Matematik med lite logik

Transkript

1 Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematik med lite logik Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 1, Oct 2008

2

3 Matematik med lite logik Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken Ralph-Johan Back och Joakim von Wright Oktober 2008, Åbo, Finland Copyright Ralph-Johan Back and Joackim von Wright All rights reserved TUCS Lecture Notes Nr 1 IMPEd Series

4

5 Förord Strukturerade härledningar är en nytt format för matematiska bevis och härledningar, som bygger på användningen av logisk notation och enkla logiska regler i argumenteringen. Den här rapporten introducerar metoden i praktiken, i form av en kurs i praktisk logik på gymnasienivån. De grundläggande logiska begreppen introduceras stegvis, ett i gången, och illustreras med exempel från gymnasiematematiken. En preliminär version av den här rapporten har använts som kursbok i ett flertal kurser i lång matematik på gymnasienivån i Finland (den valbara kursen Logik och talteori ). Alla kapitel är försedda med övningsuppgifter. Översikt Vi har lagt upp materialet så att de centrala ingredienserna i användningen av strukturerade härledningar introduceras steg för steg, motiverade av vanliga problemställningar i gymnasiematematiken. Kapitel 2 introducerar linjära härledningar. Vi beskriver hur förenkling (beräkning, hyfsning, omskrivning) skrivs med hjälp av kommenterade härledningar. Avsikten är att belysa principer och regler som ligger bakom sådana matematiska uträkningar och slutledningar som vanligen uppfattas som enkla och självklara. Kapitel 3 behandla sanningsvärden (sant och falskt) och grundläggande regler och operationer med sanningsvärden. Linjära härledningar används för att förenkla aritmetisk-logiska uttryck, dvs uttryck där både talvärden och sanningsvärden är inblandade. Kapitel 4 behandlar lösning av ekvationer och olikheter. Att lösa en ekvation (eller en olikhet, eller ett ekvationssystem) innebär att skriva om uttrycket i en logiskt ekvivalent form som visar lösningen, dvs vilka värden som satisfierar ekvationen. Kapitel 5 utvidgar linjära härledningar till strukturerade härledningar, genom att införa delhärledningar. En delhärledning är en egen helhet som samtidigt ingår som del i den huvudsakliga härledningen. Delhärledningar skrivs indragna (flyttade högerut) och de kan vid behov gömmas. Kapitel 6 tar upp ett centralt problemområde i matematiken: odefinierade uttryck. Det är som bekant inte tillåtet att dividera med 0 eller att dra kvadratroten ur ett negativt tal. Å andra sidan kan vi skriva ner uttryck som 3 0 eller 1 x 2, som alltså är odefinierade. I matematiken undviker man vanligen 3

6 frågan om vad ett sådant uttryck betyder genom att anta att sådana uttryck undviks. I det här kapitlet ser vi hur detta kan göras logiskt hållbart. Kapitel 7 visar vi hur implikation p q, dvs att påståendet q följer av påståendet p, kan visas med härledningar. Samma metodik kan också användas för att visa olikheter - implikation p q är logikens motsvarighet till olikhet av formen a b. Det här generaliserar de härledningar som har använts ovan, vilka endast visat likheter och ekvivalenser (som är logikens motsvarighet till likhet). Kapitel 8 behandlar användningen av figurer och grafer i matematisk problemlösning. En text kan förklara vad man syftar på, en bild kan åskådliggöra den aktuella situationen, en tabell kan sammanfatta en mängd fakta, osv. Grafer och figurer kan också ha en aktiv roll i problemlösandet. Kapitel 9 sammanfattar ett antal olika sätt att angripa ett matematiskt problem. Somliga av dem har redan använts i samband med exemplen i tidigare kapitel medan andra är nya. Det är viktigt att inse att ett och samma problem ofta kan lösas på många olika sätt, och att lösningen kan kräva en kombination av olika bevisstrategier. Kapitel 10 introducerar kvantorerna, både allkvantorn och existenskvantorn. Kvantorer har traditionellt undvikits inom gymnasiematematiken, men eftersom det är svårt att klara sig utan dem har man gömt undan dem bakom olika slags ad hoc formuleringar. Här beskrivs både hur de fungerar för att uttrycka matematiska egenskaper och hur de används i bevis. En speciellt användbar metod är matematisk induktion. Vi går även utöver den egentliga gymnasiematematiken och visar hur kvantorer kan användas för härledningar inom områden som vanligen anses svåra att hantera, som kontinuitet och gränsvärden. Matematik med logik Den här publikationen är en del i en serie som beskriver strukturerade härledningar och deras tillämpning i matematikundervisningen. För tillfället har följande publikationer utkommit i den här serien: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken (Back, Wright [11]) En kort kurs i talteori (Back, von Wright [10]) Studentexamen i lång matematik, våren 2003 (Back, von Wright[12]) Introduktion till strukturerade härledningar (Back [2]) Logik för strukturerade härledningar (Back [3]) Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat (Back [4]) Vi hänvisar till övriga publikationerna i den här serien för att få en mera mångsidig uppfattning om den här metoden och dess användning i praktiken. 4

7 Tackord Arbetet med att utveckla strukturerade härledningar och experimenten med att använda metoden i undervisningen har skett i nära samarbete med medlemmarna i Learning and Reasoning laboratoriet, ett forskningslaboratorium som är gemensamt för Åbo Akademi och Åbo Universitet. Speciellt vill vi tacka följande personer för en mängd givande och intressanta diskussioner om metoden och bidrag till metodens utveckling (listan är i alfabetisk ordning): Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Tapio Salakoski, och Patrick Sibelius. Forskningen har finansierats av Finlands Akademi, inom ramen för projektet Center of Excellence in Formal Methods in Programming. 5

8 6

9 Innehåll 1 Introduktion 9 2 Uttryck, likhet, härledningar 15 3 Sanningsvärden och ekvivalens 25 4 Ekvationer som logiska påståenden 39 5 Delhärledningar och antaganden 49 6 Hantering av odefinierade uttryck 61 7 Implikation 69 8 Figurer och andra hjälpmedel 79 9 Bevisstrategier Kvantorer 99 7

