Matematik med lite logik

Transkript

1 Ralph-Johan Back Matematik med lite logik Logik för strukturerade härledningar Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 8, Oct 2008

2

3 Matematik med lite logik Logik för strukturerade härledningar Ralph-Johan Back Oktober 2008, Åbo, Finland Copyright Ralph-Johan Back All rights reserved TUCS Lecture Notes Nr 8 IMPEd Series

4

5 Förord Vi ger här en kort översikt av den logik som används i strukturerade härledningar när den tillämpas på gymnasie- och högskolenivå. Vi beskriver allmänt hur man utför logiska slutledningar i strukturerade härledningar. Vi beskriver de grundläggande konnektiverna i propositionskalkylen samt de inferensregler som kan användas i den här kalkylen. Vi beskriver sedan predikatkalkylen, kvantifiering samt de grundläggande reglerna som gäller i predikatkalkylen. Matematik med logik Den här publikationen är en del i en serie som beskriver strukturerade härledningar och deras tillämpning i matematikundervisningen. För tillfället har följande publikationer utkommit i den här serien: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken (Back, von Wright [7]) En kort kurs i talteori (Back, von Wright [6]) Studentexamen i lång matematik, våren 2003 (Back, von Wright[8]) Introduktion till strukturerade härledningar (Back [1]) Logik för strukturerade härledningar (Back [2]) Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat (Back [3]) Vi hänvisar till de övriga publikationerna i den här serien för att få en mera mångsidig uppfattning om den här metoden och dess användning i praktiken. Tackord Arbetet med att utveckla strukturerade härledningar och experimenten med att använda metoden i undervisningen har skett i nära samarbete med medlemmarna i Learning and Reasoning laboratoriet, ett forskningslaboratorium som är gemensamt för Åbo Akademi och Åbo Universitet. Speciellt vill jag tacka följande personer för en mängd givande och intressanta diskussioner om metoden och bidrag till metodens utveckling (listan är i alfabetisk ordning): Stefan Asikainen, Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Teemu Rajala, Tapio Salakoski, Petri Sallasmaa, Fredrik Sandström, Patrick Sibelius, Solveig Wallin och Joakim von Wright. Forskningen har finanasierats av Finlands Akademi, inom ramen för projektet Center of Excellence in Formal Methods in Programming, samt av Teknologiindustrin, inom ramen för dess 100 års jubileumsfond. 3

6 4

7 Innehåll 1 Introduktion 7 2 Strukturerade härledningar Beviskedjor Påståenden och antaganden Delhärledningar Observationer i härledningar Direkt reduktion av påståenden Propositionskalkyl Egenskaper hos de logiska konnektiverna Bevis av logiska påståenden med beviskedjor Slutledningsregler för konnektiver Slutledningsregler i reduktionsbevis Härledningar med konnektiver 35 5 Predikatkalkyl Kvantorer Slutledningsregler för kvantifierade uttryck Övriga kvantifieringsregler Slutledningsregler för begränsade kvantorer Härledningar med kvantorer 53 A Syntaxen för strukturerade härledningar 57 5

8 Innehåll 6

9 1 Introduktion Strukturerade härledningar bygger vidare på en tradition som initierats av Edsger W. Dijkstra, en av de stora pionjärerna i datateknisk forskning. Dijkstra och hans kolleger (Wim Feijen, Carel Scholten och Nettie van Gasteren) koncentrerade sig på att göra matematiska bevis både enkla och exakta. De utvecklade en notation som i branschen går under namnet calculational proof [9, 11, 10]. En exakt översättning skulle vara kalkylliknande bevis, men vi har valt att kalla dem linjära härledningar eller beviskedjor på svenska. Avsikten var att matematiska bevis och härledningar skulle vara mera lika beräkningar, som när man löser ekvationer, förenklar uttryck eller utför multiplikation och division för hand. Det här målet uppnås genom att utnyttja logik som en samling räkneregler, som används för att bestämma sanningen av matematiska påståenden. Joakim von Wright och jag utvecklade strukturerade härledningar som en vidareutveckling av Dijkstras linjära härledningar. Metoden har ursprungligen presenterats i vår bok om refinement kalkylen [5] samt i en tidskriftspublikation [4]. I boken utnyttjar vi strukturerade härledningar för ett stort antal mer eller mindre komplicerade bevis inom programmeringslogiken. Dijkstras linjära härledningar baserar sig på en variant av första ordningens predikatkalkyl och på ett Hilbert-liknande bevissystem, medan vi har byggt upp strukturerade härledningar kring en klassisk standardlogik, den så kallade högre ordningens logik, och på ett Gentzen-liknande bevissystem. Strukturerade härledningar har vidareutvecklats efterhand, och kan nu ses som en syntes av klassiska Gentzenliknande bevis, Hilbert-liknande bevis och Dijkstras lineära härledningar. Strukturerade härledningar baserar sig på explicit användningen av logik i bevisen. Då man definierar bevissystem försöker man ofta postulera så få axiom och slutledningsregler som möjligt, och sedan visa att andra användbara axiom kan härledas från de postulerade axiomen med de postulerade slutledningsreglerna. Det här gör det lättare att bevisa allmänna påståenden om bevissystemet. I praktisk användning av logik är distinktionen mellan postulerade och härledda axiom inte viktig, däremot är det viktiga att ha en bra grundsamling av teorem och härledningsregler, och att vid behov kunna härleda nya teorem och härledningsregler från denna samling. I de följande kapitlen går vi igenom ett antal användbara regler för hur man kan resonera logiskt med konnektiver och kvantorer. Samlingen är inte uttömmande, det finns fler användbara regler än de som ges nedan, men den ger en 7

10 1 Introduktion relativt bra verktygsback för att resonera logiskt i matematiska bevis. Vi börjar med att kortfattat beskriva strukturerade härledningar, i kapitel 2. Kapitel 3 beskriver propositionskalkylen och visar hur den kan användas i strukturerade härledningar. Vi visar hur man bevisar logiska påståenden med beviskedjor, beskriver de vanliga konnektiverna i propositionskalkylen och ger deras grundegenskaper. Vi ger också de vanligaste slutledningsreglerna för propositionskalkylen, visar hur de används i strukturerade härledningar samt beskriver logiska substitutionsregler. De här slutledningsreglerna illustreras i Kapitel 4 med en samling exempelhärledningar. Kapitel 5 beskriver predikatkalkylen. Vi introducerar universell och existentiell kvantifiering, ger kvantorernas grundegenskaper samt de grundläggande slutledningsreglerna för kvantorer. Vi ger även en översikt av allmänt användbara kvantifieringsreger, samt visar hur man använder kvantifieringsreglerna i praktiska matematiska bevis. I det sista kapitlet ger vi exempel på typiska problem med härledningar där kvantifieringsreglerna utnyttjas på ett icke-trivialt sätt. 8

