Ingenjörsmetodik IT & ME Föreläsare Dr. Gunnar Malm Tel Mitt kontor Electrum-huset C4

Transkript

1 Ingenjörsmetodik IT & ME 010 Föreläsare Dr. Gunnar Malm Tel Mitt kontor Electrum-huset C4 1

2 Att göra när vi repeterar Genomgång av den formelsamling som förberetts till tentan och som finns preliminärt på hemsidan Repetition utifrån Grimvall Repetition om kurvanpassning med MKmetoden (utifrån material på hemsidan kallas kap 6 ). Era frågor En avrundning av labmomentet med eventuella frågor inför rapportskrivandet. (Onsdag 13/10)

3 Mål Målrelaterade betyg 7-gradig betygsskala (A, B, C, D, E) godkänt (Fx, F) underkänt Betyget sätts på tentamen Labmomenten använder bara godkänd/underkänd. 3

4 Krav Tentamen torsdag 1 oktober eller vid omtenta i januari 010. Godkända labbar och skriftliga uppgifter, först då registreras slutbetyget i LADOK. Brister i labbar och skriftliga uppgifter kompletteras omedelbart efter rättning. 4

5 Likabehandling Funktionsnedsättning Har du en funktionsnedsättning och behöver särskilda hjälpmedel/stödåtgärder under utbildningen? Kontakta samordnaren för studenter med funktionsnedsättning så snart som möjligt! Tel: , E-post: nedsättning Funktionsnedsättning 5

6 Enheter i SI-systemet Finns 7 st grundenheter Ska känna igen de vanligaste Många härledda enheter Dessutom prefix nm, µm, mm, cm, m, km eller mg, g, hg, kg 6

7 7 st grundenheter Namn Symbol Vad mäter man? Meter m Längd Kilogram kg Massa Sekund s Tid Ampere A Elektrisk ström Kelvin K Termodynamisk temperatur mol mol Substansmängd candela cd Ljusstyrka 7

8 Definitioner Storhet Enhet Symbol Definition Längd Meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas i vakuum under ett tidsintervall av 1/ sekund. Massa Kilogram kg Ett kilogram är massan för den internationella kilogramprototypen. Tid Sekund s En sekund är tidsvaraktigheten av perioder av den strålning som motsvarar den fysikaliska övergången mellan de två hyperfina nivåerna av cesium 133 atomens grundnivå. Elektrisk ström Termodynamisk temperatur Substansmängd ampere A En ampere är den elektriska ström som fås när kraften mellan två oändligt långa parallela ledningar i vakuum som separeras 1 meter och som har ett försumbart tvärsnitt, blir 10-7 newton per meterlängd. kelvin K Kelvin som är enheten för den termodynamiska temperaturen är 1/73.15-del av den termodynamiska temperaturen av trippelpunkten för vatten. mol mol molekyler Ljusstyrka candela cd En candela är ljusstyrkan, i en given riktning, av en ljuskälla som emitterar monokromatisk strålning vid frekvensen hertz samt en strålningsstyrka i den riktningen av 1/683 watt per steradian. 8

9 Definitioner Meter bestäms ur ljusets hastighet Kilogram bestäms från en referens Sekunder definieras mha atomur - mycket exakt klocka Ström bestäms experimentellt Temperaturskalan bygger på vattnets frys- och kokpunkt Mol bestäms från kolatomens vikt Ljusintensitet bestäms av ögats känslighet för grönt ljus 9

10 Exempel härledda enheter newton N Kraft Newtons :a lag 1 N=1 1 N=1 kg m/s m kg s - joule J Energi Arbetet x vägen 1 J=1 N m 1 J=1 m kg s- watt W Effekt Energi / tid 1 W=1 J/s 1 W=1 m kg s-3 pascal Pa Tryck Kraft / yta 1 Pa=1 1 Pa=1 m - N/m 1 kg s - 10

