Medelsvåra tillämpningsuppgifter i Numeriska metoder

KTH CSC/Nada Gerd Eriksson Medelsvåra tillämpningsuppgifter i Numeriska metoder För avsnitt som inte ingår i kursen: läs gärna i boken Numeriska algoritmer med Matlab, av Gerd Eriksson (kan köpas på CSC/Nada:s expedition). S10: Kulor på snöre: medelsvår version S11: Orunda Hjul S12: Pelaren S13: Havsytans buktning S14: Åskledaren (Lämplig uppgift för en dubbelgrupp på 4 personer). S15: Pilbågen S16: Strömningen S17: Glödtråden

S10: Kulor på snöre: medelsvår version Anna har kulörta kulor av blandade storlekar i en låda. Hon väljer ut några kulor (mellan fem och tio stycken), fäster dem på ett rött sidenband med varierande avstånd och knyter fast bandets båda ändar på lika höjd i köksfönstret. Uppgiften är att rita upp Annas fönsterdekoration. Teori: Häng bandet i x-axeln mellan origo och x = a och låt antalet kulor vara n med massorna m 1, m 2,..., m n. Kulorna är så tunga att sidenbandets vikt är försumbar. Bandlängderna är L 1, L 2, L 3,...,L N där N = n+1. Summan av bandlängderna måste förstås vara större än avståndet a mellan upphängningspunkterna. Det är lämpligt att som obekanta införa de N vinklarna u 1, u 2,..., enligt figuren. Vinklarna uppfyller: π/2 >u 1 u 2... u N > π/2. Motivera det! Rent geometriskt måste följande samband gälla (motivera!) N L i cos u i = a, i=1 N L i sin u i =0 i=1 Spännkraften S i varje bandstump har horisontell och vertikal komponent. Jämvikt kräver att u 1 u 2 S i cos u i = S i+1 cos u i+1, S i+1 cos u i+1 = S i+2 cos u i+2, S i sin u i = S i+1 sin u i+1 + m i g S i+1 sin u i+1 = S i+2 sin u i+2 + m i+1 g Elimineras S i, S i+1 och S i+2 ur dessa ekvationer fås följande samband (motivera!) m i+1 tan u i (m i + m i+1 )tanu i+1 + m i tan u i+2 =0, i =1, 2,...,N 2. Dessa kraftsamband utgör tillsammans med de båda geometriska villkoren ett ickelinjärt ekvationssystem för bestämning av vinklarna. Lös det! Alternativ algoritm som också ska prövas: En idé är att med variabelbyte åstadkomma att ekvationssystemet till största delen blir linjärt. Då skulle det räcka att gissa två värden (t ex u 1 och u N ) och beräkna de övriga med tridia. För de båda återstående ekvationerna kan man inte längre beräkna derivatorna analytiskt, men en modifierad Newton med två-gånger-två Jacobianen approximerad av differenskvoter borde gå bra. Utveckla detta till en användbar algoritm och beräkna alla vinklarna. Kulförsvinnandeproblemet återstår att lösa: Annas pyrotekniskt intresserade pojkvän har i hemlighet preparerat bandet och kulorna och vid nyårsfirandet tänder han på bandet i origo. Det brinner sakta som en stubin utan att gå sönder, men varje gång lågan passerar en kula exploderar kulan och sprider färggrann konfetti över festdeltagarna. Rita upp de olika former kulbandet antar när kula efter kula försvinner, tills så få kulor är kvar att bandet inte hålls sträckt längre. När detta inträffar kommer bandet att anta kedjekurveform: y(x) =a f cosh x x 0 a f a f + y 0 där x 0 och y 0 är koordinaterna för lägsta punkten och a f är formparameter. Beräkna och rita upp hur bandets form förändras då återstående kulor försvinner en efter en. Annas dekorationsdata: a =80, L = [23 10 15 6 20 8 18 15], m =[7253194]. Du ska dessutom lösa problemet för en egen uppsättning data med andra bandlängder och kulmassor (minst sex olika tunga kulor ska snöret ha).

