Entropi och temperatur, reversibla och irreversibla processer, termisk och mekanisk vaxelverkan.

Transkript

1 Termodynamik och statistisk fysik II: kursvecka 2& 3 Forelasningar Entropi och temperatur, reversibla och irreversibla processer, termisk och mekanisk vaxelverkan. Statistiska fordelningar, medelvarden, uktuationer och korrelationsfunktioner. Statistiska ensembler. Ergodiska hypotesen. Partitionsfunktionen. Att lasa Baierlein 3.4, 4, 5, appendix C. E. J. Lerner: \Time's Arrow" (fran Rutgers Magazine, November 1988). Baierlein 3.4 visar hur man kan utnyttja att entropin S for ett system ar en tillstandsfunktion (dvs. ds ar en exakt dierential) till att berakna entropiforandringar ocksa vid snabba processer dar relationen ds = dq=t inte ar valdenierad. Resultatet i ekv. (3.4), vilket Du sakert kanner igen fran del I av kursen, ar mycket anvandbart vid problemlosning! Baierlein 4.1 infor begreppet tillstandstathet. Viktigt! Det ar sarskilt viktigt att Du forstar hur man generaliserar fran enpartikeltillstand till mangpartikeltillstand. Jobba igenom detaljerna och testa sedan Din forstaelse genom att attackera problemen 4.1, VI och VII. Avsnitt 4.1 kan upplevas som litet ad hoc: "Vad ar egentligen vitsen att summera (= integrera med hjalp av en tillstandsfunktion) over mikrotillstand?!" Svaret ges i kapitel 5. Hall ut! Problemet att bestamma en tillstandsfunktion kan ibland vara trixigt, men vi kommer att ga igenom nagra enkla fall dar en analytisk losning ar mojlig, inkl. tva-niva systemoch harmoniska oscillatorer. Baierlein 5.1 innehaller en lososk diskussion av sannolikhetsbegreppet. Komplettera med appendix C och forelasningsanteckningarna. Gor sedan ett test genom att rakna problemen S1 - S6. Klarar Du snabbt av dessa kommer Du med god marginal att klara av (de ofta ganska triviala) kombinatoriska problem som kan forekomma i denna kurs. Om Du daremot upplever S1 - S6 som ooverstigligt svara sa bor Du gora en snabbrepetition av nagra typexempel fran kursen i statistik och sannolikhetslara. Repetitio est mater studiora! Baierlein 4.2 visar hur vi kan anvanda en tillstandstathet till att deniera entropin for ett system med sma uktuationer, E, i energin. Dessa uktuationer ar inneboende i kvantmekaniska system (jfr. osakerhetsrelationen Et h), men ocksa (vilket Baierlein missar att poangtera) klassiskt hos system i termisk jamvikt med sin omgivning, dvs. system vilka kan beskrivas med hjalp av klassisk fysik och inte ar isolerade. Jfr. med forelasningsanteckningarna. Baierlein 4.3 denierar absolut temperatur som ett matt pahur entropin andras vid en varmeoverforing till ett system. Komplettera med forelasningsanteckningarna, spec. min karakterisering av varme via en analys av hur makroskopiska system vaxelverkar med varandra. Om alla externa parametrar halls xa sa sags vaxelverkan ske "termiskt" och de mikroskopiska energinivaerna for de ingaende systemen forblir oforandrade. Medelvardet av den energi som overfors mellan systemen kallas i detta fall "varme". Denna process skall kontrasteras mot "mekanisk vaxelverkan" mellan system dar energiutbyte ar mojligt endast om externa parametrar tillats variera ("termiskt isolerade system"). I detta fall andras de mikroskopiska energinivaerna, och medelvardet av energioverforingen benamns i detta fall "arbete". Det ar har viktigt att forsta sambandet xa/variabla externa parametrar konstanta/varierande mikroskopiska energinivaer. "Hur 1

