Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver man också känna temperaturen i fluiden för att kunna beräkna dess tryck, men vi skall inte härleda en särskild ekvation för temperaturen i fluiden, vilket man vanligen gör, utan istället införa någon form av förenklande antaganden om fluidens termiska energi. Därför behöver vi härleda en ekvation för att beskriva hur fluidens massa bevaras, kontinuitetsekvationen, en rörelseekvation, egentligen Newtons andra lag. Rörelseekvationen kan vi enklast härleda ur att rörelsemängden i fluiden är bevarad. 1.1 Kontinuitetsekvation Antag att vi har en fluid med densiteten hastighetsfältet v. Detta hastighetsfält bär då med sig fluiden, vilket leder till att vi får ett massflöde j = u. (1 i kan nu ställa upp en integralekvation för förändringen av fluidens massa i en volym per tidsenhet d = d ( Denna förändring är lika med hur mycket massa som strömmar in i genom dess begränsningsyta per tidsenhet u d = (u d, (3 där vi har använt Gauss sats. Om vi nu sätter integranderna lika med varandra får vi kontinuitetsekvationen + (u = 0. (4 För en inkompressibel fluid så är konstant ekvationen förenklas till 1. Eulers ekvation u = 0. (5 Om vi betraktar en volym så har den en total rörelsemängd ud. (6 Denna rörelsemängd kan förändras på två sätt genom ett flöde av rörelsemängd genom ytan genom påverkan av yttre krafter. Utflödet av rörelsemängden u genom ett ytelement d är uu d. Det totala utflödet av rörelsemängd är då uu d. (7 amtidigt påverkas volymen av en yttre tryckkraft, som per areaenhet är pd. Den totala tryckkraften är pd. (8 1
I allmänhet skulle det också kunna förekomma andra krafter som verkar på volymen, till exempel gravitationskraften, men vi ska bortse från sådana krafter här. i försummar också fluidens viskositet. Om man tar med viskositeten får man Navier-tokes ekvation. Den totala förändringen av rörelsemängden per tidsenhet blir nu ud = (u d = uu d pd = (uu d pd = { (uu p} d, (9 där vi har använt Gauss sats för den första integralen en analog sats för den andra integralen. Eftersom volymen är godtycklig så måste integranderna vara lika (u = (uu p. (10 Låt oss nu se vad den första termen i högerledet egentligen betyder. uu är ett exempel på en tensor. I det här fallet beskriver tensorn hur vektorfältet u transporterar vektorn u. För att göra det enkelt börjar vi med att bara betrakta hur x-komponenten av rörelsemängden transporteras av hastighetsfältet u. i har då i ser nu att vi måste tolka (uu som (u x u = (u x u = u x (u + u u x. (11 (uu = u (u + u u. (1 änsterledet av Eulers ekvation kan vi skriva om med hjälp av kontinuitetsekvationen som (u = u + u = u u (u. (13 ätter vi in dessa uttryck stryker de termer som tar bort varandra får vi u + u u = p. (14 Trycket p beräknas ur en tillståndsekvation, en ekvation som ger trycket som funktion av temperatur densitet i fluiden, eller vice versa. Approximativa lösningar: ljudvågor De hydrodynamiska ekvationerna är icke-lineära, vilket gör det svårt att hitta exakta lösningar till dem, bortsett från en del triviala fall. Det finns olika tekniker för att ta fram approximativa lösningar ur ekvationerna, även om man i många praktiska tillämpningar blir tvungna att använda numeriska metoder. Ett sätt att konstruera en lösning är att lineärisera ekvationerna kring en exakt lösning. i börjar med att konstatera att ett medium med konstant densitet,, tryck, p 0 i vila (u = 0 är en exakt lösning till de hydrodynamiska ekvationerna. Till denna lösning lägger vi till små störningar = + 1 (r, t (15 Ekvationerna blir då p = p 0 + p 1 (r, t (16 u (r, t. (17 1 + [( + 1 u] = 0, (18
