Ingenjörsmetodik IT & ME 2010 Föreläsning 5

Transkript

1 Ingenjörsmetodik IT & ME 010 Föreläsning 5 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 1

2 Frågor från förra gången?

3 Statistik som tekniskt hjälpmedel Ingenjörer tittat på fördelningar och avvikelser inte torra tabeller! 3

4 Repetition En matematiker, en fysiker och en ingenjör reste med tåg genom Skottland när de såg ett svart får F3 Uppskattningar - en effektiv teknisk genom problemslösningsmetod fönstret. "Aha," säger ingenjören, "skotska får är svarta!". "Hmmm...," säger fysikern, "du menar Tryckte på valet av metod och i praktiken väl egentligen på varifrån att du man nu vet hämtar att det kända finns värden/fakta svarta får i Skottland!". "Nej," Rimlighetsanalysen kan leda till att är att det finns minst ett får i tid/resurser inte är tillräckliga för ett svar av man fåret är är nöjd svart!". med. IDAG gör vi en noggrann beräkning av felet i våra tekniska beräkningar säger matematikern, "det enda vi vet Skottland, och att åtminstone en sida 4

5 Kopplingen till gymnasiematten Dagens föreläsning Gauss formel för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet EXEMPEL om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet! 5

6 6 Exempel Gauss formel Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y Osäkerheten betecknas Det värde vi sätter in är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av många uppmätta värden F F x y x y F + x y, ( ) ( ) ( ) y u y f x u x f f u y y x x c

7 Exempel Gauss formel I vårt exempel är F restiden t, x vägsträckan s och y bilens hastighet v Dvs: s vt t t s v (, ) t( sv, ) (, ) (, ) t sv 1 t sv s, s v v v t sv s + v s v 7

8 Exempel Gauss formel Vi kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 0 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör vi gå över till grundenheter i SIsystemet för kommande beräkning? v 70 km / h v 0 km / h s 30km s 5km 8

9 Exempel Gauss formel 1 s t s + v v v h 8min 30s t v s , min, 16.7 min, min Minsta värde Medelvärde Största värde 16.7 min 5.7 min 4 min 9

10 Alternativ metod Lägg ihop de relativa osäkerheterna t t t v s lös ut t v s t min 10

11 Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är osäker på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser ( a 1 ) ( b 1 Aax ) 1 x1 Bbx x F + F F x 1 x a + b x 1 x Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar 11

12 1 Exempel Gauss formel Vilken av formlerna fungerar på det exemplet vi just visade? SVAR: produkt av potenser ( ) v v s v s v v t s s t t v v s s v v s s t t v s v s t

13 Hur kan Gauss formel användas För en ingenjör gäller att kraven på produkten måste uppfyllas Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat 13

14 Hur kan Gauss formel användas f 1 π LC Tag en radiomottagarkrets i en mobiltelefon som exempel I 3G gäller det att ställa in rätt frekvens, med hjälp av en induktans (spole) och en kapacitans (kondensator) Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varierar något and MHz Frequency Division Duplex (FDD, W-CDMA, channel spacing is 5 MHz and raster is 00 khz. 14

15 Hur kan Gauss formel användas Spolar VCC Kondensatorer Layout och kretsschema 15

16 Hur kan Gauss formel användas Givna värden för frekvensen L 0.6 ± 0.1nH C 10.0 ± 0.1pF ger Δf f f π L L C + C eller GHz MHz Detta kan uttryckas som 8% variation och är inte tillräckligt bra eftersom kanalseparationen ska vara bara 5 MHz! 9 Hz 16

17 Mätvärden och mätfel Vad mäter vi? Fysikaliska storheter: Strömmar, spänningar, temperaturer Mer komplicerade storheter som överföringshastighet, bit error rate En ingenjör vill oftast testa sin konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan! I produktion vill man undersöka kvaliteten 17

18 Mätvärden och mätfel Nu går vi in på hur man behandlar resultaten från många mätningar med statistik 1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar 3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar 18

19 Mätvärden och mätfel Tre möjliga typer av mätfel 1. Grova fel, felavläsning. Systematiska fel, ex.vis något med mätutrustningen som varierar med temperatur 3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer 19

20 Mätvärden och mätfel Skillnaden mellan precision och noggrannhet illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 0