S11: Orunda Hjul På Tekniska museet finns en kugghjulsdrift med ovala hjul. Det finns också cyklar med ovala kedjehjul. Idén är att man ska få det lättare i trampornas vändlägen där man har liten momentarm, och ta igen det i ytterlägena där momentarmen är som störst. Uppgiften är att studera hur omkretsen av konvexa höljet varierar med vinkeln α för följande givna hjul. Det elliptiska hjulets ekvation är för α =0: r(φ) =(acos φ, b sin φ) T med a =3och b =1.5. Då hjulet ( vrids vinkeln ) α blir ellipsekvationen r e (φ) =Sr(φ) cos α sin α där S är vridningsmatrisen. sin α cos α På avståndet L =6längs x-axeln finns ett cirkulärt hjul som i parameterform har ekvationen r c (u) =(L + c cos u, c sin u) T med c =1. För att vi ska kunna beräkna hela omkretsen av konvexa höljet, betraktat som ett omgivande elastiskt sträckt band, måste bandets tangeringspunkter på cirkelns och ellipsens ovansida först bestämmas. Sambanden kan skrivas som ett ickelinjärt ekvationssystem (obekanta är vinkeln u på cirkeln och parametern φ på ellipsen). Motsvarande görs för tangeringspunkterna på undersidan av hjulen. Omkretsen består av fyra delar. De räta linjestyckenas längder och cirkelbågpartiet är lätta att beräkna, men den delen av bandet som löper längs ellipshjulet kräver en numerisk integralberäkning. Rita upp omkretsen av konvexa höljet för α i intervallet 0 α π/2 till exempel med steget dα = π/24. Om det är en otöjbar kedja som omger hjulen, hur stort slack uppstår? Vidareutveckling: Man skulle kunna tänka sig en konstruktion som låter axelavståndet L variera med vinkeln α såattkedjanhelatidenhållssträcktochharlängdenlika med maximala omkretsen ovan. Det gäller alltså att L(α) 6, och det maximala L-värdet uppträder då α =0.BeräknaL max med ekvationslösning. Beräkna och rita upp axelavståndet L(α) i intervallet 0 α π/2 (med samma steg dα = π/24 som tidigare utnyttjats).

S12: Pelaren Japanska hus ställs ofta på stötdämpande pelare för att minska konsekvenserna av en eventuell jordbävning. En sådan cylindrisk pelare med radien R =1 och höjden H =4 pressas samman mellan två parallella plattor, den undre i planet z =0. Vid hoptryckningen behåller pelaren rotationssymmetrin kring z-axeln. Materialet antas vara inkompressibelt, vilket innebär att volymen hålls konstant. Då pelaren trycks ihop bågnar den och dessutom töjs ändytorna ut enligt formeln r = R(1 + G( H/h 1)), där r är cirkelradien när pelaren tryckts samman till höjden h. G är en glidkonstant som anger glidförmågan vid ändytan. G=0 svarar mot oändlig friktion och medför r = R, G =1 betyder perfekt glid. (Visa att perfekt glid i båda ändytorna medför att pelaren inte bågnar utan trycks ihop till en kort och tjock cylinder!) Vi betraktar fallet att G=0 vid övre ändytan och G=0.4 vid den undre. Vinkeln mellan horisontalplanet och den buktiga tvärsnittskurvan i xz-planet är densamma vid övre och undre plattan (se figuren). En kvadratisk bézierkurva är idealisk som modell för kurvan. För rotationsvolymen kan man då använda formeln V = πx 2 żdt (motivera uttrycket). Beräkna och rita under dessa förutsättningar pelarformen för h =3.5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1. Pelarens totalarea inklusive cirkelareorna kommer först att minska vid hoptryckningen, ẋ2 för att vid kraftig kompression åter öka. Rotationsarean bestäms av formeln 2πx +ż 2 dt (motivera detta uttryck). När arean blir större än den ursprungliga spricker ytskiktet och pelaren smulas sönder. Beräkna arean för de sju h-värdena från 1 till 4 och markera punkterna i en figur. Ett uttryck av formen F (h) = c 1 h +c 2 +c 3 h+c 4 h 2 ska nu anpassas till areavärdena. Ge en motivering till varför F (h)-uttrycket troligen är ett gott modellval. Bestäm koefficienterna med minstakvadratmetoden. Beräkna sedan med hjälp av detta uttryck det kritiska h-värde där söndersmulningen börjar.

