Tid läge och accelera.on Tid t Läge x = x(t) Hastighet v(t) = dx dt x(t) = Acceleration a(t) = dv dt v(t) = t t0 v(t)dt t t 0 a(t)dt Eq 1 Eq 2 Eq 3 MEN KOM IHÅG: 1. För a> de>a skall vara användbart måste.dsberoendet vara känt. De>a är ogast inte fallet 2. Accelera.onen hämtas oga från Newtons andra lag. Således räcker I allmänhet 2:ordningens differen.alekva.on
Konstant accelera.on Ekva.onerna 1-3 kan då lösas genom a> man först fixar 3 stoppar in I 2 och slutligen klabbet I 1. Om a konstant Eq 3 v(t) = t t 0 adt Stoppa in i 2 och vi har x(t) = a(t t 0 ) = v 0 + at Observera att undre integrationsgränserna fås ur begynnelsevillkor v(0) = -at 0 Ytterligare en integration ger x = x 0 + v 0 (t t 0 )+ a (t t 0 )2 2
v(t) diagram OM accelera.onen är konstant kan vi göra en del iak>agelser och uträkningar direkt V(t) Ytan här är faktiskt x(t) = t v(t)dt 0 t
Kroklinjig rörelse r(t) Tid t Läge r = r(t) Hastighet v(t) = dr dt r(t) = t t 0 v(t)dt Acceleration a(t) = dv dt = d 2 r t v(t) = a(t)dt dt 2 t 0 OBS dessa ekva.oner sammanfa>ar 3 stycken koordinatekva. oner!
Koordinater Koordinatsystem VÄLJER vi Enklast Cartesianskt z y r = xe x + ye y + ze z x r där enhetsvektorer ger rikningar Enhetsvektorn e x har beloppet 1 och visar x - riktning. Cartesianska enhetsvektorer är TIDSOBEROENDE Därför är derivering enkel v(t) = dr dt = dx dt e x + dy dt e y + dz dt e z a(t) = dv dt = d 2 x dt e + d 2 y 2 x dt e + d 2 z 2 y dt e 2 z
Naturliga koordinater Koordinatsystem VÄLJER vi Δs r(t + Δt) Δr r(t) S S=0
Naturliga systemet Lägg en enhetsvektor i tangentens riktning, dvs i samma riktning som v e s = v v Låt nu s vara längd av kurvan mätt från någon pkt v(t) = dr dt = dr ds dr ds = e s ds dt v(t) = ds dt e s = ve s
Normal enhetsvektor En andra enhetsvektor får genom att ge riktningen för en enhetsvektor som är vinkelrät mot e s men som är riktat in mot kurvans konkava del. Den kallas e n och pekar mot kurvans krökningscentrum. Det gäller nu att de s ds = 1 ρ e n där ρ är kurvans krökningsradie i punkten r(t)
Accelera.onen I naturliga koordinater a(t) = dv dt e s + v 2 ρ e n OBSERVERA ATT BÅDE e s OCH e n ÄR ds TIDSBEROENDE. DE MÅSTE = 1 ρ e n ALLTSÅ DERIVERAS MHA KEDJEREGELN a = dv dv dt v 2 ρ de s Tangentiell acceleration ds Centripetal acceleration ( riktad mot krökningscentr.)
Cirkulär rörelse För en cirkel är förstås ρ lika med cirkelns radie R. För ds gäller att den kan ges som dφ * R dφ R ds=r*dφ
Arbete- Energiteoremet F F n e n F s e s e n e s F n e n är vinkelrät mot e s. r(t) N S Den kompenseras helt av tvångs - krafterna som håller partikeln i banan. INGET ARBETE uträttas i e n :s riktning. ENBART F s e s UTRÄTTAR ARBETE
INTEGRALKNEP Vi har ofta använt explicit tidsberoende, vi har antagit att x(t), v(t) etc är KÄNDA. Men vi kan också komma ihåg att an - vända kedjeregeln. ACCELERATIONEN T.EX. a(t) = a(v(t)). Kedjeregeln : a = dv(s(t)) dt Men ds dt = v = dv ds ds dt a = v dv ds Nyttig att använda och resultatet är GENERELLT, DET ÄR INTE EN GYMNASIEFORMEL SOM BARA GÄLLER VID KONSTANT ACCELERATION Nu har vi e> verktyg där vi bara behöver veta kragers Beroende av sträckan s och INTE BEHÖVER KÄNNA TILL TIDSBEROENDET
ARBETE ENERGITEOREMET Betrakta e> endimensionellt fall dvs koordinaten s är samma som en X- koordinat. F S = mv dv ds F S ds = mvdv b a F S ds = v b v a mvdv = 1 2 mv b 2 1 2 mv 2 a Av kragen F uträ>at arbete vid rörelse I banan från a.ll b Ändring I kine.sk energi OBSERVERA ATT BARA DEN KOMPOSANT AV KRAFTEN SOM ÄR PARALLELL MED BANAN (DVS F S UTRÄTTAR ARBETE!
