5C1201 Strömningslära och termodynamik

5C1201 Strömningslära och termodynamik Föreläsning 4: Introduktion till viskös strömning Målsättning: att formulera det s.k. vidhäftningsvillkoret och diskutera konsekvenser av detta, att formulera och diskutera sambandet mellan skjuvspänngingen och deformationshastigheten i en fluid, att definiera begreppet viskositet, att presentera och diskutera skillnaden mellan laminär och turbulent strömning samt att definiera och fysikaliskt tolka Reynold tal. Det material som behandlas i denna föreläsning återfinns i M7 1.6, 1.9 och 5.3.1. Några diagram återfinns även i App. 2. Förståelsen av 5.3.1 underlättas om du även läser början av kap. 5. Detaljerade hänvisningar ges även nedan. 4.1 Vidhäftningsvillkoret Viskos stromning mellan parallella vaggar Stationar och viskos stromning mellan tva plana parallella vaggar. Relativhastigheten ar V. Tva observationer: Fluiden "haftar vid" vaggarna sa att relativhastigheten mellan vaggen och uiden = 0. Detta galler for alla viskosa uider och kallas vidhaftningsvillkoret (eng. no-slip condition). Friktionskraften fran uiden pa den undre respektive den ovre vaggen ar Fl V h ^x F u ; V h ^x sl05001s 010913 ( cak) Bild 1: Bild 1 beskriver ett enkelt experiment som kan tjäna som utgångspunkt i denna diskussion. En fluid fyller helt den smala spalten mellan två plana parallella väggar. 1

Väggarnas utsträckning i x- ochz-led förutsätts vara stor relativt avståndet h mellan väggarna. Väggarna rör sig relativt varandra så att relativhastigheten är V.Experimentet studeras från ett referenssystem fixt i den undre väggen. Vidensådant experiment kan man observera två saker. För det första att relativhastigheten mellan fluiden och väggen = 0, man säger att fluiden häftar vid väggen. Detta kallas vidhäftningsvillkoret. En vanlig tillämpning är som randvillkor till de differentialekvationer som beskriver strömningen. En andra observation är att friktionskraften mellan fluiden och en av väggarna dels är direkt proportionell mot relativhastigheten V och dels omvänt proportionell mot avståndet h mellan väggarna. Kvoten V/h representerar i detta enkla experiment något som kallas deformationshastigheten i fluiden. En grundförutsättning för resonemangen ovan är att fluiden är normal. Vad som här avses med normal kommer att diskuteras närmare senare i denna föreläsning. Vidhäftningsvillkoret Frνan White, F.M., Viscous Fluid Flow, 2nd Ed., Fig. 1.11 Frνan van Dyke, M., An Album of Fluid Motion, fig. 30. Strömning invid en plan vägg. Notera att relativhastigheten mellan plattan och fluiden är = 0. Strömning i inloppet till ett rör. Notera att relativhastigheten mellan rörväggarna och fluiden är = 0. sl05002s 020906 ( cflak) Bild 2: I bild 2 visas två visualiseringar som konfirmerar att vidhäftningsvillkoret gäller. I den vänstra delen av bilden visar den viskösa strömningen invid en plan vägg. Väggen är det mörka partiet i bildens nederkant. Strömningen har visualiserats genom att en elektriskt puls skickats genom en vertikal tråd (den mörka linjen i bildens vänsterkant). Därvid sker en kemisk reaktion i fluiden och det är spåret av dessa reaktionsprodukter man ser. Avståndet mellan tråden i bildens vänsterkant och fronten för dessa kemiska reaktionsprodukter är ett mått på fluidens hastighet parallellt med väggen. Vidhäftningen vid väggen framgår av att fluiden alldeles invid denna inte förflyttat sig från tråden. Till höger visas strömningen nära inloppet i ett rör. Fluiden kommer från en stor behållare till vänster (som i huvudsak ligger utanför bilden) och strömmar in i röret via ett väl avrundat inlopp. Fluiden är i detta fall vatten och strömningen har även här 2