11 2 Strukturerade härledningar Vi ger först en kortfattad översikt av strukturerade härledningar. En mera detaljerad introduktion till strukturerade härledningar ges i [1], medan den exakta syntaxen sammanfattas i appendixet. 2.1 Beviskedjor Ett vanligt sätt att bevisa ett påstående är med en kedja av likheter, Kedjan står för påståendet t 0 = t 1 =... = t n t 0 = t 1 och t 1 = t 2 och... t n 1 = t n Från den här kedjan drar vi slutsatsen att t 0 = t n eftersom likhet är transitiv. En beviskedja av det här slaget skrivs som en strukturerad härledning i enlighet med syntaxen i tabell 2.1. Varje likhet i beviskedjan motiveras med ett argument. För att skapa rum för större termer och mera utförliga motiveringar skriver vi varje varje term på egen rad och varje motivering på egen rad. Vid behov kan vi använda flera på varandra följande rader, både för termer och för motiveringar. Bevisets skrivs i två kolumner: i den första kolumnen skriver vi relationssymbolerna (här = ), medan den andra kolumnen ger termerna och motiveringarna. Layouten är avsedd att strukturera beviset så att det är lätt att skriva, lätt att läsa och lätt att förstå. Exempel 1. Vi visar att konjugatregeln (a b)(a + b) = a 2 b 2 stämmer. Beviset, skrivet som en strukturerad härledning, är följande: 9

12 2 Strukturerade härledningar Tabell 2.1: En beviskedja t 0 = {motivering för att t 0 = t 1 } t 1 = {motivering för att t 1 = t 2 } t 2. t n 1 = {motivering för att t n 1 = t n } t n (a b)(a + b) = {enligt reglerna för multiplikation av polynom} a 2 + ab ba b 2 = {de mellersta termerna tar ut varandra} a 2 b 2 Likhet är inte den enda relation som vi kan använda mellan termerna. I själva verket kan vi vilken som helts transitiv binär relation. De vanligaste relationerna som används i strukturerade härledningar är (ekvivalens), (implikation), och (omvänd implikation) mellan logiska påståenden, samt = (likhet), och ordningsrelationer som, <,,... mellan aritmetiska och algebraiska uttryck, men även andra relationer kan utnyttjas. Vi kan även blanda olika binära relationer i härledningen. Likhet kan t.ex. blandas med vilken binär relation som helst: om a b gäller (här är en godtycklig binär relation), och b = c, så gäller även a c. Ett exempel på en relation som inte är transitiv är olikhet : a b och b c behöver inte betyda att a c gäller. Ett enkelt motexempel är 0 1 och 1 0, som båda gäller, men 0 0 är inte sant. 10

13 2.2 Påståenden och antaganden Tabell 2.2: En strukturerad härledning uppgift - antagande 1. - antagande m {motivering för att kedjan löser uppgiften} t 0 = {motivering för att t 0 = t 1 } t 1. t n 1 = {motivering för att t n 1 = t n } t n 2.2 Påståenden och antaganden Exemplet ovan gav endast beviset för påståendet, som en beviskedja. Ofta vill man vara mera noggrann med vilken uppgiften som skall lösas, och under vilka antaganden. Då kan vi använda det mera generella formatet i tabell 2.2 för härledningar. Härledningen inleds med en beskrivning av den uppgift som skall lösas, samt med de antaganden som vi får göra i beviset. Uppgiften markeras med, medan varje antagande markeras med -. Därefter kommer beviset som markeras med tecknet (kan uttalas som bevisas av ). Beviset avslutas med tecknet ( vilket skulle bevisas ). På samma rad som bevistecknet har vi en kommentar, som förklarar varför den efterföljande kedjan bevisar påståendet. Vi har som tidigare två kolumner: i den första kolumnen skriver vi specialsymboler som,, och relationssymbolerna (här = ), medan den andra kolumnen ger termerna och motiveringarna. Följande exempel illustrerar det här mera noggranna härledningsformatet. 11

14 2 Strukturerade härledningar Exempel 2. Vi visar att om a, b och c är icke-negativa tal så gäller (1 + a)(1 + b)(1 + c) 1 + a + b + c Beviset, skrivet som en strukturerad härledning, är följande: Visa att (1 + a)(1 + b)(1 + c) 1 + a + b + c - när a, b, c 0 {sammansättning av = och ger } (1 + a)(1 + b)(1 + c) = {multiplicera de två sista parenteserna} (1 + a)(1 + b + c + bc) = {multiplicera de två återstående parenteserna} 1 + b + c + bc + a + ab + ac + abc {subtrahera icke-negativa uttrycket ab + ac + bc + abc} 1 + a + b + c Här har vi använt två olika relationer, = och, mellan termerna i härledningen. I motiveringen förklarar vi att sammansättningen av = och ger. Beviset av påståendet görs under antagandet att a, b, c 0. Det kortare bevisformatet som vi beskrev först är mera lämpligt om det från beviset direkt framgår vad som bevisas, och antagandena är klara från sammanhanget. Det här är ofta är fallet när vi använder beviskedjor med transitiva relationer. Det längre formatet behövs när vi vill vara mera explicita med vilken uppgift som skall lösas och vilka antagandena är. 2.3 Delhärledningar En enkel beviskedja är tillräcklig så länge varje motivering i kedjan är relativt enkel och kan sammanfattas på några rader. Om motiveringen blir mera omfattande kräver den ett bevis i sig själv. I stället för att skriva de här argumenten skilt från beviset, kan vi skriva in dem direkt i beviset, som ett bevissteg med ett eget delbevis eller delhärledning. Betrakta ett steg i en linjär härledning, av formen 12

15 2.3 Delhärledningar Tabell 2.3: Delhärledning t = {motivering}... t härledning 1. härledning n t = {motivering} t I stället för en enkel motivering så kan vi bevisa påstående t R t i ett delbevis. Delbeviset ser då ut som i tabell 2.3. Här är härledning 1,..., härledning n alla delhärledningar, och har samma format som vanliga härledningar (dvs, vi kan ange uppgift, antaganden och en beviskedja för varje delhärledning). Delhärledningarna indenteras ett steg till höger för att man skall kunna skilja dem från huvudhärledningen. Motiveringen förklarar varför t R t gäller om delhärledningarna kan bevisas. Eftersom en delhärledning ibland kan vara ganska lång, markerar vi den andra termen i den relation som bevisas (här t ) med.... Det är då visuellt lättare att se var delhärledningen slutar och huvudhärledningen fortsätter. Exempel 3. Vi bevisar här att m 2 n 2 3 gäller för alla positiva heltal där m > n. I beviset har vi ett steg där vi vill använda regeln att multiplikation är monotont, dvs att ab ab, om a 0 och b b. Vi vill i steget bevisa att (m n)(m + n) (m n) 3. För det här ändamålet är vi tvugna att visa att villkoren för att använda monotonitetsregeln är uppfyllda, dvs att m n 0 och m + n 3. Det här gör vi genom ett delbevis, som vi indenterar ett steg till höger i härledningen. 13

