Linjär algebra med MATLAB

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjär algebra med MATLAB"

Transkript

1 INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp Introduktion Genomförande och redovisning Inmatning av vektorer och matriser i MATLAB - vektoralgebra Inmatning av matriser i MATLAB - matrisalgebra Linjära ekvationssystem Om du hinner - lite 3D-grafik Valbart avsnitt M: Minsta kvadratmetoden - kurvanpassning 7 3 Valbart avsnitt L: Linjära avbildningar 9 4 Valbart avsnitt G: Grafteori Om du hinner - avstånd mellan hörn Valbart avsnitt D: En roterande kub 12 1 Grundläggande begrepp 1.1 Introduktion Vid ingenjörshögskolan finner du Matlab i windows via startknappen Ingenjörshögskolan Matematik Matlab MATLAB är matrishanterarnas kung. MATLAB (som står för MATrix LABoratory) konstruerades ursprungligen som ett redskap för att hantera matriser dvs. (2-dimensionella) listor av tal. Sedan har MATLAB successivt utvecklats till att bli också ett kraftfullt programmeringsvertyg och idag kan man även få tillgång till rutiner (hämtade från systerprogrammet MAPLE) för symbolhantering. Eftersom en vektor är en typ av matris så lämpar sig MATLAB utmärkt för hantering av vektorer. Syftet med denna laboration är att du skall lära dig att utföra enkla vektor- och matrisberäkningar med MATLAB, och även att lösa ett linjärt ekvationssystem. Laborationen förutsätter att du har lärt dig de matematiska grunderna för detta, t.ex. bör du känna dig hyfsat bekant med följande begrepp: linjära ekvationssystem - Gausselimination geometriska vektorer - vektoraddition, multiplikation med skalär skalärprodukt vektorprodukt algebraiska beskrivningar av räta linjer och plan i R 3 matrisalgebra determinanter Du bör även ha bekantat dig med texten Introduktion till MATLAB (Abrahamsson).

2 1.2 Genomförande och redovisning Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 2 av 12 Läs igenom häftet innan laborationstillfället. Om du känner att du förmodligen klarar av att lösa uppgifterna utan lärarhjälp så går detta utmärkt. Om du vill ha lärarhjälp så erbjuds detta vid det schemalagda laborationstillfället som ingår i kursen. Du redovisar dina laborationsresultat skriftligen som ett enkelt word-dokument. Detta dokument skall innehålla lösningar till uppgifterna 1- lösningar till de uppgifter som ingår i ett av de valbara avsnitten, dvs. antingen uppgifterna M1-M2 eller uppgifterna L1-L3 eller uppgifterna G1-G4 eller uppgiften D1. (maximalt två personer kan stå som författare till samma rapport) 1.3 Inmatning av vektorer och matriser i MATLAB - vektoralgebra I MATLAB definieras en vektor (matris) vanligtvis genom att man tilldelar ett variabelnamn ett värde, följt av RETURN. Inmatningen > > v=[2 4 ] ger resultatet v = 2 4 Observera användningen av hakparanteser - naturligtvis behövs mellanslag (alternativt kommatecken) mellan de olika siffrorna. Efter inmatningen gäller nu att variabeln v representerar en radvektor v = (2,4,), med tre element. (Alt. en matris av typen 1 3). MATLAB lagrar vektorn som tre tal, v(1), v(2), v(3) där v(1) är vektorns första tal 2, v(2) är vektorns andra tal 4 och v(3) det sista talet. > > v(2) ans = 4 I MATLAB kan vi enkelt utföra alla sorters vektoroperationer, såsom addition av vektorer, multiplikation av vektor med skalär, skalärprodukt, vektorprodukt, etc. Om u och v är två vektorer och a en skalär så kan vi utföra dessa operationer i MATLAB med syntaxen: Operation multiplikation med skalär a v vektoraddition u + v skalärprodukt u v vektorprodukt u v u (dvs. längden av u) Kommando i MATLAB a*v u+v dot(u,v) eller u*v eller sum(u.*v) cross(u,v) norm(u) Uppgift 1: Definiera vektorerna u = (2, 4, 3) och v = (6, 3, 2). Beräkna sedan a) 2u 4v b) u v c) u v

