets hastighet. Då dispersion och dissipation förekommer, kommer utgångssignalen att dämpas. Om t.ex. hela pulsen dämpas med faktorn β > α, där β = I m /I m och I m är den mottagna signalens maximala intensitet, så kommer I m < I m/α och detektorn mäter inte alls upp den anlända pulsen. Signalens hastighet kan då tyckas vara 0. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.36
Man kan visa att för media med normal dispersion och svag absorption vid de frekvenser som förekommer i vågpaketet så gäller att där S = u EM v f = u t v g (2.9) där u abs är den energitäthet som absorberas av mediet. u t = u EM + u abs (2.92) Detta visar att energin och en elektromagnetisk signal färdas med grupphastigheten i ett medium utan dissipation och då vågpaketet är koncentrerat omkring en bestämd vågvektor κ 0 (som ger v g ). Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.37