16 2 Strukturerade härledningar Bevisa att m 2 n när m, n är positiva heltal, och - m > n m 2 n 2 = {enligt konjugatregeln} (m n)(m + n) {produkten är monoton, m n 0 och m + n 3} m > n {aritmetik} m n > 0 {aritmetik} m n 0 m > n och n > 0 {m och n heltal} m n + 1 och n 1 {aritmetik} m 2 och n 1 {aritmetik} m + n 3... (m n) 3 {(m n) 1 enligt antagandena, och 3 0} 1 3 = {aritmetik} 3 Observera att antagandena som görs i huvudhärledningen även gäller för delhärledningarna. Därför behöver vi inte upprepa antagandena i en delhärledning. Vi visar senare att en delhärledning även kan introducera nya antaganden. Om man använder dator för att skriva och läsa bevis av det här slaget, och en texteditor som selektivt kan visa och gömma delhärledningar (en outliner eller outlining editor ), så kan man välja den noggrannhet med vilken man läser beviset. Om delhärledningarna är gömda får man en mera överskådlig 14

17 2.4 Observationer i härledningar Tabell 2.4: Observationer uppgift - antagande 1. + observation 1. {motivering 1 } härledning 11. härledning 1m bild av beviset, om de visas får man en mera detaljerad bild av beviset. Om man jobbar med papper och penna så är det här inte möjligt, men då kan man välja att skriva delhärledningen separat, på ett annat ställe på pappret. Det tre punkterna (...) visar att det finns en delhärledning för bevissteget. 2.4 Observationer i härledningar När vi räknar upp antaganden i en härledning, vill vi ofta samtidigt göra vissa observationer som mer eller mindre direkt följer av antagandena. Det här är påståenden som följer av antagandena och som vi bevisar skilt från själva huvudbeviset. Syntaxen syns i tabell 2.4. Observationerna identifieras med ett + tecken, i motsats till antagandena som identifieras med ett tecken. En observation måste även alltid ha en motivering eller en härledning (eller båda). Motiveringen är av samma format som motiveringen för ett bevissteg i en beviskedja. Vi kan ge en enkel motivering, eller så kan vi ge en motivering med delhärledningar. Observationerna kan numreras, på samma sätt som antagandena. Ofta väljer vi då att numrera dem på olika sätt, för att klarare skilja observationer från härledningar. I exemplet nedan så numrerar vi antagandena med små bokstäver och observationerna med siffror. Vi visar förs med ett exempel hur man kan använda observationer för härledningar i geometri. 15

18 2 Strukturerade härledningar Exempel 4 Vi antar att höjden mot hypotenusan i en rätvinklig triangel delar hypotenusan i förhållandet 3 : 7. Vi vill bestämma förhållandet mellan kateternas längder. Vi löser problemet med hjälp av likformiga trianglar (symbolen används för likformighet). Utgångspunkten blir då en figur där triangelns hörn namngivits (figur 2.1). C D A B Figur 2.1: Triangel med namngivna punkter Bestämm förhållandet mellan kateternas längd i figuren, när (a) DC BD = 3 7 [1] AC AB = DC AD figuren {en rätvinklig triangel delas av höjden mot hypotenusan i två trianglar som är likformiga med den ursprungliga} ABC DAC {likformighet} [2] AC AB = AD BD AC AB = DC AD {motsvarande argument som ovan} AC AB = {omskriv} AC AB AC AB = {observation [1] och [2]} DC AD AD BD 16

19 2.5 Direkt reduktion av påståenden uppgift Tabell 2.5: Direkt reduktion av påståendet {motivering} uppgift 1. uppgift m = {förkorta} DC BD = {antagande (a)} 3 7 Slutsatsen blir att förhållandet mellan kateterna (AB och AC) är 3 : Direkt reduktion av påståenden En beviskedja är användbar då kedjan omfattar flera steg. Ifall vi endast har ett steg i kedjan, så känns den lätt konstgjord. I det här fallet kan vi använda ett alternativt format för bevis, där vi bevisar uppgiften direkt med delhärledningar, utan att först skriva om det som en beviskedja. Härledningen ser då ut som i tabell 2.5. Här löser vi den ursprungliga uppgiften genom att reducera den till ett antal deluppgifter. Deluppgifterna indenteras ett steg till höger. I motiveringen anger vi varför lösning av dessa deluppgifter är tillräckligt för att lösa den ursprungliga uppgiften. Vi har alltså två olika sätt att lösa en uppgift: antingen med en beviskedja, eller genom att reducera uppgiften till en eller flera deluppgifter och sedan bevisa dessa. Deluppgifterna kan i sin tur sedan lösas antingen med en beviskedja eller med en ytterligare reduktion till mindre deluppgifter. Vi illustrerar reduktionsbevis med att visa hur man kan använda matematisk induktion i strukturerade härledningar. 17

20 2 Strukturerade härledningar Exempel 5 Vi bevisar att påståendet n(n + 1) n = 2 gäller för alla naturliga tal n. Vi visar påståendet med induktion. Beviset ser ut på följande sätt. Visa att n = n(n+1) 2 för varje heltal n. {induktionsbevis} Bassteg: visa att n = n(n+1) 2 - när n = n = n(n+1) 2 {antagande n = 0, definition av summa} T Induktionssteg: visa att n = n (n +1) 2 - när n = n + 1 och n = n(n+1) n = {antagandet} n + (n + 1) = {induktionsantagandet} n(n+1) 2 + (n + 1) = {skriv med gemensam nämnare} n 2 +n+2n+2 2 = {förenkla} n 2 +3n+2 2 = {faktorisera} (n+1)(n+2) 2 = {antagandet n = n + 1} n (n +1) 2 18

21 3 Propositionskalkyl En central idé med strukturerade härledningar är att utnyttja logiska uttryck och regler i matematiska bevis och härledningar. Logik är förstås en väsentlig del av alla matematiska bevis, men vanligen används logiken på ett informellt sätt. Logisk notation används sporadiskt, på ett osystematiskt sätt. I strukturerade härledningar används logiken explicit i bevisen, både logisk notation och logiska slutledningsregler. Man räknar med logiska uttryck på samma sätt man normalt räknar med aritmetiska uttryck. Tabell 3.1 sammanfattar den logiska notation som vi använder i strukturerade härledningar Egenskaper hos de logiska konnektiverna De logiska konnektiverna definieras ofta med en sanningstabell, såsom de som ges i tabell 3.2. I bevis är det emellertid besvärligt att hänvisa till sanningstabellen, utan i stället hänvisar man till en samling standardegenskaper som de logiska konnektiverna har. De här standardegenskaperna kan alla bevisas med hjälp av sanningstabellerna. Vi ger här en samling regler för hur olika logiska termer relateras med implikation och ekvivalens. De flesta reglerna kommer i två former, en för konjunktion och en annan för disjunktion. De liknar varandra, eftersom konjunktion och disjunktion är dualer i propositionskalkylen. Minsta och största element: F p p T Det här betyder att falskhet implicerar varje påstående, och varje påstående implicerar sanning. 1 Notationen är relativt standard, men det finns även varianter. Så betecknas t.ex. implikation ibland med, och ekvivalens betecknas ofta som, eller. Konjunktion kan även betecknas med & och disjunktion med. Universell kvantifiering betecknas ibland som Ax och existentiell kvantifiering som Ex. 19

