MMVA01 Termodynamik med strömningslära

MMVA01 Termodynamik med strömningslära Repetitionsfrågor strömningslära (inkl. svar i kursiv stil, utan figurer) 1 augusti 018 INLEDNING 1.1 Definiera eller förklara kortfattat (a) fluid = medium som kontinuerligt deformeras (sätts i rörelse) vid en godtyckligt liten skjuvbelastning. (b) dimensionshomogenitet Alla termer i ett matematiskt och fysikaliskt giltigt uttryck måste ha samma dimension (enhet). (c) strömlinje = en linje vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn (Fig. 4.1). (d) kavitation Kavitation (lokal kokning, ångblåsbildning) uppträder om lokalt tryck i en vätska understiger vätskans ångtryck vid rådande temperatur. (e) Newtonsk fluid För Newtonska fluider är skjuvspänningar proportionella mot skjuvhastigheter (vinkeldeformationshastigheter) i olika plan. (f) dynamisk viskositet = ämnesstorhet (betecknad µ) som uttrycker förhållandet mellan skjuvspänning (bromsande kraft per areaenhet) i ett plan och vinkeldeformationshastigheten i samma plan. För enkel skjuvströmning, V = u(y)i, är τ = µ(du/dy), där τ är skjuvspänningen. (g) kinematisk viskositet ν = µ/ρ, där µ är fluidens dynamiska viskositet och ρ dess densitet. (h) Reynolds tal Re = ρv L/µ = V L/ν, där ρ är fluidens densitet, µ dess dynamiska viskositet (ν kinematisk viskositet), L en karakteristisk längd (t.ex. diametern för en sfär) och V en karakteristisk hastighet (ex. anströmningshastigheten för en omströmmad kropp). (i) inkompressibel strömning Vid inkompressibel strömning kan fluidens densitet (ρ) betraktas som konstant. (j) gränsskikt Ett gränsskikt är ett tunt område närmast en fast vägg där viskösa effekter är av betydelse, utanför gränsskiktet kan strömningen betraktas som friktionsfri (Fig. 1.7). Ett nödvändigt villkor för existens av gränsskikt är att Reynolds tal är högt. (k) gränsskiktstjocklek δ (praktisk definition) En praktisk definition av gränsskiktstjocklek δ är det vertikala avstånd från väggen där hastigheten uppnår 99% av hastigheten utanför gränsskiktet. FLUIDERS STATIK.1 Ange de krafter som verkar på ett fluidelement i en stillastående fluid. I en stillastående fluid verkar inga skjuvkrafter, endast normalkrafter p.g.a. tryck (mot ytor) samt volymskrafter (gravitation). 1

. Beskriv hur en tryckskillnad kan mätas m.h.a. en U-rörsmanometer; avläst höjdskillnad = h. En tryckskillnad p = p 1 p mellan t.ex. två sektioner i ett horisontellt rör, där det strömmar en fluid med densitet ρ, kan mätas genom att till dessa sektioner ansluta ett U-format rör som innehåller en (manometer-)vätska med densitet ρ m, på följande sätt (se t.ex. Fig..7 eller Fig. -34 i Çengel, Cimbala & Turner): höjdskillnaden h mellan manometervätskans båda lodräta skänklar mäts upp; låt h 0 vara det lodräta avståndet från manometervätskans övre nivå till röranslutningarna; via principen att trycket på samma lodrätta höjd och för samma (stillastående) fluid i korresponderande kärl är lika gäller p 1 +ρgh 0 +ρgh = p +ρgh 0 +ρ m gh, d.v.s. p 1 p = (ρ m ρ)gh. (I en stillastående fluid med konstant densitet gäller p = p 0 ρgz, där z är lodrät koordinat uppåt och p 0 trycket vid z = 0.).3 Vad är Arkimedes princip? En kropp helt nedsänkt i en stillastående fluid påverkas av en uppåtriktad kraft (flytkraft) som är lika med den undanträngda fluidens tyngd, F B = ρ fluid Vg, där V är kroppens volym. VISKÖS STRÖMNING 3.1 Navier-Stokes ekvationer, Newtonsk fluid med konstanta ämnesstorheter, på vektorform: V = 0 ; DV/Dt = g ρ 1 p + ν V Vad beskriver de båda resp. ekvationerna? Förklara kortfattat. Den första ekvationen, V = 0 (kontinuitetsekvationen), beskriver lokal massbalans vid inkompressibel strömning (ρ = konst.); uttrycker att ett litet fluidelements volym är konstant om fluidens densitet är konstant. Den andra ekvationen är Newtons andra lag (impulsbalans) tillämpat på ett litet fluidelement, elementets acceleration är lika med de krafter per massenhet som verkar på elementet; den första termen i H.L. är tyngdaccelerationen, den andra representerar tryckkrafter, den sista viskösa krafter. 