visualiserats med hjälp av en elektriskt ledande tråd och en serie strömpulser genom denna. Därvid har det i detta fall bildats vätgasbubblor som man kan se med lämplig belysningsteknik. Även här framgår att fluiden häftar vid rörväggarna. Man ser också att det område där fluiden påverkas av uppbromsningen nära väggen växer i tjocklek ju längre in i röret fluiden kommer. Ett sådant område med viskös strömning nära en fast vägg kallas gränsskikt. Utanför ett sådant visköst gränsskikt kan strömningen i allmänhet betraktas som friktionsfri. Nar/var ar en stromning viskos? Nara alla fasta vaggar. Vid yttre stromning i ett tunnt skikt (gransskiktet) narmast det omstrommade objektet samt i en vak nedstroms detta. Vid inre stromning, som exempelvis i langa ror, ar viskositeten en dominerande egenskap som bestammer stromningen. I korta och vida kanaler ar forhallandena i allmanhet jamforbara med yttre stromning. ; yttre strömning inre strömning sl05006s 010913 ( cak) Bild 3: Vidhäftningsvillkoret är en central egenskap i ett visköst strömningsfält. Olika områden där strömningen kan förväntas vara viskös presenteras i bild 3. Innan vi går vidare behöver vi definiera begreppet plan strömning. Detta sker i bild 4. Notera att plan strömning kan beskrivas med två rumskoordinater men att alla strömningsfält som kan beskrivas med enbart två rumskoordinater inte nödvändigtvis är plana. Exempelvis gäller att axiell strömning i ett rör med cirkulärt tvärsnitt i allmänhet är 2-dimensionell men den kan aldrig vara plan! 4.2 Skjuvspänning och deformataionshastighet Som visas i bild 5 är skjuvspänningen τ i alla normala fluider proportionell mot deformationshastigheten γ. Proportionalitetskonstanten är fluidens viskositet µ enligt bild 6. Jämför detta med vad som gäller för de elastiska material som behandlas i hållfasthetsläran. Där är spänningar proportionella mot deformationer. I vissa sammanhang dyker kvoten mellan viskositeten µ och fluidens densitet ρ upp. Det är då ändamålsenligt att förainenbeteckningför denna kvot och den kallas kinematisk viskositet, se bild 6. Se även M7 1.6.4. Exempel på newtonska fluider är luft (och, förmodligen, alla gaser), vatten, oljor etc. 3

Plan stromning Om man kan nna ett kartesiskt koordinatsystem xyz sadant att stromningen enbart beror av tva av dessa koordinater (har x och y) och ar oberoende av den tredje (har z) sa sager man att stromningen ar plan. Notera att all plan stromning ar 2-dimensionell men att all 2- dimensionell stromning ej ar plan! sl05007s 010913 ( cak) Bild 4: Fluidens viskositet är i allmänhet temperaturberoende. Den stiger normalt med ökande temperatur för gaser och avtar för vätskor. Se bilderna 8 och 9. Notera att i ett allmänt, tre-dimensionellt, spännings- och deformationstillstånd är både spänningen och deformationshastigheten tensorer som kan representeras med 3 3 matriser. I denna kurs kommer vi dock endast att behandla enkla spänningstillstånd Deformation och deformationshastighet N [ [ I en "normal" uid ar skjuvspanningen proportionell mot deformationshastigheten d=dt _. / _ Betrakta ett ratblock som utsatts for en skjuvspanning (= kraft per ytenhet i ytans tangentriktning). Ratblocket deformaras vinkeln. Jamfor med en elastisk kropp dar skjuvspanningen ar proportionell mot deformationen (Hookes lag). sl05003s 010913 ( cak) Bild 5: 4