11 Härledda enheter Enhet Symbol Definition I grundenheterna Vad som mäts radian rad 1 rad=1 m/m=1 m m -1 Planvinkel steradian sr 1 sr=1 m /m =1 m m - Rymdvinkel hertz Hz 1 Hz=1 s -1 1 Hz=1 s -1 Frekvens newton N 1 N=1 kg m/s 1 N=1 m kg s - Kraft joule J 1 J=1 N m 1 J=1 m kg s - Energi watt W 1 W=1 J/s 1 W=1 m kg s -3 Effekt pascal Pa 1 Pa=1 N/m 1 Pa=1 m -1 kg s - Tryck volt V 1 V=1 W/A 1 V=1 m kg s -3 A -1 Elektrisk spänning coulomb C 1 C=1 As 1 C=1 s A Elektrisk laddning ohm Ω 1 Ω=1 V/A 1 Ω=1 m kg s -3 A - Resistans farad F 1 F=1 C/V 1 F=1 m - kg -1 s 4 A Kapacitans henry H 1 H=1 Ωs 1 H=1 m kg s - A Induktans siemens S 1 S=1 A/V=1 Ω -1 1 S=1 m - kg -1 s 3 A Elektrisk konduktans weber Wb 1 Wb=1 Vs 1 Wb=1 m kg s - A -1 Magnetisk flöde tesla T 1 T=1 Wb/m 1 T=1 kg s - A -1 Magnetisk flödestäthet grader Celsius o C 1 o C=1 K 1 o C=1 K TemperaturCelsius lumen lm 1 lm=1 cdsr 1 lm=1 m m - cd Ljusflöde lux lx 1 lx=1 lm/m 1 lx=1 m m -4 cd Luminans katal kat 1 kat=1 mol/s 1 kat=1 s -1 mol Katalytisk aktivitet becquerel Bq 1 Bq=1 s -1 1 Bq=1 s -1 Radioaktivitet gray Gy 1 Gy=1 J/kg 1 Gy=1 m s - Absorberad dos av joniserad strålning sievert Sv 1 Sv=1 J/kg 1 Sv=1 m s - Dosekvivalent 11

12 Att förenkla till grundenheterna För elektriska enheter gäller speciellt att sambandet för elektrisk/mekanisk effekt är användbart Från V till grundenheterna: 1 V = = 1 W/A =[elektrisk effekt/ström] = 1 (J/s)/A = =[mekanisk effekt/ström] = 1 (N m/s)/a = = 1 [(kg m/s )m/s]/a = = 1 kg m /(As 3 ) 1

13 Exempel från labben Uppgift 3 Att jämföra olika batteriers kapacitet Från en urladdningskurva är det relativt enkelt att bestämma ett batteris kapacitet dvs den laddning man få ut innan spänningen sjunker under acceptabel nivå. Urladdningskurvan ger ju spänning som funktion av tid. Om man vet urladdningsresistansen är det enkelt att bestäma strömmen som flyter i kretsen. Om batteriet har en hög inre resistans måste kan korrigera för detta, se nedan Uppgift 5. Laddningen är ju då helt enkelt den integrerade strömmen. Antag att inre resistansen kan försummas och ställ upp detta matematiska samband och redovisa i din rapport. Välj nu datafilen test3_ txt här jämförs fyra st AAA batterier, för detaljer se EXCEL-filen. Skapa först en figur där de olika kurvorna är tydligt uppmarkerade. Beräkna nu laddningen = den integrerade strömmen för var och en av dem. Ange dina beräknade värden i enhten mah, förklara hur du gör för att få fram den. Gör en jämförelse mellan fallet när du tar med hela tidsintervallet och när du bara räknar med fram till den punkt där spänningen sjunkit till omkring halva maxvärdet. 13

14 Dimensionsanalys kastvidd stighöjd : : v v 0 0 sin g α sin α g Exempel - två uttryck som bör ha samma dimensioner Vinklar har dimensionen 1 Konstanter har också dimensioner 14

15 Dimensionsanalys För derivator gäller att df/dx och f(x)/x har samma dimension Exvis är dimensionen för hastighet = sträckan/tiden dim[v]=dim[ds/dt]=dim[s]/dim[t]= =L/T med symboler 15

16 Dimensionsanalys Varje term i en summa måste ha samma dimension Dimensioner för faktorer i en produkt multipliceras Vänsterledet och högerledet måste stämma överens s = s + vt + 0 at VL: dim(s)=l HL: dim(s 0 )=L HL: dim(vt)=(lt -1 )T=L HL: dim(at /)=(LT - )(T )/(1)=L 16

17 Dimensionsanalys Exempel ta fram dimensionerna för ett okänt uttryck Vill veta periodtiden för en gunga Påstående en vuxen och ett barn kan gunga i takt Förenkla problemet till en ideal pendel θ l L m g 17

18 Dimensionsanalys Ställ upp ett uttryck t = km Inför beteckningarna för dimensioner Förenkla T 1 L 0 M 0 =km x L y (LT - ) z x L y g z T 1=-z L 0=y+z M 0=x z=-1/, y=1/ t = k L g 18

19 19 Exempel Gauss formel Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y Osäkerheten betecknas Det värde vi sätter in är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av många uppmätta värden F F x y x y F = + x y, ( ) ( ) ( ) = = = y u y f x u x f f u y y x x c