22 3 Propositionskalkyl Tabell 3.1: Logiska symboler och operationer T : sanning, det sanna påståendet F : falskhet, det falska påståendet p : negation, påståendet p är inte sant p q : konjunktion, både p och q är sanna påståenden p q : disjunktion, p eller q eller båda är sanna påståenden) p q : implikation, om p är sant så är också q sant p q : ekvivalens, p är sant om och endast om q är sant ( x p(x)) : universellkvantifiering, påståendet p är sant för varje värde på x ( x p(x)) : existentiellkvantifiering, påståendet p är sant för något värde av x Tabell 3.2: Sanningsvärdetabeller för de logiska konnektiverna p p F T T F p q p q F F F F T F T F F T T T p q p q F F F F T T T F T T T T p q p q F F T F T T T F F T T T p q p q F F T F T F T F F T T T 20

23 3.1 Egenskaper hos de logiska konnektiverna Falskhet: p F F p F p Om vi lägger till falskhet i en konjunktion så blir allting falskt, men om vi lägger till falskhet i en disjunktion, så ändrar det inte på påståendet. Sanning: p T p p T T Om vi lägger till sanning i en konjunktion, så ändras inte påståendet, men om vi lägger till sanning i en disjunktion så blir allting sant. Implikation: p p (p q) (q r) (p r) Varje påstående implicerar sig själv och implikationen är transitiv. Ekvivalens: p p (p q) (q r) (p r) Varje påstående är ekvivalent med sig själv och ekvivalensen är transitiv. Konjunktion: p p p p q q p p (q r) (p q) r p q p p q q En konjunktion är alltså idempotent, kommutativ och associativ. En konjunktion av två påståenden implicerar båda påståendena skilt för sig 21

24 3 Propositionskalkyl Disjunktion: p p p p q q p p (q r) (p q) r p p q q p q En disjunktion är även den idempotent, kommutativ och associativ. Varje påstående implicerar en disjunktion där påståendet ingår. Motsägelse p p F En motsägelse (dvs ett påstående och dess negation) är falsk. Det uteslutna tredje: p p T Varje påstående är antingen sant eller falskt (lagen om det uteslutna tredje, dvs det finns ingen tredje möjlighet). Distribution: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) En konjunktion distribuerar över disjunktion och vice versa, disjunktion distribuerar över konjunktion. de Morgan: (p q) p q (p q) p q De här reglerna visar hur man kan flytta en negation in och ut i en konjunktion eller disjunktion. 22

25 3.2 Bevis av logiska påståenden med beviskedjor Konversion mellan konnektiver: p q ( p q) p q ( p q) p q p q p q (p q) (q p) De här reglerna visar hur de olika binära konnektiverna kan konverteras till ekvivalenta uttryck med andra konnektiver. Lattisegenskaper: p q (p q p) p q (p q q) De här logiska reglerna kan liknas vid de något motsvarande reglerna för aritmetiska operationer, t.ex. a + 0 = a, a 0 = 0, a (b + c) = a b + a c osv. Reglerna är liknande men inte de samma, så det är skäl att lära sig dem ordentligt. På samma sätt är de här basreglerna mycket nyttiga då man argumenterar med logiska påståenden, de kommer till användning gång på gång i praktiska bevis. Det finns även andra användbara logiska regler, t.ex. för omskrivning av logiska konnektiver, men vi nöjer oss för tillfället med de här reglerna. 3.2 Bevis av logiska påståenden med beviskedjor Vi beskriver nu hur man kan utnyttja de logiska konnektiveran för att bygga upp beviskedjor. I föregående kapitel har vi redan visat hur man använder beviskedjor för att bevisa påståenden av formen t t, där t och t är två termer och är en transitiv binär relation mellan termerna. Logiska påståenden av formen p q, p q och p q kan därmed direkt bevisas med beviskedjor, eftersom implikation och ekvivalens båda är transitiva. Vi har följande allmänna bevisscheman för de här fallen: 23

26 3 Propositionskalkyl Bevisa att p q är sant Bevisa att p q är sant Bevisa att p q är sant {framlänges bevis} {baklänges bevis} {framlänges bevis} p q p {motivering} {motivering} {motivering}... {motivering} {motivering} {motivering} q p q Vi illustrerar det här bevisschemat med att visa hur man löser en andragradsekvation. Uppgiften är att finna ett logiskt påstående som är ekvivalent med ekvationen, men där variabeln x värde framgår direkt. Exempel 6 Uppgiften är att lösa den kvadratiska ekvationen 7x 2 6x = 0. Följande strukturerade härledning ger lösningen. Lös ekvationen 7x 2 6x = 0: {ekvivalens är transitiv} 7x 2 6x = 0 {distributionslagen: a(b + c) = ab + ac} x(7x 6) = 0 {nollproduktregeln: ab = 0 (a = 0 b = 0)} x = 0 7x 6 = 0 {lös ekvationen i högra disjunkten} x = 0 x = 6 7 I härledningen transformerar vi ett initialt logiskt uttryck, 7x 2 6x = 0, i en följd av ekvivalensbevarande steg, till ett logiskt uttryck x = 0 x = 6 7 som visar direkt vilka två värden x kan ha (x har antingen värdet 0 eller värdet 6 7 ). Det här bevisschemat är enkelt och mycket använt, men kräver att det påstående som man bevisar har en speciell form. Ett typiskt påstående som inte 24