Newtons skjuvspanningsansats och newtonska uider I de esta uider har man ett linjart samband mellan skjuvspanningen och deformationshastigheten _ = _ ar en material"konstant" kallad uidens viskositet. Den kallas aven absolut viskositet eller dynamisk viskositet. En sadan uid sags vara en newtonsk uid. Alla andra uider kallas icke-newtonska uider. Man denierar aven en s.k. kinematisk viskositet = = dar ar uidens masstathet. sl05004s 010913 ( cak) Bild 6: där det räcker med en skalär representation. De koncept som presenteras i bilderna 5 och 6 återfinns också im7 1.6.1. Läs det! Icke-newtonska fluider stress = (skjuv)spänning rate of shear = deformationshastighet Frνan Massey & Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7th Ed., x1.6.6 Notera att det även finns ickenewtonska fluider som inte täcks in av ett enkelt samband mellan enbart (skjuv)spänningen fi och deformationshastigheten _fl. Spänningen i fluiden kan t.ex. även vara beroende av deformationshistorien. sl05005s 020906 ( cflak) Bild 7: All fluider är dock inte newtonska. Relationen mellan skjuvspänningen och deformationshastigheten är inte alltid linjär vilket visas i bild 7. Läs också M7 1.6.6. Om man slammar upp en stor mängd små partiklar i en vätska, t.ex. vatten, får 5

man en fluid som kan approximeras som Bingham-plastisk. Blod är en fluid med egenskaper som påminner om både en Bingham-plastisk och en pseudo-plastisk fluid. I detta sammanhang är det även lämpligt att definiera en ideal vätska (eng. ideal fluid). Detta är en approximativ modell för en fluid. I en strömning av en ideal vätska försummas både den inre friktionen (viskositeten) och kompressibiliteten. Att strömningen är inkompressibel och friktionsfri kan alltså kort uttryckas med att man har strömning av en ideal vätska. Se även M7 1.6.7. Ett exempel på en fluid som inte ryms i diagrammet i bild 7 är s.k. tixotropa målarfärger. När man börjar röra runt i färgburken är det mycket trögt och tungt. Men ju längre man håller på destolättare blir det att röra. Det beror på attskjuvspänningen i en tixotrop fluid beror av deformationshistorien och att skjuvspänningen minskar om man håller på och deformerar en sådan fluid (dvs. rör runt i målarfärgsburken). Den primära orsaken till att göra målarfärger tixotropa är att man inte vill att färgen ska rinna då manmålet en vertikal yta. Om man rör i burken då ochdåär färgen lätt att stryka på (detkrävs små skjuvspänningar för den deformation färgen utsätts för i penseln). Men när det väl är gjort slutar man deformera och därmed växer den skjuvspänning som erfordras för en given deformation snabbt med tiden. Viskositeten for vatten och luft Vatten: Temp. 10 ;3 [ C] [kg/(ms)] 0 1,787 20 1,002 40 0,6654 60 0,4665 80 0,3547 100 0,2818 Luft: Temp. 10 ;5 [ C] [kg/(ms)] ;31,6 1,539 0 1,708 18 1,827 40 1,904 54 1,958 74 2,102 229 2,638 sl05009s 010917 ( cak) Bild 8: I bild 8 visas viskositetsdata för vatten och luft och i bild 9 för några andra fluider. Notera att viskositeten för vatten och andra vätskor avtar med ökande temperatur medan den växer för luft och andra gaser. Förklaringen till detta ligger på skillnader på molekylär nivå mellan vätskor och gaser. Detta diskuteras strax mer utförligt i anslutning till bild 10. Till bild 9 finns ett litet lexikon i tabell 1. Då spänningstillståndet är enkelt kan man göra sig en ganska klar fysikalisk bild av vad som orsakar viskositeten i en fluid. Dock måste man inskränka sig till gaser, 6