10 Innehåll 8

11 1 Introduktion Matematik har undervisats systematiskt i flera årtusenden. Traditionerna i matematikundervisningen är gamla och starka. Under århundraden har de överfört matematisk färdighet från generation till generation, och varje generation har ökat på vårt matematiska kunnande och vår förståelse av matematiken. Tidigare lärde man ut matematik till en liten grupp med speciell matematisk fallenhet, och undervisningsmetoderna var anpassade efter det. I dag borde vi lära ut matematik åt så många elever som möjligt. Efterfrågan på matematiskt kunnande och förståelse har vuxit kraftigt med dagens kunskapssamhälle. Allt fler verksamhetsområden baserar sig på en gedigen matematisk färdighet och förblir slutna för dem som inte kommit in i det matematiska tänkesättet. Läroplanen i matematik har i den finländska grund- och gymnasieskolan (liksom i Västvärlden överlag) under de senaste decennierna förändrats i en riktning som allt mindre betonar bevis och strikta härledningar. Detta har motiverats bland annat med att en allt större del av årsklasserna skall kunna lära sig stoffet och med att den moderna teknologin avspeglas i matematikundervisningen. Som Hanna påpekar [21] är bevis och strikta argument dock en viktig del av matematikens väsen. Därför, menar Hanna, liksom många andra, är det viktigt att bevis ingår som en naturlig del i matematikundervisningen och att elever lär sig att förstå hur matematiska teorem bevisas. Vår avsikt här är att föra fram ett nytt sätt att undervisa matematik som baserar sig på systematisk användning av logik. Vår bärande idé är att lösningsprocessen, från problem till svar, skall kunna framställas som en helhet där det är möjligt att granska och diskutera delar på olika detaljnivå, och att se hur delarna hänger ihop och tillsammans bildare en helhet. Logiken bildar här grunden för en systematisk matematisk notation, och för ett systematiskt sätt att utföra härledningar och bevis. Logik är, liksom matematik, ett urgammalt ämne, som studerades redan av Sokrates, Platon och Aristoteles, och är grunden för matematiken. Under 1900-talet upplevde logiken en kraftig renässans, då matematiken riktade sig in på att studera sig själv. Matematiker som Frege, Hilbert, Cantor, Russel och Whitehead, Gödel, Turing, Tarski och Church har lyft fram matematisk logik som ett centralt forskningsområde inom matematik. Den centrala problemställningen har då varit grunderna och gränserna för matematisk kunskap: hur är matematiska argument och teorier uppbyggda, var går gränserna för vad vi kan definiera, 9

12 1 Introduktion bevisa och beräkna? Vi vänder här på steken, och ser i stället på hur logik kan tillämpas i matematik (logisk matematik?), och speciellt i matematikundervisningen. Vi är intresserad av praktisk logik, sådan som den kan användas i de vanliga problemställningarna som tas upp i gymnasiets matematik. Hur kan vi tillämpa de landvinningar som gjorts inom matematisk logik under de senaste 150 åren för att ge en mera systematisk och enkel framställning av matematik för eleverna i gymnasiet? Vår egen bakgrund är en aning speciell i det här sammanhanget. Vi är båda forskare inom datateknik och vårt specialgebit är programmeringsteknik, speciellt användningen av formella metoder i programmering. Med formella metoder avses matematiska metoder för programkonstruktion för att garantera att programmen fungerar korrekt, dvs i enlighet med givna specifikationer. Garantin ges i form av ett matematiskt bevis av programmets riktighet. Att bevisa att ett program fungerar rätt leder vanligen till att ett stort antal relativt triviala matematiska påståenden som alla måste bevisas. På grund av det här har studien av matematiska härledningar och bevis fått en framträdande roll inom vårt forskningsområde. Ett centralt delområde är bevisning av matematiska teorem med hjälp av datorer. Bevisningen kan antingen ske helt automatiskt, eller så hjälper datorn med att utföra och kontrollera stegen i beviset. I båda fallen krävs att både matematiska teorem och bevis beskrivs i en exakt logisk formalism. Detta har lett till en betoning av praktisk logik i programkonstruktion, dvs logik som ett verktyg i matematiken snarare än som ett studieobjekt för matematiken. Linjära och strukturerade härledningar Formella metoder i programmering utnyttjar en uppsjö av olika logiska formalismer, beroende på vilket tillämpningsområde det är fråga om och vilka behov man har. En del logiska formalismer är bättre lämpade för datorbaserade bevis, medan andra är bättre lämpade för manuell bevisning. Den tradition som vi följer här har initierats av Edsger W. Dijkstra, en av de stora pionjärerna i datateknisk forskning. Dijkstra och hans kolleger (Wim Feijen, Carel Scholten, Nettie van Gasteren) koncentrerade sig på att göra matematiska bevis både enkla och exakta. De utvecklade en notation som i branschen går under namnet calculational derivations [15, 23, 16]. En exakt översättning skulle vara kalkylliknande härledningar, men vi har valt att kalla dem linjära härledningar på svenska. Avsikten var att matematiska bevis och härledningar skulle vara mera likt beräkningar, som när man löser ekvationer eller utför division på papper. Det här målet kan uppnås om man utnyttjar logik som räkneregler vid kalkylering av matematiska bevis. En ansenlig skara av forskare inom formella metoder har under de senaste åren över- 10

13 gått till att använda Dijkstras kalkylerande sätt att utföra matematiska bevis i sina publikationer, och metoden kan med fog sägas bilda en standard i dag inom vårt forskningsområde. David Gries och Fred Schneider har även studerat och propagerat för användningen av den här metoden i matematikundervisning [18, 20] och har även publicerat en bok om hur metoden kan användas för undervisning av logik och diskrete matematik i universitetet [19]. Så vitt vi vet har det emellertid inte gjorts studier om hur metoden direkt kan tillämpas på standard matematikundervisning på lägre nivåer (grundskola och gymnasium). Vi har i en bok (Back och von Wright: Refinement Calculus: A Systematic Introduction, Springer 1998[8]) genomgående utnyttjat Dijkstras härledningssätt på ett stort antal mer eller mindre komplicerade bevis inom programmeringslogiken. Dijkstra introducerade en egen logik för linjära härledningar, en variant av första ordningens predikatkalkyl. Vi har i stället byggt upp en version av kalkylliknande bevis som baserar sig på en klassisk standardlogik, så kallad högre ordningens logik. Den hör logiken har ursprungligen utvecklats av Alonzo Church [14]. Samtidigt har vi utvidgat Dijkstras metodik så att den kan användas för att beskriva hela lösningen på ett matematiskt problem, inte bara delhärledningar. Resultatet är ett fullständigt system för matematisk bevisning som är ekvivalent med det bevissystem för högre ordningens logik som utvecklats av Michael Gordon och Tom Melham [17]. Vi kallar vår vidareutveckling av Dijkstras metodik för strukturerade härledningar. Erfarenheterna av att utnyttja strukturerade härledningar i vår bok var mycket goda, och ledde till att vi även började undersöka möjligheterna av att använda strukturerade härledningar i vanlig matematikundervisning. Den ursprungliga impulsen till det här var viljan att hjälpa våra egna barn i deras matematikstudier i skolan. En av oss (von Wright) har dessutom även gjort karriär som matematiklärare, så steget var inte speciellt stort. Det visade sig att möjligheterna att använda logik i skolmatematiken, för att förenkla och systematisera argumenteringen och härledningarna, var praktiskt taget obegränsade. Den notation som används inom matematiken och matematikundervisningen i dag är mycket traditionell. Den har utvecklats under många århundraden, och har inte nämnvärt påverkats av det senaste århundradets forskning inom matematisk logik. Det har lett till att samma logiska begrepp beskrivs på olika sätt inom olika delområden av matematik. Enkla och grundläggande logiska inferensregler skrivs heller aldrig ut explicit, utan eleven förväntas förstå och lära sig tillämpa dessa genom någon slags osmotisk process, där lärarens förståelse överförs till eleven via en samling exempel. Kort sagt, dagens matematik presenteras på ett onödigt invecklat och osystematiskt sätt (krångligt och råddigt, som det heter på finlandssvenska). 11

