3. Algoritmer för samplande reglering

Transkript

1 3. Samplane reglerng 3. Samplane reglerng 3. Algortmer för samplane reglerng Prnpen för samplane reglerng Bloket Samplng tar emot kontnerlga sgnaler y ( o r ( samt skretserar em tll talföljer y ( t o r ( t,,, I praktken är etta en A/D-omvanlare. Bloket Håll tar emot talföljen ( t,,,, från regleralgortmen o skkar vare en stykvs tskontnerlg sgnal ( t, t t < t. I praktken är etta en D/A-omvanlare. Reglerteknk II llstånsmetoer ( sskreta PID-reglatorer 3.. skontnerlga former av PID-reglatorer Ieal PID-reglator t K τ τ (PIDe (3.. t Ieal PID-reglator som nte erverar örväret t K τ τ (PIDy (3.. t PID-reglator som erverar fltrera tsgnal t K τ τ, t f x ( (PIDx (3..3 Anm: fnns me för att möjlggöra ( statonärtllstån me e ( o ( samt ( manell reglerng ( K me ( ; telämnas ok ofta från reglatorekv. Reglerteknk II llstånsmetoer ( skontnerlga PID-reglatorer 3. sskreta PID-reglatorer Blokseman för PID-reglatorer En PID-reglator kan enkelt realseras, t.ex. Smlnk, me jälp av ett loksema. Nean ges lokseman för varanterna (PIDe o (PIDy. r y e / s s K 3. sskreta PID-reglatorer 3 3 r y e / s s K PIDe PIDy Varanten (PIDx av en PID-reglator erålls genom aton av ett :a ornngens flter framför erverngsloket. Samplng (skretserng av en reglator efnera genom ett loksema kan ofta erållas rekt me jälp av frågavarane programvara (t.ex. Smln. 3.. Dskretserng av kontnerlga PID-reglatorer V ar eanlat r ett tskontnerlgt system me stykvs konstanta nsgnaler kan samplas. En reglator ar ok nte stykvs konstant nsgnal om et reglerae systemets tsgnal är en kontnerlg varael. Ovannämna samplngsmeto är ärför prnp nkorrekt för en reglator. Ett sätt att estämma en tsskret verson av en PID-reglator är att ersätta e analytska ttryken för ntegraton o erverng me nmerska motsvargeter. För en eal PID-reglator som nte erverar örväret (PIDy kan v skrva k t t K K t τ τ t är t o t k t. τ τ 3. Algortmer för samplane reglerng 3 4 t (3..4

2 3.. Dskretserng av PID-reglatorer 3.. Dskretserng av PID-reglatorer Rektangelapproxmaton av ntegralen Om t t är ett konstant samplngsntervall fås me approxmatonerna t t t y t τ τ t o k ( k (3..5 t t en tsskreta PID-reglatorn k K eller me en förenklane eteknngen f ( f ( t ( (3..6 k K ( k (PIDy-p (3..7 Eftersom ( nte eror av (, < k, kallas enna form av PID-reglatorn för en postonsform. (Märk att är en konstant. 3. sskreta PID-reglatorer 3 5 I ntegralapproxmatonen antogs regleravvkelsen vara konstant e ( t ela samplngsntervallet [ t, t ]. t,, t Eftersom samplngsntervallet själva verket är öppet tll öger, vs ntervallet är [ vore et prnp natrlgare att använa approxmatonen t t Denna approxmaton ger en tsskreta PID-reglatorn τ τ t (3..8 k K 3. sskreta PID-reglatorer 3 6 ( k (PIDy-p (3..9 som avvker från en tgare reglatorn PIDy-p enast såtllva att smmerngen sker från tll k stället för från tll k. 3.. Dskretserng av PID-reglatorer 3. sskreta PID-reglatorer Approxmaton av ntegralen me trapetsmetoen Båa approxmatonerna ovan ar en nakelen att regleravvkelsen e antas vara stykvs konstant samplngsntervallen, vlket nte är fallet praktken. Mera motverat är att anta att regleravvkelsen föränras lnjärt från e ( t tll e ( t t. Integralapproxmatonen lr å, t t t Detta ger en tsskreta PID-reglatorn k K samplngsntervallet [ τ τ ( t t (3.. ( ( ( k (PIDy-p3 ( sskreta PID-reglatorer Integratorppvrnng I e flesta fyskalska proesser fnns egränsnngar t.ex. rörane styrsgnalernas storlek. Antag att en proess tsätts för en så kraftg störnng, att en nte kan elmneras från tsgnalen me styrsgnalen pga fyskalska egränsnngar (t.ex. en öppen reglerventl. Felsmman en tsskret PID-reglator kommer att växa så länge störnngen varar (antages e ( >, lkaså reglatorns tsgnal (, men ngen reglerng av proessens tsgnal sker eftersom styrsgnalen ( nte kan realseras pga egränsnngen (områe A fgren. Om e ( > är störnngen såan att proessens tsgnal y ( mnskat. 3. Algortmer för samplane reglerng 3 8