3 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 3 av 12 d) u + v och u + v. Verifiera att triangelolikheten u + v u + v är uppfylld. e) vinkeln mellan u och v. Uppgift 2: Vektorerna u = (1,2,3), v = (2,3,2) och w = (3,4, 1) spänner upp en parallellepiped. Beräkna dess volym. 1.4 Inmatning av matriser i MATLAB - matrisalgebra I MATLAB definieras en matris vanligtvis genom att man tilldelar ett variabelnamn ett värde, följt av RETURN. För att definiera matrisen A = matar vi in (mellanslag mellan två matriselement, semikolon för att ange en ny rad) > > A=[2 4 ; 2 0-1; 3 4] och vi får då resultatet A= Efter inmatningen gäller nu att variabeln A representerar 3 3 matrisen ovan. Matrisen matar vi in genom kommandot > > B=[ ; ; ] B = Om vi nu vill beräkna matrisprodukten AB (som är väldefinierad), skriver vi i MATLAB helt enkelt > > A*B ans= Försöker vi att beräkna produkten BA, som inte är definierad, ger MATLAB ett felmeddelande; > > B*A??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.

4 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 4 av 12 I MATLAB kan vi enkelt utföra alla sorters matrisoperationer (förutsatt att de är väldefinierade), såsom addition och multiplikation av matriser, transponering, determinantberäkning, etc. Tabellen nedan ger syntaxen för de vanligaste operationerna; A och B är matriser och a en skalär. Operation Kommando i MATLAB multiplikation med skalär a A a*a matrisaddition A + B A+B matrisprodukt AB A*B transponering A T A determinanten det(a) det(a) inversen A 1 inv(a) Vidare, så finns det ett stort antal specialkommandon för att hantera och producera matriser. Vi går inte in på dessa här, men värt att nämna är ändå att identitesmatrisen av storlek n n genereras med kommandot eye(n). Uppgift 3: Definiera matriserna A = ( ) ( 7 3 2, B = 1 4 ), C = a) Beräkna AB, CB T, BC och (2C + D) (C D) b) Visa att CD DC genom att beräkna matrisen CD DC. och D = c) Beräkna det(a), det(c) och det(d). Vilka av matriserna är inverterbara? Verifiera att det(cd) = det(c) det(d). d) Beräkna inversen för de matriser som är inverterbara. Kontrollera att MATLAB ger korrekt resultat genom att multiplicera samman inverserna med de ursprungliga matriserna. e) Hitta på två inverterbara 3 3 matriser A och B och verifiera att (AB) 1 = B 1 A Linjära ekvationssystem I MATLAB kan vi enkelt lösa det linjära ekvationssystemet x y 3z = 2 3x 2y 4z = 2y + 3z = 2 Först definierar vi den s.k. koefficientmatrisen A = samt högerledet i ekvationssystemet b = 2 2 genom att mata in dem som vanliga matriser;

5 > > A=[1-1 -3; ; 0 2 3] A= > > b=[-2; -; 2] b= -2-2 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. av 12 Om vi nu vill ha lösningen till ekvationssystemet ovan skriver vi bara > > A b ans= vilket betyder att lösningen ges av x = 1 y = 1 z = 0 Uppgift 4: Lös det linjära ekvationssystemet 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Uppgift : a) Lös det linjära ekvationssystemet { 10x 3y = 28 8x + 3y = 16 b) Rita i samma figur ut de båda räta linjerna 10x 3y = 28 resp. 8x + 3y = 16 Dimensionera axlarna så att du ser skärningspunkten. Användbara kommandon: plot, axis. Tips: Definiera först en vektor x=-40:0.1:40; rita sedan den ena linjen och lås därefter figurfönstret med kommandot hold on. Rita sedan den andra linjen och använd zoomfunktionerna i figurfönstret för att zooma in så att du ser skärningspunkten. Övertyga dig om att koordinaterna (x 0,y 0 ) för skärningspunkten är precis den lösning som du beräknade i uppgift a).