S13: Havsytans buktning över ett undervattensberg Gravitationen från en kropp ger upphov till en potential. Kring en sfärisk kropp blir ekvipotentialytorna sfäriska. En ostörd vattenyta ställer in sig så att den följer en ekvipotentialyta. Om jordklotet vore en perfekt sfärisk kropp helt täckt av hav skulle havsytan alltså utgöra en perfekt sfär, men så är inte fallet. Man har upptäckt områden i oceanerna där havsytan på grund av gravitationspåverkan från stora undervattensberg ligger många meter över normalnivån. Uppgiften är att beräkna vattenytans buktning över ett undervattensberg som står på en i övrigt plan havsbotten i ett område där havsdjupet är H = 10000 meter. Densiteten för det järnhaltiga berget är ρ b = 7870 och vattendensiteten är ρ v = 1000. Berget antas vara rotationssymmetriskt kring z-axeln med höjden z topp = 9800 moch med basradien R = 8000 m vid havsbotten (planet z = 0). Undersökningen ska utföras dels för ett konformat berg, dels för ett berg format som en halv ellipsoid. Utnyttja cylinderkoordinater (r, ϕ, z) för potentialberäkningen. Eftersom problemet är rotationssymmetriskt kommer potentialen i en punkt att vara ϕ-oberoende och endast bero av höjden ovanför planet z =0och avståndet från symmetriaxeln. Potentialen Q i en punkt (r p,z p ) bestäms av Q(r p,z p )=(z p H) g (ρ b ρ v ) G I(r p,z p ) där g =9.80 är tyngdaccelerationen och G =6.673 10 11 är gravitationskonstanten. I(r p,z p ) är integralen dv s,därs betecknar avståndet från (r p, 0,z p ) till en punkt (r, ϕ, z) inuti berget, och integrationen tas över hela bergvolymen. Trippelintegralen kan uttryckas π ztopp q(z) r I(r p,z p )=2 dr dz dϕ 0 0 0 (r cos ϕ r p ) 2 + r 2 sin 2 ϕ +(z z p ) 2 Härled integranduttrycket! Integrationsgränsen q(z) är bergets radie vid höjden z. Utnyttja trapetsregeln för all numerisk integration, förslagsvis med 100 eller 200 delintervall i r-led och 300 i z-led. Integranden är en snäll periodisk funktion av ϕ och det bör räcka med fyra delintervall i 0 ϕ π. (Motivera detta genom experimentell noggrannhetsbedömning.) Beräkna potentialen Q(r p,z p ) i ett antal punkter strax ovanför den ostörda havsytenivån, till exempel vid z p = H +j för j =1, 2,..., j max, där j max fårvara5ifallet konformat berg, men måste ha ett högre värde i fallet ellipsoidformat berg. Låt det radiella avståndet r p anta värdena 0, 500, 1000, 2000, 4000, 6000, 10000, 20000, 40000, 60000. Använd matlabs contour för att rita ekvipotentialkurvor. Intressantast är förstås nollpotentialkurvan. Hur högt över den ostörda havsytan hamnar den? Ur contour-figuren kan den utläsas tämligen väl. Utnyttja ekvationslösning för att med större noggrannhet bestämma nollpotentialhöjderna vid de tio r p -värdena. Lägg slutligen en fusksplinekurva genom de erhållna punkterna för att åstadkomma en mjukare nollpotentialkurva.

S14: Åskledaren En ledande vertikal pelare formad som en halv ellipsoid tas som modell för en åskledare. Uppgiften är att beräkna ekvipotentialkurvor runt åskledaren under ett åskväder. Potentialen är noll på åskledarens yta och i det horisontella planet (jorden) z =0. Ellipsoiden beskrivs av följande ekvation med a =1, b =2, c = 100, z 0: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 =1 (1) c2 Fördelen med att räkna på en ellipsoidisk ledare i stället för en mycket tunn cylinder är att potentialen V i punkter i rymden utanför ellipsoiden kan skrivas som ett explicit uttryck enligt formeln V (x, y, z) =Ez G(p) G( ) eller G(p) V G( ) Ez =0 (2) E är fältstyrkan på stort avstånd från åskledaren; åskmolnet betraktas som oändligt avlägset och med oändlig utsträckning. Lämpligt värde är E = 200 V/m. Funktionen G(p) är integralen p 1 G(p) = du (3) (1 + ua )(1 + ub )(1 + uc ) 3 2 2 2 och mellan x, y, z och p finns sambandet 0 x 2 a 2 + p + y2 b 2 + p + z2 c 2 =1 (4) + p På planet z =0 och på åskledarens yta där p =0 gäller V =0. Ekvipotentialkurvor önskas för potentialerna 125, 250, 500, 1000, 2000 V,dvs V j =2V j 1. Börja med att beräkna värdet G( ) och visa med analytisk betraktelse att värdet har minst fem korrekta siffror. Ur sambandet (2) kan p-värdet för given potential V j och given höjd z i bestämmas. Det blir ekvationslösning som kompliceras av att integralen (3) ingår. När alla p-värden är kända kan ekvipotentialkurvorna erhållas genom formel (4). För att kurvorna i vertikalplan inte ska bli kantiga behövs många z-värden. Ta till exempel steget δz = 0.5 från z = 100 till z =95, sedan förslagsvis δz = 5 ned till z =20och därefter lite tätare igen till slutvärdet z =10(eller lägre). Eftersom ett stort antal p-beräkningar behöver utföras och var och en innehåller ekvationslösning med integralberäkning är det nödvändigt med en effektiv algoritm. Bra startvärden gör ekvationslösningarna snabbare. En god idé kan vara att beräkna och lagra p-värdena i en matris i ordning från små till stora värden och utnyttja ett tidigare resultat som startvärde, till exempel så här: Börja vid högsta höjden z 1 och lägsta potentialen V 1 och beräkna p 1, 1 ur ekvation (2). Därefter beräknas p 1,j = p(z 1,V j ) för j =2, 3, 4, 5. Fortsätt med nästa rad i matrisen: Bestäm p 2, 1 med p 1, 1 som startgissning, beräkna sedan p 2,j för j =2, 3, 4, 5, och så vidare. Obs! Lösning finns endast om V j /E z i < 1. Om z i är litet och V j är stort finns ingen rot till ekvationen. Förklara varför! Med hjälp av formel (4) kan nu ekvipotentialkurvorna beräknas och ritas. I horisontella plan blir det kurvor av känt slag; rita upp några, t ex vid z = 100, 95, 80, 40. I vertikala plan får kurvorna en mer komplicerad form; rita sådana i de tre vertikalplanen y =0,y=1, y =2. En tredimensionell bild med ekvipotentialytor är trevlig men inte obligatorisk.