14 1 Introduktion Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken Vi började med att pröva strukturerade härledningar på en samling studentexamensprov, för att kontrollera att metodiken var allmänt användbar i praktiken [9, 1, 5, 7]. Vi har sedan prövat metoden i praktiken i ett större forskningsprojekt med forskare från Åbo Akademi (Back och von Wright), Åbo Universitet (Tapio Salakoski och Tanja Kavander) och Kuppis Gymnasium i Åbo (Mia Peltomäki) [13, 6]. I projektet omarbetade vi matematikkurserna i gymnasiet så att de genomgående använde sig av strukturerade härledningar vid presentation av materialet. Sedan delades eleverna upp i två grupper, en grupp som undervisades med hjälp av strukturerade härledningar, och en annan grupp som undervisades på traditionellt sätt. En hel årsklass med elever har sedan följts upp under hela deras gymnasietid, dvs under 3 år. Resultatet har varit mycket lyckat, och feedbacken på användningen av strukturerade härledningar har varit god. Mia Peltomäki slutför som bäst sin doktorsavhandling på det här ämnet. Vi koncentrerar oss här på matematiken i gymnasiet, och försöker visa hur framställningen av materialet kan förbättras om man använde en smula logik. De metoder som vi föreslår kan lika väl användas i matematikundervisningen i högskolor och universitet, men vi har valt att koncentrera oss på gymnasiematematiken, som följer en centralt fastslagen läroplan. Metoden kunde också anpassas till låg- och mellanstadiets matematikundervisning, men vi har inga erfarenheter av det här. Ett genomgående tema här är att matematiska härledningar och bevis kan göras mera formella, utan att de blir mera komplicerade att utföra (snarare tvärtom). Med en mera exakt och väldefinierad matematisk syntax följer då att möjligheterna till datorstöd förbättras avsevärt. Speciellt lovande är möjligheterna att bygga upp webbaserade matematikkurser, antingen som stöd vid klassundervisningen, som centrala element i virtuell skolundervisning, eller som självstudiekurser. Strukturerade härledningar möjliggör mycket mera omfattande datorstöd än vad som kan åstadkommas med traditionell notation och undervisningsmetodik, t.ex. vad beträffar hjälp med att förstå härledningar, korrigering och kontroll av lösningar, samt mekanisering av vissa delar av matematisk bevisföring. Den här rapporten kan användas som en allmän handledning i hur matematikkurser, speciellt i gymnasiet, kan omarbetas till att utnyttja strukturerade härledningar vid framställningen av materialet. På det här sättet har en preliminär version av rapporten använts vid undervisningen i Kuppis gymnasium av Peltomäki. En annan möjlighet är att föreläsa materialet som en specialkurs i gymnasiet. En av oss (von Wright) har två gånger använt delar av rapporten som en matematikkurs, under namnet Systematisk problemlösning med logik i Vasa övningsskola. En tredje användning är att se rapporten som ett kon- 12

15 struktivt inlägg i debatten om hur matematikundervisningen kan förbättras i gymnasiet, och som ett konkret förslag för hur en mera logikbaserad undervisning kunde byggas upp. Exempel och uppgifter täcker olika delområden av gymnasiematematiken, så om den här rapporten används som kursmaterial måste man välja exempel och uppgifter som är lämpliga med tanke på deltagarnas bakgrund. Några avsnitt är märkta med en asterisk (*) som visar att avsnittet i fråga utgör överkurs och kan utelämnas utan att det nämnvärt stör den fortsatta läsningen. Vad vi gör och vad vi inte gör Slutligen är det säkert skäl att vara mera explicit om vissa saker som vi försöker eller inte försöker uppnå här. Åsikter om vad som är bra matematik och hur matematik skall undervisas brukar vara starka, både bland praktiserande matematiker och matematiklärare. Traditionens makt är även stor, och det behövs starka argument för att ändra på gamla vanor. Vi introducerar t.ex. inte någon ny matematik. Vi försöker föra fram ett nytt sätt att presentera och arbeta fram lösningar till matematiska problem, men innehåller ingenting direkt nytt ur matematisk synpunkt. Metodiken som vi för fram, strukturerade härledningar, har redan beskrivits i andra publikationer, främst i vår bok [8]. Det nya här är tillämpningen av strukturerade härledningar för undervisningen av matematik i gymnasiet. En analogi som vi ibland utnyttjat är att cykla. Vi försöker lära eleverna att cykla, men vi säger ingenting om vilka platser eleverna skall cykla till, bara hur man hanterar cykeln i olika situationer. Vi försöker inte heller att på nytt försöka introducera den sk nya matematiken, dvs mängdläran, som grund för matematikundervisningen. Mängdläran är en otroligt elegant och vacker matematisk teori, och är de facto grunden för all modern matematik. Vår avsikt är mera prosaisk: vi vill visa hur man kan förenkla och förenhetliga vanlig matematisk notationen och matematiska härledningar med hjälp av litet enkel logik. Vi anser inte att det lilla man behöver lära sig om logik är för svårt för gymnasieelever. Logik är ju i slutändan endast teorin om två sanningsvärden, falskt och sant (eller två tal, noll och ett). Om elever kan lära sig den betydligt mera komplicerade teorin om hela tal, av vilka det finns oändligt många, eller teorin om reella tal, som det finns ännu mera av, så bör inte logiken vara för svår för dem. Däremot är vår avsikt att verka för ändringar i det sätt som matematikerna arbetar och beskriver sina resultat. Av erfarenhet vet vi att det här är den svåraste biten att svälja. Många matematiker drivs av en känsla av matematikens skönhet, och i den här upplevelsen har den matematiska notationen en viktig ställning. Matematiker tycker helt enkelt att matematiska bevis ser vackra ut 13