Arbete Energiteoremet GENERELLT F = m d 2 r dt (t) 2 (Newtons metod) Skalärmultiplicera båda leden med dr dt F dr dt = m d 2 r dt (t) dr 2 dt Detta är helt enkelt d 1 dt 2 (dr dt )2 Således blir F dr dt = m d dt dvs 1 2 (dr F dr = m d 1 2 (dr dvs b a dt )2 dt )2 F dr = 1 2 mv 2 1 b 2 mv 2 a ty dr dt = v
HARMONISK SVÄNGNING F = k(x x 0 )e x F X 0 X Newton II m x = k(x x 0 ) x + k m (x x 0 ) = 0 x 0 är JÄMVIKTSLÄGET den punkt massan svänger kring 2 ω 0 = k m Lösning : x = x 0 + Asin(ω 0 t +δ) A och δ är integrationskonstanter Fås ur begynnelsevillkor
Serie och parallellkoppling av iädrar F 2 F = F 1 + F 2 Totala kraften är F 1 0 x Förlängningen en enda! m x = F 1 + F 2 = k 1 x k 2 x = (k 1 + k 2 )x Total fjäderkonstant k = (k 1 + k 2 ) 1 2 F x 1 x 2 Total förlängning x = x 1 + x 2 Där x 1 resp. x 2 är förlängningen av fjäder 1 och 2 Men samma kraft F Total fjäderkonstant 1 k = 1 k 1 + 1 k 2
Dämpad svängning Odämpad vinkelfrekvens Dämpningsförhållande Många oscilla.oner En sväng. Når slutvärde från andra sidan Ingen oscilla.on
Dämpad svängning k c m 0 x x + 2γ 2x x +ω = 0 0 Här är 2γ = c m ω 0 = k m I kursboken används även Dämpningskoefficient (dimensionslös) ζ = c 2 km
Tre fall av lösning 1 γ > ω 0 Stark dämpning x(t) = e γt (A 1 e ω ct Där + A 2 e ω ct ) ω c = γ 2 ω 0 2 I de>a fall är frik.onen så stor a> det inte blir några oscilla.oner. MEN ursprungliga poten.ella energin som orsakar rörelsen flyter mycket långsamt ut ur systemet.
Tre fall av lösning 2 γ < ω 0 Observera att γ och ω 0 bytt plats under rottecknet jämfört med fallet stark dämpning ω c är inte samma som ω 0!!!! Friktionen Svag dämpning x(t) = A 0 e γt cos(ω c t +δ) ω c = ω 0 2 gör att farten blir lägre och därmed kommer ω c vara mindre än ω 0 γ 2 OBS HÄR STÅR INTE ω 0 Denna rot är reell! 1,5 1 0,5 0-0,5-1 γ=0,1 ω 0 =2 0 5 10 15 Series1
Tre fall av lösning 3 γ = ω 0 Kri.sk dämpning (Aperiodiskt gränsfall) x(t) = e γt (A 1 + A 2 t) Men γ = ω 0 x(t) = e ω 0 t (A 1 + A 2 t) Vi illustrerar med det vik.ga fall som rör stötdämpning och så snabb rörelse mot vila som möjligt I de>a fall är oscilla.on och rörelse matchade så a> energin omsä>s snabbast möjligt i systemet. Series1 0 2 Andra utseenden möjliga men de>a är tekniskt vik.gast!
HARMONISK EXCITERING - RESONANS k Inför : 2γ = c c F 0 sinωt Ω Är den pålagda kragens vinkel frekvens m 0 x 2 x + 2γ x +ω 0 x = F 0 m sinωt De>a är en inhomogen differen.alekva.on x(t) = Acos(ωt ϕ) A = ϕ = ω 0 2 (ω 0 2 2γω ω 2 F 0 m ω 2 ) 2 + (2γω) 2 Amplituden beror av pålagda vinkelfrekvensen ω