3 3..3 Integratorppvrnng 3. sskreta PID-reglatorer Antag att störnngen ppör. Eftersom styrsgnalen pga en tgare verkane störnngen, som gav e ( r( >, är ett såant ytterlgetsläge som maxmerar y (, lr e ( < (vs y ( > r( när störnngen o ess effekt på y ( ppör. Eftersom felsmman reglatorn lvt (myke stor mean störnngen verkae, kommer en fortfarane att vara stor (pga alla gamla e ( > trots att nya e ( <. Utsgnalen k ( kommer å okså fortsättnngsvs att vara stor o ålla styrsgnalen kvar v stt ytterlgetsläge, trots att > r( (områe B fgren. ll slt lr smman reglatorn alla fall så lten att ( mnskar tll en nvå som motsvarar en realserar styrsgnal o reglerngen örjar fngera gen. Reglerngen ar ok vart myket ålg. Den onöga ntegralen mellan krvan B o örväret är ngefär lka stor som ntegralen mellan örväret o krvan A. Denna effekt kallas ntegratorppvrnng, eller vanlgare, reset wnp. Man kan förnra ntegratorppvrnng genom att koppla reglatorn på manell reglerng, eller genom någon mekansm som förnrar fortsatt smmerng när styrsgnalen är v en egränsnng. 3. sskreta PID-reglatorer PID-reglatorns nkrementform Integratorppvrnng kan ( prnp förnras relatvt enkelt om man stället för PIDreglatorns postonsform använer en s.k. nkrementform, är tsgnalen eräknas som ett tllägg tll föregåene tsgnal. Om man etraktar postonsformen v två på varanra följane tpnkter k o k samt straerar ( k från ( fås för PID-reglatorn PIDy-p k k k k k k K eller ( K k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- ( Algortmer för samplane reglerng PID-reglatorns nkrementform 3. sskreta PID-reglatorer Inkrementformen motsvarane PID-reglatorn PIDy-p lr analogt ( K k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3..3 Motsvargeten tll reglatorn PIDy-p3 lr ( K k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy-3 (3..4 Inkrementformerna förnrar ntegratorppvrnng om man för k ( använer en styrsgnal som senast verklgen kne realseras, vs nte növängtvs senast eräknae (. Inkrementformerna möjlggör okså stötfr övergång från en regleralgortm (t.ex. manell styrnng tll en annan om en senast realserae reglersgnalen ( k är kän. Dessa förelaktga egenskaper kräver vanlgtvs att man mäter eller estmerar k (. 3. sskreta PID-reglatorer Egenskaper os postons- o nkrementformerna Postonsformen k K ( k (PIDy-p (3..7 Om I-verkan metas (vs PI- eller PID-reglator: Statonärtllstån kräver att smman algortmen nte växer, vlket kräver e (, vs v ar ngen regleravvkelse v statonärtllstån. Om I-verkan nte metas (vs P- eller PD-reglator, : Statonärtllstån kräver enast y ( k (om D-verkan metas samt e ( es konstant, vs e s krävs nte o regleravvkelse fås allmänet (som vänta. Reglerfelet v statonärtllstån me ( s lr es ( s / K (3..5 Enast v et statonärtllstån som motsvarar s lr regleravvkelsen noll. 3. Algortmer för samplane reglerng 3

