Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER ( ODE) i) En differentialekvation är ordinär om den okända funktionen beror av variabler F(, (, (, (, ( ) 0 (ekv) ----------------------------------------------------------------------- ( ) Om vi löser ut n ( ur (ekv) då säger vi att DE är skriven på normal form: ( n) ( G(, (, (, (, ( ) 0 (ekv) ----------------------------------------------------------------------- Beteckningar: Vi betecknar derivator på tre olika sätt: (4) (5) (, (, (, (, (, ( (Lagranges notation) n d d d d,,,, (Leibniz notation ) n d d d d n D(, D (, D (,,, D ( (Eulers notation) Några eempel på ordinära DE: ( ( ( sin(, z ( t) 5z( t) z( t) t 4 4 d d d dp( u) 4 d S ds tan t, P( u) u, sin(8t), 4 dt dt dt du dt dt D D D D 0 PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER (PDE) ii) Om den okända funktionen beror av eller flera variabler ( då kallas funktionens derivator för partiella derivator ) kallas DE för en partiell differentialekvation T e f f g g (, (, och (, (, 0 är partiella DE EKVATIONENS ORDNING Ordningen av en DE definieras som ordningen hos den högsta förekommande derivatan T e av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning a) Ekvationen 0 4 ( ( ( är av tredje ordningen d d Ekvationen ln är av andra ordningen d d 8 c) Ekvationen ( t) ( t) t är av första ordningen f f d) PDE (, (, 0 är av andra ordningen Uppgift Bestäm ordningen av följande differentialekvationer 4 a) ( ( sin ( d d d tan t dt dt dt 4 f f c) (, (, 0 a) tre fra c) två LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER En DE är linjär om den är linjär med avseende på den obekanta funktionen och dess derivator Detta betder att en linjär ODE kan skrivas på formen ( n) an( a ( a( a( n a0( f ( Om dessutom f ( 0 då är ovanstående ekvation en linjär homogen ekvation Notera att vi har linearitet med avseende på,,, och koefficienter a k ( eller f ( (n) men inga krav på Uppgift Bestäm om följande ekvationer är linjära: a) ( ( ( sin( ( ( ( ( ) c) ' ln d) ln( ' ) e) ' 0 f) ' a) ja nej, eftersom den innehåller uttrcket ( ( ) som inte är linjär c) ja d) nej, eftersom den innehåller uttrcket ln( ' ) som inte är linjär e) ja, f) nej, eftersom den innehåller uttrcket ' som inte är linjär av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning LÖSNING TILL EN DIFFERENTIALEKVATIONEN Definition: En lösning till en ordinär differentialekvation F(, (, (, (, ( ) 0 (ekv) är en funktion f ( som är definierad och deriverbar (därmed kontinuerlig) på ETT INTERVALL (a, och som på detta intervall uppfller det samband som differentialekvationen anger ------------------------------------------------------------------------------------------------- Alltså, funktionen f ( är en lösning på intervallet ( a, om F(, f (, f (, f ( ) 0 för alla ( a, Enligt definitionen är en lösningskurva (dvs grafen till lösningen) kontinuerlig och glatt (derivatan finns i varje punkt) över sitt definitionsintervall ( a, Anmärkning: När vi betraktar en lösning f ( till (ekv ) måste vi alltid tänka på ett intervall ( a, där lösningen eisterar (eistensintervall) Oftast söker vi det största av sådana intervall Eempel eftersom funktionen 4 ( e är en lösning till ekvationen ( 4( 0 4 ( e satisfierar ekvationen ( 4( 0 på intervallet (, ) för varje (, ) Uppgift Bestäm om ( är en lösning till differentialekvationen ( 5( på intervallet (, ) om a) ( e ( Ce där C är ett konstant tal c) ( e 4 a) Först, från ( e har vi ekvationen och får: ( 0e Vi substituerar ( och ( i Vänsterledet VL= ( 5( 0e 5( e ) Eftersom HL = ser vi att VL =HL för alla (, ) Därmed är ( a) ja ja c) nej e en lösning till DE av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning Uppgift 4 Bestäm om ( är en lösning till differentialekvationen ( ( ( 0 om a) ( e ( 0e c) ( e, d) ( ) Ce ( C är ett konstant tal) e) ( ( e a) ja ja c) ja d) ja e) nej Skillnaden mellan en funktion lösningen till DE f ( som formelltt satisfierar en DE och Enligt definition är ETT intervall ( a, alltid kopplad till lösningen En funktion är lösning på ETT intervall om den är kontinuerlig och deriverbar i varje punkt av intervallet och satisfierar DE i varje ( a, f ( Eempelvis funktionen ( formellt satisfierar DE (*) för varje 0 Trots detta säger vi INTE att (, 0 är en lösning till denna DE, utan vi måste ange ETT intervalll ( a, sådan att funktionen uppfller ekvationen i varje punkt i detta intervall Vi kan t e välja ett intervall till höger från 0 Störst av sådana intervall är ( 0, ) : Alltså är (, ( 0, ) en lösning till DE (*) Notera att lösningskurvan är kontinuerlig g och glatt på intervallet ( 0, ) Vi kan även välja ett intervall till vänster från 0, störst av sådanaa intervall är (,0) Alltså är (, (,0) också en lösning till DE (*) 4 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning Uppgift 5 Funktionen ( 4 4 uppfller DE ( 4) 4 i varje punkt Bestäm ( det största) intervallet för lösningen genom punkten a) (, ), (0,0) c) (, ) 5 5 Rita ( med hjälp av ovanstående graf) lösningskurvann i varje fall a) Intervall: (,) Lösningskurvan a: Intervall: (,) c) Intervall: (, ) Lösningskurvan b: Lösningskurvan c: Verifiering om en implicit funktion är en lösning till DE För att verifiera om en implicit relation F(, 0 satisfierar en given DE använder vi implicit derivering (Notera att en implicit relation kan definiera flera eplicita funktioner och därmed flöra lösningar till DE) 5 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning Uppgift 6 Bestäm om funktionen som ges implicit av 4 4, där 0, är en lösning till givna DE på intervallet (,) : a) 4 0 c) 4 Implicitderivering av 4 4 ger 8 0 4 a) Detta substituerar vi i 4 och får: VL= 4 =HL, 4 Därmed är funktionen en lösning till DE i a-delen Anmärkning: Vi kan även ange 4 4 ( där 0 ) på eplicitform verifiera lösningen på detta sätt 4 och 4 a) ja nej, c) ja Verifiering om en stckvis definierad funktion är en lösning till DE Verifiering om en stckvis definierad funktion är en lösning till en given DE gör vi i följande två steg: Steg Vi kontrollerar att funktionen satisfierar ekvationen i inrepunkter i varje delintervall Steg Vi kontrollerar att funktionen har derivatan i intervallens gemensamma ändpunkter (dvs att vänster och höger derivatan är lika i de punkterna) och att DE satisfieras i de punkterna Uppgift 7 0 0 a) Bestäm om funktionen f (, är en lösning till 0 på intervallet (, ) Bestäm största intervallet (a, där funktionen är en lösning till ekvationen a) Steg Genom att substituera 0 i ekvationen får vi VL=0=HL, för alla (och därmed för (,0 ) ) På samma sätt inser vi att ger VL= =HL och därför satisfierar DE för alla ( och därmed för (0,) ) 6 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning Steg Funktionenn f ( 0 0 har uppe enbart i punkten =0 vänster och 0 högerderivatan lika med 0 Därmed är f ( deriverbar i 0 och ( 0) 0 Dessutom 0, 0 och ( 0) 0 satisfierar DE Steg och Steg visar att funktionen f ( är en lösning till DE på intervallet (,) Tillägg: Grafen till f ( 0 0 0 visar att funktionen har lika vänster ochh höger derivatan i punkten =0 Funktionen är en lösning till DE för varje och därmed är (,) det sökta intervallet a) Ja, (, ) Uppgift 8 a) Bestäm om funktionen på intervallet (, ) f ( 0 0, är en lösning tillt 0 a) Steg Genom att substituera 0 i ekvationen får vi VL=0=HL, för alla a (och därmed för (,0) ) På samma sätt inser vi att ger VL= =HL och därför satisfierar DE för alla ( och därmed för (0,) ) 0 0 Steg Funktionenn f ( har uppen nbart i punkten =0 vänster derivatan lika 0 med 0 och högerderivatan lika med Därmed är f ( INTE deriverbar i =0 och därmed är INTE en lösning på intervallet (,) Nej eftersom funktionen saknar derivatan i =0 Anmärkning: Grafen till f ( 0 0 0 visar att funktionen f ( ) inte är deriverbar i punkten =0 (olika vänster och höger derivatan) 7 av 7