Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. 6EI Givet: k = () L Sökt: θ Lösning: et står att θ ska beräknas med hjälp av energimetod baserad på komplementär elastisk W tot energi. Castiglianos :a sats, F.S. 5.9 θ = () en komplementära elastiska energin behövs, och för raka linjärelastiska balkar gäller att: x N b T v B F.S. 6.5 W balk = + + β + + dx EA EI GA G E () x Obs! Notera att det här bara är komplementära energin i balken, glöm inte fjädern! I det här fallet har vi bara böjmoment. (tvärkraft försumbar, ty tunn balk som inte kröks allt för snävt) x b W balk = dx (4) x EI Snabb repetition från grundhållfen, finns i F.S. 6.. d x dx ( ) dt ( x) ( ) = = q x dx q= T = konstant = linjär. Obs! Lutningen knycker till vid punktkrafter såsom fjädern. Inom områden där varierar linjärt fås en enkel integral. Eller ännu enklare, använd: F.S. 6.5. ( xb xa) = + + 6EI W balk A AB B (5) Notera att L i F.S. står för längden på området, inte längden på balken.
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Fjäderns komplementära energi måste också tas i beaktning. Notera att W = W för linjärelastika ting. W fjäder Nδ N N L = = = (6) k EI Nu ser uttrycket för totala komplementära energin ut såhär: L N L L 6EI EI 6EI (7) W tot = W balk del + W fjäder + W balk del = A + AB + B + + B + BC + C ags för lite grundhållf! Frilägg och ställ upp ekvationer för global jämvikt: raftjämvikt R= N (8) omentjämvikt R = NL (9) (Samtidigt identifierar vi att A = R, C =.) Global jämvikt ger ekvationer, men vi har obekanta ( R,, ) R N, dvs det är statistkt obestämt. Här använder vi minsta arbetets princip. Välj ut en av dessa storheter som den statiskt obestämda. Eftersom exempelsamlingen valt ett uttryck för N ur W N Först måste vi bara hitta ett sätt att uttrycka för tot R i sin lösning tänkte jag välja N. rincipen är detsamma; lös ut =, där W tot bara får innehålla N och kända storheter. B i kända storheter.
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Snitta och jämvikt Uttryck för B : Jämvikt i del B = () (7) L N L L 4 N L R R R R 6EI + + + + + + del del = + + + () 6EI fjäder Substituera bort R genom att sätta in (9) i (), ALE rekommenderas! L N L W tot = 6 NL + 6EI () W N L tot = L + NL = N = Nu har vi ett uttryck för N att sätta in i (). L W tot = 6 6EI L L L L 6 + L + = L 6EI = 4EI () (4) Äntligen! Ett uttryck för W tot L () och (4) θ = = EI W tot som kan användas i Castiglianos :a sats. om ihåg att kolla dimensionerna/enheterna. et är nästan lika viktigt som vitaminer och öl! [ Nm][ m] Nm ok! 4 N m m = Nm =
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59. Fjäderelement med OF/Nod Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. : aterialdata : k = k = k = k = k = k () Givet 4 5 Randvillkor: = F = F = 4 = () Notera att för varje frihetsgrad är antingen förskjutningen eller kraften bestämd. Fria noder, t ex nr i det här fallet, kan ses som noder med pålagd kraft, där kraften helt enkelt råkar vara. å alla platser där förskjutningen är är motsvarande kraft en okänd reaktionskraft. Notera även att stänger och fjädrar är exakt samma sak, fast för stänger använder man fjäderkonstanten EA L. Sökt: Resterande okända förskjutningar och reaktionskrafter i systemet. Lösning : Vi vill kunna använda F =. Systemet består av 4 noder, och eftersom varje nod bara kan förflytta sig i sidled har vi bara en frihetsgrad per nod. 4 = 4skvallrar om hur långa de globala vektorerna blir, samt sidlängden på styvhetsmatrisen. F k k k k4 R k k k k4 F k k k k 4 k k k k 4 = () = F k k k k 4 k k k k4 F4 k4 k4 k4 k44 4 R4 k4 k4 k4 k44 F () Jämför med fjäderekvationen F = kδ. allas även OF (degrees of freedom). 4
