Ordinära dierenialekvaioner ODE:er sean@i.uu.se I is a ruism ha nohing is permanen excep change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver örändring oa i iden Modellen är beskriven i orm av en unkions derivaa a a ˆ Give: unkionens derivaa unkionens angen i varje punk given Sök: unkionen själv Exempel v g c v m v0 vˆ c m c 85 kg dv där cd 0.5kg/m g 9.8 m/s beskriver ex hasigheen hos en allskärmshoppare med massa m graviaionskonsan g rikionskoeicien Här är v g c v och m c g är paramerar m v c
Finns många illämpningar Kemi idsberoende kemiska reakioner molekldnamik Mekaniska ssem ordon roboar Elekriska kresar resisorer mm Celes mekanik asronomi saellier krävs hög noggrannhe Ekonomi Eer diskreisering i rumme av pariella dierenialekvaioner mehods o lines Ec ec Två huvudper Begnnelsevärdesproblem a ˆ Randvärdesproblem x x a a a x b a b b Svängande srängar balkar ec a b Oa rumsberoende och oa rån pariella diar x Nu begnnelsevärdesproblem Senare lie randvärdesproblem Olika varianer av ode:er beroende på högerledes useende Linjära med konsana koeiciener 3+ Linjära med variabla koeiciener Icke-linjära sin + +
3 Oa har man ssem av ode:er Exempel Kan skrivas om på vekororm ˆ 0 ˆ 0 λ λ a a ˆ dvs samma orm som skalära ode:er Grundormen används av numeriska meoder Vad gör man om annan orm ex Kan skrivas om på rä orm Sä ger e ssem av ode:er på rä orm 0 sin + + g c c sin Allmän skrivs om och på vekororm dvs rä orm För högre derivaor görs på samma sä upprepa örarande v v v v v v
Exempel λ + 0 λ sä λ och på vekororm λ Van Der Pols ekvaion se ode-lab beskriver bl a hjärrekvens I MATLAB Deiniera högerlede i en MATLAB-unkion uncion _ouvdplambda % Van der Pols ekv _ou [; lambda*-^*-]; Observera a är nu en vekor där posiion ås genom år genom λ Anrop lambda ; span [0 max03*lambda; 0[;0]; []ode45@vdpspan 0[]lambda; plo; legend _ _ ; ger resulae 4
Några numeriska meoder probleme Eulers meod explici Euler Euler ramå Enkel idé: Punk given begnnelsevärde 0 0 Beräkna en n punk genom a gå längd h i angenens rikning dvs i rikning 0 som ju är lika med 0 0 Upprepa ör punk 3 4 ills ramme vid slue på inervalle Eulers meod Tangenen i 0 n punk Eulers meod Tangenen i beräknas som om unkionen gå genom Ger n punk 5
Eulers meod Tangenen i beräknas som om unkionen gå genom Ger n punk 3 3 Eulers meod Upprepa ills hela inervalle klar 0 3 4 5 6 7 8 Eulers meod Maemaisk ormulering Algorimen k+ k + hk k k k+ k + hk k k k 0 N 0 ˆ Härleds med Taloruveckling 6
Eulers meod Vilka el? Fel i seg Eulers meod Vilka el? Fel i seg Två varianer: lokal el ele som skapas i dea seg grön kor pil global el - oal el i dea seg blå lång pil Eulers meod Vilka el? Fel i seg 3 lokal el ör lie ör a visa graisk global el blå lång pil 7
Eulers meod Vilka el? Fel i seg 3 lokal el grön kor pil global el blå lång pil Eulers meod Vad händer med ele om seglängden minskar? h0.5 Fele blir mindre! Fele beror av h h0. Dea el kallas runkeringsel diskreiseringsel Delas in i Global el oal el i seg k Lokal el ele skapa i seg k Trunkeringsele beror på någo sä av seglängden h Hur de beror av h beror på meod Dessuom illkommer avrundningsel normal mcke mindre än runkeringsel 8