20 Exempel Gauss formel I vårt exempel är F restiden t, x vägsträckan s och y bilens hastighet v Dvs: s = vt t = t = s v (, ) t( sv, ) (, ) (, ) t sv 1 t sv s =, = s v v v t sv s + v s v 0

21 Exempel Gauss formel Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 0 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SIsystemet för kommande beräkning? v = 70 km / h v = 0 km / h s = 30km s = 5km 1

22 Exempel Gauss formel 1 s t = s + v = v v = = 0.15h = 8min 30s t = v s , 60 = 5.7 min, = 16.7 min, = min Minsta värde Medelvärde Största värde 16.7 min 5.7 min 4 min

23 Alternativ metod Lägg ihop de relativa osäkerheterna t t t v s 5 5 = + = + = 0.381lös ut t v s = t = = 6.1min 3

24 Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är osäker på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser ( a 1 ) ( b 1 Aax ) 1 x1 Bbx x F = + F F x 1 x = a + b x 1 x Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar 4

25 5 Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser ( ) = + = + = = + = = = v v s v s v v t s s t t v v s s v v s s t t v s v s t

26 Mätvärden och mätfel Enligt Grimvall gäller att (sidan 34): sant värde = mätvärde mätfel Tre möjliga typer av mätfel 1. Grova fel, felavläsning. Systematiska fel, ex.vis något med mätutrustningen som varierar med temperatur 3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer 6

27 Exempel från Workshop 7

28 Exempel från Workshop 8

29 Mätvärden och mätfel Skillnaden mellan precision och noggrannhet illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 9

30 Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt) x Sant värde µ Standardavvikelse s σ Variansen σ För enstaka mätning Standardosäkerhet u För n st mätningar s n 30

31 Mätvärden och mätfel Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde µ Man säger att är en skattning av µ Uppgift 8 (5p) x Följande 10 stycken mätdata är givna. Mätning Värde 1,01,0 3 4,00 4 3,99 5,00 6 1,98 7 4,01 8 4,0 9, ,00 a) Kan man säga att medelvärdet för dessa 10 värden är en bra uppskattning av det sanna värdet för denna mätning? Motivera med en figur (3 p)! b) Beräkna standardavvikelsen för de 4 första värdena samt för alla 10 värden ( p). 31

32 Mätvärden och mätfel Lösning 8 a) Svar Nej, eftersom värdet tydligt hoppar mellan två nivåer nära och 4 och medelvärdet hamnar mitt emellan då dessa nivåer förekommer lika ofta ( 5 gånger var). Se figuren nedan: 3

33 Mätvärden och mätfel Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ Vi ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätningar vi gjort σ 1 n n = i 1 ( x x ) n 1 s = σ = xi x n 1 1 ( ) 33

34 Mätvärden och mätfel Om vi vill veta hur medelvärdet varierar kan vi också använda standardavvikelsen Vi definierar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätningar roll u = s n där s beräknas på samma sätt som tidigare 34

35 Exempel från labben I några av mätningarna har alla fyra kanaler använts för identiska batterier, ett sådant exempel fanns med i uppgift. Nu ska vi göra en statistisk analys på dessa data. I många fall vore det bra att ha mätningar på ca 10 batterier men fyra räcker i denna uppgift. Du ska nu använda de två filerna nedan för att beräkna medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerhet på batteriernas laddningskapacitet: AA_test_100814_4Dura.txt AA_test_100813_4KC.txt 35

36 Normalfördelningen f(x) Figur Gaussfördelningen σ=0.5 σ=0.5 µ= x Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen Kan uttryckas med välkänd formel, kallas normalfördelning f ( x) = σ ( x µ ) 1 σ e π 36

37 Normalfördelningen Figur Gaussfördelningen µ f(x) µ-σ µ+σ 0. µ-σ µ-3σ x µ+σ µ+3σ Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektive sannolikhet 37

38 Normalfördelningen Sannolikheten att hitta µ i intervallet zσ (ett sigma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) = f ( x) dx = f ( x) dx 1 = P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet ( µ σ ) < < ( µ + σ ) x (två sigma) som är: percentage within CI 1σ % 1.645σ 90% 1.960σ 95% σ %.576σ 99% 3σ % P µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) = f ( x) dx = f ( x) dx 1 = µ σ σ 99.9% 4σ % 5σ % 6σ % 7σ % 38

39 Modeller för tillväxt Exempel en skuld som växer med räntan 10% = 1.1 x för varje tidsintervall A = { 1000,1100,110,1331, 39

40 Räntetillväxt Växer snabbt är exempel på exponentiell tillväxt Inte så intressant rent matematiskt eller Figur 5. för en ingenjör a k k a k 40