Viskositeten for nagra uider Fran Massey & Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7th Ed., Fig. A2.1 sl05010s 010917 ( cak) Bild 9: air luft mercury kvicksilver ammonia ammoniak methane metan brine saltvatten petrol bensin crude oil råolja saturated steam mättad vattenånga fuel oil brännolja superheated steam överhettad vattenånga kerosene fotogen water vatten Tabell 1: Lexikon till bild 9. närmare bestämt något som kallas en ideal gas. I en sådan kan man försumma alla effekter av krafter mellan gasens molekyler. Betrakta därför för enkelhets skull ett enkelt s.k. skärskikt i en plan strömning enligt figuren i bild 10 (dvs. hastighetsfördelningen är u = u(y),v = 0). Se även M7 1.6.2. Tag två skikt av fluiden intill varandra med hastigheterna u resp. u + δu. Molekylerna i dessa skikt rör sig med dessa makroskopiska hastigheter. Överlagrat på detta har man på molekylär nivå en termisk fluktuation(även kallad Brownsk rörelse). Denna termiska fluktuation orsakar att molekyler från det övre skiktet, med den makroskopiska hastigheten u+δu, hoppar ned till det undre och omvänt. Molekylerna från det övre skiktet (hastighet u + δu) anpassar sig sedan till hastigheten (u) i det undre genom kollisioner med molekylerna i detta. Vid dessa kollisioner överförs rörelsemängd vilket är ekvivalent med att detta utbyte av molekyler mellan skikten ger upphov till en friktionskraft (eller skjuvspänning) mellan dessa. Notera att man har en transport av rörelsemängd ortogonalt mot strömningsriktningen och riktad mot den lägre hastigheten. Ökas temperaturen i den ideala gasen ökar också intensiteten i de termiska fluktu- 7

Den inre friktionen i en ideal gas ideal gas = inga intermolekylara krafter plan stromning, enkelt s.k. skarskikt utbyte av molekyler mellan skikt p.g.a. termiska uktuationer i gasen transport av rorelsemangd i y-led = friktionskraft mellan skikten sl05011s 010918 ( cak) Bild 10: ationerna. Därvid ökar skjuvspänningen vilket förklarar varför viskositeten växer med temperaturen i gaser. För vätskor dominerar effekten av de intermolekylära krafterna över den från de termiska fluktuationerna. Dessa intermolekylära krafter verkar repelleranda påsmå avstånd (något större än molekylens diameter) och attraherande på stora. Den attraherande kraften är störst vid något relativt litet avstånd (några molekyldiametrar) för att sedan klinga av med ökat avstånd. Denna attraherande kraft mellan molekylerna i de två skikt som beskrevs ovan är upphovet till friktionen mellan skikten. Då vätskans temperatur ökar så ökar även avståndet mellan molekylerna. Därvid minskar storleken på den attraherande kraft vilket i sin tur förklarar varför viskositeten sjunker med ökad temperatur i vätskor. Deformationshastigheten i några av de enkla spänningstillstånd som behandlas i denna kurs visas i bild 11. Härledningen av dessa uttryck återfinns som övningsexempel Ev I.1-3 där det finns lösning till exemplen 1 och 3 i lösningshäftet. En liten utvikning från detta, som här kan betraktas som överkurs, visas i bild 12. Denna bild visar hur en allmän rörelse och deformation av ett litet fluidelement kan delas upp som summan av en translation, en linjär deformation, en rotation och en vinkeldeformation. Fluidelementets deformationshastighet γ ges av elementets rotation och vinkeldeformation. Om dessa tillsammans ger att elementets undre horisontella kant vrids medurs vinkeln δα under tiden δt och elementets vänstra kant moturs vinkeln δβ är deformationshastigheten γ = lim δt 0 = δα + δβ δt 8

Tre enkla exempel pa deformationshastighet _ = du dy _ = du dr d u _ = r dr r sl05008s 010913 ( cak) Bild 11: I ett kartesiskt system (x, y) med hastighetskomponenterna (u, v) ger detta γ = v x + u y Inom ramen för denna kurs behandlar vi dock bara enkla spänningstillstånd som de som visas i bild 11. Plan rörelse och deformation av ett litet fluidelement Frνan Munson, B.R., Young, D.F. & Okiishi, T.H., Fundamentals of Fluid Mechanics, Fig. 6.1. sl05016s 020906 ( cflak) Bild 12: 9