2 kan ett energiutbyte ske om energinivaerna halls konstanta?" Och: "Hur kan en allman process overfora bade varme och arbete?" Kan Du besvara dessa fragor, ga vidare. Om inte, ta hjalp av energinivaschemat jag ritade pa forelasningen, och tank igenom vad det betyder! Baierleins diskussion av Thomsons alternativa denition av absolut temperatur (via en analys av verkningsgraden hos en Carnot maskin) ar intressant, men ingar inte i kursen. Baierlein 5.2 innehaller den viktigaste formeln i kursen, ekv. (5.9), vilken denerar partitionsfunktionen for ett system i termisk jamvikt med sin omgivning. Ga noga igenom resonemanget som leder fram till Boltzmannfaktorn, ekv. (5.6). Komplettera med Dina anteckningar fran forelasningarna. Vi kontrasterade dar en mikrokanonisk ensemble (= mangden av tillgangliga mikrotillstand for ett isolerat makroskopoiskt system) med en kanonisk ensemble (= mangden av tillgangliga mikrotillstand for ett system i termisk jamvikt med sin omgivning). Den kanoniska ensemblen ar mer generell och, som vi sag pa forelasningen, kan faktiskt anvandas till att behandla ocksa isolerade system (med energin som inputparameter och temperaturen som harledd variabel, dvs. tvartom mot den vanliga tolkningen for standardfallet med ett system i termisk jamvikt med sin omgivning). Som vi ocksa sag pa forelasningen sa ar det ofta enklare att rakna ut eller uppskatta en partitionsfunktion ("kanonisk ensemble" formalism) an att direkt bestamma multipliciteten hos ett makroskopiskt tillstand (vilket ar vad man gor med hjalp av en mikrokanonisk ensemble): istallet for att losa ett vasentligen kombinatoriskt problem sa raknar man ut en summa, ofta approximerad av enintegral. Det ar framforallt har vi behover anvanda tillstandstatheter! (Lat Dig inte avskrackas av de formidabla uttrycken "kanonisk/mikrokanonisk ensemble". Eftersom de fortfarande anvands itigt i litteraturen, om an inte i Baierleins bok, sa bor Du kanna till dem.) Baierlein 5.3 och exemplet med paramagnetism for en spinn-1/2 partikel ar illustrativt. Ekv. (5.14) hor till en fysikers "allmanbildning"! Baierlein 5.4 visar hur man extraherar fysikaliska storheter fran en partitionsfunktion fallen (5.16) (medel)energi, (5.19) tryck och (5.20) magnetiskt moment ar centrala! Baierlein 5.5 diskuterar implikationerna av att tillstandstatheten for makroskopiska system (dar mikrotillstanden ar mangpartikeltillstand) till skillnad fran tillstandstatheten for enpartikeltillstand, vaxer enormt snabbt med energin. Speciellt, tillsammans med det faktum att Boltzmannfaktorn ar en mycket snabbt (exponentiellt!) avtagande funktion far vi det anvandbara resultatet i ekv. (5.25). Baierlein 5.6 diskuterar det viktiga typfallet hur man bestammer partitionsfunktionen for en semiklassisk ideal gas. Gor klart for Dig inneborden av ordet "semiklassisk"! Det ar ocksa viktigt att Du forstar distinktionen mellan enpartikel- och mangpartikeltillstand, sid. 102 (jfr. avsnitt 4.1!). Avsnittet "Energy, pressure and entropy" illustrerar hur eektivt och smidigt man kan bestamma dessa storheter for den ideala gasen sa snart partitionsfunktionen ar kand! Avsnittet "Range of validity" ar ocksa viktigt: makroskopiska system som ar kalla eller har hog tathet maste behandlas kvantmekaniskt. Det ar viktigt att fran fall till fall kunna avgora vad som ar "kallt" eller "tatt". Las och begrunda! Avsnittet "More about entropy" ger losningen till Gibbs paradox jfr. med var diskussion pa forelasningen! Baierlein 5.7 och 5.8: las noggrant! Formlerna i sammanfattningen, 5.8, ar sa viktiga och anvandbara i problemlosning att Du med fordel kan nota in dem redan nu! Lerners artikel "Time's Arrow" redogor pa ett populart satt for den statistiska fysikens kon- 2