4 3..5 Egenskaper os postons- o nkrementformerna 3..5 Egenskaper os postons- o nkrementformerna Inkrementformen ( K k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3.. Statonärtllstån kräver e ( k es o y ( k k. Då gäller K ( es k (3..6 Om I-verkan metas (vs PI- eller PID-reglator: V statonärtllstån gäller ( k, vs e s, o regleravvkelse saknas. Om I-verkan nte metas (vs P- eller PD-reglator, : V statonärtllstån gäller å allt ( k oeroene av e s, vs statonärtllstånet kan l elt gotyklgt ; et fnns nget nkt statonärtllstån är reglerfelet allt sklle vara noll som för postonsformen. Inkrementformen skall sålees enast använas me ntegrerane verkan. Illstraton av elmnera ntegratorppvrnng me nkrementformen Postonsformen Inkrementformen 3. sskreta PID-reglatorer sskreta PID-reglatorer sskreta PI-reglatorer 3..6 Dskretserng genom operatormatematk 3..6 Dskretserng genom operatormatematk skontnerlga o samplae system samt samanet mellan em kan ttrykas me jälp av erverngsoperatorn p o förskjtnngsoperatorn, vs p /t o Bakåtfferensapproxmaton (3..7 f ( f( t f( f( t Den v reglatorsketserngen använa approxmatonen y ( t (3..8 t kan me operatorformalsm ttrykas vs ( ( ( y t y t ( t p (3..9 p ( ( Algortmer för samplane reglerng 3 5 Den tskontnerlga PID-reglatorn som nte erverar örväret (PIDy kan me jälp av erverngsoperatorn p skrvas (os. att p ntar samma plats som Laplaevaraeln s ( K p p (PIDy (3.. p ( ger p samt seretveklngen ( K ( K t vs å e ( τ, τ <, o å argmentet t k k k K ( t 3. sskreta PID-reglatorer 3 6 ( k (3.. (PID-p (PID-p (3..

5 3..6 Dskretserng genom operatormatematk 3..6 Dskretserng genom operatormatematk Alternatvt kan v låta p operera på en kontnerlga reglatorns tsgnal ( för att få ( p p ( pk p p K p e t y ( t (3..3 p ( p ty är konstan varefter p ( ger ( K ( ( ( ( t t K t ( t t (3..4 vs ( K k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy- (3.. Blnjär approxmaton Approxmatonen y ( t (3..8 t är asymmetrsk såtllva att ögra leet vore en ättre approxmaton tll ervatan någonstans mellan t o t, t.ex. v t, 5, än v t. En ättre approxmaton etta änseene är en lnjära approxmatonen y ( t t (3..5 t t även kalla stns approxmatonsformel. Me operatormatematk fås p( ( t (3..6 vs ( p (3..7 ( 3. sskreta PID-reglatorer sskreta PID-reglatorer Dskretserng genom operatormatematk 3..6 Dskretserng genom operatormatematk llämpnng av en lnjära approxmatonen på PID-reglatorn ( K p p (PIDy (3.. ger för postonsformen (me tlljälp av seretveklngar K k k k ( (PIDy-p4 (3..8 För nkrementformen fås K k k ( y ( k y ( k y ( k ( k (PIDy-4 (3..9 Märk att en gamla tsgnaltermen är k (, nte ( k, om man (som är vll elmnera smman nneållane gamla tsgnaler y. ( 3. sskreta PID-reglatorer 3 9 Staltetsområet för operatorskretserae reglatorer De samplae reglatorerna är tsskreta system o eras staltetsområe är områet nnanför enetsrkeln et komplexa talplanet, vs z <, när e ttryks me jälp av Z-transformen. När ett kontnerlgt system skretseras genom approxmaton evaras et kontnerlga systemets staltetsegenskaper nte növängtvs. Fgren tll vänster llstrerar att et kontnerlga systemets staltetsområe R s < återförs på ett rkelformgt områe z,5 <, 5 et komplexa talplanet när akåtfferensapproxmaton använs. Vssa nstala system kan sålees l stala ( z < men z,5,5 genom enna approxmaton. ll öger vsas att en lnjära approxmatonen pres evarar staltetsegenskaperna. 3. sskreta PID-reglatorer 3