Lokal runkeringsel L k härleds genom a beräkna skillnaden mellan approximaiv lösningen k + beräknad med en numerisk meod och Taloruvecklingen av den exaka k + Lokal el av ordning p+ innebär a L k är en konsan muliplicera med h p + brukar skrivas O h p + Global runkeringsel E k är de ackumulerade ele vid seg k. Svårare a härleda e exak urck men gäller a: E k O h p om L k O h p + Moivering: Eer N seg ås N s lokala el: p N N h + O 0O hp + 0 p p N O h O h h eersom N 0 N h N 0 N h Om en meod har global el O h p säger man a den har noggrannhesordning p N.o beecknar a global el Ek 0 lika snabb som h p 0 Noggrannhesordning år man enklas ram via de lokala ele p+ > n.o. p För Euler gäller: Lokal el O h Global el O h Noggrannhesordning Finns meoder av högre ordning 9
Runge-Kua meoder Idé: väg samman angener i lera punker Exempel samma som idigare: För a hia beräkna angenen i 0 och i och väg samman. Problem: hur hia angenen i? Punken är ju ine känd Runge-Kua meoder Lösning: Använd Euler-lösningen Parallellörla angenen ill punken 0 Runge-Kua meoder Lösning: Använd Euler-lösningen Parallellörla angenen ill punken 0 Väg samman angenerna medelvärde 0
Runge-Kua meoder Dea blir h k k+ k+ k k + k+ k+ h k k 0 ˆ Euler-lösningen eller k k k k k+ k+ hk hk k+ k+ k+ k 0 ˆ [ ] Runge-Kua meoder Meoden kallas ör Heuns meod Har noggrannhesordning Exempel på en -segs Runge-Kua Finns många exempel på olika per av R-Kmeoder alla bgger på samma principer Runge-Kua meoder Anna exempel 4-segs R-K: k k k h h k k+ k+ k 3 h h k k + k + k k4 k+ k+ hk3 h k k+ k+ k+ k+ k3+ k4 6 0 ˆ Noggrannhesordning 4
Runge-Kua meoder Generell s-segs explici R-K k k k i ki k+ ch i k+ h aijkj i s j s k+ k+ h bk i i i 0 ˆ i där aij bi och ci aijär konsaner j Runge-Kua meoder Har s-segs R-K allid noggrannhesordning s? Nej s 4 max n.o. s 5 s 7 max n.o. s- bevisa 963 8 s 9 max n.o. s- bevisa 965 s 0 max n.o. 7 bevisa 985 s max n.o. 8 bevisa 985 En meod med s7 har konsrueras! Noggrannhesordning Vilken bedelse har olika noggrannhesordning? Tes av rel el som unkion av seglängd h ör Euler och Heun
Noggrannhesordning Heun Minskning av h med 0 - ger minskning av el med ca 0 - För a å en given noggrannhe krävs ärre beräkningsseg sörre h jämör med Euler Å andra sidan inneåller varje beräkningsseg ler beräkningar Noggrannhesordning Euler Minskning av h med 0 - ger minskning av el med ca 0 - För a å en given noggrannhe krävs ler beräkningsseg mindre h jämör med Heun Å andra sidan innehåller varje beräkningsseg ärre beräkningar Noggrannhesordning Euler N.o > ele beror av O h Minskning av h med 0 - ger minskning av el med ca 0-0 - Heun N.o > ele beror avo h Minskning av h med 0 - ger minskning av el med ca 0-0 - 3
Noggrannhesordning Man vill normal ha en given noggrannhe i sina beräkningar och seglängd väljs auomaisk eer dea Vale av noggrannhesordning är en avvägning mellan noggrannhe och eekivie Hög n.o. > sor segläng > ärre beräkningsseg Låg n.o. > kor seglängd > många ber. seg Hög n.o > varje beräkningseg innehåller ler operaioner Låg n.o. > varje beräkningsseg innehåller ärre operaioner Oa någonsans miemellan ex n.o. ca 4 vanlig Noggrannhesordning De inns en gräns ör hur noggranna beräkningarna kan bli Avrundningsel börjar dominera Trunkeringsel dominerar sedan ökar ele igen. Beror på a avrundningsele börjar dominera ör mk små h 4