Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Repetion

Transkript

1 Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Repetion F14 torsdag 13 okt, repetition av nyckelbegrepp och metoder i kursen inför tentamen Ö7 torsdag 13 okt, fokus på gamla tentor 1

2 Frågor från förra gången Inlämingstiden för MATLAB delens rapport bestämd till tisdagen 18/10, kl (svensk tid) Tillåtna hjälpmedel på tentamen? Hjälpmedel vid tentamen är boken Ingenjörens verktyg av Grimvall, samt boken Introduction to Matlab (Pocket) av Etter, Dolores 2010 (ISBN ), linjal och miniräknare. OBS! Ni måste ha med er egna hjälpmedel! Ni får ej låna böcker, kompendier eller miniräknare av varandra på tentamen! 2

3 Kursplanens mål Efter kursen ska studenten kunna redogöra för tekniska modeller med varierande komplexitet, från uppskattningar till datorbaserade algoritmer och effektivt kunna använda dessa modeller i sin ingenjörsroll. Studenten ska kunna härleda eller ställa upp en modell från en problemtext genom att t.ex. använda dimensionsanalys av ingående parametrar. 4

4 Kursplanens mål Studenten ska kunna analysera kvaliteten på ett modelleringsresultat med avseende på osäkerheten i sina antaganden och i modellparametrarna. Studenten ska kunna använda grundläggande statistiska begrepp och metoder som standardavvikelse och felfortplantning för analys av mätresultat. Studenten ska kunna presentera sina modellresultat på ett strukturerat sätt, med tyngdpunkt på tydliga figurer och kurvor och enligt en given mall för en teknisk rapport. 5

5 Mål I kursplanen finns 5 mål redovisade Kan examineras på många olika sätt men huvudsakligen skriftligt Rapport, Tenta Även vissa muntliga redovisningar vid labbar 6

6 Mål Målrelaterade betyg 7-gradig betygsskala (A, B, C, D, E) godkänt (Fx, F) underkänt Betyget sätts på tentamen Labmomenten använder bara godkänd/underkänd. 7

7 Krav Tentamen onsdag 19 oktober eller vid omtentamen Godkända labbar och skriftliga uppgifter, först då registreras slutbetyget i LADOK. Brister i labbar och skriftliga uppgifter kompletteras omedelbart efter rättning. 8

8 Diskussionuppgift på KTH Social Skicka in rimliga svar på mer än 50% av de diskussioner som jag lägger ut. Som rimligt svar räknas även en utförlig kommentar på en annan students uppgift. Detta ger ca 5% bonus på tentan eller möjlighet till högre betygssteg exvis C istf B. Jag sammanställer genom att söka igenom alla inlägg efter sista föreläsningen. 9

9 /funktionsnedsattning 10

10 Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 2 Enheter i SI-systemet Kap 1 Storhet /mätetal/enhet/symbol Grundläggande enheter 7 st Härledda enheter (många) Andra enhetssystem Dimensionsanalys Kap 6 Symboler Kontroll/härledning av dimensionsenliga uttryck 11

11 Mätetal och enheter

12 7 st grundenheter Namn Beteckni Vad mäter man? ng Meter m Längd Kilogram kg Massa Sekund s Tid Ampere A Elektrisk ström Kelvin K Termodynamisk temperatur mol mol Substansmängd candela cd Ljusstyrka 14

13 Definitioner Storhet Enhet Beteckning Definition Längd Meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas i vakuum under ett tidsintervall av 1/ sekund. Massa Kilogram kg Ett kilogram är massan för den internationella kilogramprototypen. Tid Sekund s En sekund är tidsvaraktigheten av perioder av den strålning som motsvarar den fysikaliska övergången mellan de två hyperfina nivåerna av cesium 133 atomens grundnivå. Elektrisk ström Termodynamisk temperatur Substansmängd ampere A En ampere är den elektriska ström som fås när kraften mellan två oändligt långa parallela ledningar i vakuum som separeras 1 meter och som har ett försumbart tvärsnitt, blir newton per meterlängd. kelvin K Kelvin som är enheten för den termodynamiska temperaturen är 1/ del av den termodynamiska temperaturen av trippelpunkten för vatten. mol mol molekyler Ljusstyrka candela cd En candela är ljusstyrkan, i en given riktning, av en ljuskälla som emitterar monokromatisk strålning vid frekvensen hertz samt en strålningsstyrka i den riktningen av 1/683 watt per steradian. 15