S15: Pilbågen Busiga Bertil upptäcker att skolsalens enmeterslinjal är så böjlig att den borde duga till pilbåge. Han spänner ett snöre mellan linjaländarna det råkar finnas små hål just vid nollstrecket och vid enmetersmarkeringen och drar åt snöret så att bågen buktar 30 cm vid mittpunkten. Uppgiften är att bestämma formen på pilbågen. Den blir symmetrisk kring mittpunkten så det räcker att behandla högra halvan av intervallet a x a. För utböjningen y(x) gäller följande differentialekvation [ d 2 y dx 2 + qy 1+ ( ) ] dy 2 3/2 =0 dx där storheten q beror av linjalens materialegenskaper som elasticitetsmodul och tröghetsmoment. Randvillkoren är: y(0) = 0.3, y (0) = 0, y(a) =0. Dessutom finns villkoret att pilbågens längd är exakt en halv meter från x =0till x = a. Det blir fråga om ett ickelinjärt randvärdesproblem med två okända konstanter a och q, ganska komplicerat! Goda startvärden behövs för att de iterativt ska kunna bestämmas. Börja därför med att lösa det förenklade problemet då y -termen försummas, för att sedan kunna utnyttja resultatet som startgissning till det ickelinjära problemet. Förenklingen ger differentialekvationen y + qy=0 med randvillkoren ovan. Visa att lösningen kan skrivas y(x) =0.3cos qx och ange sambandet mellan a och q. Värdet på a bestäms ur villkoret om pilbågens längd. Det blir ett kombinerat integral- och ekvationslösningsproblem där båglängdsintegralen 1+y (x) 2 dx ingår. Då a är bestämd känner vi också q, och därmed hela pilbågsformen y(x). Nu kan den ursprungliga differentialekvationen betraktas igen. För ett givet värde på q innebär de två villkoren vid x =0att vi har ett begynnelsevärdesproblem att lösa, och a-värdet erhålls vid kurvans skärningspunkt med x-axel n. Bestäm denna punkt med stor noggrannhet. Kontrollera därefter hur väl båglängdsvillkoret är uppfyllt. Pröva ett nytt q-värde och automatisera sökandet till en effektiv algoritm för att lösa ekvationen båglängd (q,a(q)) = 0.5, så att pilbågens rätta form erhålls. Rita upp pilbågen och designa slutligen en kubisk bézierkurva som överensstämmer så bra som möjligt med halva pilbågen och har en båglängd på en halv meter.