27 3.2 Bevis av logiska påståenden med beviskedjor är av den här formen är t.ex. p q. Vi kan emellertid använda en variant av det bevisschemat, som bygger på det faktum att varje logiskt påstående p är ekvivalent med påståendet p T. Vi kan då bevisa att påståendet p är sant genom att visa att det är ekvivalent med T. I själva verket är det tillräckligt att visa att T p gäller, eftersom andra riktningen (p T ) alltid gäller. En beviskedja för att påståendet p gäller kan ha formen av ett framlänges bevis (forward proof), där man startar från något som man vet är sant, t.ex. från T, och härleder p från det här. Alternativt kan man göra ett baklänges bevis (backward proof), där man börjar med påståendet och visar att det impliceras av T. Den önskade slutsatsen följer sedan av att implikationen är transitiv. Följande två bevisscheman visar den här metoden för att bevisa logiska påståenden: Bevisa att p är sant Bevisa att p är sant {baklänges bevis} {framlänges bevis} p T {motivering} {motivering}.. {motivering} {motivering} T p I stället för implikation kan man även ha ekvivalens mellan de logiska termerna i de här bevisschemata. Ekvivalensen är också transitiv, dvs från p 1 p 2... p k följer att p 1 p k. Vi kan blanda ekvivalens och implikation i en beviskedja (förutsatt att alla implikationer är i samma raktning). I allmänhet försöker man i en beviskedja vara noggran med förhållandet mellan termerna, och använda ekvivalens alltid när det går, även om det implikation skulle vara tillräckligt för att bevisa påståendet. Vi kan även använda F för att bevisa påståenden, såsom framgår av följande bevisscheman. 25

28 3 Propositionskalkyl Bevisa att p är falskt Bevisa att p är sant {framlänges bevis} {motbevis} p p {motivering} {motivering}.. {motivering} {motivering} F F Vi visar att ett påstående p är falskt genom att visa att det är ekvivalent med F. Eftersom F p gäller för varje p, så är det i det här fallet tillräckligt att visa att p F gäller (bevisschemat till vänster). Eftersom p är sant om och endast om p är falskt, kan vi använda det här som ett alternativt sätt att bevisa ett påstående p, dvs vi bevisar att p är falskt. Ett sådant här bevis kallas för ett motbevis (reductio ad absurdum) och beskrivs i schemat till höger. Vi har följande generella regler som motiverar det här sättet att bevisa logiska påståenden. Sanning och falskhet p (T p) p (p F ) Det vänstra påståendet säger att p är sant om och endast om T implicerar p. Det högra påståendet säger att p är falskt om och endast om p implicerar F. Vi kan bevisa att ett påstående som t.ex. p q är sant genom att bevisa att T p q, gäller, och vi kan bevisa att det är falskt genom att visa att p q F. I stället för att starta från T kan man starta från något som man vet att är sant. I praktiken betyder det här att man startar från ett axiom, ett teorem eller en konjunktion av antaganden (vilka alla är ekvivalenta med T ). På samma sätt slutar man i ett motbevis oftast när man har härlett ett uttryck av formen q q, dvs en motsägelse, som ju är ekvivalent med F.Vi illustrerar det här med följande schematiska exempel: 26

29 3.2 Bevis av logiska påståenden med beviskedjor Bevisa p - A - B Bevisa p - A - B Bevisa p - A - B {baklänges bevis} {framlänges bevis} {motbevis} p B p {...} {...} {...} B p I de två första fallen bevisar vi p, i det tredje bevisar vi p. I alla fallen har något steg lämnats implicit. Om vi kompletterar de här bevisen, så får vi följande bevisscheman: B Bevisa p - A - B Bevisa p - A - B Bevisa p - A - B {baklänges bevis} {framlänges bevis} {motbevis} p T p {...} {antagande} {...} B B B {antagande} {...} {antagande} T p B B {motsägelse} F På detta sätt undviker man ofta i praktiken att explicit skriva ut konstanterna T och F. Å andra sidan klargör den explicita användningen av T och F den logiska strukturen i ett argument, så det finns egentligen ingen orsak att undvika de här konstanterna. 27

30 3 Propositionskalkyl Exempel 7 Vi visar att om k är ett heltal, så är k 2 + k alltid ett jämnt tal. Följande är ett kort och intuitivt bevis för att påståendet stämmer: Visa att k 2 + k är ett jämnt tal - när k är ett heltal k 2 + k är jämnt {faktorisera} k(k + 1) är jämnt {av två på varandra följande heltal är det ena alltid jämnt, så produkten är jämn} T Om det sista steget inte anses vara tillräckligt stringent kan vi ge ett mera noggrant bevis enligt följande: Visa att k 2 + k är ett jämnt tal - när k är ett heltal k 2 + k är jämnt {faktorisera} k(k + 1) är jämnt {sanningsregelen: p T p} T k(k + 1) är jämnt {regeln om det uteslutna tredje: T p p, k är udda k är jämnt} (k är jämnt k är udda) k(k + 1) är jämnt {distributionsregeln: (q r) p (q p) (q r)} (k är jämnt k(k + 1) är jämnt ) (k är udda k(k + 1) är jämnt) { k är jämnt produkten k(k+1) jämnt, lattisregeln: (p q) (p q p)} k är jämnt (k är udda k(k + 1) är jämnt) 28

31 3.3 Slutledningsregler för konnektiver {k är udda k +1 jämnt produkten k(k +1) är jämnt, implikationen transitiv, lattisregeln} k är jämnt k är udda {lagen om det uteslutna tredje} T Exempel 8 Ett klassiskt exempel på ett motbevis är beviset för att 2 är ett irrationellt tal. Beviset härleder en motsägelse från detta påståendes negation, som är att 2 är rationellt och därmed kan skrivas som ett bråk a b. Visa att 2 är ett irrationellt tal. {motbevis, antag att 2 är ett rationellt tal} 2 = a b {kvadrera båda sidor och multiplicera med b} 2b 2 = a 2 {antalet förekomster av primfaktorn 2 är udda till vänster och jämnt till höger} F Det sista steget utnyttjar ett argument som är svårt att dela upp i mindre steg: att a 2 innehåller dubbelt så många förekomster av primfaktorn 2 som a. 3.3 Slutledningsregler för konnektiver Förutom axiom av det slag som beskrivits ovan, behöver man även en användbar samling slutledningsregler för att kunna bygga upp strukturerade härledningar i praktiken. En slutledningsregel säger att en viss relation gäller mellan termer, om man kan visa att vissa andra påståenden (hypoteser) är sanna. I strukturerade härledningar bevisas de här hypoteserna i delbevis. Vi ger i det följande en samling användbara slutledningsregler för logiska konnektiver. 29

32 3 Propositionskalkyl Ekvivalens av logiska uttryck En central regel är hur vi bevisar att två logiska uttryck är ekvivalenta. För det här ändamålet kan vi använda regeln p... q {definition av ekvivalens} Bevisa att p q Bevisa att q p Vi kan alltså bevisa att p q genom att ge två delbevis, ett där vi visar att p q gäller och ett annat där vi visar att q p gäller. Bevisa implikation och ekvivalen med delsteg Om vi vill dela upp beviset av en implikation eller en ekvivalens i större delsteg, kan vi använda transitivitetsregeln för implikation och ekvivalens, p {implikationen är transitiv}... r Bevisa att p q Bevisa att q r p... r {ekvivalensen är transitiv} Bevisa att p q Bevisa att q r I det här fallet har vi två skilda delhärledningar, en där vi visar att p q gäller och en där vi visar att q r gäller. Vi kan skriva härledningen enklare genom att lämna transitiviteten implicit, enligt följande mönster: p {delhärledning} Bevisa att p q... q {delhärledning} Bevisa att q r... r p {delhärledning} Bevisa att p q... q {delhärledning} Bevisa att q r... r En lång följd av implikationer (ekvivalenser) kan på det här sättet delas upp i mellansteg, som gör det lättare att överblicka beviset och se helhetsstrukturen. 30