16 1 Introduktion (till skillnad från t.ex., programmerare, som inte tycker att programkod är speciellt vacker). Vi hoppas kunna ge tillräckligt med argument för att göra smärre ändringar i allmän matematisk notation, så att den logiska strukturen i bevis och härledningar blir enklare att konstruera och överblicka. En annan central avsikt är att föra fram matematiska bevis och härledningar som en central del av matematikundervisningen i gymnasiet. Under de senaste decennierna har gymnasieundervisningen gått i en riktning där man successivt minskat bevisens andel i undervisningen, så att de i dagens läge är närmast obefintliga. Det här har gjorts med avsikt att göra matematiken mera tillgänglig för eleverna, men vi tror att det i många fall närmast gör den mera svårfattbar. Utan bevis är ett matematiskt teorem närmast en magisk formel, med ett bevis är det en självklarhet. Vi försöker göra matematiska bevis mera tillgängliga genom att göra dem mera lika beräkningar. På samma sätt som vi förväntar oss att eleverna skall kunna lösa ekvationssystem genom enkla metodiska manipulationer så förväntar vi oss att eleverna skall kunna utföra enkla matematiska härledningar genom logiska manipulationer. 14

17 2 Uttryck, likhet, härledningar Vi börjar med att introducera linjära härledningar. Vi beskriver hur förenkling (beräkning, hyfsning, omskrivning) skrivs med hjälp av kommenterade härledningar. Avsikten är att belysa principer och regler som ligger bakom sådana matematiska uträkningar och slutledningar som vanligen uppfattas som enkla och självklara. Enkla uttryck, evaluering och härledning Ett enkelt aritmetiskt uttryck är uppbyggt av konstanter som 0, π och 1, 57 och operatorer som + och. Aritmetiskt betyder att det hela tiden handlar om reella tal. Exempel på enkla aritmetiska uttryck är π + 1 och Operatorer kan av historiska skäl skrivas på mycket varierande sätt. Minustecknet, som byter tecken på ett uttryck, skrivs prefix ( e, dvs. framför uttrycket) medan de fyra enkla räknesätten skrivs infix ( , 13 14, 13 14, och 13/14, dvs. mellan de två ingående uttrycken). Ibland skrivs division även som ett vågrätt bråkstreck, medan potensering, rotdragning osv. kan ha ännu mer komplicerade skrivsätt. Potensering skrivs i princip som postfix, liksom fakultet, dvs efter utrycket. I det följande antar vi att de vanliga aritmetiska operatorerna och deras betydelser är bekanta. Att evaluera ett enkelt uttryck är att beräkna dess värde. Likhet a = b mellan två uttryck a och b betyder att de har samma värde. Reglerna för hur uttryck evalueras antas vara bekanta, dvs vi antar att den operation som svarar mot varje operator är bekant (tex att + står för addition). Om ett uttryck är mycket enkelt så kan det evalueras i ett enda steg (i huvudet eller på räknare). För att beskriva evaluering av ett mer komplicerat uttryck steg för steg kan man använda en linjär härledning, dvs en serie av uttryck åtskilda med likhet. Som exempel evaluerar vi 3 3 ( 11) 2 i en linjär härledning: 3 3 ( 11) 2 = 27 ( 11) 2 = = 16 = 4 Likhet (=) mellan två uttryck betyder att de har samma värde. Eftersom likhet är transitiv (dvs om a = b och b = c så gäller a = c) så följer av härledningen att 3 3 ( 11) 2 = 4. Denna likhet är härledningens resultat, 15

18 2 Uttryck, likhet, härledningar dvs den slutsats man drar av härledningen. Uttryck med variabler Allmänna uttryck innehåller förutom konstanter och operatorer också variabler. Som variabler används vanligen små bokstäver, som a, b, c eller x, y, z, men ibland kan också stora bokstäver eller andra symboler användas. Exempel på uttryck är x2 1 x+1 och 2πrh. För att ett uttryck skall kunna evalueras måste varje variabel i uttrycket ges ett värde. Vi kan tex evaluera uttrycket 2πrh givet att r = 2 och h = 3: 2πrh = 2 π 2 3 = 12π Märk att vi räknar med exakta värden. Man kunde tänka sig ett sista steg enligt 12π 37, 3 men det är i så fall bäst att uppfatta det som en kommentar. Uttryckets värde är 12π men för att få ett grepp om värdet anger man att det är ungefär detsamma som 37, 3. Steget där man ersätter variabler med deras värden kallas substitution, och man säger att värdet substitueras för variabeln. Formalisering Formalisering innebär att beskriva en situation med hjälp av matematisk (och logisk) symbolik. Målet är att välja ut det som för stunden är viktigt och uttrycka det kortfattat och entydigt. Därvid sker en abstraktion, dvs det som är oviktigt för situationen lämnas obeaktat. Redan det att vi använder tal innebär en abstraktion. Genom att skriva 3 4 i stället för arean av ett område med 4 enheters längd och 3 enheters bredd får vi ett kortfattat uttryck, men samtidigt går en del information förlorad. Då man formaliserar en problemsituation namnger man obekanta med variabler och använder ekvationer eller olikheter för att beskriva samband som framgår av situationen. Tag som exempel följande problem: Bestäm längden av ett rektangulärt område om bredden är hälften av längden och arean är 120 areaenheter. Om vi ger längden namnet x och bredden namnet y så kan informationen sammanfattas i två ekvationer: y = 1 x och x y = Dessutom framgår det av problemformuleringen att vi önskar få reda på värdet på x (det kan inte ses ur ekvationerna). Omskrivning och förenkling Också om ett uttryck med variabler inte kan evalueras så kan det ofta förenklas, dvs skrivas om med hjälp av likhet till en form som är enklare. 16

