0. Introduktion, matematisk bakgrund

Relevanta dokument
Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1 Några elementära operationer.

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem

Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys

Integraler av vektorfält Mats Persson

VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

1 Vektorer och tensorer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Cartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Vektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Tentamen: Lösningsförslag

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

Tentan , lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

21 Flödesintegraler och Gauss sats

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Kursanvisningar. Lektion 1 1 Repetition av vektoranalysens grunder. Skalära fält och vektorfält. KREYSZIG 9: Kapitel Kompendiet: Kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

22 Vektoranalys och flödesintegraler

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

y= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Vektorgeometri för gymnasister

October 9, Innehållsregister

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

SF1626 Flervariabelanalys

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Transkript:

0. Introduktion, matematisk bakgrund Kai Nordlund vt. 2013. Dessa anteckningar baserar sig i mycket stor utsträckning på anteckningarna förberedda av FD Krister Henriksson till kursen ht. 2005. Vissa delar, speciellt avsnitten om spridning och relativitetsteori, baserar sig till stor del på de tidigare anteckningarna av Prof. Dan Olof Riska. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.1 0.1. Introduktion Denna kurs behandlar klassisk elektrodynamik, läran om elektricitet och magnetism i både statiska och dynamiska tillstånd. Detta är en del av fysiken som är helt klassisk i den bemärkelsen att den har inga som helst kvantmekaniska bidrag. Detta är en av de allra starkaste grenarna av fysiken i att den baserar sig på några enkla matematiska ekvationer som är extremt väl baserade på, och testade mot, experiment. Verkligheten är givetvis kvantmekanisk, och den kvantmekaniska generaliseringen av elektrodynamik quantum electrodynamics, QED) är numera väl känd. Men den klassiska gränsen fungerar så bra i makroskopiska och tom. atomnivås fall att QED behövs sällan utanför elementarpartikelfysiken. Denna kurs behandlar inte QED, och kräver inga insikter i kvantmekanik. Det att atomer består av kärnor som omkretsas av elektroner antas vara känt för studeranden, men inte de kvantmekaniska orsakerna till det. Däremot har klassisk elektrodynamik ett mycket intressant samband med den speciella relativitetsteorin som ju inte är en kvantmekanisk teori). Denna behandlas i slutet av kursen. Elektrodynamiken är naturligtvis extremt viktig i olika grenar av fysiken och i tillämpningar. T.ex. plasmafysiken grundar sig helt på elektrodynamik, elektrostatiska växelverkningar är centrala i molekylfysiken, magnetism i fasta tillståndets fysik, osv. Grundekvationerna i elektronik kan härledas Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.2

från elektrodynamiken, så därmed är hela elektronikindustrin i grund och botten beroende av elektrodynamik. På denna kurs behandlas dock inte tillämpningar annat än i förbifarten i några exempel. Praktisk information om kursen finns på dess hemsida. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.3 0.2. Matematisk bakgrund [RMC, Arfken, Lahtinen] Elektrodynamiken grundar sig i mycket stor utsträckning på vektoralgebra. Därför repeteras här några centrala begrepp och ekvationer i den. På kursens hemsida finns också litet nyttig tilläggsinformation. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.4

0.3. Centrala vektorbegrepp En vektor med storleken F betecknas F eller F. I komponentform, i Cartesiska koordinater, skriver man F = F x x + F y ŷ + F z ẑ F 1 x + F 2 ŷ + F 3 ẑ F x, F y, F z ) F x i + F y j + F z k 0.1) På denna kurs använder vi främst de första två beteckningstyperna. Skalärprodukten av vektorerna A och B är A B = i A i B i A B cos α, 0.2) där α är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprojektionen av A på vektorn n är där n = n. A n = A cos α = A n = A n n 0.3) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.5 Vektorprojektionen är skalärprojektionens längd gånger enhetsvektorn för riktningen: A n = A n n = A n) n = A n n n = A n n n 0.4) 2 Vektorprodukten av vektorerna A och B är A B = ɛ ijk û i A j B k = ijk x ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z = AB sin α n, 0.5) där n är en enhetsvektor vinkelrät mot A och B, och ɛ ijk är Levi-Civitas symbol: ɛ ijk = +1, ijk) = 123), 231), 312) 1, ijk) = 132), 213), 321) 0, i = j, j = k, i = k 0.6) Arean av ett parallellogram som spänns upp av vektorerna A och B är A B. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.6

Trippelprodukten av vektorerna A, B och C är A B C) = A x A y A z B x B y B z C x C y C z 0.7) Volymen av en parallellepiped som spänns upp av vektorerna A, B och C är A B C). Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.7 0.4. Vektor-identiteter A B = B A 0.8) A B C) = A B) C 0.9) A B C) = BA C) CA B) 0.10) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.8