3. Hastighetsfördelning, fullt utvecklad laminär rörströmning: v z /u max = 1 (r/r), där R är rörets innerradie. Skissera fördelningens utseende samt bestäm förhållandet mellan medelhastighet och maxhastighet, V/u max. Volymflöde: V = V πr = R 0 v zπr dr, där V är medelhastigheten. Sätt û = v z /u max, η = r/r. Insättning samt division med u max πr ger V/u max = 1 0 (1 η )η dη = [η / η 4 /4] 1 0 = 1/. BERNOULLIS EKVATION 4.1 Ange Bernoullis ekvation längs en strömlinje. Diskutera giltighet, namnge termer samt definiera ingående storheter. Längs en strömlinje vid stationär, inkompressibel, friktionsfri strömning är summan av statiskt tryck, dynamiskt tryck och höjdtryck konstant, p + ρv / + ρ gz = konst., där z är vertikal koordinat (uppåt), ρ fluidens konstanta densitet, V hastigheten och p det statiska (verkliga) trycket. 4. Definiera eller förklara kortfattat (a) dynamiskt tryck Kombinationen ρv / kallas dynamiskt tryck (V hastighet, ρ densitet). (b) stagnationspunkt En stagnationspunkt är en punkt i ett strömningsfält där hastigheten är noll. (c) statiskt tryckuttag Ett tryckuttag avsett för mätning av statiskt tryck, det verkliga trycket; ett litet hål i väggen där hålets plan är i strömningsriktningen (Fig. 4.9b; Fig. 1-9 i Çengel, Cimbala & Turner).

4.3 Härled Torricellis teorem utgående från Bernoullis ekvation. Betrakta en stor öppen vätsketank med ett litet hål på lodrätt avstånd h från vätskeytan, konstant vätskedjup, inkompressibel strömning (Fig. 4.7). Eftersom ytan är stor och hålet litet är höjden h konstant, stationär strömning. Följ en strömlinje från ytan (sektion 1), som passerar igenom hålet där sektion är lagd tvärs genom den fria strålen vid utloppet. Friktionsfri strömning, Bernoullis ekvation p 1 + ρv1 / + ρgz 1 = p + ρv / + ρgz, där z är uppåt; z 1 = h, p 1 = p a, stor tank V 1 V ; z = 0. Eftersom ρ ρ luft kan tryckskillnaden i omgivande luft försummas, p = p 1 = p a, d.v.s. V = gh. 4.4 Vad är stagnationstryck? Hur kan det mätas? Stagnationstryck p 0 är det tryck som en fluid uppnår då den adiabatiskt och friktionsfritt (d.v.s. isentropiskt) nedbringas till hastigheten noll. Enligt Bernoullis ekvation (stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning) är p 0 = p + ρv /, där V är den ostörda hastigheten. Stagnationstryck kan under dessa förutsättningar mätas med ett Pitotrör, ett rör vars mynning är vinkelrät mot strömningen (Fig. 4.9a; Fig. 1-7 i Çengel, Cimbala & Turner). 4.5 Beskriv hur ett Prandtlrör fungerar samt härled ett uttryck på strömningshastigheten. Illustrera. Principskiss enligt Fig. 4.10 (se även Fig. 1-8 i Çengel, Cimbala & Turner); anströmningshastighet V. Stagnationspunkt vid det främre tryckhålet, tryck p 0 ; trycket leds vidare via ett inre rör. Uppbromsningen kan oftast betraktas som adiabatisk och friktionsfri vilket innebär att p 0 är fluidens stagnationstryck. En bit nedströms från den främre änden finns ett antal hål runt om röret, tryck p; leds vidare i utrymmet mellan det inre röret och Prandtlrörets insida (se Fig. 4.10). Via de anpassade avstånden mellan de statiska tryckhålen, det främre tryckhålet och Prandtlrörets lodräta del kommer trycket p att vara lika med fluidens statiska tryck. Längs den horisontella strömlinje som kommer in framifrån och träffar stagnationspunkten gäller enligt Bernoullis ekvation, p 0 = p + ρv /, d.v.s. V = (p 0 p)/ρ. Mätning av p 0 p och känd densitet ρ ger hastigheten. 