6 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 6 av 12 Anmärkning. Om du har läst lite matristeori så vet du att ekvationssystemen ovan kan skrivas som en matrisekvation AX = b där A är koefficientmatrisen, b högerledets kolonnmatris och x X = y. z Om A är inverterbar (dvs. om det(a) 0) så ges lösningen av X = A 1 b och det är denna lösning som MATLAB producerar när vi skriver A b, (fast MATLAB räknar inte ut inversen utan gör på ett numeriskt smartare sätt). Anmärkning. Om ekvationssystemet är underbestämt (fler obekanta än ekvationer) eller överbestämt (fler ekvationer än obekanta) så kan ovanstående metod i MATLAB ändå ge en lösning, nämnligen den lösning som anpassar sig bäst i den s.k. minsta kvadratmetodens mening. 1.6 Om du hinner - lite 3D-grafik Tidigare visades hur vi i MATLAB enkelt kan lösa det linjära ekvationssystemet x y 3z = 2 3x 2y 4z = 2y + 3z = 2 Var och en av dessa tre ekvationer beskriver ett plan i rummet, och vi kan utan större möda grafiskt illustrera lösningen i detta fall. Det går utmärkt att rita in 3-dimensionella grafer i MATLAB, t.ex. kan vi enkelt rita in ett plan med ekvationen ax + by + cz = d. Enklast är om man först skriver om ekvationen på formen z = a x+b y + c. Antag att vi t.ex vill rita in planet med ekvationen x y 3z = 2 (dvs. första ekvationen ovan). Vi löser först (för hand) ut z = 1 3 (x y + 2). Sedan tänker vi efter i vilket område vi vill rita ut planet - t.ex. för 10 x,y 10. I MATLAB skriver vi sedan > > x=-10:0.1:10; > > y=x; > > [X Y]=meshgrid(x,y); % definierar området > > Z=1/3*(X-Y+2); > > mesh(x,y,z) Om vi vill rita in ytterligare ett plan i samma figur, t.ex. planet 3x 2y 4z =, skriver vi bara (3x 2y 4z = z = 1 4 (3x 2y + )) > > hold on > > Z2=1/4*(3*X-2*Y+); > > mesh(x,y,z2)

7 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 7 av 12 Extrauppgift: Rita ut de två planen i samma figur enligt ovan. Rita även ut det tredje planet genom att definiera Z3 på samma sätt som ovan och därefter skriva mesh(x,y,z3). Ser du att planen skär varandra i precis en punkt? Det går att rotera den 3-dimensionella figuren i dess fönster. Du bör få en figur som ser ut någonting i stil med följande Valbart avsnitt M: Minsta kvadratmetoden - kurvanpassning Tidigare i laborationen löste vi ett antal linjära ekvationssystem som kunde formuleras som en matrisekvation AX = b, där A och b var givna. Vi löste dessa i MATLAB genom att definiera A och b (som matriser), och därefter fick vi lösningen X med hjälp av kommandot A b. Vad matlab då producerar är A 1 b förutsatt att matrisen A är inverterbar. Om matrisen A inte är inverterbar så ger MATLAB oftast ändå ett svar, och det är då viktigt att komma ihåg att det är då inte säkert att detta svar är den enda lösningen, eller ens en lösning över huvudtaget. Om ekvationssystemet saknar lösningar så ger MATLAB ett svar som ligger närmast att vara en lösning, i den s.k. minsta kvadratmetodens mening. Vi skall nu försöka se vad detta betyder. En vanlig situation är att man har samlat in ett antal mätdata, t.ex genom något slags experiment eller undersökning. Ofta gäller ett linjärt samband av formen y = a + bx, (eller så tror vi att ett dylikt samband är giltigt) mellan indata (x) och utdata (y). Men allt som oftast har vi att göra med mätfel, och andra osäkerhetsfaktorer så att mätdata inte passar in precis på en rät linje. Antag att vi hänger några olika tyngder (x) i en fjäder och mäter fjäderns längd (y). Resultatet av experimentet redovisas i tabellen till höger. Vi kan plotta in dessa mätdata genom att skriva y (m) x (N) > > x=[0; 2; 4; 6;]; > > y=[6.1; 7.6; 8.7; 10.4]; > > plot(x,y, x ) fjäderns längd y (m) tyngd x (N) Uppgift M1: Genomför plottningen ovan. Använd kommandot axis om du vill ändra axlarnas