19 Omskrivning styrs av regler som beskriver tillåtna omskrivningar. Ett exempel är konjugatregeln: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (konjugatregeln) Regeln visar hur ett mönster kan omskrivas till ett annat mönster. Då regeln används får vilka uttryck som helst substitueras för variablerna (här a och b), men man måste vara konsekvent (dvs man får inte substituera olika uttryck för olika förekomster av samma variabel). Som exempel omskriver vi uttrycket (x + y)(x y) + y 2 : (x + y)(x y) + y 2 = x 2 y 2 + y 2 = x 2 Här använder det första steget konjugatregeln. Det sista steget använder två omskrivningsregler (den ena är att a + a = 0, vilken är den andra?). Vissa omskrivningsregler är så väl inövade att de är nästan självklara, men det är ändå bra att kunna identifiera dem. Ett annat exempel visar hur konjugatregeln kan användas som stöd vid huvudräkning: = (60 + 5)(60 5) = = = 3575 Omskrivningsregler är alltid dubbelriktade, dvs de kan läsas från höger till vänster lika väl som från vänster till höger. I följande exempel används konjugatregeln: x 2 4 x + 2 = (x + 2)(x 2) x + 2 = x 2 1 = x 2 Enligt konjugatregeln gäller (x + 2)(x 2) = x 2 2 2, och detta används i första steget, men för att omskriva x 2 4 till (x + 2)(x 2). Steget att omskriva 4 som 2 2 har gjorts utan att det visas skilt. Vissa regler för förenkling uppfattas som så självklara att de kan användas i förbifarten utan särskild motivering. Exempel på sådana regler är a + 0 = a a + b = b + a 1 a = a Också om dessa regler är självklara är det bra att vara medveten om hur förenklingen egentligen fungerar, i detalj. 1 1 Att reglerna uppfattas som självklara beror bara delvis på att de är enkla. Främst handlar det antagligen om att vi vant oss vid att använda dem utan att reflektera över detaljerna. 17

20 2 Uttryck, likhet, härledningar Linjär härledning med kommentarer Om en härledning är kort och enkel kan den skrivas på en rad, som i exemplen ovan. Ett uppenbart problem är man inte skriver ut vilka regler som använts. Den som läser härledningen förutsätts alltså förstå detaljerna. Längre och mer komplicerade härledningar blir mycket lättare både att skriva och att läsa om man skriver in en motivering eller en förklaring vid varje steg. Förklaringen kan tex ange vilken regel som användes. Vi väljer nu att skriva härledningar i ett format där varje uttryck skrivs på en egen rad och likhetstecknet skrivs på en egen rad, följt av en förklaring inom klamrar. Som exempel förenklas potensuttrycket : = {exponentregeln a m a n = a m+n och 2 1 = 2} = {bryt ut gemensamma faktorn 2 7 } (2 + 1) 2 7 = {addition} Från och med nu gäller principen att alla härledningar skall skrivas i detta format, med kommentarer. Också då när ett steg verkar trivialt är det en bra idé att för övningens skull skriva en saklig motivering. Substitutionsregeln (lika för lika) En omskrivningsregel (som konjugatregeln eller en exponentregel) säger att vilka uttryck man än substituerar för regelns variabler så gäller likhet, förutsatt att substitutionen är konsekvent. För att visa hur regeln använts kan vi ange substitutionerna i kommentaren: (x 2 + y)(x 2 y) + y 2 = {konjugatregeln med a := x 2 och b := y} x 4 y 2 + y 2 = {regler för subtraktion och addition} x 4 18

21 Märk också att konjugatregeln här ersatt bara en del av uttrycket, nämligen (x 2 + y)(x 2 y). Detta motiveras med substitutionsregeln (också kallad lika för lika ): om två uttryck a och b är lika, så får vi substituera b för a inuti ett uttryck, och resultatet är då lika med det ursprungliga uttrycket. Skrivsättet u[a] kan användas för ett uttryck u där a ingår som deluttryck. Då säger substitutionsregeln att Om a = b så gäller också u[a] = u[b]. Substitutionsregeln är en inferensregel: den säger hur vi kan komma från en sanning (en likhet) till en ny sanning (en likhet). Inferensregler skrivs ofta i två våningar : det man vet (hypotesen) skrivs ovanför och den slutsats man kan dra skrivs under ett skiljestreck. Alltså: a = b u[a] = u[b] (Substitution) Substitutionsregeln är en så självklar regel och används så ofta att man inte behöver hänvisa till den i kommentarer (men det är ändå bra att vara medveten om att man använder den då man skriver om uttryck). Vad visar en härledning? En härledning med likheter visar att det ursprungliga uttrycket och det slutliga uttrycket har samma värde för alla tillåtna värden på de ingående variablerna. Härledningen ovan hade slutsatsen (x 2 + y)(x 2 y) + y 2 = x 4 och det betyder att vilket värde man än substituerar för x och y så blir vänstra och högra sidans värde samma. För att kontrollera att man inte gjort något slarvfel kan det vara en bra ide att välja ett eller ett par lämpliga värden för variablerna och kontrollera att resultatet är rimligt. Om vi här prövar med x = 2 och y = 1 så får vi = 16 vilket uppenbart är sant. Märk att en sådan kontroll i bästa fall kan upptäcka fel, men den kan inte bevisa att vi har gjort rätt. Substitution är en grundläggande logisk inferensregel för likhet. En annan grundläggande regel säger att likhet är transitiv: dvs i ord: a = b b = c a = c (Transitivitet) 19

22 2 Uttryck, likhet, härledningar Om a = b och b = c så är a = c. Som redan nämnts används transitiviteten för att dra slutsatsen av en härledning. Det är en god ide att avsluta en härledning med att konstatera slutsatsen. Om uppgiften är att förenkla uttrycket (x 2 +y)(x 2 y)+y 2 kan lösningen bestå av härledningen ovan följd av konstaterandet ( svaret ) Alltså gäller (x 2 + y)(x 2 y) + y 2 = x 4. Antaganden Regler är universella, dvs de gäller för alla (tillåtna) värden på variablerna. Tex är kvadreringsregeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 sann oberoende av vilka värden eller uttryck man substituerar för a och b. Ibland när man skall förenkla ett uttryck så har man någon extra information om de ingående variablerna, i form av ett antagande. Sådana antaganden får användas i härledningen som om de var regler, men man får inte substituera andra uttryck för variablerna i antagandet (antagandena är alltså inte universella). Ta följande uppgift som exempel: Förenkla cos(x + π 3 ) under antagandet sin x = cos x. Antagandet (dvs sin x = cos x) får användas vid förenklingen, men man får inte anta att sin a = cos a gäller för andra värden på a än x. Så här kan man alltså förenkla cos(x + π 3 ) under antagandet sin x = cos x: cos(x + π 3 ) = {summaregel för cosinus [22]} cos x cos π 3 sin x sin π 3 = {exakta värden för sinus och cosinus av π 3 } 1 2 cos x 3 2 sin x = {antagandet sin x = cos x} 1 2 cos x 3 2 cos x = {utbrytning} 20