33 3.3 Slutledningsregler för konnektiver Bevis av konjunktion Vi visar en konjunktion genom att visa att båda leden i konjunktionen gäller. Med andra ord, vi har slutledningsregeln p {introducera konjunktion} Bevisa att p q Bevisa att p r... q r Bevis av disjunktion På samma sätt kan vi visa att en disjunktion implicerar ett påstående genom att visa att båda leden i disjunktionen implicerar påståendet: q r {eliminering av disjunktion}... p Bevisa q p Bevisa att r p Bevis av implikation Vi visar att en implikation p q gäller genom att visa att q gäller under antagandet att p gäller: p... q {bevis av implikation} Bevisa att q - p Substitutionsprincipen Ett vanligt steg i en härledning är att fokusera på ett deluttryck, visa att deluttrycket är lika med ett annat deluttryck, och sedan ersätta det ursprungliga deluttrycket med det nya uttrycket. Den allmänna motiveringen för det här steget är substitutionsprincipen. u[s] = {substitutionsprincipen}... u[t] Bevisa att s = t 31

34 3 Propositionskalkyl Här fokuserar vi på ett deluttryck s i ett i ett större uttryck u[s]. Deluttrycket s transformeras i en delhärledning till ett nytt uttryck t så att s = t. Substitutionsregeln säger då att u[s] = u[t] gäller. Vi använder ofta substitutionsprincipen informellt, utan att ge en explicit delhärledning, u[s] = {substitution, s = t} u[t] Ett exempel är följande bevissteg i en härledning. (Observera att ekvivalens mellan logiska uttryck är det samma som likhet mellan logiska uttryck.) x = 0 7x 6 = 0 {substitutionsprincipen} 7x 6 = 0 {addera 6 till båda sidorna av ekvationen} 7x = 6... x = 0 7x = 6 Samma sak, men mera koncist. x = 0 7x 6 = 0 {addera 6 till båda sidorna av högra disjunkten} x = 0 7x = 6 En delhärledning används när beviset av s = t är icke trivialt, annars brukar det räcka med en anmärkning i motiveringen. Fönsterinferens Logisk ekvivalens är det samma som likhet mellan logiska uttryck. Därför kan vi fritt använda substitutionsregeln även för logiska uttryck. För logiska påstående kan vi emellertid ofta utnyttja en samling starkare regler, fönsterinferensreglerna. Grundidén är att när man fokuserar på en deluttryck i ett logiskt uttryck så kan man utnyttja information om den omgivning där uttrycket uppträder för att genera lokala antaganden. De här lokala antagandena kan då göra det enklare att bevisa eller härleda det som man är ute efter. Vi har följande två grundregler för deluttryck som förekommer i en konjunktion eller en disjunktion: 32

35 3.4 Slutledningsregler i reduktionsbevis p q p q {substitutering i konjunktion} {substitutering i disjunktion} Bevisa att q r - p Bevisa att q r - p... p r... p r Substitutionsregeln säger att när vi skall bevisa att p q p r gäller, så är det tillräckligt att bevisa att q r gäller. Fönsterinferensregeln säger något starkare, dvs att vi får antaga att p gäller när vi bevisar att q r gäller. För disjunktion får man igen anta att p inte gäller då man bevisar q r. Då man fokuserar på den ena disjunkten får man alltså anta att den andra är falsk! Detta kan motiveras med att om p är sant så är disjunktionen alltid sann, så förenklingen är av betydelse bara då p är falsk. För implikation har vi p q q p {substitutering i implikation} {substitutering i implikation} Bevisa att q r - p Bevisa att q r - p... p r... r p 3.4 Slutledningsregler i reduktionsbevis Vi har ovan visat hur slutledningsreglerna för de logiska konnektiverna och kvantorerna kan användas i beviskedjor. Samma regler kan även användas i reduktionsbevis. Som exempel visar vi här regeln för att bevisa ekvivalens när den används i beviskedja (till vänster) och när den används i ett reduktionsbevis (till höger). Det är alltså fråga om exakt samma bevisregel, det är bara syntaxen som är annorlunda. p... q {definition av ekvivalens} Bevisa att p q Bevisa att q p p q {definition av ekvivalens} Bevisa att p q Bevisa att q p 33

36 3 Propositionskalkyl Reduktionsbevis kan kombineras med beviskedjor, så att vi t.ex. har ett reduktionsbevis på yttre nivå och bevisar hypoteser på inre nivå med beviskedjor, eller omvänt. Reduktionsbevis är t.ex. ofta användbara när man bevisar ett påstående genom att identifiera ett antal olika fall som kan inträffa, och sedan bevisar påståendet skilt för varje fall (proof by cases). Vi har följande bevisregel: q {case regel} Bevisa att p 1 p 2... p n Bevisa att q - p 1 Bevisa att q - p 2. Bevisa att q - p n Vi bör alltså först bevisa att något av fallen p 1,...,p n alltid gäller. Sedan visar vi för varje enskilt fall i att påståendet q gäller under antagandet att p i gäller. I många fall använder vi p 1 = p och p 2 = p. Då har vi enligt lagen om det uteslutna tredje att p 1 p 2 p p T, så det första antagandet i regeln gäller trivialt. 34

37 4 Härledningar med konnektiver Vi ger här några exempel som visar hur man använder reglerna för de logiska konnektiven i praktiken. Exempel 9 Vi vill lösa tredjegradsekvationen (x 1)(x 2 + 1) = 0. I princip borde en ekvation av tredje graden ha tre lösningar, men i det här fallet finns det bara en lösning. Härledningen illustrerar användningen av disjunktionsreglerna. Lös ekvationen (x 1)(x 2 + 1) = 0 (x 1)(x 2 + 1) = 0 {nollproduktregeln: ab = 0 a = 0 b = 0} x 1 = 0 x = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i vänstra disjunkten} x = 1 x = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i högra disjunkten} x = 1 x 2 = 1 {en kvadrat är aldrig negativ} x = 1 F {falskhet i disjunktion} x = 1 35