14 Härledda enheter Enhet Symbol Definition I grundenheterna Vad som mäts radian rad 1 rad=1 m/m=1 m m -1 Planvinkel steradian sr 1 sr=1 m 2 /m 2 =1 m 2 m -2 Rymdvinkel hertz Hz 1 Hz=1 s -1 1 Hz=1 s -1 Frekvens newton N 1 N=1 kg m/s 2 1 N=1 m kg s -2 Kraft joule J 1 J=1 N m 1 J=1 m 2 kg s -2 Energi watt W 1 W=1 J/s 1 W=1 m 2 kg s -3 Effekt pascal Pa 1 Pa=1 N/m 2 1 Pa=1 m -1 kg s -2 Tryck volt V 1 V=1 W/A 1 V=1 m 2 kg s -3 A -1 Elektrisk spänning coulomb C 1 C=1 As 1 C=1 s A Elektrisk laddning ohm Ω 1 Ω=1 V/A 1 Ω=1 m 2 kg s -3 A -2 Resistans farad F 1 F=1 C/V 1 F=1 m -2 kg -1 s 4 A 2 Kapacitans henry H 1 H=1 Ωs 1 H=1 m 2 kg s -2 A 2 Induktans siemens S 1 S=1 A/V=1 Ω -1 1 S=1 m -2 kg -1 s 3 A 2 Elektrisk konduktans weber Wb 1 Wb=1 Vs 1 Wb=1 m 2 kg s -2 A -1 Magnetisk flöde tesla T 1 T=1 Wb/m 2 1 T=1 kg s -2 A -1 Magnetisk flödestäthet grader Celsius o C 1 o C=1 K 1 o C=1 K TemperaturCelsius lumen lm 1 lm=1 cdsr 1 lm=1 m 2 m -2 cd Ljusflöde lux lx 1 lx=1 lm/m 2 1 lx=1 m 2 m -4 cd Luminans katal kat 1 kat=1 mol/s 1 kat=1 s -1 mol Katalytisk aktivitet becquerel Bq 1 Bq=1 s -1 1 Bq=1 s -1 Radioaktivitet gray Gy 1 Gy=1 J/kg 1 Gy=1 m 2 s -2 Absorberad dos av joniserad strålning sievert Sv 1 Sv=1 J/kg 1 Sv=1 m 2 s -2 Dosekvivalent 17

15 Exempel härledda enheter newton N Kraft Newtons 2:a lag 1 N=1 kg m/s 2 1 N=1 m kg s -2 joule J Energi Arbetet x vägen 1 J=1 N m 1 J=1 m2 kg s-2 watt W Effekt Energi / tid 1 W=1 J/s 1 W=1 m2 kg s-3 pascal Pa Tryck Kraft / yta 1 Pa=1 N/m 2 1 Pa=1 m - 1 kg s -2 18

16 Enheter i andra system Främst i USA, Storbritanien Skillnaden är bl.a. att längden mäts i något annat än meter Även andra viktmått I fysiken finns cgs-systemet I högenergifysik sätts ljushastigheten till 1 (enhetslöst) relativity.html 19

17 Användning av dimensionsanalys 1. Kontroll av formler 2. Härledning av formler 20

18 Samband enheter & dimensioner Namn Symbol Symbol i dimensionsanalys Meter m L Kilogram kg M Sekund s T Ampere A I kelvin K Θ mol mol N candela cd J 21

19 Dimension exempel dim(fart) = LT -1 dim(laddning) = IT dim(rörelseenergi) = ML 2 T -2 22

20 Viktiga regler Termer som adderas eller subtraheras måste ha samma dimension Argumentet i exponentialfunktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner måste ha dimensionen 1 (vara dimensionslöst) Derivator, integraler och differentialekvationer ingår också i dimensionsanalysen 23

21 Dimensionsanalys Varje term i en summa måste ha samma dimension Dimensioner för faktorer i en produkt multipliceras Vänsterledet och högerledet måste stämma överens s = s + vt + 0 at 2 2 VL: dim(s)=l HL: dim(s 0 )=L HL: dim(vt)=(lt -1 )T=L HL: dim(at 2 /2)=(LT -2 )(T 2 )/(1)=L 24

22 Dimensionsanalys För derivator gäller att: df(x)/dx och f(x)/x har samma dimension Exvis är dimensionen för hastighet = sträckan/tiden dim[v]=dim[ds/dt]=dim[s]/dim[t]= =L/T med symboler 25

23 Vad är (teknisk) uppskattning? Educated guess Någon form av information behövs Alternativt jämför med något man redan känner till för att slippa lösa problemet Svara med storleksordning, vanligtvis en tio-potens eller 2 x Eller bestäm annan acceptabel noggrannhet i förväg Kap. 2 26

24 Uppskattningar 1. Identifiera huvudbidragsgivaren 2. Göra grova förenklingar 3. Formulera de viktiga sambanden 4. Utför snabba beräkningar 5. Dra slutsatser och resonera kring resultat, rimligt eller ej En stegvis process, som styrs av resurser (tid, manpower) och tänkt användningsområde 27

25 Typer av uppskattningar 1. Storleksordning 2. Skalning från kända fakta/värden 3. Produkt av uppskattade värden 4. Olikheter 5. Summor av bidrag (med olika storleksordning) 6. Egocentriska resonemang 7. Ekonomi 8. Vardagskunskap 28

26 1. Storleksordning Bokens avsnitt 2.2 inför begreppen typiskt värde eller karakteristiskt värde Kan liknas t.ex. vid medelvärdet medan storleksordningen lite grovt kan sägas vara tio -potensen Prefixen bokens 2.3 kan användas som storleksindikator exempel som nanovetenskap eller mikroelektronik 29

27 1. Storleksordning Bokens avsnitt 2.4 beskriver hur man kan göra en jämförelse med en viss faktor elektronens och protonens massa skiljer sig åt med en faktor av storleksordning

28 2. Skalning från kända fakta/värden Exempel: Hur många barn föds varje sekund på jorden Svar: Totala befolkningen är 6 miljarder (6x10 9 ), livslängden kanske 60 år. Minst 6x10 9 /60 föds per år 6x10 9 /60/365/24/ per s Behöver göra en oberoende uppskattning för att undersöka rimligheten Kan i detta fall göras utifrån den kända befolkningsökningen på 1,2 % per år. 31

29 3. Produkt av uppskattade värden Bokens exempel: Finns det intelligent liv i universum? Green Bank/Drake ekvationen ALLA ingående värden är uppskattade = okända! 32

30 3. Produkt av uppskattade värden Men om några värden är bättre kända än övriga ska de inte avrundas för tidigt i uträkningen. 33

31 4. Olikheter Bokens exempel: Kan man täcka jorden med papper? Tar ett känt värde för jordens landarea och faktoriserar detta ,5 10 m = ( 2 5m ) individer x dagar x tid x personlig åtgång Måste nu jämföra detta med något konkret exempelvis en tidning med lämpligt antal sidor. 34

32 5. Summor av bidrag (med olika storleksordning) Vad är den totala mängden vatten på jorden? Ursprung Volym (1000 km 3 ) Gammalt kompend. Grimvall Hav Grundvatten Polarisen Sjöar Floder 1 2 Atmosfären Summa 1.4x x

33 5. Summor av bidrag (med olika storleksordning) Här har vi tillgång till två olika men inte helt oberoende faktakällor Hur påverkar det resultatet? Svar: mycket litet, varierar i andra siffran ett bidrag dominerar 36

34 6. Egocentriska resonemang Egocentriska resonemang Var är den genomsnittliga pendlingstiden för en Kista-student? Vad kostar samtlig kurslitteratur under dina 5 år på KTH? 37

35 Läsanvisningar till kap 4, 5, 7 Kapitel 4 Att sätta ett mått Kapitel 5 Räkneregler Kapitel 7 Approximationer och korrektioner 4 Hela Som exempel, speciellt angående riskanalys 6, 7, 8 5 Delar 5.4 och 5.5 4, 5, 6, 7 7 Delar

36 4.1 Normering Används för meningsfull jämförelse av data (priser, befolkning, trafik m.m.) koppling till mer tekniskt innehåll i denna kurs Titta på exemplet hållbar utveckling rotocol 40

37 Civilingenjörsexamen Civilingenjörsexamen Omfattning Civilingenjörsexamen uppnås efter att studenten fullgjort kursfordringar om 300 högskolepoäng. Mål För civilingenjörsexamen skall studenten visa sådan kunskap och förmåga som krävs för att självständigt arbeta som civilingenjör. Kunskap och förståelse För civilingenjörsexamen skall studenten - visa kunskap om det valda teknikområdets vetenskapliga grund och beprövade erfarenhet samt insikt i aktuellt forsknings- och utvecklingsarbete, och - visa såväl brett kunnande inom det valda teknikområdet, inbegripet kunskaper i matematik och naturvetenskap, som väsentligt fördjupade kunskaper inom vissa delar av området. Färdighet och förmåga För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att med helhetssyn kritiskt, självständigt och kreativt identifiera, formulera och hantera komplexa frågeställningar samt att delta i forsknings- och utvecklingsarbete och därigenom bidra till kunskapsutvecklingen, - visa förmåga att skapa, analysera och kritiskt utvärdera olika tekniska lösningar, - visa förmåga att planera och med adekvata metoder genomföra kvalificerade uppgifter inom givna ramar, - visa förmåga att kritiskt och systematiskt integrera kunskap samt visa förmåga att modellera, simulera, förutsäga och utvärdera skeenden även med begränsad information, - visa förmåga att utveckla och utforma produkter, processer och system med hänsyn till människors förutsättningar och behov och samhällets mål för ekonomiskt, socialt och ekologiskt hållbar utveckling, - visa förmåga till lagarbete och samverkan i grupper med olika sammansättning, och - visa förmåga att i såväl nationella som internationella sammanhang muntligt och skriftligt i dialog med olika grupper klart redogöra för och diskutera sina slutsatser och den kunskap och de argument som ligger till grund för dessa. Värderingsförmåga och förhållningssätt För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att göra bedömningar med hänsyn till relevanta vetenskapliga, samhälleliga och etiska aspekter samt visa medvetenhet om etiska aspekter på forsknings- och utvecklingsarbete, - visa insikt i teknikens möjligheter och begränsningar, dess roll i samhället och människors ansvar för hur den används, inbegripet sociala och ekonomiska aspekter samt miljö- och arbetsmiljöaspekter, och - visa förmåga att identifiera sitt behov av ytterligare kunskap och att fortlöpande utveckla sin kompetens. Självständigt arbete (examensarbete) För civilingenjörsexamen skall studenten inom ramen för kursfordringarna ha fullgjort ett självständigt arbete (examensarbete) om minst 30 högskolepoäng. Övrigt För civilingenjörsexamen skall också de preciserade krav gälla som varje högskola själv bestämmer inom ramen för kraven i denna examensbeskrivning. 41

38 Normering Under the Protocol, 37 countries ("Annex I countries") commit themselves to a reduction of four greenhouse gases (GHG) (carbon dioxide, methane, nitrous oxide, sulphur hexafluoride) and two groups of gases (hydrofluorocarbons and perfluorocarbons) produced by them, and all member countries give general commitments. Annex I countries agreed to reduce their collective greenhouse gas emissions by 5.2% from the 1990 level. 42

39 Gränsvärden Exvis högsta tillåtna exponering Utsläppsvolymer jfr Kyoto-exemplet Dos-responssamband av två typer Tröskeldos Stokastiska skador 43

40 Peer-instruction: Dos-responssamband Vad skulle detta kunna motsvara i verkligheten? Försök hitta andra exempel än bokens? Jobba gruppvis 2 eller 3 44

41 Onormala händelser Kan inte kvantifieras genom direkta mätdata Exempel är naturkatastrofer och andra stora olyckor Aktuellt detta år är återigen kärnkraftolyckan i Japan Förra stora olyckan 1986 i Tjernobyl de flesta av er inte födda 45

42 Kapitel 5 Räkneregler Överslagsberäkningar Små variationer 5.4 Metoder för att upptäcka fel

43 Små variationer v = 2gh n ( 1+ x) = 1+ nx 1 2 ( p) = p Allmänt gäller: Antag att fallhöjden h ökar med 6 %, hur mycket ökar då farten v? Q q n liten ändring i q med p % ger en liten ändring i Q med pn % 47

44 Specialfall och extremfall En metod att (till en del) kontrollera en allmän lösning är att betrakta ett specialfall Exempel flygtid där med lösningen relativ lufthastighet är känd eller v och vindhastighet u lätt att erhålla Vilka specialfall finns till formeln nedan: Vilka specialfall finns till andragradsekvationen? ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = 2 b a ± 2 b 4a 2 c a 48

45 Vad menas med försumbar? Ett batteri med försumbar inre resistans ansluts till en elektrisk krets 50

46 Exempel på första ordningens korrektion 51

47 Exempel på andra ordningens korrektion Exemplet med pendelfrekvensen som vi känner igen 52

48 Inledning matematiska modeller Mätdata/resultat förenkling Modell verifikation analys Förutsägelser förklaring/uttolkning Matematiska slutsatser 54

49 Lagar och formler Vi utgår ifrån matematiska samband av typen A = BC och diskturerar om de är approximativa eller helt sanna Visar med exempel att det finns många andra situationer mellan ytterligheterna 55

50 Lagar och formler Fysikaliska teorier Definitioner Abstrakta begrepp Naturlag Approximation inom gränser Serieutveckling Approximation 56

51 Lagar och formler Som exempel på approximation ges friktionslagen, sambandet mellan friktion- och normalkraften på formen: F = μn Oberoende av ex.vis kontaktarean, föremålets massa och med en konstant som inte kan variera 57

52 Lagar och formler Som exempel på approximation mha serieutveckling ges Ohms lag: U = II Men på formen: I = f U = f 0 + U dd +U2 d2f dd U=0 dd2 U=0 58

53 Lagar och formler Som exempel på approximation mha serieutveckling ges Ohms lag: U = II Men på formen: I = f U = f 0 + U dd +U2 d2f dd U=0 dd2 U=0 Här finns en definition av resistansen: R = ρρ A 59

54 Lagar och formler Hookes lag är god approximation inom vissa gränser lag 60

55 Lagar och formler Newtons rörelseekvation är en naturlag F = mm Kan kombineras med en relativistisk massa på följande sätt m = m 0 1 v 2 c 2 61

56 Lagar och formler Definiera ett begrepp av typen våglängd λ se boken för exakt formulering Abstrakt begrepp kan man definiera med matematiska samband Sambandet mellan frekvens och våglängd för en idealiserad våg är ett exempel på detta c = λλ eeeee c = λλ 62

57 Lagar och formler När storheter definieras genom en matematisk relation är relationen givetvis alltid sann Vi jobbade med sådana definitioner i avsnittet om SI-enheterna Ex: trycket p ges av kraften F jämnt fördelad över arean A p = F/A 63

58 Lagar och formler Fysikalis teorier exempelvis standramodellen som undersöks vid LHC i CERN 64

59 Robusta modeller Börjar med en definition: En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust Illustreras med en modell för golfklubba och golfboll Ska undersöka dessa ekvationer Hur? Prova värden eller göra grafer i MATLAB! 65

60 Robusta modeller Undersök ekvation av typen: v = M M+m 1 + e u Ändring i M +/- 10 % ger ändring i v med mindre än 1,5% 66

61 Moores lag exponentiell tillväxt (Grimvall 10.4) 67

62 Sammanfattning Kap 8 se bilden Kap 9 begreppet robust modell Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av typen Moore s lag 68

63 Mål (F11) Grimvall att kunna beskriva vilka begrepp som används inom mätdatabehandling att förstå hur dessa begrepp relaterar till givna mätvärden kunna utföra statistiska beräkningar mha formelsamling MATLAB use statistical functions, generate uniform and Gaussian random sequences 69

64 Föreläsning 10 Kurvanpassning som en del av problemlösning med datorer Linjär anpassning Interpolation 70

65 Kurvanpassning läsanvisning Material finns i Grimvall samt i MATLAB boken Kommer att följa en del av MATLABbokens exempel som även finns som inbyggda exempel 71

66 Motsvarande mål i Grimvall Kunna analysera enkla potensfunktioner med hjälp av linjär anpassning Förstå matematiken bakom detta På samma sätt kunna analysera exponentialfunktionen, relevant för en av labuppgifterna! 72

67 Analysera enkla potensfunktioner Vad menas med detta? Lite matte: Q = aa r Q = Q r q q 0 r llll = lllq r rrrrq 0 + rrrrr 73

68 Definitioner Illustration av interpolation vs. anpassning Temperature, degrees F Best-fit Linear Estimate Datapunkter interpolerade Dito anpassade med spline Gissning på bästa linje y 2 = 20 * x Time, seconds 74

69 Resultatet polynom grad 2-5 En anpassning måste inte alltid gå genom datapunkterna! Men kan göra det ex.vis för polynom

70 Mått på en bra linje Inför något som vi kallar kvadratsumman för avvikelserna >> tab=[x' y' y2' y'-y2' (y'-y2').^2] tab = >> sum(tab(:,5)) ans =

71 Mått på en bra linje 1. Varför kvadratsumman? 2. Kan vi göra detta värde mindre? 3. För att man inte ska summera ihop positiva och negativa värden till något som är nära eller lika med 0 4. Ja, med något som heter minsta kvadratmetoden, fungerar genom att derivera och söka nollställen till derivatan 77

72 Mått på en bra linje Måste vi göra denna krångliga uträkning med derivator? För många vanliga fall kan vi hitta färdiga formler, fungerar även på miniräknare när man lägger in (x-,yvärden) Titta på matlabs polyfit och polyval funktioner Dessa har principen om minsta kvadratsumman inbyggd 78

73 Sammanfattning Ni ska nu kunna: perform linear and cubic spline interpolation calculate the best-fit straight line and polynomial to a set of data points use the basic fitting tool Kunna analysera enkla potensfunktioner med hjälp av linjär anpassning Förstå matematiken bakom detta På samma sätt kunna analysera exponentialfunktionen, relevant för en av labuppgifterna! 79

74 Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 Föreläsning 11 Sammansatt fel (Gauss regel) Felanalys och noggrannhetsanalys Mätvärden och mätfel Medelvärde, standardavvikelse och standardosäkerher (statistik) 81

75 Läsanvisningar till böckerna MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5) Grimvall Kap

76 Mål enligt böckerna Grimvall att kunna beskriva vilka begrepp som används inom mätdatabehandling att förstå hur dessa begrepp relaterar till givna mätvärden kunna utföra statistiska beräkningar mha formelsamling MATLAB use statistical functions, generate uniform and Gaussian random sequences 83