8 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 8 av 12 dimensioner, och använd xlabel resp. ylabel om du vill namnge axlarna. Som du ser ligger mätdata inte exakt på en linje men bra nära! Enligt teorin skall sambandet y = a + bx gälla vilket isåfall medför att a + b 0 = 6.1 a + 2b = 7.6 a + 4b = 8.7 a + 6b = 10.4 Ekvationssystemet ovan består av fyra ekvationer och två obekanta - alltså är systemet överbestämt, och det finns förmodligen ingen exakt lösning. Men om vi på vanligt vis matar in koefficientmatrisen och högerledets matris så ger kommandot A Y ändå ett svar, nämligen de tal a resp. b för den linje y = a + bx som anpassar sig bäst efter punkterna i den meningen att summan av kvadraterna på avstånden från punkterna till linjen minimeras - se figur. Detta är minsta kvadratmetoden. MATLAB minimerar talet r 2 = d d d2 A = Y = d 1 d 2 d 3 d 4 d Uppgift M2: Beräkna a,b i MATLAB, och rita ut linjen y = a + bx för 0 x 7 i samma figur som du ritade in punkterna ovan i. Kommandot hold on låser figuren. Det bör se ut ungefär som i figuren till höger. fjäderns längd y (m) tyngd x (N)

9 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 9 av 12 3 Valbart avsnitt L: Linjära avbildningar Ett huvudresultat från kursboken är att en linjär avbildning F : R n R n alltid kan representeras med en n n matris A på så sätt att y = F( x) Y = AX. Vi identifierar alltså vektorerna y och x med motsvarande kolonnmatriser Y resp. X. Därigenom kan vi uppfatta F som en enkel matrismultiplikation, dvs. F(X) = AX. Matrisen A är dessutom enkel att bestämma; i en given bas e 1,..., e n fås A genom att beräkna vektorerna F( e 1 ),...,F( e n ). Dessa vektorer utgör kolonnvektorerna i A, dvs. A = F( e 1) F( e 2 ) F( e n ) Det räcker alltså att känna till hur F avbildar n linjärt oberoende vektorer för att veta hur F avbildar varje vektor i R n. Exempel: Den linjära avbildningen F : R 2 R 2 som avbildar e 1 på e 1 + e 2 och e 2 på e 1 e 2 ges av matrisen ( ) 1 1 A =. 1 1 Exempelvis så gäller att vektorn (1,2) avbildas på vektorn (3, 1) eftersom ( )( ) ( ) AX = = Syftet med denna del av laborationen är att visualisera effekten av linjära avbildningar i planet. En linjär avbildning avildar linjestycken på linjestycken (eller punkter) och parallella linjer avbildas på paralella linjer (eller punkter). Vi skall utnyttja detta faktum till att försöka förstå effekten av ett antal linjära avbildningar genom att se vad som händer när avbildningarna verkar på en enhetskvadrat och en hund (en polygon). Uppgift L1: Börja med att kopiera filerna kvadrat.m samt hund.m från k: matematik maskin till mappen g: dokument. Ge därefter kommandot path(path) i MATLAB. Dessa filer är två små program som ritar upp vad som händer då vi låter en linjär avbildning verka på enhetskvadraten resp. en hund. Om F är en linjär avbildning med matris A (av storleken 2 2) så innebär kommandot > > kvadrat(a); att MATLAB låter F avbilda enhetskvadraten och ritar sedan upp resultatet. Motsvarande kommando > > hund(a); låter F verka på en liten hund och ritar upp resultatet. Testa genom att köra kvadrat(i) resp. hund(i) där ni definierar I som enhetsmatrisen av storlek 2 2.