4.3 Laminära och turbulenta strömningar Viskös strömning kan vara antingen laminär eller turbulent. Detta visades i en klassisk serie experiment som genomfördes av Reynolds omkring år 1880. Bild 13 innehåller de illustrationer till detta experiment som finns i M7 och i bild 14 finns motsvarande illustrationer som ursprungligen kommer från Reynolds originalpublikation. Reynolds experiment Fran Massey & Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7th Ed., x1.9.1 sl05012s 010918 ( cak) Bild 13: Vatten strömmar ut från en stor tank genom ett glasrör. Glasrörets inlopp har väl rundade kanter. I mynningen på glasröret släpper man in färg för att visualisera strömningen. Flödet genom röret kontrolleras med en ventil. Före experimentets början fick vattnet i tanken stå tillräckligt länge för att alla rörelser orsakade av påfyllningen av tanken skulle dämpas ut. Reynolds fann att då flödet var lågt följde färgstrålen strömningen i röret utan att blandas med vattnet (figur a i bild 13). Ökades flödet genom röret fick färgstrålen en vågform (figur b i bild 13). Ökades flödet ännu mer blev denna instabilitet i färgstrålen intensivare och till slut bryts den sönder och färgen blandas över hela tvärsnittet (figur c i bild 13). Reynolds fann alltså att vid låga flöden var strömningen laminär (figur a) och vid höga turbulent (figur c). Däremellan finns ett område, eller intervall i flödet, där det börjar dyka upp begynnande instabiliteter i strömningen. Reynolds själv ger följande beskrivning, hämtad från originalpublikationen i Proceedings of the Royal Sociiety från 1883. When the velocities were sufficiently low, the streak of colour extended in a beatiful straight line across the tube, Fig. a. If the water in the tank had not quite settled to rest, at sufficiently low velocities, the streak would shift about the tube, but there was no appearance of sinuosity. As the 10

Reynolds experiment Fran Anderson, Introduction to Flight, 4th Ed., x4.25 sl05013s 010918 ( cak) Bild 14: velocity was increased by small stages, at some point in the tube, always at a considerable distance from the trumpet or intake, the colour band would all at once mixup with the surrounding water, as in Fig. b. Any increase in the velocity caused the point of break-down to approach the trumpet, but with no velocities that were tried did it reach this. On viewing the tube by the light of an electric spark, the mass of colour resolved itself into a mass of more or less distinct curls showing eddies, as in Fig. c. Notera att det vi idag kallar turbulens kallas av Reynolds (och hans samtida) för sinuosity. Notera Reynolds observation då strömningen är turbulent av både en kraftig omblandning och av att strömningen är full av virvlar av olika storlek. Bild 15 visar en visualisering av dels hur en laminär strömning kan destabiliseras och slå om till turbulent och dels det breda spektrum av längdskalor för de virvlar som finns i den turbulenta strömningen. Den turbulenta strömningen är alltså fullavvirvlarsomär överlagrade på ett tidsmedelvärde av hastigheten vilket visas i bild 16. Dessa virvlar leder till en kraftig omblandning och ökad transport av rörelsemängd, värme och andra storheter i strömningen. Jämför nu med resonemanget i anslutning till bild 10. Inte bara molekyler utan hela fluidpaket förflyttas mellan skikt givna av tidsmedelvärdet av strömningen. En ökad transport av rörelsemängd leder till en ökning av den inre friktionen. Ur denna synpunkt kan en turbulent strömning vara negativ men det finns dock fler aspekter som inverkar. Ett resonemang om detta måste därför vänta till föreläsning 8. Notera dock att en ökad transport av värme är en god egenskap i t.ex. en värmeväxlare och vid strömning förbi kylflänsar. I dessa fall är det alltså önskvärt med ett turbulent strömningsfält. 11

Laminar respektive turbulent stromning Luft strommar fran vanster till hoger genom en perforerad plan platta. Luftstrommen visualiseras med rok. Uppstroms plattan rader laminar stromning. Plattan destabiliserar den laminar stromningen. Ett omslag sker till turbulent stromning. Fran van Dyke: An Album of Fluid Motion, Fig. 152 Notera det breda spektra av langdskalor for virvlarna i den turbulenta delen av stromningen. sl05014s 010924 ( cak) Bild 15: Tittar man på en av hastighetskomponenterna i en punkt och hur denna varierar med tiden skiljer sig en laminär och en turbulent strömning kraftigt. I bild 17 visas en registrering av typiska sådana variationer i en punkt i ett rör då strömningen dels är laminär och dels turbulent. Notera de kraftiga fluktuationerna runt tidsmedelvärdet som är typiska för den turbulenta strömningen. Virvlar och omblandning i en turbulent strömning Ett turbulent strömningsfält är fullt med virvlar med ett brett spektrum av längdskalor. Längdskalorna spänner frνan mikroskopisk storlek upp till längdskalan för det objekt eller den kanal strömning sker kring eller genom. Frνan Munson, B.R., Young, D.F. & Okiishi, T.H., Fundamentals of Fluid Mechanics, Fig. 8.16. Virvlarna medför en kraftig omblandning i fluiden och en kraftig ökning av transporten av storheter som t.ex. rörelsemängd och värme. sl05017s 020906 ( cflak) Bild 16: 12