6 3. Samplane reglerng 3. Inställnng av skret PID-reglator 3. Inställnng av tsskret PID-reglator Om et vala samplngsntervallet är ltet jämförelse me systemets tskonstanter, o en ev. öt är lten, kan man estämma parametrarna för en kontnerlg reglator enlgt någon stanarproer (t.ex. Zegler-Nols o rekt tnyttja essa någon av e samplae reglatorformerna. Eftersom mätata är pp tll ett samplngsntervall gamla v reglerng me en samplane reglator, är et motverat att v reglatoresgnen meta (eller öka en efntlg öt me en öt lka me ett alvt samplngsntervall proessmoellen. Zegler-Nols rekommenatoner ger allmänet aggressv reglerng, o rsk för nstaltet förelgger. Baserat på samma proessnformaton som Zegler-Nols rekommenatoner, rekommenerar yres o Lyen för PI-reglerng K, 3K,max,, P (3.. är P är peroen för ståene svängnngar o K, max P-reglatorns förstärknng. Ett tlltalane alternatv är att göra någon form av rekt syntes såsom IMC-esgn tgåene från en tsskret (sampla moell. Proessreglerng (385 3 Stanarloksema för återkoppla reglerng r e G Fgren vsar ett loksema för återkoppla reglerng me tekenkonventoner o e vktgaste varalerna tmärkta. V metoer aserae på rekt syntes använer man sg av en sltna slngans överförngsfnkton från r ( tll y (, som är är Y ( s Gp ( s G ( s Gr ( s (3.. R( s G ( s G ( s För et tsskreta fallet fås elt analoga ttryk me plsöverförngsoperatorer (eller -fnktoner. 3. Algortmer för samplane reglerng 3 p G p y 3. Inställnng av skret PID-reglator 3.. Samplng av system me öt 3.. Samplng av system me öt Ett allmänt system me öt Ett kontnerlgt system me en öt θ för alla nsgnaler ar tllstånsekvatonen x ( A B t θ (3..3 Om systemet samplas me samplngsntervallet kan lösnngen analogt me tgare skrvas A At τ ( e ( e A x t x k k e B τ θ τ (3..4 är t k o t k är två närlggane samplngspnkter så att. Antag (nlenngsvs att öten är mnre än samplngsntervallet, vs θ <. Även om nsgnalen är stykvs konstant över samplngsntervallen, är ( τ θ nte konstant över samplngsntervallet τ < eftersom ess väre änras från ( t k tll ( t k pnkten τ t k θ. 3. Algortmer för samplane reglerng 3 3 En stykvs konstant nsgnal över ntegratonsområet fås ok om ntegralen ppelas så att θ A At ( e ( e t t e ( e k t k A A k t k A x x τ B k τ e B τ τ (3..5 θ Lösnngen kan skrvas x ( F G G (3..6 eller me t k k o telämnng av konstanten från argmenten x ( k F G G k (3..7 är (efter yte av ntegratonsvarael, ok fortfarane kalla τ F θ A A e, G B τ θ A( θ A e τ, G τ B e e τ Om v ar en öt L > så att L N θ, är N är ett eltal, ersätts k ( me k ( N o k ( me k ( N. 3. Inställnng av tsskret PID-reglator 3 4 (3..8

7 3.. Samplng av system me öt 3.. Samplng av system me öt Plsöverförngsoperatorn för system me öt Betrakta systemet k F G k N G k N C D k N D k N (3..9 är D enast om systemet nte är strkt propert. Me jälp av skftoperatorn fås N N ( I F ( G k N G k N ( I F ( G G o sålees y N N N N ( ( ( ( C I F G G D D (3.. eller H( (3.. är N N N N H( C I F G G D D (3.. ( ( Samplng av anra ornngens system me öt Ett anra ornngens system me två olka stora tskonstanter o, täljartkonstanten 3, öten L o förstärknngen K ar överförngsfnktonen är Ls Y ( s K( 3s e k k G( s e U ( s ( s ( s s s Ls (3..3 /, / (3..4 K( 3 k, k ( Systemet kan skrvas på agonalformen x ( Λ t L K( 3 (3..5 ( Λ k,, (3..6 k 3. Inställnng av tsskret PID-reglator Inställnng av tsskret PID-reglator Samplng av system me öt 3.. Samplng av system me öt Eftersom Λ är agonal kan samplng enkelt tföras. Me L N θ får v k F G k N G k N (3..7 är Λ F e e (3..8 e θ (e ( θ (e ( θ Λτ e k k G τ ( ( (e θ (e θ k k G θ θ ( θ Λ( θ Λτ e (e k e e τ ( θ θ e (e k θ k e ( e θ k e ( e 3. Inställnng av tsskret PID-reglator 3 7 Me jälp av plsöverförngsoperatorn kan systemet skrvas är H ( H ( (3..9 N N ( I F ( G G Insättnng av matrser o vektor ger efter yfsnng H ( (3.. N N N N 3 a a N 3 (3.. är (e ( θ N, k, (e ( θ N, k e ( e θ N, k, e ( e θ N, k (3.. N,,, ( e, e,,, ( e e 3,,, ( e e ( a, a e 3. Inställnng av tsskret PID-reglator 3 8