0.5. Gradient, divergens, rotor, och Laplaceoperatorn Gradienten av ett skalärfält f = fx, y, z) definieras i Cartesiska koordinater som r f = x f x + ŷ f y + ẑ f z. x xf + ŷ y f + ẑ z f. 0.11) Här betecknar underindexet att derivatan tas med avseende på positionen r = x, y, z). Derivatorna kan tas med avseende på en godtycklig punkt s = t, u, v) och gradienten betecknas då s. Om inget underindex ges, är det underförstått att derivatan är med avseende på x, y, z). Gradienten kan grovt sagt förstås vara en 3-dimensionell derivata. Divergensen av vektorfältet A = Ax, y, z) = A x x, y, z) x + A y x, y, z)ŷ + A z x, y, z)ẑ definieras som A = i A i x i = x A x + y A y + z A z. 0.12) Rotorn definieras som Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.9 A = x ŷ ẑ x y z A x A y A z. 0.13) Laplaceoperatorn på skalärfältet f definieras som f) 2 f = 2 x f + 2 y f + 2 zf. 0.14) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.10

0.6. Potentialteori [Lahtinen] Låt f vara ett skalärfält och u ett vektorfält. Om u = 0 0.15) sägs u vara irrotationell. Teorem 1: f = u om och endast om u är irrotationell. Skalärfältet f är nu vektorfältets u potential. Teorem 2: f = u om och endast om är oberoende av kurvan mellan A och B. B A dr u 0.16) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.11 Teorem 3: Om f = u, så gäller att där C är nån kurva från r 0 till r. fr) fr 0 ) = dr u, 0.17) C Teoremen säger att f = u, B dr u oberoende av vägen, och u = 0 u irrotationell) är A helt ekvivalenta egenskaper. I klartext: Om vi känner u kan vi bestämma u. Om detta uttryck är noll vet vi att det existerar en potential f, för vilken gäller att B dr u är oberoende av vägen. Potentialen själv ges sedan A av teorem 3. Inom fysiken kallas irrotationella fält konservativa. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.12

Exempel : Gravitationsfältet F = Gm 1 m 2 r/r 2. Vektorfältet är nu väsentligen faktorn r/r 2! r r 2 x ŷ ẑ = x y z x y z x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 = x 3 2yz 2 r 2zy ) + ŷ 3 2zx 5 r 5 2 r 2xz ) + ẑ 3 2xy 5 r 5 2 r 5 = 0. 2yx ) r 5 0.18) Alltså gäller att gravitationsfältet är konservativt irrotationellt), och t.ex. kurvan C i arbetsintegralen dr F mellan två punkter kan väljas fritt. Den motsvarande potentialen kallas gravitationspotential och är C V G r) = Gm 1m 2 0.19) r Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.13 0.7. Nabla-formler Motsvarande som i exemplet ovan kan vi lätt visa att Låt oss testa några motsvarande uttryck: r = 0. 0.20) r = x 2 + y 2 + z 2) 1/2 = x x + ŷ y + ẑ z) x 2 + y 2 + z 2) 1/2 0.21) 0.22) 1 2 2x 1 2 2y 1 2 2z = x x 2 + y 2 + z 2 ) + ŷ 1/2 x 2 + y 2 + z 2 ) + ẑ 0.23) 1/2 x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = xx r + ŷy r + ẑz r = r r r 0.24) så alltså Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.14

r = r r 0.25) r r = x x + y y + z z = 3. 0.26) 2 r = r) = 0. 0.27) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.15 2 r = ) 2 x + 2 y + 2 z x 2 + y 2 + z 2) 1/2 x = x r + y y r + z z r = 1 r x r 2 r x + 1 r y r 2 r y + 1 r z r 2 r z = 1 r x2 r + 1 3 r y2 r + 1 3 r z2 r 3 = 3 r 1 r = 2 r 0.28) så att 2 r = 2 r 0.29) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.16

A )r = A x x + A y y + A z z ) x x + yŷ + zẑ) = A x x + A y ŷ + A z ẑ = A. 0.30) Detta ger A )r = A. 0.31) Låt skalärfältet f bero endast på avståndet r: Följer direkt från utrycket för i sfäriska koordinater. fr) = r dfr) dr. 0.32) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.17 Om vi i stället har ett vektorfält A = Ar): Detta ger Ar) = x A x r) + y A y r) + z A z r) = x r da x dr + yr da y dr + zr da z dr = x x r da dr + ŷ yr da dr + ẑ zr da dr = x x r + ŷ y r + ẑ z r) dar) dr = 1 1 dar) x2x + ŷ2y + ẑ2z) 2 r dr = r dar) dr. 0.33) Ar) = r dar) dr. 0.34) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.18

Låt skalärfältet f bero endast på c r, där c är en konstant vektor: fc r) = i ê i f x i = i = i ê i c r) x i df ê i c i dc r) df dc r) df = c dc r), 0.35) som ger df fc r) = c dc r). 0.36) Motsvarande för ett vektorfält A som beror endast på c r: Ac r) = c da dc r). 0.37) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.19 Beteckna R+r x X + x) + ŷ Y + y) + ẑ Z + z). 0.38) Om nu R är en konstant vektor: x R+r = x X + x) x + ŷ y Y + y) y + ẑ z Z + z) z = x x + ŷ y + ẑ z = r. 0.39) Kan utnyttjas t.ex. vid byte av koordinatsystem, om R är en konstant translation. Mer identiter om användningen av finns på kursens webbsidor under rubriken Stödmaterial. Speciellt nyttigt i beräkningar är alla 4 nablaoperationer uttryckta i cylindriska och sfäriska koordinater.. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.20