21 Mätvärden och mätfel Medelvärde (aritmetiskt) x Sant värde µ Standardavvikelse s σ Variansen σ Standardosäkerhet u För n st mätningar s n 1

22 Mätvärden och mätfel Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde µ Man säger att är en skattning av µ x

23 Mätvärden och mätfel Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ Vi ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätningar vi gjort σ 1 n n i 1 ( x x ) n 1 s σ xi x n 1 1 ( ) 3

24 Mätvärden och mätfel Om vi vill veta hur medelvärdet varierar kan vi också använda standardavvikelsen Vi definierar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätningar roll u s n där s beräknas på samma sätt som tidigare 4

25 Normalfördelningen f(x) Figur Gaussfördelningen σ0.5 σ0.5 µ x Visar förväntad spridning för två värden på standardavvikelsen Kan uttryckas med välkänd formel, kallas normalfördelning f ( x) σ ( x µ ) 1 σ e π 5

26 Normalfördelningen Figur Gaussfördelningen µ f(x) µ-σ µ+σ 0. µ-σ µ-3σ x µ+σ µ+3σ Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektive sannolikhet 6

27 Normalfördelningen Sannolikheten att hitta µ i intervallet zσ (ett sigma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet ( µ σ ) < < ( µ + σ ) x (två sigma) som är: percentage within CI 1σ % 1.645σ 90% 1.960σ 95% σ %.576σ 99% 3σ % P µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( x) dx f ( x) dx µ σ σ 99.9% 4σ % 5σ % 6σ % 7σ % 7

28 Exempel på mätvärdesbehandling Exempel Vid vägning av ett antal personer erhölls följande resultat: Massa (kg) Antal

29 Exempel på mätvärdesbehandling Antal personer Massa (kg) 9

30 Exempel på mätvärdesbehandling Standardavvikelsen s kan beräknas enligt: s m j 1 k ( x) j ξ j n 1 8 j 1 k j v n 1 j ( kg) Svar blir: medelvärdet73.7 kg, standardavvikelsen6.3 kg. 30

31 Exempel på mätvärdebehandling Histogram Frequency Medel: 33,1 Standardavvikelse: 5, ,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,015 0,01 0,005 0 Bin Verkligt material gamla tentaresultat, följer inte gaussfördelning helt och hållet Flera resultat ligger utanför 1σ intervallet 31

32 Sammanfattning Vi har definierat sammansatt fel eller Gauss regel mha partiella derivator Har visat grunderna i statistisk mätvärdesbehandling 3

33 Nästa föreläsning(ar) Tis 14 sep faller bort pga schemakrock, mer info om detta kommer efterhand Ons, 15 Sep, 10:00-11:45 Gästföreläsning från Annika Tidblad- Ahlberg från Intertek i Kista Årets tema: Batterier Ons, 15 Sep, 13:00-14:45 Richard Nordberg skrivande med särskilt fokus på problemlösande. I ELECTRUM sal C!!! 33

34 Läxa till nästa gång Installera och aktivera MATLAB från adressen: progdist.ug.kth.se/ Logga in med ditt KTHnamn med tecknen: UG\ framför Inga extra tecken för lösenordet 34

35 Värdesiffror Vid beräkningar får man ta hänsyn till antalet värdesiffror i de ingående termerna eller faktorerna Värdesiffrorna kan också bestämmas genom en beräkning av det sammansatta felet eller standardosäkerheten! 35

36 Värdesiffror a) När man presenterar experimentella resultat, är det bara den sista siffran skild från noll som får vara osäker. Exempelvis när man mäter upp höjden av en bokhylla med ett vanligt måttband. Det minsta markerade avståndet är millimeter (mm). Då får man ett mätfel på minst ±0.01 cm, och man har ingen chans att mäta, tex, cm. 36

37 Värdesiffror b) När man avrundar en numerisk siffra, gör man som vanligt: till och till

38 Värdesiffror c) Antal signifikanta siffror beror inte på var decimal-punkten ligger, eftersom det beror på val av enhet (meter eller millimeter, t.ex.) och har ingenting att göra med noggrannheten. Det påverkas inte heller av hur man presenterar sina resultat: cm har lika många signifikanta siffror (4) som km. En nolla innan den första siffran skild från noll behandlas inte som en signifikant siffra. Men en nolla efter den sista siffran skild från noll påverkar antalet signifikanta siffror. 38