38 4 Härledningar med konnektiver Exempel 10 Problemet är att bestämma för vilka värden på x uttrycket x 1 x 2 1 är definierat. Den här härledningen illustrerar användningen av negation och de Morgans regler vid manipulation av logiska uttryck. Bestäm för vilka värden på x uttrycket x 1 x 2 1 är definierat x 1 x 2 1 är definierat {villkoret för att ett rationellt uttryck skall vara definierat} x {övergå till logisk notation} (x 2 1 = 0) {ekvationens lösning} x 2 1 = 0 {faktorisering} (x + 1)(x 1) = 0 {nollproduktregeln} x = 1 x = 1... (x = 1 x = 1) {de Morgans lagar} (x = 1) (x = 1) {ändra notation} x 1 x 1 Exempel 11 Problemet är att lösa ekvationen x 1 + 2x y = 0. Härledningen illustrerar konjunktion och fönsterinferens vid lösning av ekvationer. Lös ekvationen x 1 + 2x y = 0 x 1 + 2x y = 0 {absoluta värden är aldrig negativa} x 1 = 0 2x y = 0 {addera 1 till båda sidorna i vänstra konjunkten} 36

39 x = 1 2x y = 0 {fönsterinferens, förenkla högra konjunkten} Lös ekvationen 2x y = 0 - när x = 1 2x y = 0 {antagandet x = 1} 2 y = 0 {lös ekvationen för y} y = 2... x = 1 y = 2 Exempel 12 Vi löser en ekvation med absolutbelopp, x 3 = 2x. Härledningen illustrerar användningen av både konjunktions och disjunktionsregler, samt fönsterinferens. Lös ekvationen x 3 = 2x x 3 = 2x {regel för absolutbelopp} (x 3 = 2x x 3 = 2x) x 0 {förenkla parentesen, fönsterinferens med konjunktion} Förenkla vänstra konjunkten: - x 0 x 3 = 2x x 3 = 2x {lös vänstra ekvationen} x = 3 x 3 = 2x {lös högra ekvationen} x = 3 x = 1 {använd antagandet} F x = 1 {förenkla} x = 1... x = 1 x 0 {förenkla} x = 1 37

40 4 Härledningar med konnektiver Exempel 13 Vi betraktar följande problem. I en rätvinklig triangel mäter hypotenusan 15 cm, medan omkretsen är 36 cm. Bestäm längden på kateterna. Från Pythagoras teorem vet vi att a 2 + b 2 = c 2 när a och b är kateter och c är hypotenusan. Triangelns omkrets ges av a + b + c. Beräkna kateterna i triangeln [1] när triangeln är rätvinklig, med kateterna a och b och hypotenusan c, [2] c = 15cm, och [3] triangelns omkrets är 36cm [1] [3] {pythagoras sats, definition av omkrets} a 2 + b 2 = c 2 a + b + c = 36 {antagande [2]} a 2 + b 2 = 15 2 a + b + 15 = 36 {lös ut b från ekvationen till höger} a 2 + b 2 = 15 2 b = 21 a {substituera värdet för b i vänstra ekvationen, 15 2 = 225} a 2 + (21 a) 2 = 225 b = 21 a {beräkna (21 a) 2 } a a + a 2 = 225 b = 21 a {förenkla ekvationen} 2a 2 42a = 0 b = 21 a {lös andragrandsekvationen} Lös 2a 2 42a = 0: {transitivitet} 2a 2 42a = 0 {rotformeln} a = ( 42) ±

41 {förenkla} a = 42 ± {förenkla} a = 42 ± 6 4 {förenkla} a = 9 a = (a = 9 a = 12) b = 21 a {distributionslagen: (p q) r = (p r) (q r)} (a = 9 b = 21 a) (a = 12 b = 21 a) {substituera a i uttrycket för b} (a = 9 b = 21 9) (a = 12 b = 21 12) {förenkla} (a = 9 b = 12) (a = 12 b = 9) Av svaret framgår att den ena kateten är 9 cm och den andra kateten är 12 cm. Det här beviset börjar med att räkna upp vissa antaganden ([1] och [3]). Vi bevisar sedan att antagandena är ekvivalenta med påståendet (a = 9 b = 12) (a = 12 b = 9). Eftersom antagandena är sanna, måste även det här påståendet vara sant, dvs vi har löst uppgiften. 39

42 4 Härledningar med konnektiver 40

43 5 Predikatkalkyl Om vi ersätter variabeln x i uttrycket x > 5 med ett värde så får vi ett uttryck utan variabler. Beroende på vilket värde som substitueras för x blir uttrycket sant (t.ex. substitutionen x := 7 ger oss 7 > 5) eller falskt (substitutionen x := 3 ger oss 3 > 5). Predikatkalkylen ger oss verktyg att resonera om logiska påståenden av det här slaget, där sanningen av ett påstående är beroende av vilka värden man tilldelar variablerna som ingår i påståendet. 5.1 Kvantorer Betrakta nu uttrycket x + 1 > x. Oberoende av vilket värde man substituerar för x så kommer resultatets sanningsvärde att vara T. Vi kan alltså påstå att x + 1 > x är sant för alla värden på x Vi använder allkvantorer till att beskriva situationer där något påstående är sant för alla möjliga värden för någon variabel. Påståendet x 2 > x är igen sant för vissa värden av x (t.ex., x = 2) men falskt för vissa andra värden av x (t.ex. x = 1). Med en existenskvantor kan man beskriva situationer där något påstående är sant för något värde på en variabel (men eventuellt falskt för andra värden). Allkvantorer och existenskvantorer behandlas i predikatkalkylen, som vi beskriver härnäst. Allkvantorn Allkvantorn utläses för alla (eng. for all ). Den kallas också universalkvantor. Ett exempel visar bäst hur den används: påståendet att skrivs som x + 1 > x är sant för alla reella tal x ( x x + 1 > x) och utläses som för alla x gäller att x + 1 > x. Parenteserna hör till syntaxen, liksom även punkten som skiljer den kvantifierade variabeln från det kvantifierade uttrycket. Vi kan kvantifiera över flere variabler samtidigt. Uttrycket ( x y x + y + 1 > x + y 1) 41

44 5 Predikatkalkyl påstår att x + y + 1 > x + y 1 gäller för alla möjliga kombinationer av värden på x och y. Det här är egentligen en förkortning av utrycket ( x ( y x + y + 1 > x + y 1)) Många matematiska påståenden kräver kvantorer för att kunna formuleras exakt. Till exempel säger ( x f(x) a) att funktionen f är uppåt begränsad (av a). Allkvantor och sanningsvärde Påståendet ( x x + 1 > x) är sant eftersom påståendet x + 1 > x är sant för alla tillåtna värden på x. Det är alltså rätt att skriva ( x x + 1 > x) T Däremot är påståendet ( x x 2 x) inte sant eftersom det finns motexempel: om x har värdet 1 2 så blir påståendet x2 x falskt. Alltså gäller ( x x 2 x) F eftersom det inte är sant att x 2 x för alla värden på x. Ett allkvantifierat uttryck kan uppfattas som en oändlig konjunktion, speciellt om variabeln varierar över en mängd som kan beskrivas med en uppräkning. Att påstå ( x x + x = 2x) när x varierar över naturliga tal kan uppfattas som det oändliga uttrycket = = = = I strikt logisk mening är kvantifieringen något annat än en konjunktion (och oändliga uttryck kan inte hanteras med vanlig logik), men många av allkvantorns egenskaper kan ses som generaliseringar av konjunktionens egenskaper. Existenskvantorn Existenskvantorn utläses det finns (eng. there exists ). Ett exempel visar bäst hur den används: ( x x 2 = 2) utläses det finns ett reellt tal x sådant att x 2 = 2. Variabeln x är bunden av kvantorn. Vi antar implicit att variabeln x varierar över de reella talen. Existenskvantorn kan ses som en dual till allkvantorn, den talar om påståenden 42