41 En enkel ekvation Kan skriva upp ekvationen Om räntan r=1.1 så Detta betyder obgränsad tillväxt a n = ra n +1 Finns andra fall för SAMMA ekvation 41

42 En enkel ekvation r=0 Konstant värde =0 r=1 Alla startvärden är konstanta lösningar r<0 Oscillation svängning mellan positiva och negativa värden r <1 Avtagande mot 0 r >1 Obegränsad tillväxt 4

43 Räntetillväxt Viktigt fall när tillväxt och avtagande konkurerrar! Ändra ekvationen lite genom att lägga till b som kan vara ett positivt eller negativt tal: a = ra + n +1 n b 43

44 Resultat Exemplet visar att man når jämnvikt oberoende av var man startar Varför? r <

45 Räntetillväxt Vad händer då för r >1 Bara meningsfullt för b negativt annars tillväxt Tag r=1.01 och b=-1000 Prova olika startvärden 90000, ,

46 Resultat 1. x Avbetalningen måste vara tillräckligt stor för en viss ränta och storlek på skulden Mycket KÄNSLIGT för var man startar!

47 Matlabexempel Öva på detta genom att köra matlabexemplet som las ut till F11 47

48 Sammanfattning r=1 Värdet ändras inte bara en linje r <1 Stabil jämvikt r >1 Instabil jämvikt 48

49 Vad är (teknisk) uppskattning? Educated guess Någon form av information behövs Alternativt jämför med något man redan känner till för att slippa lösa problemet Svara med storleksordning, vanligtvis en tio-potens eller x Eller bestäm annan acceptabel noggrannhet i förväg Kap. 49

50 Uppskattningar 1. Identifiera huvudbidragsgivaren. Göra grova förenklingar 3. Formulera de viktiga sambanden 4. Utför snabba beräkningar 5. Dra slutsatser och resonera kring resultat, rimligt eller ej En stegvis process, som styrs av resurser (tid, manpower) och tänkt användningsområde 50

51 Typer av uppskattningar 1. Storleksordning. Skalning från kända fakta/värden 3. Produkt av uppskattade värden 4. Olikheter 5. Summor av bidrag (med olika storleksordning) 6. Egocentriska resonemang 7. Ekonomi 8. Vardagskunskap 51

52 1. Storleksordning.1 Storleksordning Begrunda följande påståenden: (a) Antalet invånare i Sverige vid 006 var (b) Antalet invånare i Sverige vid utgången av år 006 var 9 miljoner. (c) Antalet invånare i Sverige vid utgången av år 006 var av storleksordningen 9 miljoner. (d) Antalet invånare i Sverige vid utgången av år 006 var av storleksordningen 10 miljoner. 5

53 1. Storleksordning Boken inför begreppen typiskt värde eller karakteristiskt värde Kan liknas t.ex vid medelvärdet medan storleksordningen lite grovt kan sägas vara tio -potensen 53

54 Tre exempel på uppskattningar Från den egna situationen kompletterat med viss info 54

55 Hemuppgifterna Gör experimentet att koka en kopp te med vattenkokare (kaffebryggare), spisplatta Uppskatta energiförbrukningen! Tips läs märkningen på apparaten och mät tiden! 55

56 Experimentet/läxan Volym Antal koppar Tid Energi Enhet Effekt 40 Wh 144 KJ 11 min 1500 W 66 s 9.4 Kj s 48 Wh 00.5 dl 45 s 99 kw ml 180 s kw/h min 000 1liter 09 s kwh 000 liter 4 min kwh s 3 wattimmar 00 dl 3 min 0. kg 75kJ 4dl 1 00J 65 s 91.4 kj l 1 98 s kj 130 s 60 kj 000 dl 55 s J s 16 kj

57 Uppskattning energiförluster Uppskatta energiförlusterna hemma hos dig när det gäller apparater som står i standby -läge Ta hjälp av tabellen: 57

58 Uppskattning energiförluster Här är min lista på elförbrukare i min lägenhet. De som är satta till med noll är normalt urpluggade när de ej används aktivt (ex. anslutna till avstängningsbart skyddsgrenuttag). Kolumnen längst till höger är en uppskattning av den aktiva förbrukningen hos varje pryl. Datorskärm LCD 3st 0 65 Stationär Dator 0 10 Laptop Server Router/Brandvägg 0 60 WiFi Accesspunkt 0 0 4ports Switch Laserskrivare Surroundreceiver 3 00 HTPC (Hembiodator) Subwoofer Mikrovågsugn Mobilladdare 0,3 3,5 Projektor LCD 3 50 Piano/Keyboard 15 38,3 553,5 Slutsats: Jag förbrukar ca 40W per timme eller 144 kj (40 * 3,6) i prylar som står i standbyläge. När jag tittar i listan så ser jag ganska snart att alla grejer kan jag lika gärna plugga ur när de inte används. 58