8 3.. Samplng av system me öt 3.. Samplng av system me öt Om öten är en jämn mltpel av samplngsntervallet, vs θ, förenklas ttryken avsevärt. V får N N H ( (3..3 a a är ( e (e k k e (e e (e N k k (3..4 ( e e ( a, a e För ett första ornngens system, men nte növängtvs θ, fås N N H ( a (3..5 / θ / e, ( e θ / K a, ( e N Ka (3..6 a Övnng 3.. Bestäm plsöverförngsoperatorn H ( för systemet Ls Ke G( s ( s ( s å K, L mn, mn,, 5 mn o samplngsntervallet, mn. 3. Inställnng av tsskret PID-reglator Inställnng av tsskret PID-reglator Inställnng av skret PID-reglator 3.. Syntes av tsskret PID-reglator 3.. Syntes av tsskret PID-reglator Inkrementformen av en eal tsskret PID-reglator ar formen ( k k k (3..7 är r(. Me jälp av akåtskftoperatorn fås ( ( (3..8 som ger reglatorns plsöverförngsoperator H ( (3..9 Om ett system me plsöverförngsoperatorn H p ( / regleras me enna reglator ges et reglerae systemets plsöverförngsoperator av H p( H( H r ( (3..3 r( H ( H ( Ién är att välja reglatorns parametrar 3. Algortmer för samplane reglerng 3 3 p H ( så att H r ( får önska form. Första ornngens system me öt Ett första ornngens system me en öt L N, är är samplngsntervallet, ar plsöverförngsoperatorn N Hp ( (3..3 a V får N Hp( H( (3..3 a Om v väljer (vs ngen D-verkan o a fås N N p ( ( N H H o H r ( (3..33 N är reglatorns förstärknng är en kvarståene esgnparameter. Valet N /(N (3..34 ger ett stegsvar me mnmal översväng ( 4 % o en stgt på 3 tll 4 öter. 3. Inställnng av tsskret PID-reglator 3 3

9 3.. Syntes av tsskret PID-reglator 3.. Syntes av tsskret PID-reglator Anra ornngens system me öt Desgnmetoen ovan är välgt eäng man kan enkelt eräkna e eövlga reglatorparametrarna o å systemparametrarna a, N o N är käna. Kan samma meto, eller någon lknane som enkelt kan ärleas, använas för system av anra ornngen me öt? Om v antar att öten är en jämn mltpel N av samplngsntervallet ar ett anra ornngens system plsöverförngsoperatorn N N N H p ( (3..35 a a a a Me en skret PID-reglator H ( får v N H p ( H( (3..36 a a V kan välja reglatorns parametrar så att nämnaren för H p elmneras, men täljaren lr kvar o ärme får v nte samma form på H o esgnmetoen gäller nte. ph 3. Inställnng av tsskret PID-reglator 3 33 V kan ok välja en annan typ av reglator. En reglator me plsöverförngsoperatorn ger me valen H ( (3..37 ( ( a, a, / (3..38 N H p( H( N (3..39 o samma val av kan göras som ovan för ett första ornngens system, vs N /(N (3..34 Denna reglator är nte en ren PID-reglator, tan en ar fferensformen ( k ( k k k k (3..4 Den kan själva verket tolkas som en PID-reglator ett flter som fltrerar e (, vs praktken y ( om örväret antas vara rsfrtt. 3. Inställnng av tsskret PID-reglator Samplane reglerng 3.3. Daln-Hgams algortm 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton 3.3. Daln-Hgams algortm Daln o Hgam ar föreslagt en meto asera på rekt syntes som ger en reglator me ntegrerane verkan o exakt kompensaton för öt. En gotyklg reglator me plsöverförngsoperatorn H ( ger för systemet H p ( ett sltet system H p( H( H r ( (3.3. r( H p ( H( Om man löser t H ( fås H ( H ( r (3.3. Hp ( H r ( är man kan spefera H r ( på önskat sätt o eräkna en reglator H ( som realserar etta. Proessreglerng ( Ett sltet system me mnre öt än öten et oreglerae systemet kan gvetvs nte erållas. Om systemets öt är L N, är är samplngsntervallet, är N ( α H r ( (3.3.3 α vs ett första ornngens system me förstärknngen, ett enkelt sltet system. Om et / sltna systemets önskae tskonstant är r, så är α e r. Os. att et skreta systemets förstärknng fås när man ersätter operatorn me. Detta val av H r ( ger N Hr ( ( α (3.3.4 N Hr ( α ( α 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton 3 36