10 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 10 av 12 Uppgift L2: Definiera matriserna ( ) ( A =, B = ), C = ( ), D = ( ) och E = ( cos π 4 sin π 4 sin π 4 cos π 4 Kör därefter kvadrat(a),...,kvadrat(e) och tänk noga igenom och förklara i varje fall varför det blir som det blir. Kör även hund(a),...,hund(e) och jämför. Vad händer om ni kör kvadrat(a*b)? Varför? Hitta gärna på några egna matriser och testkör! (Man bör vara medveten om att det är inte alltid så lätt att geometriskt tolka en avbildning utifrån dess matris). Uppgift L3: Bestäm matrisen för den avbildning som först roterar vinkeln π/3 radianer moturs och därefter speglar i x axeln. Testkör på kvadraten och hunden. 4 Valbart avsnitt G: Grafteori Som bekant från kursen Diskret matematik, så definieras en graf G = (V, E) genom dess hörn (mängden V ) och de kanter (mängden E) som kan finnas mellan hörn i grafen. Ett exempel på en graf finner du nedan. G 1 ) Ett sätt att matematiskt representera en graf är med hjälp av en matris; man associerar med varje rad, och med motsvarande kolonn, ett av grafens hörn. T.ex om grafen har hörn, så kan vi numrera dessa från 1 till, dvs. V = {1,2,3,4,}. Till denna graf associerar vi nu en matris A där rad 1 och kolonn 1 representerar hörn 1, rad 2 och kolonn 2 representerar hörn 2 osv. Matrisens element representerar sedan grafens kanter på följande sätt. Om A = (a ij ) så låter vi { 1, om det finns en kant mellan hörn i och hörn j a ij = 0, om det inte finns någon sådan kant. Grafen ovan skulle således representeras med 6 6 matrisen A = T.ex är matriselementet a 34 = 1 eftersom det finns en kant mellan hörn 3 och hörn 4. Av samma anledning är a 43 = 1. Eftersom det inte finns någon kant mellan hörn 1 och hörn 6 följer att a 61 = a 16 = 0. Man inser att om grafen är oriktad så följer att matrisen kommer att vara symmetrisk, dvs. A T = A.

11 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 11 av 12 Uppgift G1: Bestäm matrisen för grafen G 2 till höger. G I MATLAB kan vi gå andra hållet, dvs. om vi känner grafens matris så kan vi rita upp den. Det görs med kommandot > > gplot(a,coord) där A är grafens matris, och coord är en matris med två kolonner som anger koordinaterna för grafens hörn. Om man t.ex. definierar > > coord=[0 0; 1 0; 2 1; 3 0; 2-1; 4 0] så producerar kommandot gplot(a,coord) grafen. Uppgift G2: Definiera matrisen A för grafen G1 enligt ovan och rita den i MATLAB med koordinaterna definierade som ovan. Du får en något snyggare graf om du efteråt ger kommandona axis off (tar bort koordinataxlarna) resp. axis equal (ger x-axeln och y-axeln samma skalning). Uppgift G3: Rita på samma sätt grafen G 2 från uppgift G1, med lämpligt definierade koordinater för hörnen. Eftersom matrisen A innehåller all information om den graf som den representerar, så inser man att man borde kunna beräkna en mängd egenskaper med hjälp av denna matris. Det kan man också! Man kan också visa (inte så svårt) att matriselementet på plats (i,j) i matrisen A 2 innehåller antalet stigar av längd 2 från hörn i till hörn j. T.ex. gäller för grafen i början av detta avsnitt att A 2 = Här kan vi se t.ex. att det finns 2 stigar av längd 2 från hörn 2 till hörn 4, och det finns inga stigar av längd 2 från hörn 1 till hörn 6. Mer allmänt kan man visa att matrisen A k ger på samma sätt information om antalet stigar av längd k mellan grafens hörn. Uppgift G4: För grafen G 2 från uppgift G1, bestäm antalet stigar av längd 2 mellan hörn 3 och hörn. Bestäm också antalet stigar av längd 4 mellan hörn 3 och hörn Om du hinner - avstånd mellan hörn Om en graf G är sammanhängande så kan vi definiera avståndet mellan hörnen i och j som d(i,j) = längden av den kortaste stigen mellan i och j. Antag att grafen G representeras m.hj.a matrisen A. Eftersom elementet på plats (i, j) i matrisen A k ger antalet stigar av längd k mellan grafens hörn så inser man att elementet på plats (i,j) i matrisen A + A A k ger antalet stigar mellan grafens hörn som inte överstiger längden k. Om k 0 är det minsta heltalet sådant att alla element i matrisen S = 2