45 5.1 Kvantorer som är sanna för något värde på en variabel, och kan ses som en slags allmän disjunktion. Existenskvantorn kommer till användning vid definition av egenskaper som t.ex. delbarhet. Vi vet att talet 18 är delbart med 6 eftersom divisionen 18/6 går jämnt ut (med resultatet 3). Mer exakt följer delbarheten av att det finns ett tal (nämligen 3) som multiplicerat med 6 ger 18. Allmänt definierar vi skrivsättetm n (utläses m delar n eller m är en faktor i n eller n är delbart med m") enligt m n ( k km = n) Fria och bundna variabler Variabeln x är bunden i ett logiskt uttryck, om den förekommer i ett sammanhang ( x... x...) eller ( x... x...). Man säger då att x är bunden av en kvantor i uttrycket. Samma variabel x kan förekomma både bunden och fri i ett logiskt uttryck. Ett exempel är uttrycket x y ( x x 0 x + y 0) Här är y fri i uttrycket, liksom även den första förekomsten av x i uttrycket, medan den andra och därpåföljande förekomsten av x är bundna av kvantifieringen x. Vi skriver p(x) för att visa att variabeln x kan förekomma fri i påståendet p, dvs det finns en eller flere förekomster av x i uttrycket som inte binds av någon kvantor. Om t är en term, så skriver vi p(t) för det logiska påstående som vi får när vi ersätter varje fri förekomst av x i p med termen t. Påståendet ovan kan t.ex. betecknas som p(y), d.v.s. p(y) = x y ( x x 0 x + y 0) eftersom y förekommer fritt i uttrycket. Om t är termen z 2 + 1, så har vi att p(t) = x (z 2 + 1) ( x x 0 x + (z 2 + 1) 0) d.v.s., den term vi får när vi ersätter varje fri förekomst av y med termen z Vi kan även skriva påståendet som p(x), p(x) = x y ( x x 0 x + y 0) och anger därmed att x förekommer fri i påståendet. Med samma t = z blir då p(t) det logiska uttrycket p(t) = (z 2 + 1) y ( x x 0 x + y 0) 43

46 5 Predikatkalkyl Endast den första (fria) förekomsten av x ersätts med t, de bundna förekomsterna lämnas oförändrade. Ändra namn på kvantifierade variabler Valet av namn för de kvantifierade variablerna har ingen betydelse för vad det kvantifierade uttrycket står för. Om vi t.ex. har ett kvantifierat uttryck ( a... a...) där a förekommer en eller flera gånger i uttrycket som kvantifieras, så kan vi ersätta a med någon annan variabel, t.ex. b, och får då det ekvivalenta uttrycket ( b... b...) Villkoret här är att b inte redan förekommer tidigare i uttrycket och att varje a ersätts med b. I den andra konjunkten i uttrycket x y ( x x 0 x + y 0) kan vi t.ex. ersätta x med z, och får då x y ( z z 0 z + y 0) Det här är tillåtet, eftersom z inte förekommer tidigare inom det kvantifierade uttrycket. Däremot får vi inte ersätta x med y i uttrycket, dvs x y ( x x 0 x + y 0) x y ( y y 0 y + y 0) I det här fallet skulle det y som finns i uttrycket, och som är fritt (dvs inte binds av en kvantifiering) bli bundet i det nya uttrycket, med den påföljd att det logiska uttryckets betydelse blir något helt annat än tidigare. Begränsad kvantifiering Variablerna i ett kvantifierat uttryck tänkes ofta variera över någon implicit värdemängd. Ofta vill man emellertid vara mera exakt, och explicit ange variationsområdet för den kvantifierade variabeln. Vi kan då uttnyttja begränsad kvantifiering. En begränsad allkvantor är av formen ( x : p(x) q(x)) och en begränsad existenskvantor är av formen ( x : p(x) q(x)). Här är p(x) ett villkor som begränsar de värden som den kvantifierade variabeln kan anta. Ett exempel är ( x : 1 x 10 x 2 < y). Det här påståendet är sant om x 2 < y gäller för alla värden x som uppfyller villkoret 1 x 10. På samma sätt är påståendet ( x : 1 x 10 x 2 < y) sant om det finns något 44

47 5.2 Slutledningsregler för kvantifierade uttryck värde x som uppfyller villkoret 1 x 10 och för villket x 2 < y gäller. Begränsad kvantifiering är en enkel och användbar notation som kommar ofta till användning i praktiken. Den definieras med hjälp av vanlig kvantifiering, på följande sätt: ( x : p(x) q(x)) ( x p(x) q(x)) ( x : p(x) q(x)) ( x p(x) q(x)) I praktiken används ofta förkortningar av begränsad kvantifiering. Vi ger här några vanliga förkortningar för allkvantorn, men motsvarande förortningar används även för existenskvantorn: ( x R q(x)) ( x : x R q(x)) ( x 0 q(x)) ( x : x 0 q(x)) Vi kan även skriva ( x : R q(x)) för ( x R q(x)) (dvs använda kolon i stället för att ange värdemängden. 5.2 Slutledningsregler för kvantifierade uttryck De centrala reglerna för kvantifiering har att göra med hur man introducerar en kvantor i ett uttryck och hur man eliminerar en kvantor i ett uttryck. Vi har två centrala regler för universalkvantorn, och dualt även två centrala regler för existenskvantorn. Specialisering Om termen t är fri för variabeln x i det logiska påståendet p, så har vi att ( x p(x)) p(t) Med andra ord, om ett universellt kvantifierat påstående ( x p(x)) gäller, så gäller påstående p för varje värde t av den kvantifierade variabeln x, dvs p(t) gäller. Villkoret termen t är fri för variabeln x i det logiska påståendet p krävs för att regeln skall gälla. Det säger följande: termen t innehåller ingen variabel som är bunden i p(x) 1. Det här villkoret kan vanligen uppfyllas genom att vid behov ändra namnen på kvantifierade variabler så att det här problemet inte uppkommer. Begränsningen kan vara något svårtydlig, så vi illustrerar det hela med ett 1 Det här kravet är en aning starkare än vad man normalt kräver. Det är i själva verket tillräckligt att kräva att ingen (fri) variabel i t blir bunden i p när x ersätts med t. 45