4.6 Beskriv hur en Venturimeter fungerar samt härled ett uttryck för massflödet utifrån uppmätt tryckskillnad. Ange förutsättningar samt illustrera med figur. Design (Fig. 4.11): kort kontraktion från det anslutna rörets tvärsnittsarea A 1 till en minsta sektion med area A, därefter relativt långsam areaökning tillbaks till A 1. Förutsättningar: horisontellt (z = z 1 ), stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning; försumbara variationer över tvärsnitt. Tryckskillnad p = p 1 p uppmätt mellan sektion 1 strax innan kontraktionen och minsta sektion (); ρ är fluidens konstanta densitet. Bernoullis ekvation: p 1 + ρv1 / = p +ρv /. Massbalans: Q = A 1V 1 = A V V = p/ρ 1 (A /A 1 ). Massflöde, ṁ = ρ Q = ρ A V. KONTROLLVOLYMSANALYS 5.1 Ange impulsekvationen vid stationär strömning genom en icke-accelererande och stel kontrollvolym med flera in- och utlopp. Förutsätt endimensionella (homogena) förhållanden över tvärsnitt. Ange också ett flödesvillkor som följer av massbalans. Ingående storheter skall klarläggas. Skillnaden mellan utströmmad och inströmmad rörelsemängd (linjär impuls) per tidsenhet är lika med den vektoriella kraftsumman som verkar på kontrollvolymen, (ṁv)ut (ṁv) in = F KV där ṁ är massflöde och V betecknar vektoriell hastighet (relativt kontrollvolymen). Ur massbalans följer vid stationära förhållanden att nettoutströmningen av massa per tidsenhet är noll, ṁut ṁ in = 0 3

DIMENSIONSANALYS, LIKFORMIGHET 6.1 Antag att strömningsmotståndet F D för en liten sfärisk partikel som faller fritt och långsamt i en viskös fluid bara beror av partikelns diameter d, partikelns hastighet V och fluidens dynamiska viskositet µ, F D = f(d, V, µ). Genomför en dimensionsanalys av detta samband samt bestäm ur denna hur F D beror av V, d och µ. Dimensionssamband: F = f(d, V, µ), där F är strömningsmotstånd (n = 4). Dimensioner i MLT-systemet: {F } = MLT, {d} = L, {V } = LT 1, {µ} = ML 1 T 1. Eftersom antalet ingående primära dimensioner är tre är reduktionen r 3. Om det går att hitta tre variabler som tillsammans inte kan bilda en dimensionslös kombination, en s.k. Π-grupp är r = 3. Gruppen (d, V, µ) innehåller alla ingående primära dimensioner (MLT) och kan inte kombineras till en Π-grupp eftersom t.ex. endast µ innehåller dimensionen för massa (M). Således gäller r = 3, n r = 1, endast en Π-grupp, dimensionslös kraft, Π 1 = F d a V b µ c. Eftersom Π 1 är dimensionslös gäller (MLT )(L) a (LT 1 ) b (ML 1 T 1 ) c = M 0 L 0 T 0, med lösningen a = b = c = 1, d.v.s. Π 1 = F/(d V µ). En enda Π-grupp innebär att den måste vara konstant, d.v.s. F = C d V µ, där C är en konstant. Strömningsmotståndet varierar linjärt med resp. hastigheten, diametern och viskositeten. (Resultatet har visat sig giltigt då Re < 1, exakt lösning ger C = 3π, se s. 80 samt s. 589 i Çengel, Cimbala & Turner.) 6. Formulera Reynolds likformighetslag, inkl. förutsättningar. Förklara kortfattat via ett exempel hur denna lag kan användas vid skalförsök (modell, prototyp). Vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor blir strömningen likformig vid likformig geometri om Reynolds tal är lika (vid modell- och fullskala). Lagen kan användas vid modellförsök, t.ex. i en vindtunnel. Geometrisk likformighet innebär skalenlig modell och motsvarande anströmningsförhållanden. Om då Reynolds tal, Re = ρv L/µ, där L är en karakteristisk längd (typisk kroppsdimension) för kroppen och V är anströmningshastigheten, är samma i båda fallen (och övriga förutsättningar är uppfyllda) kan allt som mäts i modellförsöket, t.ex. kroppens strömningsmotstånd, överföras till motsvarande i fullskala. Likformig strömning innebär att alla dimensionslösa storheter är de samma i modell- och fullskala. 6.3 Visa att Reynolds tal grovt sett representerar (är ett grovt mått på) förhållandet mellan tröghetskrafter (massa acceleration) och viskösa krafter verkande i ett strömningsfält; karakteristisk hastighet V, karakteristisk längd L. Betrakta en omströmmad kropp, anströmningshastighet V, typisk kroppsdimension L. Tröghetskraft, T = massa (m) acceleration (dv/dt). Fluidmassan som påverkas av kroppen är av storleksordning m ρl 3 ; fluidmassans acceleration, dv/dt V/ t, där V V och t L/V, d.v.s. T ρl V. Låt F stå för viskösa krafter (friktionskrafter), typisk skjuvspänning (τ) area (A), F τa; enkel skjuvströmning: τ = µdu/dy. Med du/dy V/ y V/L fås F µ(v/l)a; A L innebär F µv L. Förhållandet T /F är således (grovt sett) av storleksordning ρl V /(µv L) = ρv L/µ, vilket är Reynolds tal. OMSTRÖMMADE KROPPAR, STRÖMNINGSMOTSTÅND OCH LYFTKRAFT 7.1 Vilka krafter representeras av strömningsmotståndet? Strömningsmotståndet på en omströmmad kropp är resultanten av tryck- och friktionskrafterna som verkar mot kroppens yta i strömningsriktningen (Fig. 7.1). 