10 3.3. Daln-Hgams algortm 3.3. Daln-Hgams algortm Reglerng av :a ornngens system me öt För fås H ( a N N H p ( N ( α α ( α vs en reglator me fferensformen N N a N N α a α ( α N α ( a k k ( α ( k k N ( N (3.3.5 (3.3.6 (3.3.7 Detta kan tolkas som en PI-reglator me explt ötskompensaton. Eftersom reglatorn o me termen ( k N använer nformaton som kan vara myket gammal kan en förväntas vara känslg för moellfel, speellt rörane öten. Reglerng av :a ornngens system me öt Även om systemet som skall regleras är av anra ornngen, kan man spefera et sltna systemet att vara av första ornngen. För N N Hp ( (3.3.8 a a fås å efter yfsnng α a ( a H (3.3.9 N N ( ( α ( α är N /. Detta är en reglator me fferensformen α ( a k a k ( α k α k (3.3. N ( α k N k N ( Reglatorn kan förväntas vara änn känslgare för moellfel än en föregåene. 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton Drekt syntes me ötskompensaton Syntes me ötskompensaton 3.3. Ett tllämpnngsexempel 3.3. Ett tllämpnngsexempel I övnng 3.. var ppgften att estämma plsöverförngsoperatorn H ( för systemet Ke Gp ( s ( s ( s me samplngsntervallet, mn å K, L mn, mn o, 5mn. Resltatet lev H p (,956,894 a a a,736 a,748 Här skall fyra olka reglatoresgner llstreras o jämföras: a Dskretsera PID-reglator nställ enlgt Zegler-Nols rekommenatoner Dskret PID-reglator nställ för a 4 % översläng Daln-Hgams reglator me r, 5 mn o fel moell (första ornngen öt Daln-Hgams reglator me r, 5 mn o korrekt moell 3. Algortmer för samplane reglerng 3 39 Ls a Dskretsera PID nställ enlgt Zegler-Nols Den kontnerlga proessmoellen ger krtska frekvensen ω,5 ra/mn samt G p ( ω, 44 K, max, 7 Enlgt Zegler-Nols rekommenatoner fås K,6K,36, π / ω, 8 mn, π /( 4ω, 5 mn, max Inkrementformen för en eal PID-reglator sampla genom akåtfferensapproxmaton är ( k K k k k som är ger ( 8,5 5,5 k 7,8 k k 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton 3 4