59 Hemuppgifterna Gör experimentet enligt Grimvall sidan 73, uppgift 10 om språkkunskaper, behöver inte göra 10 sidor. 59

60 Hemuppgifterna Ur lexikon med ord och fraser 60

61 Hemuppgifterna Jag har valt Engelska och ordboken "Norstedts stora engelska-svenska ordbok" 1993 Norstedts ISBN boken har ord och har 1071sidor. Jag valde att slumpa fram 10 sidor på måfå. Tabell över igenkända ord 16 ord på sida 1 5 ord på sida 9 ord på sida 3 3 ord på sida 4 16 ord på sida 5 1 ord på sida 6 0 ord på sida 7 15 ord på sida 8 4 ord på sida 9 10 ord på sida 10 Summa 170 ord på 10 sidor, dvs 17 ord per sida blir totalt 17 ggr1071 blir c:a ord totalt Jag tittade i ett franskt lexikon och slog upp 4 sidor. Kunde i genomsnitt ett ord på varje sida. Hela lexikonet är på 69 sidor. Uppskattningen av mitt franska ordförråd måste därför vara ca 70 ord. SVAR: 70 ord, om jag förstått uppgiften rätt. 61

62 . Skalning från kända fakta/värden Exempel: Hur många barn föds varje sekund på jorden Svar: Totala befolkningen är 6 miljarder (6x10 9 ), livslängden kanske 60 år. Minst 6x10 9 /60 föds per år 6x10 9 /60/365/4/ per s 6

63 3. Produkt av uppskattade värden Bokens exempel: Finns det intelligent liv i universum? Green Bank/Drake ekvationen ALLA ingående värden är uppskattade = okända! 63

64 4. Olikheter Bokens exempel: Kan man täcka jorden med papper? Tar ett känt värde för jordens landarea och faktoriserar detta 4 9 1,5 10 m = ( 5m ) individer x dagar x tid x personlig åtgång 64

65 5. Summor av bidrag (med olika storleksordning) Vad är den totala mängden vatten på jorden? Ursprung Volym (1000 km 3 ) Gamla boken Nya boken Hav Grundvatten Polarisen Sjöar Floder 1 Atmosfären Summa 1.4x x

66 6. Egocentriska resonemang Egocentriska resonemang Var är den genomsnittliga pendlingstiden för en Kista-student? Vad kostar samtlig kurslitteratur under dina 5 år på KTH? 66

67 Interpolation och Kurvanpassning i Matlab kap 8 EKM 1. Formeltransformering ett sätt att uttrycka mätdata med en rät linje. Minsta kvadratmetoden att hitta den bästa räta linjen 67

68 Högre-gradspolynom: Interpolering Lägre-gradspolynom: Modellanpassning P 9 k 9 x = ak x = a0 + a1x + ax a9x k= 0 ( ) 9 P ( ) k x a x = a + a x a = k x k = 0 68

69 andra metoder m m Minimera y ( ) i f x i i= 1 Minimera {Max f ( ) 1 (6.6) y i x i }, i=1,,..., m (6.7) Minimera y f ( x ) = [ y f ( x )] i i i 3 i i= 1 Chebyshev m 3 (6.8) i= 1 69

70 Minsta kvadratmetoden S(a,b)=Σ y i -f(x i ) =Σ[y i -(a+bx i )]. a och b i f(x)=a+bx är de bästa approximationerna vi kan hitta enligt minsta kvadratmetoden. a och b är okända variabler {x i } och {y i } (i=1,,, m) är de kända mätresultaten. 70

71 71 = = = + m i i m i x i y b am 1 1 = = = = + m i i i m i i m i i y x x b x a Partiell derivering Linjärt ekvationssystem för a och b kan lösas efter Algebrakursen...

72 = = = = = = = m i i m i i m i i m i i i m i i m i i x x m x y x x y a = = = = = = m i i m i i m i i m i i m i i i x x m x y y x m b Lösning till MK a - skärningspunkten på y-axeln b linjens lutningskoeffecient. a och b är de bästa approximationerna till A och B enligt minsta kvadratmetoden.

73 MK exempel med siffror Exempel värdepar (xi,y Kan räknas för hand relativt snabbt) 73

74 Nästa tillfälle Onsdag, kompletterande tillfälle gällande labben och framförallt rapporten Därefter Richard Nordberg 15/10 74