Exempel: andvändning av i sfäriska koordinater. Enligt en av ekvationerna är i sfäriska koordinater: F = 1 r 2 sin θ r r θ r sin θ ϕ r θ φ F r rf θ r sin θf φ 0.40) Med hjälp av detta får man t.ex. för gravitationspotentialen som beräknades ovan omedelbart r r 2 = 0 0.41) ty nu är F θ = F φ = 0 och då F r = 1/r 2 utan något vinkelberende är också θ F r = φ F r = 0. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.21 0.8. Vektoroperator-identiteter F) = 0 0.42) f) = 0 0.43) F) = F) 2 F 0.44) f g) = g f + f g 0.45) F G) = F )G + F G) + G )F + G F)0.46) ff) = f) F + f F 0.47) ff) = f) F + f F 0.48) F G) = F) G G) F 0.49) F G) = G)F F)G + G )F F )G 0.50) Bevis av dessa: Expandera vänstra och högre leden i komponentform. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.22

0.9. Integralteorem 0.9.1. Gauss teorem da F = dv F. 0.51) S V Bevis: Vi delar upp F :s komponenter i 2 halvor: da F = dydz F x dx2, 0, 0) F x dx2 ), 0, 0) +dxdz F y 0, dy2, 0) F y0, dy2 ), 0) +dxdy F z 0, 0, dz 2 ) F z0, 0, dz ) 2 ) notationsspecificering: här avser alltså F x dx 2, 0, 0) kraftens x-komponent i punkten dx 2, 0, 0), inte en produkt.) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.23 Expandera F kring centret av det infinitesimala rätblocket med en Taylorserie: da F dydz +dxdz +dxdy F x 0, 0, 0) + x F x dx 2 dy F y 0, 0, 0) + y F y 2 dz F z 0, 0, 0) + z F z 2 = dxdydz x F x + y F y + z F z ) )) dx F x 0, 0, 0) x F x 2 )) dy F y 0, 0, 0) y F y F z 0, 0, 0) z F z dz 2 2 )) = dv F. 0.52) Obs: Ytans normalvektor pekar ut ur volymen! Korollarium: Låt nu F = af, där a är en konstant vektor i någon riktning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.24

da F = a daf 0.53) dv F = dv af ) = dv F a + a F ) = a dv F 0.54) eller alltså dv F a dv F = 0 0.55) Detta ger då man beaktar Gauss teorem dv F = da F: [ a daf ] dv F = 0 0.56) så att Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.25 daf = dv F 0.57) 0.9.2. Stokes teorem da F) = dr F. 0.58) S C Bevis: Låt den infinitesimala ytans normal vara i z-riktningen: da F) = dxdy x F y y F x ) 0.59) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.26

dr F = dy F y dx2, 0, 0) F y dx2 ), 0, 0) +dx F x 0, dy2, 0) + F x0, dy2 ), 0) 0.60) Expandera F i centret av den infinitesimala rektangeln: )) dx dr F dy F y 0, 0, 0) + x F y 2 dx F y 0, 0, 0) x F y 2 ) dy +dy F x 0, 0, 0) y F x 2 + F dy x0, 0, 0) y F x 2 = dxdy x F y y F x ). 0.61) Obs: Ytans normalvektor och kurvans riktning bildar ett högerhandssystem! Korollarium: Låt nu F = af. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.27 dr F = dr af ) = a drf 0.62) da F) = da [af ]) = da F a + F ) a) = da F ) a = da F ) a = a da F ) 0.63) Från detta och Stokes teorem följer drf = da F ) 0.64) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.28

0.10. Diracs delta-funktion Diracs delta-funktion är än speciell funktion som introduceradas av fysikern Dirac. Den är ofta nyttig i elektrodynamiken för att beskriva punktladdningar, varför vi introducerar dess matematiska egenskaper här. En intressant fotnot är att i den enklaste matematiska teorin för integralkalkyl kan inte Diracs deltafunktion existera! För att använda den matematiskt rigoröst krävs mer avancerad Lebesqueintegreringsteori där deltafunktionen kan anses vara en distribution. Men som fysiker behöver man i praktiken inte bry sig om denna skillnad. Följande grundläggande egenskaper gäller för Diracs delta-funktion δr): V δr r 0 ) = 0, r r 0 0.65) dv δr r 0 ) = 1, r 0 V 0.66) Om integrationsvolymen V inte innehåller r 0 : dv δr r 0 ) = 0. 0.67) V Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.29 Övriga egenskaper: dv F r)δr r 0 ) = F r 0 ) 0.68) dv F r)δr) = F 0) 0.69) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 0.30