11 3.3. Ett tllämpnngsexempel 3.3. Ett tllämpnngsexempel Dskret PID nställ för a 4 % översläng För systemet H p ( a a ger reglatorn ( k k k ( k k me /(N, a, a, / a 4 % översläng. Här är N. Det samplae systemets parametrar ger 5,6, 9, 6, 3, 9,, 95 eller ( 5,6 9,6 k 3,9 k k,95 k k ( 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton 3 4 Daln-Hgams reglator me r, 5 mn o fel moell Antages felaktg proessmoell Ls Ke Gp ( s s me K, L mn,, 5 mn. Samplng me, mn ger H p( a / θ / me a e, 9355 o K( ae K( a, Daln-Hgams reglator för ett första ornngens system me N är k / Me α e r, 887 fås α ( a k k ( α ( k ( k (,8,63 k k,8 k 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton Ett tllämpnngsexempel 3.3 Syntes me ötskompensaton Daln-Hgams reglator me r, 5 mn o korrekt moell Daln-Hgams reglator för ett anra ornngens system me N är α ( a k a k ( α k α k ( α k k är, 948. Me α e r, 887 fås / /,8 k,64 k (, 34,5 k 4,8 k,86 k,74 k Rngnng I reglatorsynteser av typen rekt syntes speferas et (önskae sltna systemet. När syntesen görs för ett samplat system, gäller spefkatonen enast samplngspnkterna va som sker mellan samplngspnkterna ar man ngen rekt kontroll över. Statonen kan se t som fgren nean, är samplngsntervallet är tsenet. I samplngspnkterna är tsgnalen (tll vänster lka me örväret, men äremellan svänger en. Beteenet eror på att nsgnalen (tll öger svänger kraftgt krng ett läge fenomenet kallas rngnng. Smlerngar Zegler-Nols PID ( PID me a 4 % översläng ( Daln-Hgam me fel moell ( Daln-Hgam me korrekt moell ( y 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton Algortmer för samplane reglerng 3 44

12 3.3.3 Rngnng Rngnng Orsaken tll rngnng Rngnng ppstår när en tsskreta reglatorn ar en negatv pol z, speellt om en lgger nära staltetsgränsen z. Detta lr ofta fallet om reglatorn nneåller nversen av moellens plsöverförngsfnkton H p ( z, såsom t.ex. Daln-Hgams reglator [se (3.3.]. Orsaken är att en sampla moell ofta nneåller ett negatvt nollställe nära z, som å leer tll en motsvarane pol reglatorn. V exakt samplng av ett kontnerlgt system fås allt ett eller flera nollställen om systemet är mnst av :a ornngen (förtom ev. öt. Oeroene av ev. nollställen en kontnerlga moellen fås, även om öten är en jämn mltpel av samplngsntervallet, för ett anra ornngens system en plsöverförngsfnkton av formen z ( N Hp ( z z (3.3. az a z Elmnerng av rngnng Dalns moferae reglerlag För att elmnera rngnng, ar Daln förslagt att man gör sstttonen z en faktor som förorsakar rngnngen. För ett anra ornngens system etyer etta praktken att man gör syntesen på asen av moellen ( N Hp ( z z (3.3. az az Resltatet (för samma exempel som ovan vsas fgren nean. Rngnngen ar elmnerats, men stället ar en (lten översläng ppstått. y 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton Drekt syntes me ötskompensaton Rngnng Rngnng Vogel-Egars mofkaton I Dalns moferae syntes ar man ngen kontroll över r stor överslängen lr. Vogel o Egar ar ärför föreslagt att man nte syntetserar för att få ett strkt propert sltet system av första ornngen (me öt, tan för ett sltet system av formen z ( α N Hr ( z z (3.3.3 α z är z är en faktor som förorsakar rngnng (vs /. För samma system som ovan fås å reglerresltatet nean, vs ngen rngnng o ngen översläng på ekostna av något långsammare respons. Övnng 3.3. Härle reglerlagen enlgt Vogel-Egars mofkaton av Daln-Hgams reglator för ett samplat anra ornngens system. Vlken lr reglerlagen nmerskt för systemet som samplats Övnng 3..? y 3.3 Drekt syntes me ötskompensaton Drekt syntes me ötskompensaton 3 48