[ ] u ( + 1 + (u u = p 1. (19 Här approximerar vi + 1 termen (u u försummas i sin helhet eftersom den är kvadratisk i den lilla störningen u. Dessutom behöver vi införa en tillståndsekvation som ger ett samband mellan tryck densitet. Formellt kan vi med en Taylor-utveckling skriva den som p p 0 + p 1 = p + 1. (0 åra ekvationer blir nu i deriverar nu Ekv. (1 med avseende på tiden 1 + (u = 0, (1 u p = 1. ( 1 + (u = 1 + u = 0. (3 i kan nu sätta in Ekv. ( i den andra termen 1 p 1 = 0, (4 vilket blir vågekvationen för en ljudvåg där ljudhastigheten ges av 1 = c s 1, (5 c s = p. (6 3 Inkompressibelt potential flöde För en inkompressibel fluid är densiteten konstant. Kontinuitetsekvationen reduceras då till Eulers ekvation kan skrivas u = 0, (7 u + u u = ( p. (8 Dessa två ekvationer bestämmer nu hastighets- tryckfältet. i kan nu eliminera p bilda ekvationer som innehåller u enbart. Först uttnyttjar vi en produktregel, för att skriva om (u u i Eulers ekvation: ( u = (u u + u ( u, (9 u + (u u ( u = ( p (30 Om vi applicerar rotationen på HL L så får vi följande ekvationen för vorticiten ω = u, ω (u ω = 0 (31 3
Denna ekvationen visar då att ett rotationsfritt hastighetsfält u = 0 är en lösning. I detta fall finns det en hastighetspotential φ till u = φ eftersom u är källfritt så satisfierar φ Laplace ekvation. φ = 0 (3 Rotationsfrittflöde kallas därför även potentialflöde. När vi väl har bestämmt u så kan vi bestämma p frå Bernouille s ekvation. För potentialflöde så erhålles direkt från ekv.(30 för ett stationärt flöde att Detta betyder att u + p = konstant. 3.1 Två-dimensionellt potentialflöde ( u = ( p. (33 Eftersom u är källfri så kan vi finna en vektorpotential A som genererar u enligt u = u. I två dimensioner kan vi ersätta denna vektorpotential (A = Ψẑ med en skalär funktion Ψ, en strömfunktion, som har egenskapen att den ger fluidhastigheten enligt u x = Ψ y (34 u y = Ψ x. (35 I tre dimensioner fungerar inte omskrivningar med strömfunktioner. För ett potentialflöde i två dimensioner finns det en hastighetspotential φ u x = φ x = Ψ y (36 u y = φ y = Ψ x. (37 Alltså är φ Ψ relaterade till varandra via Cauchy-Riemanns ekvationer, φ iψ är en analytisk funktion av z = x + iy. Det följer då att både φ Ψ är harmoniska funktioner som uppfyller Laplaces ekvation. Det finns därför också kraftfulla metoder för att lösa potentialflöden i två dimensioner med analytiska funktioner. 4 Exempel på tre-dimensionellt flöde i vill studera flödet av en vätska kring en sfär med radien a. i antar då att långt från sfären kan vi skriva hastigheten som u = u 0 ẑ, av bekvämlighetsskäl placerar vi sfären i origo. Om flödet är potentiellt så uppfyller det ekvationen φ = 0. (38 åra randvillkor här är dels att vid sfärens yta kan flödet inte penetrera sfären, det vill säga dess radiella komponent är 0. u ˆr = φ ˆr = 0, (39 vilket ger φ = 0. (40 r a 4
årt andra randvillkor är att hastigheten långt från sfären skall vara u 0 ẑ = u 0 (cos θˆr sin θˆθ = φ r ˆr 1 φ r θ ˆθ. (41 Detta villkor kan formuleras som φ u 0 r cos θ då r. (4 För att uppfylla dessa randvillkor ansätter vi en lösning på formen Laplace-ekvationen kan vi skriva som φ = 1 r r φ (r, θ = f (r + g (r cos θ. (43 ( r φ r + 1 r sin θ ( sin θ φ = 0, (44 θ θ med vår lösningsform insatt kan vi skriva 1 [ r r (f + g cos θ ] g ( sin r r θ = sin θ θ r (f (r + g (r cos θ + f (r + g g (r (r cos θ r cos θ = 0. (45 För att denna ekvation skall vara uppfylld för alla θ måste det gälla att { f (r + r f (r = 0 g (r + r g (r (46 r g (r = 0 För att finna lösningar till dessa ekvationer ansätter vi nu f(r = Ar ν, vilket ger oss ekvationen som har lösningarna ν = 0 ν = 1, så att vi kan skriva På samma sätt får vi för g(r Potentialen kan då skrivas som ν (ν 1 + ν = 0, (47 f (r = A + B r. (48 g (r = Cr + D r. (49 φ (r, θ = A + B r + ( Cr + D r cos θ. (50 i kan genast sätta A = 0, eftersom A ändå inte bidrar till hastigheten u. i ser också att randvillkoret i oändligheten uppfylls om vi sätter C = u 0. i beräknar nu r-komponenten av hastigheten vid sfärens yta u r = φ r = B ( r + u 0 + D r 3 cos θ = 0. (51 För att denna ekvation skall vara uppfylld vid r = a måste B = 0 som har lösningen Potentialen blir nu hastigheten blir û = φ r ˆr 1 φ r θ ˆθ = u 0 u 0 + D = 0, (5 a3 D = u 0a 3. (53 φ = u 0 r + a3 r cos θ, (54 (1 a3 cos θˆr u 0 (1 + a3 r 3 r 3 sin θˆθ. (55 5