3 ventionella forklaring av hur tidsinvarianta skeenden pa atomar niva kan ge upphov till irreversibla makroskopiska processer. "Varfor har tiden bara en riktning?" Komplettera med Dina forelasningsanteckningar! Instuderingsfragor 3.1 Ge en formel for hur man kan berakna en entropiforandring for ett system vars temperatur andras med T. 4.1 Vad ar en tillstandstathet? Ge en denition och ett exempel! 4.2* Forklara vad som menas med termisk resp. \mekanisk" vaxelverkan mellan tva makroskopiska system. Ge en noggrann denition av begreppen arbete resp. varme. 4.3 Deniera noggrant begreppet absolut temperatur. 5.1* Deniera och diskutera begreppen sannolikhet, stokastisk variabel, sannolikhetsfordelning, statistisk ensemble, urvalsrum, medelvarde, varians, standardavvikelse, uktuation, korrelationsfunktion. 5.1 Partitionsfunktionen Z introduceras formellt via en normering av Boltzmannvikterna. Hur kan en normeringsfaktor spela "huvudrollen" i statistisk fysik? 5.2 Diskutera hur man kan anvanda partitionsfunktionen for ett system till att bestamma t.ex. dess (medel)energi, tryck och entropi. 5.3 Hur kan man enklast bestamma partitionsfunktionen for ett system med fria (eller svagt vaxelverkande) partiklar? 5.4 Redogor for Gibbs paradox och dess losning! 5.6 Deniera termisk vaglangd och forklara hur den kan anvandas for att avgora om ett system maste beskrivas med kvantmekanik eller om en (semi)klassisk beskrivning ar OK. Vad betyder har "semiklassisk"? 5.7* Diskutera foljande pastaende: "Statistisk fysik ar bara tillampbar sa lange den experimentella upplosningstiden ar >> relaxationstiden (for det system som man mater pa )". L.1. Vad menas med en irreversibel process? Hur kan irreversibilitet uppsta fran fysikens \fundamentala" processer vilka ar reversibla? (*! se forelasningsanteckningarna) Rekommenderade problem Baierlein 4.1, 4.5, 5.1, , 5.7 I. Berakna forandringen av antalet tillgangliga (mikroskopiska) tillstand (="multipliciteten") nar 10 ;6 J varme overfors fran ett system med temperaturen 300K till ett system med temperaturen 299K. Vilken ar sannolikheten att varmet yter i motsatt riktning? (Svar: Antalet tillgangliga tillstand okar med en faktor e 81011, dvs. sannolikheten for den omvanda processen 3

4 ar e ;81011!) II. Antag att antalet tillgangliga (mikroskopiska) tillstand (= "multipliciteten") hos ett system varierar som W = Ae p VU dar A och ar konstanter, V ar systemets volym och U dess energi. For vilket varde pa U ar temperaturen lika med noll? (Svar: U = 0.) III. Entropin for en 2D gas av N partiklar med massa m pa en area A ges av S = Nk B f`n( A N )+`n( mu )+2g (1) 2h 2 N dar U ar gasens energi. Berakna gasens temperatur. (Svar: T = U Nk B.) IV. Entropin vid absoluta nollpunkten ar lika med noll for de esta system, men det nns undantag. Ett sadant ar fast koloxid, i vilken varje CO-molekyl kan orienteras pa tva olika satt med praktiskt taget samma energi, sa attbada orienteringarna ar lika sannolika. Denna oordning kvarstar aven vid absoluta nollpunkten, eftersom de bada mojliga orienteringarna skiljs at av en potentialbarriar som ar mycket hog jamfort med energiskillnaden mellan dem. Berakna entropin per mol vid absoluta nollpunkten! (Svar: R`n2.) V. N atomer ar fordelade over gitterpunkterna pa ett enkelt kubiskt gitter (hogst en atom per gitterpunkt). M av atomerna skakas loss fran sina naturliga lagen av termiska vibrationer och hamnar istallet i mellanrummen mellan tva gitterpunkter (hogst en atom per mellanrum). Antag att det nns N tillgangliga mellanrum och att det kravs en energi att ytta en atom fran en gitterpunkt till ett mellanrum (oberoende av mellanrummets lage relativt gitterpunkten). Hur kommer M att bero pa temperaturen T? (Svar: M = N e :) =2k B T +1 Diskutera resul- VI. Berakna tillstandstatheten for en fri partikel i 1, 2 och 3 dimensioner. tatet! VII. Berakna (1-partikel) tillstandstatheten for en excitation med energin (k) =k 3=2 ar en konstant. (Svar: D() =V=3 2 2 i tre dimensioner.) dar VIII. Ett system bestar av tre energinivaer vilka ar icke-degenererade (endast ett kvanttilstand per energiniva). Energierna ar E 1 =0 E 2 =1:4 10 ;23 J E 3 =2:8 10 ;23 J. Antag att temperaturen ar 1K. Bestam partitionsfunktionen och berakna sannolikheten for att systemet ar i respektive tillsand. (Svar: Z =1:503 p 1 =0:665 p 2 =0:245 p 3 =0:090). at 3V IX. Partitionsfunktionen for ett system ges av Z = e dar a ar en konstant. Berakna den fria energin, trycket, entropin och den (inre) energin hos systemet. (Svar: F = ;akt 4 V P = akt 4 S =4akT 3 V E =3akT 4 V.) X. Den genomsnitliga kinetiska energin (=3kT=2) for vateatomer i en interstellar gas ar omkring 1eV. Vilken ar kvoten mellan antalet vateatomer i det andra exciterade tillstandet (n = 3) och antalet i grundtillstandet (n = 1).? Energinivaerna for vate ar = ;=n 2 dar =13:6eV,och dar degenerationen hos niva n ar 2n 2. (Svar: N 3 =N 1 =1:2 10 ;7 :) XI. En tre-dimensionell isotrop harmonisk oscillator har energinivaerna E n1 n 2 n 3 =h!(n 1 + n 2 + n 3 +3=2), dar n kan ta vardena 0,1,2,3,... Bestam degenerationen for energinivaerna 7h!=2 och 9h!=2. Givet att systemet ar i jamvikt med sin omgivning vid temperaturen T, visa att 9h!=2-nivan har storre statistisk vikt an nivan 7h!=2 om kt > h!=`n(5=3): 4