13 3. Samplane reglerng 3.4 Dea-eat reglerng 3.4 Dea-eat reglerng V rekt syntes av en skret reglator enlgt Daln-Hgams meto önskaes ett sltet system som eter sg som ett första ornngens system me öt. Sklle et vara möjlgt att esgna för änn snaare respons så att Nr H r ( (3.4. är Nr N (mnre N r kan nte vara realserar? Lösnng av H ( r ttryket för et sltna systemets plsöverförngsoperator (se Daln-Hgam ger N r H r ( H ( (3.4. N r H p( H r ( H p ( N Detta ör ge en realserar reglerlag för Nr N eftersom r täljaren å kan N förkortas ort mot täljaren tll H p (. Varför måste et gå att förkorta ort öten H p (? N En reglerstrateg me esgnkrteret r H r ( kallas för ea-eat reglerng. Det fnns ngen motsvarget tll ea-eat reglerng v kontnerlg reglerng. Proessreglerng ( Första ornngens system För ett första ornngens system me öt Hp ( a fås me N Nr N (3.4.3 N a a H ( (3.4.4 N N N eller ( ( ( e k a e k k N (3.4.5 som är en realserar reglerlag. a Nr N (t.ex. sklle ge H ( o N N ( ( ( e k a e k k N (3.4.6 som nte är realserar pga e ( k. 3. Algortmer för samplane reglerng Dea-eat reglerng 3.4. Dea-eat reglerng av tllstånsvektorn 3.4. Dea-eat reglerng av tllstånsvektorn Betrakta ett skret system me tllstånsekvatonen x ( k F G k N (3.4.7 är N > motsvarar en gemensam öt för ela nsgnalvektorn. Upprepa använnng av ekvatonen för nya samplngstpnkter ger k F k G k N F FG k N G k N k 3 F k G k N F k FG k N G k N 3 F F G k N FG k N G k N k F F G k N F G k N FG k N G k N Den ssta ekvatonen kan okså skrvas k F k N k N (3.4.8 k N [ G FG F G] 3. Algortmer för samplane reglerng 3 5 V tnyttjar eteknngen [ G FG F G] Γ (3.4.9 Om antalet tllstån är n ar matrsen Γ n styken raer. Ifall systemet är styrart kommer matrsen att a rangen n för ett tllräklgt stort. För n är matrsen Γ n lka me systemets styraretsmatrs (som tgare kallats Γ. Denna matrs ar allt rangen n om systemet är styrart. Om systemet är styrart fnns et sålees allt en matrs Γ, n, som ar rangen n. Det är å möjlgt att lösa t vektorn av nsgnaler r ttryket för x ( k me jälp av en s.k. pseonversen av Γ, som nte kräver att Γ är kvaratsk. Eftersom ttryket gäller för gotyklga k, kan samplngsögonlken esstom flyttas framåt me N steg. Då fås k k Γ ( k N F k N ( Dea-eat reglerng 3 5

14 3.4. Dea-eat reglerng av tllstånsvektorn 3.4. Dea-eat reglerng av tllstånsvektorn är etta fall, å Γ ar mnst lka många kolonner som raer, gäller Γ ( Γ ΓΓ (3.4. Märk att Γ Γ om Γ är kvaratsk, vlket allt är fallet om antalet nsgnaler, å okså n krävs. V samplngsögonlket k mplementeras enast styrsgnalen (, nte framta styrsgnaler. Denna styrsgnal erålls från ttryket ovan enlgt I Γ ( x k N F k N (3.4. [ ] ( är x ( k N eteknar et önskae tllstånet efter N samplngar. Detta är ok nte en realserar styrlag ( enna form, eftersom en nneåller framta tllstån x ( k N. För essa gäller ok k N F k N G k F( F k N G k G k F k N FG k G k (3.4.3 N N k N F F G k N FG k G k vlket etyer att x ( k N ges som fnkton av x ( o gamla styrsgnaler. 3.4 Dea-eat reglerng 3 53 Genom att tnyttja efntonen på Γ kan ea-eat strategn även ttrykas som ( ( F G ΓΓ ( x ( k N F x ( k N (3.4.4 Kommentarer Vanlgen krävs n, är n är antalet tllstånsvaraler. Det är möjlgt att en realserar reglerlag kan erållas för < n, men reglerresltatet är ofta otllfresställane. Det är tänkart att et sltna systemet lr nstalt eller att tllstånen et kontnerlga systemet svänger kraftgt mellan samplngsögonlken pga rngnng. Dea-eat strategn ar enast en esgnparameter samplngsntervallet. Samplngsntervallet estämmer r snat et önskae tllstånet nås (på ten ( n N eller snaare. Reglersgnalernas storlek ökar ok rastskt me mnskane samplngsntervall, vlket praktken är en egränsane faktor. Ofta är et önskae tllstånet x ( k N. Om Γ är kvaratsk gäller Γ Γ. 3.4 Dea-eat reglerng 3 54