23 1 3 2 cos x Slutsatsen blir då: Alltså: om sin x = cos x så gäller cos(x + π 3 ) = cos x. Antagandet sin x = cos x fick alltså användas för att omskriva sin x till cos x. Däremot hade det varit fel att skriva om cos(x+ π 3 ) till sin(x+ π 3 ) med hänvisning till antagandet, eftersom antagandet endast gäller x (det är inte universellt). Tillämpning: vektoralgebra Många uppgifter som handlar om vektorer kan lösas utan att man beskriver vektorerna i komponentform, utan endast med hjälp av grundläggande vektoralgebra. Som exempel tar vi följande uppgift: Antag att vektorerna ā och b är lika långa. Visa att vektorerna ā+ b och ā b då är vinkelräta mot varandra. Först formaliserar vi informationen i uppgiften. Att vektorerna är lika långa kan skrivas ā = b För att visa att vektorerna ā+ b och ā b är vinkelräta visar vi att deras skalära produkt är noll: (ā + b) (ā b) = {konjugatregeln för vektorer} ā ā b b = {samband mellan skalär produkt och vektorlängd} ā 2 b 2 = {antagandet ā = b } 0 och beviset är klart. 21

24 2 Uttryck, likhet, härledningar Olika typer av motiveringar Motiveringarna (inom klamrar) i en härledning kan formuleras på olika sätt - det viktiga är att det blir klart varför steget är riktigt. Det allmänna utseendet för ett enkelt härledningssteg är alltså : t = {motivering} t Ofta hänvisar motiveringen till en regel eller en allmän princip som anger vad man skall göra med uttrycket t för att det skall förvandlas till t, tex (x + 1)(x 1) = {konjugatregeln} x 2 1 Detta steg kan läsas som (x + 1)(x 1) förvandlas med hjälp av konjugatregeln till x 2 1 Ett härledningssteg kan ibland förstås bäst om man läser så att motiveringen så att säga kommer i efterskott. Ett exempel (där vi antar att man vet att x är ett icke-negativt tal) är x 2 = {x är inte negativt} x som bäst läsas enligt x 2 är lika med x eftersom x är ett icke-negativt tal Uppgifter I uppgifterna nedan kan omskrivningsregler ur något standardtabellverk användas fritt (tex MAOL:s 2 formel- och tabellsamling [22]). Hänvisa antingen till regelns namn (om den har ett namn) eller till regeln själv (dvs skriv ut den). Alla förenklingar skall skrivas som linjära härledningar, med kommentarer. (Kommentarer som SEv03L:1 i början av en uppgift anger att det är fråga om en studentexamsuppgift, i det här fallet våren 2003, lång matematik, uppgift 1). 2 MAOL = Matemaattisten aineiden opettajain liitto (förbundet för lärare i de matematiska ämnena) 22

25 1. Använd konjugat- och kvadratregler för att beräkna utan räknare: 2. Förenkla uttrycket (a) (b) 61 2 (c) (a) (b) (c) Förenkla uttrycket (a) (b) /3 (c) Förenkla uttrycket (a) 4x 2 9 2x + 3 (b) x 2 13x + 12 x 2 11x 12 (c) 2x 2 2x x Förenkla följande potensuttryck: (a) (3x) 2 (2x) 3 (b) (c) 8 x+1 2 x+2 (d) 9 z 1 3 z Bestäm en enhetsvektor som är lika riktad som vektorn a = 3i 4j. 7. Beräkna cos φ då φ är vinkeln mellan vektorerna u = i 4j och v = 2i 3j. 8. Förenkla uttrycket (x + y)(x + z) yz då du vet att x + y + z = Visa att (x + y + z) 2 = 0 om x 2 + y 2 + z 2 = 1 och xy + yz + zx = Formalisera följande situationer. Välj variabler och förklara vad de står för (tex med hjälp av en figur): a) Bestäm arean av en liksidig triangel. b) Beräkna volymen av en kon vars generatris (dvs avståndet från toppen till bottencirkelns omkrets) är lika lång som bottendiametern. 11. Beskriv följande regler: a) Regeln för förlängning/förkortning av bråk. b) Regeln för division av ett bråk med ett bråk. 23

26 2 Uttryck, likhet, härledningar c) Reglerna som säger att exponential- och logaritmfunktionen är varandras inverser. 12. Vilka självklara regler användes utan omnämnande i exemplen i texten. 13. (SEh94L:3) Beräkna det exakta värdet av uttrycket sin 2x, då sin x = 8 17 och π < x < 3π (ur SEh97L:6b) Förenkla uttrycket x 2 + x x x x 2 + x + x x. 15. (ur SEh97L:6b) Bevisa att formeln cos 6 x+sin 6 x = sin2 x är korrekt. 16. (ur SEv00L:3) Förenkla (a) 1 x x 1 x + 1 (b) x 1 (1 1 x )(1 + 1 x ) 17. (SEh00L:1) Hyfsa (a) (x n 1 ) n 1 (x n ) 2 n (b) a 1 3 (a 2 3 a 5 3 ) 18. (SEv03L:1) Hyfsa (a) 3 34 / (b) ( x y + y x 2)/(x y y x ) 19. (ur SEh03L:6) Bestäm sin(x y) då sin x = 1 4, π 2 x π 2 och cos y = 1 3, π y 2π. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler. 20. Vi definierar en ny operation ( addiplikation ) på reella tal enligt följande: x y = xy + x + y a) Bestäm 0 0, 1 1 och 2 3. b) Visa att är kommutativ och associativ, dvs att a b = b a och a (b c) = (a b) c. c) Ett tal a kallas ett enhetselement för operationen om x a = x och a x = x för all x. Visa att talet noll är ett enhetselement för. 24