Hastighetsfluktuationer dνa strömningen är laminär respektive turbulent Den undre kurvan visar u A dνa strömningen är laminär. Frνan Munson, B.R., Young, D.F. & Okiishi, T.H., Fundamentals of Fluid Mechanics, Fig. 8.4. Kurvorna visar den axiella hastighetskomponenten u A i en punkt A i ett rör. Om flödet genom röret, och därmed u A, ökas tillräckligt mycket sker ett omslag till turbulent strömning. Den övre visar hur u A dνa fluktuerar. Mittkurvan är för ett flöde dνa strömningen varken är laminär eller turbulent utan är pνa väg att slνa om mellan dessa. Notera utbrotten av kraftiga fluktuationer i u A. sl05018s 020906 ( cflak) Bild 17: Till slut en liten varning! Alla strömningar där hastigheten fluktuerar och som innehåller virvlar måste inte vara turbulenta. Bild 18 visar en instationär och laminär strömning som innehåller tydliga virvlar. Längskalorna för dessa virvlar har dock, i detta fall, inte det breda spektrum som karakterisera en turbulent strömning. En instationär och laminär strömning Frνan van Dyke: An Album of Fluid Motion, Fig. 96 sl05019s 020905 ( cflak) Bild 18: 13

Fysikalisk tolkning av Reynolds tal troghetskraft = massa acceleration l 3 U U l = U 2 l 2 En uidpartikel for sig langs sin stromlinje och paverkas av bl.a. en viskos kraft och troghetskraften. viskos kraft = area skjuvspanning l 2 U l = U l Problemets langdskala ar l och dess hastighetsskala U. troghetskraft viskos kraft U 2 l 2 U l = U l Uppskatta kvoten troghetskraft viskos kraft Denna kvot ar alltsa proportionell mot Reynolds tal Re. sl05015s 010925 ( cak) Bild 19: 4.4 Reynolds tal Avgörande för om en viss viskös strömning är laminär eller turbulent är balansen mellan den tröghetskraft och den viskösa kraft som verkar på små fluidelement. En uppskattning av kvoten mellan dessa krafter visas i bild 19 och den kallas Reynolds tal. Detta är en mycket central storhet i all viskös strömning och vi kommer att återkomma till denna kvot hela tiden. Några kommentarer kan dock vara på sinplatshär. Längdskalan vid yttre strömning är någon lämplig dimension på den omströmmade kroppen, t.ex. diametern på en cylinder eller sfär, kordan på en flygplansvinge, längd eller bredd på en bil etc. Vid inre strömning väljer man lämpligen diametern om det är ett rör, annars någon längd som är typisk för kanalens tvärsnitt. Hastighetsskalan vid yttre strömning kan lämpligen väljas som den ostörda strömningshastigheten relativt kroppen långt uppströms om denna. Om kroppen rör sig genom en stillastående fluid är denna samma som kroppens hastighet. Vid inre strömning kan man välja medelhastigheten i röret, kanalen eller spalten. Notera att Reynolds tal är proportionell mot kvoten mellan tröghetskraften och den viskösa kraften inte lika med denna kvot! Detta innebär att storleksordningen på Reynolds tal kan skilja sig mycket mellan olika problemtyper. Från tolkningen ovan av Reynolds tal framgår att Re stort tröghetskrafter dominerar Re litet viskösa krafter dominerar Då tröghetskrafterna dominerar är strömningen i allmänhet turbulent. Viskösa krafter stabiliserar strömningen och leder till att den blir laminär. 14