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Vi börjar med den tunga delen av uppgiften, att ta fram den globala styvhetsmatrisen, vilket börjar med att man tar fram styvhetsmatriser för varje enskilt element. recis som för globala systemet har elementet sin egen ekvation, Fe =. e e (4) Elementstyvhetmatrisen beräknas allmänt sett med den enkla formeln e, i = ki. (5) En förklaring till varför den ser ut såhär kan fås genom att skriva ut (4) lite mer i klartext:.s. Se sida 7. Fe, = ki( de, de, ) Fe, = ki( de, + de,) Om d ökar lite, dvs nod rör sig lite åt höger, kläms fjädern ihop. raften man måste lägga på nod för att klämma ihop fjädern är förstås ki d. Samma resonemang gäller för d, men en rörelse åt höger i nod betyder utdragning, därav motsatt tecken. Gör ett liknande tankeexperiment för kraften i nod för andra raden i elementstyvhetsmatrisen. Eftersom alla fjädrar i det här systemet har samma fjäderkonstant kommer elementstyvhetsmatrisen se likadana ut. Elementen innehåller dock olika noder, vilket kommer in vid assembleringen. Som exempel kan vi ta element, som innehåller de globala noderna och 4. ela upp styvhetsmatrisen och sätt in dem på motsvarande plats i den globala styvhetsmatrisen. et här är alltså element 4:s inverkan på hela systemets beteende. (6) an kan även se det som att elementstyvhetsmatrisen ser ut såhär: e, = k (7) Ta en rast och gör push ups nu, lite träning gör gott. 5
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Hela globala styvhetsmatrisen fås om man summerar alla elementens inverkan, det är det här som kallas assemblering. Efter detta får man: + + + = k = k (8) + + + ed styvhetsmatrisen känd och insatt i () får vi: R = k R4 (9) olla på alla rader där förskjutningarna inte är. et ger lika många rader, dvs ekvationer, som okända förskjutningar. Om förskjutningen är okänd från randvillkoren, så är kraften känd (värt att nämnas igen tycker jag). et här ger oss ett ganska basic ekvationssystem. ( ) ( ) = k + = k + + Notera att kolonner i styvhetsmatrisen som motsvarar de frihetsgrader som är = försvinner från ekvationen. Ekvationssystemet () kan reduceras så att man kan lösa ut alla okända frihetsgrader. R = k k red red red = = F R red red red 4 F () 8k = = k () När frihetsgraderna är kända är det bara att utföra matrismultiplikationen med styvhetsmatrisen för att få ut krafterna. R F = = R4 k 8 k ½ = ½ () Notera att global jämvikt är uppfyllt F i =. 6
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Extra ommentar om e, i = ki : Ettorna kan ses som a i uppgift. med liknande definition: x a= [ l], l =, L= ( x) a = L å får man ett uttryck som ser ut som i formelbladet: a a = k = k a a e, i i i 7
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59. Fjäderelement med OF/Nod Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. Givet: aterialdata : k = 5 k, k = k, k = k () Randvillkor: = F = F = 4 = 5 = 6 = recis som i uppgift., och alla andra uppgifter, så är vet man alltid antingen förskjutning eller pålagd kraft för alla frihetsgrader. Sökt: Förskjutningar och reaktionskrafter. Lösning: En mycket bra start är att döpa systemets noder och frihetsgrader, det är minst sagt jobbigt att referera till saker utan namn. Vi döper sakerna såhär: Vettig döpning av frihetsgraderna ger snällare ekvationssystem i slutet. Vi börjar med elementstyvhetsmatriserna så att vi har våra legobitar till globala styvhetsmatrisen. Till skillnad från uppgift. kan noderna förflyttas i både x- och y-led nu. et blir lite mer att göra, men det är inte svårare än att följa formlerna från formelbladet. 8
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Från formelbladet: Eftersom vi fått längder givna tycker jag att det undre alternativet känns mest naturlig att använda. Lite utförligare uträkning för element : 6 9 5 L = a + a = a l = 4a 5a= 45 m = a 5a= 5 (4) l lm 6 a = = lm 9 m 5 (5) 6 6 9 9 a a k 5 6 6 9 9 e, = 5k = a a (6) å samma sätt: a a a a, k k = e, = = a a a a k =, e, = k = a a (7) (8) 9
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59 Assemblering! Stycka upp styvhetsmatrisen som i uppgift.. Eftersom det är flera frihetsgrader nu per nod så får varje nod en egen matris istället för bara ett litet element, principen är dock detsamma. lacera de fyra delarna på motsvarande noder som elementet innehåller. Element tre innehåller t ex noderna och, och därför hamnar bitarna som här nere i matrisen till höger. 6 6 5 5 5 5 9 9 + 6 6 5 5 5 5 6 6 9 9 + 5 5 5 5 k 6 5 = k 9 9 = 5 9 9 5 5 5 5 5 5 Som vanligt i FE tar vi fram den här: F = R 6 6 9 9 k 6 5 = R4 5 9 9 R 5 5 5 R 6... så att vi kan reducera den till... k 9 5 7 = 5 = = k 9 9 7k 4 (9) () Sätt in (8) i (7) och utför multiplikationen så ramlar reaktionskrafterna ut. R = R4 7 k R 5 R 6 k 5 6 6 R 4 7 9 9 7 6 5 4 = 9 9 R4 7 5 5 R 5 4 R 6 4 7