27 3 Sanningsvärden och ekvivalens Det här kapitlet behandlar sanningsvärden (sant och falskt) och grundläggande regler och operationer med sanningsvärden. Linjära härledningar används för att förenkla aritmetisk-logiska uttryck, dvs uttryck där både talvärden och sanningsvärden är inblandade. Sanningsvärden och aritmetisk-logiska uttryck Aritmetiska uttryck kan beskriver något i verkligheten som kan ges talvärden, det kan vara frågan om antal (ger heltalsvärden i Z) eller mätvärden (ger reella värden i R). Vi skall nu introducera en ny typ av värden som är aktuella för att beskriva sanningshalten av ett påstående. Vi behöver då endast två symboler: F (för falskt ) och T (för sant ). Dessa symboler kallas sanningsvärden. 1 Med hjälp av jämförelseoperatorer (såsom >, dvs större-än, och <, mindreän) kan man konstruera aritmetisk-logiska uttryck, som kan vara sanna eller falska men som är uppbyggda av aritmetiska deluttryck. Ett exempel på ett artimetisk-logiskt uttryck är > 4, som uppenbart är sant. Ett annat exempel är 0 = 1, som igen är falskt. Ekvivalens På samma sätt som vi evaluerar uttrycket och kommer fram till att det har värdet 5 (eftersom addition av två och tre ger fem) kan vi evaluera uttrycket 4 > 3 och kommer då fram till att det har värdet T (eftersom det är sant att fyra är större än tre). Liksom vi använder likhetstecken för att visa att två aritmetiska uttryck har samma värde använder vi ekvivalenstecken för att visa att två uttryck har samma sanningsvärde. Vi kan alltså skriva > 3 T där är symbolen för ekvivalens. Ekvivalens är egentligen detsamma som likhet, men används för sanningsvärden. Det betyder att regler som gäller för likhet också gäller för ekvivalens (dvs substitutionsregeln och transitivitetsregeln). 1 Ofta används en etta för sant och en nolla för falskt, men genom att använda speciella symbolerna T och F understryker vi att det handlar om värden av ett annat slag än heltal. 25

28 3 Sanningsvärden och ekvivalens Logiska uttryck Precis som aritmetiska uttryck byggs upp av konstanter, variabler och operatorer med reella tal som värden kan vi bygga upp logiska uttryck med hjälp av konstanter (F och T ) samt sanningsvärdesvariabler och -operatorer. Som variabler används vanligen bokstäverna p, q och r. Operatorerna kallas konnektiver, de tre mest använda är (negation, utläses inte ), (konjunktion, och ) och (disjunktion, eller ). Negationen skrivs prefix (dvs före argumentet) medan konjunktionen och disjunktionen skrivs infix (dvs mellan de två argumenten). Enkla exempel på logiska uttryck är följande: p p q p q För mera invecklade logiska uttryck används parenteser för att visa ordningen mellan konjunktioner och disjunktioner. Följande är exempel på mer komplicerade logiska uttryck: p q (q F ) ( r T ) Onödiga parenteser kan undvikas då man beaktar att konjunktion och disjunktion är associativa (precis som addition och multiplikation). Vi kan alltså skriva p q r och det är ingen skillnad vilken konjunktion som utförs först. Formalisering Logiska uttryck kan användas för att formalisera situationer där påståenden (sanna eller falska) är inblandade. Antag att p står för påståendet solen skiner, q står för påståendet det är mulet och r står för påståendet det regnar. Då står p r för påståendet solen skiner eller det regnar medan q r för påståendet det är mulet och det regnar. Konjunktion kan i vardagsspråk uttryckas med och men också med men. Med q och r som ovan skulle q r mest naturligt uttryckas som det är mulet men det regnar inte. Inom logiken tolkas disjunktion inklusivt, dvs så att p q betyder p eller q eller båda. I vardagligt språk används eller däremot ofta på ett uteslutande (exklusivt) sätt. Om jag säger jag önskar kaffe eller te så betyder det rimligtvis att jag önskar antingen kaffe eller te, men inte båda. 26

29 Evaluering av logiska uttryck Då ett logiskt uttryck utan variabler evalueras blir resultatet ett sanningsvärde. För att kunna evaluera uttryck med konnektiver måste man känna till evalueringsreglerna, på samma sätt som man måste kunna multiplikationstabeller och divisionsalgoritmer för att kunna evaluera aritmetiska uttryck. Evalueringsreglerna för konnektiver kan förklaras i ord: p är sant om p är falskt, och tvärtom, p q är sant om både p och q är sanna, annars falskt, och p q är sant om ena eller båda av p och q är sanna, annars falskt. Regeln för disjunktion kan också uttryckas så att p q är falskt om både p och q är falska, annars sant. Ett enkelt exempel: om p och q är sanna medan r är falskt, så är ( p q) r sant (kolla att du ser hur man kommer fram till det!). Sanningsvärdestabeller Evalueringen av logiska uttryck kan göras helt mekanisk då man beskriver reglerna med sanningsvärdestabeller (ett slags multiplikationstabeller för konnektiver, vi kallar dem för enkelhets skull för s-tabeller): p q p q F F F F T F T F F T T T p q p q F F F F T T T F T T T T p p F T T F En s-tabell uppbyggs så att de första kolumnerna innehåller alla kombinationsmöjligheter (av F och T ) för de variabler som ingår. Därefter kommer en kolumn som anger motsvarande sanningsvärde för det uttryck man är intresserad av. En s-tabell har två rader om uttrycket innehåller en variabel (som tabeller för negation). Den har fyra rader om uttrycker innehåller två variabler (som konjunktion och disjunktion). För ett uttryck med tre variabler blir antalet rader åtta, osv (varför?). Ur den första tabellen kan man tex se att T F F, dvs att konjunktionen av ett sant och ett falskt påstående är falsk. Om till exempel q står för granen är ett barrträd (vilket är sant) och r för Finland ligger söder om ekvatorn (vilket är falskt) så gäller alltså q r F, dvs påståendet granen är ett barrträd och Finland ligger söder om ekvatorn 27

30 3 Sanningsvärden och ekvivalens är falskt. Genom att slå upp i sanningsvärdestabeller kan ett mer invecklat uttryck evalueras steg för steg. Som exempel evalueras (p q) (T p) då p T och q F : (p q) (T p) {substitution p := T och q := F } (T F ) (T T ) {negationens s-tabell} (T T ) (T F ) {konjunktionens s-tabell} T (T F ) {disjunktionens s-tabell} T T {konjunktionens s-tabell} T Här gjordes bara ett steg i taget, och även följande snabbare evaluering kan motiveras: (p q) (T p) {substitution} (T F ) (T T ) {förenkling med s-tabeller} T 28