12 Vektoralgebra & linjära ekvationssystem sid. 12 av 12 A + A A k 0 är skilda från noll så är k 0 den längsta väg som krävs för att ta sig mellan två hörn i grafen G, dvs. k 0 = max d(i,j). i,j I matrisen S framgår också mellan vilka hörn denna längsta väg erfordras. Detta är ofta intressant information i tillämpningssammanhang, t.ex. om grafen beskriver ett järnvägsnät eller liknande. Extra uppgift: Visa att för grafen G 1 så är det störst avstånd mellan hörnen 1 och 6. Beräkna avståndet, dvs. d(1,6). Svaret är förstås 4, vilket man ser direkt eftersom vår graf G 1 är så enkel, men principen fungerar ju lika bra om vi hade betraktat en väldigt komplicerad graf med kanske några hundra hörn! Anmärkning. Om en graf G är sammanhängande med n hörn så kan man enkelt visa att det krävs en stig av maximalt längd n för att ta sig från ett hörn till ett annat. (Visa det med induktion!) Detta innebär att om G har n hörn så är G är sammanhängande om och endast om alla element i matrisen A + A A n är skilda från 0. Valbart avsnitt D: En roterande kub Kopiera m-filerna rotcubemovie.m, rotatecube.m, definecube.m, drawcube.m, movecube.m och cubecenter.m från k: matematik el matlab rotkub till mappen g: dokument. Ge därefter kommandot path(path) i MATLAB. Tillsammans utgör dessa filer ett litet MATLAB-program som visar en roterande kub som studsar omkring i ett tredimensionellt rum. Huvudprogrammet utgörs av filen rotcubemovie.m, och denna anropar sedan de andra filerna som funktioner/subrutiner. Programmet körs genom anropet rotcubemovie(v,w) där den första vektorn v anger kubens begynnelsehastighet medan den andra vektorn w anger kubens rotationshastighet (i grader per omritning) kring x, y och z axeln. Uppgift D1: Försöker du köra programmet nu, t.ex. med anropet > > rotcubemovie([0.2, 0.4, 0.3],[3,,2]) upptäcker du att kuben inte roterar. Detta skall du åtgärda genom att gå in i filen rotate- Cube.m och där definiera de korrekta rotationsmatriserna för rotation kring de olika axlarna. (I filen är dessa matriser för tillfället ersatta av enhetsmatriser som ju inte uträttar någonting). Observera att vinkelhastigheten redan räknas om från grader till radianer (krävs i MATLAB) genom raden v=v*pi/180. Ledning: Låt F z,θ : R 3 R 3 vara den linjära avbildning som roterar en punkt i rummet vinkeln θ (radianer) kring z axeln i moturs riktning. Genom att undersöka dess effekt på basvektorerna e x,e y och e z fås dess matris som A z,θ = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ (Se exempel 7 sid. 168 i kursboken). För att lösa uppgiften D1 behöver du på samma sätt ta fram matriserna A x,θ, A y,θ för motsvarande rotationer F x,θ och F y,θ kring x och y axlarna..

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Funktioner och grafritning i Matlab

Funktioner och grafritning i Matlab CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.

Läs mer

Linjära ekvationssystem i Matlab

Linjära ekvationssystem i Matlab CTH/GU LABORATION 2 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper Linjära ekvationssystem i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Homogena koordinater och datorgrafik

Homogena koordinater och datorgrafik Linjär algebra, AT3 2011/2012 Matematiska vetenskaper Inledning Homogena koordinater och datorgrafik Vi såg tidigare på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation och projektion.

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna

Läs mer

Grafritning och Matriser

Grafritning och Matriser Grafritning och Matriser Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1, ht11 1 Inledning Vi fortsätter under läsperiod och 3 att arbete med Matlab i matematikkurserna Dessutom kommer vi göra projektuppgifter

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner

Läs mer

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2 Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar Vektorer För att skapa vektorn x = [ 0 1 1 2 3 5]: >> x = [0 1 1 2 3 5] x = 0 1 1 2 3 5 För att ändra (eller lägga till)

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer