Lektion 5. Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys

Transkript

1 Lektion 5 Analys av en mätövning Några problem ur boken Demolabben Systematiska fel Enheter sammanfattning Dimensionsanalys Fysikexperiment, 5p 1

2 Pullfördelningen Mätningen av tyngdaccelerationen: Inför chi-variabel (pull): Plotta alla mätta g-värden med sina fel och pullfördelningen: χ i = x i x σ i Låt oss utesluta alla mätningar med c > 5 c i Fysikexperiment, 5p

3 001 års data: pull pull < 5! Ett nytt medelvärde beräknas: g = 9,755 0,06 m/s. Relativa felet = 0,7% Avvikelse från nominellt värde = -0,043 eller -1,7s I den föregående bilden är motsvarande siffror 0,08% och -15s, ett opålitligt resultat eftersom data innehåller inkoncistenta mätningar Fysikexperiment, 5p 3

4 Analys av en mätövning Fallstudie: Pullfördelningen kan med fördel användas vid enklare felsökningar i data. 43 studenter mätte 48 resistorer med hjälp av volt-ampere metoden. Resistansen beräknades genom R=U/I och felet i R genom felpropagering. Varje student mätte flera resistorer och varje resistor mättes av flera studenter (se en diskussion i särtrycket av Sten Hellmans föreläsning). 6,8,9,10,35,40,43,44,45,48 ser alla skumma ut! Fysikexperiment, 5p 4

5 Analys av pullfördelningen (resistor nummer ) Felaktig datapunkt Vi plottar här resistor Nr som funktion av Student. Vi ser att Student 41 har tydligen en avvikande mätning och vi går till databasen för att se efter vad som hänt: Vi ser att studenten har angett A i.st.f ma som var antaget (för alla sina tilldelade resistorer) Fysikexperiment, 5p 5

6 Analys av pullfördelningen (efter korrektion) Dessa ser nu relativt OK ut! Alla resistorer som student mätt påverkas efter denna korrektion (föregående sida) och pullfördelningen för resistor ser nu helt OK ut och är nära normalfördelad med medelvärde och standardavvikelse nära 0 resp. 1. Ni kan läsa mer om pullfördelningen i Sten Hellmans lektionsanteckningar Fysikexperiment, 5p 6

7 Problem 5. i läroboken figure(1); % Första figuren subplot(,1,1) % Första plotten N=[ ]; % data n=n/sum(n); % relativa värdet n=[n 0]; % lägg till ett värde bar(n) % enklast möjliga subplot(,1,) % andra plotten t=5:10:55; bar(t,n,1) % ny x-axel % skriver ut en jpeg fil print -djpeg 'Problem5_a.jpg' Fysikexperiment, 5p 7

8 Problem 5. i läroboken Vi behöver formatera histogrammet lite efter våra önskemål (oftast den mest arbetskrävande delen av en programmeringsuppgift). figure(); % Andra figuren bar(t,n,1); % plotta data title('\fontsize{16}\bf\fontname{times New Roman}Problem 5.') xlim([0 60]); ylim([0 0.6]); % sätt gränser på axlarna xlabel('\fontsize{14}\fontname{times New Roman}Tid (min)'); ylabel('\fontsize{14}\fontname{times New Roman} Rel. sönderfallshastighet per 10 min intervall'); set(gca, 'xtick',[ ]); % formatera x-axelns skala line([0 60],[0 0], 'LineWidth',3,'color,'black') % extra tjocka axlar i y-led line([0 0],[0 0.6], 'LineWidth',3,'color', 'black') % och i x-led map(1,:)=[ ]; % sätt färgskalan till ljusgrått colormap(map); % fyll staplarna med färgskalan print -djpeg 'Problem5_b.jpg' % skriver ut en jpeg fil Fysikexperiment, 5p 8

9 Problem 5. i läroboken Programmeringsexemplet på föregående sida ger detta resultat Fysikexperiment, 5p 9

10 Problem 5.4 i läroboken subplot(3,1,1) N=[ ]; t=7.1:0.1:8.0; bar(t,n,1); xlim([ ]); ylim([0 7]); title('\fontsize{16}\bf\fontname{times New Roman}Problem 5.4') text(7.6,4.5,'\delta t = 0.1 s'); ylabel('\fontsize{1}\fontname{times New Roman}Mätningar'); subplot(3,1,) t=7.15:0.:7.95; for i=1:5 N(i)=N(*i-1)+N(*i); end bar(t,n,1) xlim([ ]); ylim([0 11]); text(7.6,7,'\delta t = 0. s'); ylabel('\fontsize{1}\fontname{times New Roman}Mätningar'); subplot(3,1,3) t=[ ]; N3=[sum(N(1:5)) sum(n(6:10)) 0]; bar(t,n3,1) xlim([ ]); ylim([0 6]); set(gca,'xtick',[ ]); text(7.6,18,'\delta t = 0.5 s'); xlabel('\fontsize{1}\fontname{times New Roman}Tid (s)'); ylabel('\fontsize{1}\fontname{times New Roman}Mätningar'); print -djpeg 'Problem5_4.jpg'; Fysikexperiment, 5p 10

11 Problem 7.5 i läroboken Student A: Student B: R = w R i w 1 dr = w i i i R A = 7 ± 8 Ohm R B = 78 ± 5 Ohm = 8 5 = 76, = = 4, Vikt. medelv. R = 76,3 ±4, Ohm % MatLab snutt: % Viktat medelvärde: r=[7 78]; dr=[8 5]; w=1./dr.^; wr=w.*r; R=sum(wr)/sum(w) dr=1/sqrt(sum(w)) Uppgift 7.5b A hade mätt 10 gånger, dvs 8 = x/sqrt(10) Antag att felet skall minskas från 8 till 5, dvs 5 = x/sqrt(n). Vad bör då N vara? N = 8 / 5 * 10 = 5,6 Svar: A bör göra 6 mätningar. Anm. Obs att x är standardavvikelsen som (teoretiskt) har samma värde oberoende av antalet mätningar Fysikexperiment, 5p 11

12 Problem 8. i läroboken punkter x y x*y x*x (y - A - B*x)^ , , , ,09 Summa ,8 D= 80 A= 6 B= 1,1 sy= 0, sa= 0, ,5 sb= 0,113 0,3607 Linjär, oviktad anpassning av rät linje till fyra punkter kan enkelt utföras för hand eller i EXCEL. Felet i y = 1 (konstant) Fysikexperiment, 5p 1

13 Problem 8. i läroboken Här skall vi anpassa en rät linje till fyra givna punkter med hjälp av MatLab. % Fit a line to the 4 points (unweighted) x=[ ]; y=[ ]; N=length(x); X=sum(x); Y=sum(y); XY=sum(x.*y); XX=sum(x.*x); D=N*XX-X^; A=(XX*Y-X*XY)/D; B=(N*XY-X*Y)/D; Fysikexperiment, 5p 13

14 Bestämning av skalfaktorn i Demolabben. Vi mäter in nio 100 ml markeringar i mm från 100 ml till 1000 ml. Diagrammet till vänster antyder ett linjärt samband men residualplotten visar att punkterna inte ligger på en rät linje. Metod 1: Standardavvikelsen av de 5 differenserna (x i+5 x i )/5 beräknas och medelvärdet blir k = 0,358 mm/ml. Metod : Linjär anpassning med minsta kvadratmetoden ger oss sambandet: X = 3,73 + k V med k = 0,3578 0,0007 mm/ml. Metod 3: Felfortplantningsformeln på differenserna med konstant fel = 1 mm. Detta ger k = 0,3580 0,0006 mm/ml Fysikexperiment, 5p 14

15 Felfortplantning (repetition) Cylinderkroppens volym beräknas genom V π = d 4 h Felfortplantningsformeln ger oss dv = V d d + V h h = π dh d + π d 4 h Kom ihåg att om Y = x k y l z m så kan felet i Y kan skrivas dy = Y k dx/x + l dy/y + m dz/z + (Obs att k, l, m kan vara neg. eller pos. reellt tal!) Felfortplantningsformeln ger oss dv = V d / d + h / h Fysikexperiment, 5p 15

16 Beräkning av arbetet Röda linjer är resultatet från den viktade mkm. Felen i F inkluderar ekvivalenta fel från felen i höjden som i sin tur kommer från felet i skalfaktorn. Felet i F 0 = F(x 0 ) kommer från formel 8.15 i läroboken. Arbetet som uträttas = arean under den röda kurvan = arean under den gröna rektangeln = F 0 Dh, därdh = (h b h 1 ). F 0 = 0,9899 0,0089 N Dh = 43,4 0,4 mm W = mj Fysikexperiment, 5p 16

17 Programmeringsuppgift Skriv en MatLab funktion som beräknar parametrarna i den viktade minstakvadratmetoden (y = A + k x): Funktionen kallas med: [A da k dk]=linfitw(x,y,dy) I linfitw.m filen: function [A da k dk]=linfitw(x,y,dy) kod Fysikexperiment, 5p 17

18 Systematiska fel - instrument Ett exempel från g-labben: g = s t Längdskalan är fel: om linjaler och dylikt som används för att mäta fallhöjden är felaktiga. Antag 10 % för korta fl alla mätningar av g som baseras på denna längdskala blir 11% för stora. Tidsskalan är fel: om klockan som mäter tiden går 10 procent för fort så kommer alla mätningar av g att bli º0 procent för stora. Kalibrera instrumentet mot ett med bättre noggrannhet (lab ) Gör en mätning och jämför med känt värde (lab ) Läs manualen för instrumentet Fysikexperiment, 5p 18