S16: Strömning intill en vägg Mälaren står ju i förbindelse med Östersjön via Stockholms ström. De mänskliga fiskarna i Mälaren vill gärna att de djuriska fiskarna i Östersjön ska ta sej upp genom strömmen, men torsk och strömming nobbar denna omvända forsränning. Strömmingsskötarna heter den fiskvårdsförening som föreslagit en anordning för att underlätta uppfarten och som kallat dig att utreda förslaget numeriskt. Mitt i strömfåran ska en femton meter lång vertikal vägg sträcka sig från bottnen till ytan. Friktionen gör att vattnets hastighet minskar närmast väggen, och där skulle alltså strömmingen kunna tas sig fram motströms. Det gäller för dig att beräkna hur vattenströmningen kommer att förändras av väggen och vilken kraft väggen kommer att utsättas för. En snabbkurs i hydrodynamik följer! Låt väggen ligga längs x-axeln från origo till x vagg =15.Låtu(x, y) och v(x, y) vara vattnets hastighetskomponenter i x-led respektive y-led. För x<0 och för stora y råder ännu det ursprungliga tillståndet v =0, u=u =1 m/s, men ju närmare väggen man kommer, desto lägre blir hastigheten. En tänkbar fysikalisk modell är blasiusströmning, som ges av två partiella differentialekvationer u u x + v u y = ν 2 u y 2 och u x + v y =0. Här är ν =0.001 m 2 /s den kinematiska viskositeten för geggigt vatten. Blasius införde variabeln η = y u /νx i stället för y och kunde sedan skriva lösningen som u = u f (η), v = νu 4x (ηf f), där f satisfierar följande ordinära differentialekvation med randvillkor ff +2f =0, f(0) = 0, f (0) = 0, f ( ) =1. Lös ekvationen med inskjutningsmetoden! Gör approximationen 10 (motivera vettigheten i detta). En strömming simmar alltid rakt motströms, d v s längs en så kallad strömningslinje som bestäms av differentialekvationerna dx/dt = u(x, y), dy/dt = v(x, y). Rita upp strömningslinjerna för fyra strömmingar som kommer in 10, 15, 20 resp 25 cm från väggen, alltså i punkterna (x vagg, 0.10), (x vagg, 0.15) osv. Viss interpolation blir nödvändig för högerledsberäkningen vid lösningen av differentialekvationerna. Genom att studera hastighetens belopp på strömmingens väg kan man avgöra hur pass mycket väggen underlättat fiskens uppfart. Den kraft väggen utsätts för motsvaras av vattnets hastighetsminskning eller mera korrekt rörelsemängdsminskningen per tidsenhet. Låt H =4 vara vägghöjden. Genom tvärsnittsarean Hdy strömmar varje tidsenhet massan ρuhdy och dess hastighetsminskning jämfört med urtillståndet är u u, vilket ger uttrycket för kraften νx F =2ρH u (u u) dy =2ρH u (u u) dη. 0 u 0 Insättning av x = x vagg Beräkna den! =15mochρ = 1000 kg/m 3 ger totala kraften i newton.

S17: Glödtråden Betrakta randvärdesproblemet d 2 u dx 2 = σu4 I 2 R(u), u(0) = 10, u (L/2) = 0. Problemet är att finna temperaturfördelningen u(x) i en strömförande metalltråd med längden L =0.40 m, då trådändarna hålls vid den mycket låga temperaturen 10 K. På grund av symmetrin räcker det att betrakta halva trådens längd med randvillkoren ovan. Resistiviteten i tråden är temperaturberoende: R(u) = 2 + 0.05 u ln u. Strålningskonstanten är σ =10 7. Man vill först lösa problemet då strömmen I är fem ampere. Använd finitadifferensmetoden och gör diskretisering i N intervall. Visa hur randvärdesproblemet kan approximeras av ett ickelinjärt ekvationssystem. Lös systemet dels för N =40dels för N =80. Fortsätt att fördubbla om du tycker att noggrannheten är otillräcklig. Rita upp temperaturfördelningen i tråden. Vi vill också finna temperaturfördelningen i tråden då strömstyrkan är betydligt högre, ända upp till 50 A. När strömmen är så stark blir tråden glödhet på mitten men är fortfarande ytterst kall i ändarna. Det kan vara knepigt att hitta fungerande startgissningar. Fundera ut en lämplig algoritm som successivt löser mellanliggande temperaturfördelningsproblem först för strömstyrkor strax över 5 A och därefter lagom strömhöjning. Algoritmen bör därmed klara av att beräkna de knepiga temperaturfördelningskurvorna som höga strömstyrkor ger upphov till. En annan tänkbar algoritm för randvärdesproblem är inskjutningsmetoden. Gör nu en jämförande studie genom att också pröva denna metod på glödtrådsproblemet först vid den låga strömstyrkan 5 A, därefter vid allt högre strömstyrkor.