7. För en omströmmad kropp, definiera eller förklara kortfattat (a) formmotstånd Formmotstånd är strömningsmotstånd p.g.a. tryckkrafter mot kroppens yta, F D,p ; tryckkrafternas variation beror väsentligen på kroppens form. (b) motståndskoefficient C D C D = F D /(ρv A), där F D är strömningsmotstånd i anströmningsriktningen, längs V, ρ fluidens densitet, V anströmningshastighet och A en karakteristisk area för kroppen. 4

RÖRSTRÖMNING 8.1 Ange Bernoullis utvidgade ekvation, ange dess giltighet samt definiera ingående storheter. Vid stationär, inkompressibel strömning i ett rörsystem utan förgreningar och med homogena förhållanden över tvärsnitt gäller p 1 + ρ V 1 + ρ g z 1 = p + ρ V + ρ g z + p f + ρ w t där index 1 står för sektion 1 (inlopp), index för sektion (utlopp), p är statiskt tryck, ρ fluidens densitet, V hastighet, z vertikal höjd över någon referensnivå, p f tryckförlust p.g.a. irreversibiliteter (alltid större än noll) och w t tekniskt arbete per massenhet (positiv för turbiner, negativ för pumpar och fläktar). 8. Definiera eller förklara kortfattat (a) hydraulisk diameter d h = 4A/P, där A är rörets tvärsnittsarea och P dess våtlagda omkrets (periferi). (b) inloppssträcka vid rörströmning Den sträcka längs ett rör, efter ett inlopp eller en störning vid passage av t.ex. en rörkrök, som krävs för hastighetsprofilens utseende skall bli oberoende av position längs röret. Efter inloppssträckan sägs strömningen vara fullt utbildad. (c) friktionsfaktor f Irreversibel tryckförlust p.g.a. rörfriktion: p f = (fl/d h )ρv /, d.v.s. f = d h p f /(ρlv ), där d h är rörets hydrauliska diameter, L dess längd, V medelhastigheten och ρ fluidens densitet. Strömningen förutsätts fullt utbildad. (d) engångsförlustkoefficient K L Irreversibel tryckförlust p.g.a. virvelbildning m.m. över en rörkomponent: p f = K L ρv /, d.v.s. K L = p f /(ρv ), där V är en referenshastighet, oftast medelhastigheten i det anslutna röret uppströms; ρ är fluidens densitet. 8.3 Skissera hastighetsprofilen vid fullt utbildad laminär resp. turbulent rörströmning. Beskriv speciellt förhållandet mellan medelhastighet och centrumhastighet. Under vilket förhållande kan strömningen garanteras vara laminär? Se Fig. 8.; Fig. 14-0 i Çengel, Cimbala & Turner. Vid laminär strömning är profilen parabolisk och medelhastigheten lika med halva centrumhastigheten; vid turbulent strömning är profilen (tidsmedelvärderad) relativt flat i centrala delar och med mycket stor variation (hastighetetsderivata) invid rörväggen, medelhastigheten är ca. 80% av centrumhastigheten. Laminär strömning garanteras då Re 100 (Re = V d/ν, där V är medelhastigheten; d rörets inre diameter). 8.4 Beskriv hur friktionsfaktorn f beror av relativ ytråhet och Reynolds tal; fullt utbildad strömning, cirkulärt tvärsnitt (Moody-diagrammet). Se Fig. 8.6; Fig. 14- i Çengel, Cimbala & Turner. Relativ ytråhet, ϵ/d, Reynolds tal, Re = ρv d/µ. Laminär strömning: f = C/Re, där C en konstant (C = 64) och Re 100; ϵ/d inverkar inte vid laminär strömning. I ett dubbel-logaritmiskt diagram blir funktionen C/Re en rak linje snett nedåt. Vid turbulent strömning, Re > 4000 (ca.), inverkar ϵ/d. För ett slätt rör (ϵ/d 0) varierar f grovt sett enligt f = C 1 Re 1/4, d.v.s. med mindre lutning nedåt jämfört med laminär strömning. Vid tillräckligt högt Re och turbulent strömning blir f till slut oberoende av Re och enbart beroende av ϵ/d (till höger om streckad linje), ökat ϵ/d ger ökat f. (Observera att alla verkliga rör vid tillräckligt högt Re är skrovliga, oavsett grad av polering/ytfinhet). Christoffer Norberg, tel. 046-8606, christoffer.norberg@energy.lth.se 5