19 Systematiska fel (tidsfördröjning) Fallförsöket illustrerar tydligt fel som uppstår pga metoden. I detta fall är vi medvetna om felet och kan korrigera genom att använda två klockor. (Mätt falltid) T u = (falltid) T - R u + ljudets gångtid + R u Reakt Falltid (T) Ljudet Reakt Uppe (Mätt falltid) T n = (falltid) T - ljudets gångtid - R n + R n u n Ljudet Reakt Falltid (T) Fysikexperiment, 5p 19 Reakt 1 1 T = ( Tu + Tn ) = (falltid + falltid) = falltid T T = ljudets gång Nere

20 Systematiskt + statistiskt fel g = 9.83 ± 0.46 ± ( ) ( ) stat 0.39 syst m/s Nytt fel : 0.46 g = 9.83 ± m/s = exp. 9.83±1.4*0.6 8 st Den kvadratiska additionsregeln motiveras av att om de systematiska felen i många experiment fördelar sig runt medelvärdet så förlorar den gröna kurvan i medel-tal lika mycket som den röda eller den blå. Faktorn 1.4 = ( ) / exp. 8 st < 9 1.4σ 1σ 50 exp. 8 st > 10.7 x syst. fel Fysikexperiment, 5p 0

21 Enheter och enhetssystem Storhet = Mätetal x enhet Längd (L) = 100 m Ström (I) = 0,59 A Hastighet (v) = 90 km/tim Enhetssystem (SI) Definitionen bör baseras på någon i naturen förekommande företeelse Internationellt användbara Relaterat till decimalsystemet Fysikexperiment, 5p 1

22 Längd: En meter (m) är den sträcka, som ljuset tillryggalägger i absolut vakuum under 1/ sekund. Massa: Ett kilogram (kg) är lika med massan av den internationella kilogramprototypen. Tid: En sekund (s) är varaktigheten av perioder av den strålning, som motsvarar övergången mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium 133. Elektrisk ström: En ampere (A) är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två parallella, raka ledare med oändlig längd och försumbart, cirkulärt tvärsnitt och placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa ledare en kraft lika med 10-7 newton för varje meter ledare. Termodynamisk temperatur: En kelvin (K) är bråkdelen 1/73,16 av den termodynamiska temperaturen vid vattnets trippelpunkt. Ljusstyrka: SI-systemets grundenheter En candela (cd) är ljusstyrkan i en given riktning från källa, som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian. Materiemängd: En mol (mol) är materiemängden i ett system innehållande lika många systemelement som det finns atomer i 0,01 kilogram kol Fysikexperiment, 5p

23 Supplement till SI-systemet Supplement Planvinkel radian rad rymdvinkel steradian sr Härledda enheter Volym V = L 3 [m 3 ] Hastighet v = s/t [m/s] Kraft F = ma [kg m/s = N] Arbete W=F L [Nm = J = Ws] Tryck p =F/A [N/m = Pa] Tilläggsenheter Tid min, timme, dag Längd ljusår, ångström (Å) Volym liter Energi Ws, kwh Fysikexperiment, 5p 3

24 Dimensionsanalys Mycket ofta finner vi i fysiken samband av typen X = a där α, β, γ... kan vara antingen postiva eller negativa. Erfarenhetsmässigt är naturen "snäll"i den bemärkelsen att exponenterna är hel eller halvtal. Låt oss ta ett exempel: Tiden för en pendelrörelse - vi antar att den beror på pendelns längd, massa och tyngdaccelerationen: t = Al α Vi får sambanden : T 0 = α + γ 0 = β 1 = γ m β g γ där A är en dimensionslös konstant. Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet tid t T s längd l L m massa m M kg tyngdaccelerationen g L/T^ m/s^ 1 = L α M 1 γ =, β L T α = 1 γ = L dvs α + γ M t = Fysikexperiment, 5p 4 β T A γ l g ; s 1 = m α + γ α kg b s β c γ β γ...

25 Dimensionsanalys (forts) Ett kapillärrör sänks ner i en vätska. Experimentellt ser man att vätskan stiger i röret (om den väter glaset). Följande storheter bör vara relevanta för effekten: Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet stighöjden h L m rörets radie r L m ytspänning γ M/T^ kg/s^ vätskans densitet ρ M/L^3 kg/m^3 tyngdaccelerationen g L/T^ m/s^ kontaktvinkel θ - - Vi söker ett samband : h a b c d e = Cr γ ρ g θ Vi har dimensionsambandet : L = L a ( MT ) ( ML ( LT b 3 c ) ) d Identifiering av exponenterna 1 = a 3c + d a = 1+ c 0 = b + c b = c 0 = b d d = c ger : Vi kan alltså i princip nöja oss med att experimentellt undersöka hur stighöjden h beror av rörets radie r. γ Man finner att a = -1och h = C, (med C rρg = cosθ från teorin) Fysikexperiment, 5p 5

26 Linearisering genom logaritmering Fysikexperiment, 5p 6