77 Kopplingen till gymnasiematten Dagens föreläsning Gauss formel för sammanlagda mätosäkerheter använder partiella derivator för att studera inverkan av olika variablers osäkerhet på slutresultatet EXEMPEL om både hastigheten och körsträckan är okända är det svårt att beräkna tiden att nå målet! 84

78 85 Exempel Gauss formel Formeln beskriver: ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i de uppmätta värdena x och y Osäkerheten betecknas Det värde vi sätter in är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statistisk behandling av många uppmätta värden 2 2 F F x y x y F = + x y, ( ) ( ) ( ) = = = y u y f x u x f f u y y x x c

79 Exempel Gauss formel Finns två formler som är användbara om man är osäker på partiella derivator, funkar nästan alltid! För en summa av potenser För en produkt av potenser 2 ( a 1 ) ( b 1 Aax ) 1 x1 Bbx2 x2 F = + F F 2 2 x 1 x 2 = a + b x 1 x 2 Definition av relativt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterligt svar 2 86

80 Hur kan Gauss formel användas För en ingenjör gäller att kraven på produkten måste uppfyllas Detta ska göras på ett sätt som är pålitligt och inte för komplicerat 87

81 Mätvärden och mätfel Vad mäter vi? Fysikaliska storheter: Strömmar, spänningar, temperaturer Mer komplicerade storheter som överföringshastighet, bit error rate En ingenjör vill oftast testa sin konstruktion, fungerar enligt kraven eller inte? Se radiokretsexemplet ovan! I produktion vill man undersöka kvaliteten 88

82 Mätvärden och mätfel Nu går vi in på hur man behandlar resultaten från många mätningar med statistik 1. Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde 2. Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar 3. Standardosäkerheten talar om hur medelvärdet varierar 89

83 Mätvärden och mätfel Tre möjliga typer av mätfel 1. Grova fel, felavläsning 2. Systematiska fel, ex.vis något med mätutrustningen som varierar med temperatur 3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer Fråga: Om mätområdet på USB-loggern var inställt på 30 V istf 3 V vilken typ av fel fick man då? 90

84 Mätvärden och mätfel Skillnaden mellan precision och noggrannhet illustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 91

85 Mätvärden och mätfel Standardavvikelsen talar om hur mätvärdet varierar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ Vi ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätningar vi gjort 2 σ 1 n n = i 1 ( x x ) 2 n 1 s = σ = xi x n 1 1 ( ) 2 92

86 Mätvärden och mätfel Om vi vill veta hur medelvärdet varierar kan vi också använda standardavvikelsen Vi definierar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätningar roll u = s n där s beräknas på samma sätt som tidigare 93

87 Normalfördelningen Figur Gaussfördelningen µ f(x) µ-σ µ+σ 0.2 µ-2σ µ-3σ x µ+2σ µ+3σ Man kan dela in området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektive sannolikhet 94

88 Normalfördelningen Sannolikheten att hitta µ i intervallet zσ (ett sigma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx 1 = P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet ( µ 2 σ ) < < ( µ + 2σ ) x (två sigma) som är: percentage within CI 1σ % 1.645σ 90% 1.960σ 95% 2σ % 2.576σ 99% 3σ % P µ + 2σ µ + 2σ ( µ 2σ, µ 2σ ) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx 1 = µ 2σ σ 99.9% 4σ % 5σ % 6σ % 7σ % 95

89 2 Histogrammet vs. stapeldiagram >> hist(theta)

90 Exempel Ta data från följande gamla tentauppgift Mätning Värde 1 2,01 2 2,02 3 4,00 4 3,99 5 2,00 6 1,98 7 4,01 8 4,02 9 2, ,00 a) Kan man säga att medelvärdet för dessa 10 värden är en bra uppskattning av det sanna värdet för denna mätning? Motivera med en figur (3 p)! b) Beräkna standardavvikelsen för de 4 första värdena samt för alla 10 värden (2 p). 97

91 Slut för i år Sista gången kursen går i denna form, fortsätter för IT i annat/förnyat format men inte för ME Ordinarie tentamen nu på onsdag Omtentamen,