5 Elementar statistik: nagra repetitionsproblem S1. Vad ar sannolikheten att fa sammanlagt 6 eller 7 nar man kastar tva tarningar? (Svar: 11/36) S2. Vilken ar sannolikheten att forst dra ett spader ess ur en kortlek med 52 kort och sedan dra ytterligare ett ess? (Svar: 1/884) S3. Pa hur manga satt kan man valja 5 objekt ur en mangdmed12objektoma)manskiljer mellan olika ordnade sekvenser v de valda objekten, b) om man inte skiljer mellan olika ordnade sekvenser av de valda objekten? (Svar: a) b) 792 ) S4. Pa hur manga satt kan Du fran en mangd med 12 objekt valja tre delmangder med 3, 4 respektive 5 objekt? (Svar: 27720) S5. Atta mynt kastas upp i luften. Vad ar sannolikheten att minst sex av dem hamnar med "krona" upp? (Svar: 37/256) S6. En krets innehaller fem chips. Antag att dessa valjs ur en batch med hundra chips varav fem ar defekta. Vad ar sannolikheten att kretsen innehaller endast felfria chips? (Svar: ) Inlamningsuppgifter till 27/9 I. Baierlein 4.4. II. Berakna 1-partikeltillstandstatheten for a) en fri partikel pa ytan A b) en excitation i tre dimensioner med energin (k) =k 5=2 c) en relativistisk partikel med p 2 m 2 c 2 ienvolym V. III. Ett isolerat, makroskopiskt system vid temperaturen 300K absorberar en foton fran den synliga delen av spektrat (sag vid vaglangden 400 nm). Berakna den resulterande relativa okningen W=W avmultipliciteten. Inlamningsuppgifter till 4/10 I. Baierlein 5.2. II. Ett system bestar av N molekyler med lagsta energinivaer E 1 =0 E 2 = E 3 =10: Visa att vid tillraackligt laga temperaturer (hur laga?) sa benner sig inte nagon av molekylerna i den hogsta energinivan. Bestam den genomsnittliga molekylenergin E vid temperaturen T. Ge ett analytiskt uttryck for de tre lagsta energinivaernas bidrag till systemets specika varme C V, och plotta C V som en funktion av T. 5

6 Kompletterande litteratur J. L. Lebowitz, \Boltzmann's Entropy and Time's Arrow", i Physics Today (September 1993, sid 32f). Ett \forsvar" av den konventionella bilden av hur irreversibla processer uppkommer. Se ocksa den diskussion i Physics Today (November 1994, sid 11f) som Lebowitz' artikel provocerade fram! I. Prigogine & I. Stengers, Ordning ur kaos, Bokskogen (1985). Ilya Prigogine (Nobelpris i kemi 1977 for teorin om dissipativa strukturer) ar den mest kande kritikern av standardteorin for irreversibla processer (jfr. Lebowitz). Prigogine havdar att irreversibilitet istallet maste "byggas in" i fysikens fundamentala lagar for elementara processer. En valskriven och tankevackande bok. 6