31 Evaluering av aritmetisk-logiska uttryck Logiska konnektiver är speciellt användbara för att sammanfoga enkla aritmetisk-logiska uttryck. Till exempel betyder x > 2 x < 5 att x är större än 2 och mindre än 5 (dvs att x är mellan två och fem). För att inte behöva skriva alltför mycket parenteser följer vi principen att konnektiverna och har låg precedens, dvs att aritmetiska operationer och jämförelser evalueras först. Därför kan vi skriva x > 2 x < 5 i stället för (x > 2) (x < 5). Aritmetisk-logiska uttryck evalueras steg för steg, enligt samma principer som evaluering av aritmetiska uttryck. Som exempel evalueras 2 < x+1 x 1 5 i situationen då x = 3: 2 < x + 1 x 1 5 {antagandet x = 3} 2 < {aritmetik} 2 < {jämförelser} T T {logik} T Märk i vilken ordning evalueringen sker: först aritmetik, sedan jämförelser och sist den rena logiken. Nu kan vi utnyttja logiken för att skriva sådana uttryck som ofta skrivs med specialnotation eller med en blandning av formellt och informellt skrivsätt. Några exempel: vi kan skriva 1. 2 x x < 3 i stället för 2 x < 3, 2. x < 1 x 5 i stället för x < 1 eller x 5 eller x < 1, x 5, 3. (x = y) i stället för x y, och 4. x = 3 x = 3 i stället för x = ±3. Genom att använda logikens symboler gör vi det lättare att i fortsatta uträkningar och härledningar använda omskrivningsregler och göra evalueringar. Skrivsätt i stil med 2 x < 3 och x y kan ses som förkortningar. 29

32 3 Sanningsvärden och ekvivalens Tautologi och motsägelse Det logiska uttrycket p p är sant (dvs har värdet T ) oberoende av vilket värde p har. Ett sådant påstående kallas en tautologi. Ett annat exempel på en tautologi är p q ( p q) Motsatsen till en tautologi är en motsägelse (eller kontradiktion på svengelska), ett uttryck som är falskt oberoende av vilka värden de ingående variablerna har. Ett enkelt exempel på en motsägelse är p p, ett annat är p ( p q) q Det enklaste sättet att visa att ett logiskt uttryck är en tautologi eller en motsägelse är att (eventuellt efter en inledande förenkling) göra upp en s-tabell för uttrycket. I fallet p p är det enkelt: p p p p F T T T F T Denna s-tabell har byggts upp stegvis enligt följande: först reserveras kolumner för variabler (p) och deluttryck ( p och p p): p p p p F T Därefter används negationens s-tabell för att fylla i kolumnen för deluttrycket p: p p p p F T T F Slutligen används disjunktionens s-tabell för att fylla i kolumnen för uttrycket p p: p p p p F T T T F T Om ett uttryck innehåller två eller flere variabler skall s-tabellen börja med alla kombinationer av sanningsvärden för variablerna (precis som s-tabellerna för 30

33 konjunktion och disjunktion). Så här ser s-tabellen för uttrycket p q ( p q) ut: p q p q p q p q p q ( p q) F F T T T F T F T T F F T T T F F T F T T T T F F F T T Här börjar man med att fylla i de två kolumnerna för p och q. Sedan fyller man i kolumner för stegvis större deluttryck tills man kommer till hela uttrycket. I det här fallet visar tabellen att p q ( p q) är en tautologi. Förenklingsregler för konnektiver På samma sätt som aritmetiska uttryck kan omskrivas med hjälp av regler (som konjugatregeln) så kan logiska uttryck omskrivas med speciella regler. Ett enkelt exempel är regeln för dubbel negation: p p (dubbel negation) Regeln säger att dubbel negation (precis som dubbla minustecken) får lämnas bort. Regeln ovan kan bevisas genom att man visar att vänstra och högra sidan har samma s-tabell. I det här fallet är det enkelt: p p p F T F T F T Eftersom första och tredje kolumnen ser lika ut har p och p samma s-tabell, dvs de är ekvivalenta. Ytterligare exempel på regler är följande Kommutativitet p q q p p q q p Associativitet p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r Idempotens p p p p p p 31

34 3 Sanningsvärden och ekvivalens Absorption p (q p) p p (q p) p de Morgans lagar (p q) p q (p q) p q Distributivitet p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) För varje regel som handlar om och/eller så finns det en dual regel med utbytt mot och tvärtom. Därför finns det två kommutativitetsregler, två distributionsregler, osv. i tabellen. Precis som ovan kan reglerna bevisas genom att man visar att vänstra och högra sidan har samma s-tabell. Beviset för den första de Morgan-regeln ser alltså ut så här: p q p q p q (p q) p q F F T T F T T F T T F F T T T F F T F T T T T F F T F F Eftersom de två sista kolumnerna är lika så gäller (p q) p q. Följande självklara regler är också användbara vid förenkling: p F F p T p p F p p T T och p p F p p T Förenkling av aritmetisk-logiska uttryck Aritmetisk-logiska uttryck kan förenklas med samma regler som rena aritmetiska och rena logiska uttryck. Här ser vi på enkla fall - vid mer komplicerade fall blir det frågan om att lösa ekvationer och olikheter. Vid omskrivning av aritmetisk-logiska uttryck måste man känna till jämförelseoperatorernas egenskaper (tex och >). Här är några exempel på enkla omskrivningar x < 2 x 1 32

35 {första villkoret ingår i det andra} x 1 Sådana härledningssteg kan ofta motiveras med en figur (tex en tallinje där de två villkoren skrivs in som talmängder och konjunktion tolkas som snitt medan disjunktion tolkas som union). Ibland kan aritmetisk-logiska uttryck förenklas så långt att alla variabler försvinner. Ett exempel är x < 2 x > 1: x < 2 x > 1 {motstridiga villkor} F Motiveringen är här att vilket värde x än har så kommer någondera av de två deluttrycken x < 2 och x > 1 falskt. På samma sätt kan vi argumentera att för alla värden på x är någondera av uttrycken x > 2 och x < 1 x < 2 x > 1 {kompletterande villkor} T Alltså är uttrycket x < 2 x > 1 sant oberoende av vilket värde x har. Uppgifter 1. Bestäm värdet (dvs sanningsvärdet) av uttrycket x 3 (x 3 < y x + 3 > y) då a) x = 2 och y = 7 (b) x = 3 och y = 6 2. Antag att p står för det är måndag, q står för det är april och r står för det är helg. Utryck på så naturlig svenska som möjligt a) p q (b) p q r (c) p q 3. I en restaurang står det att i lunchpriset ingår kaffe eller glass. Vilket slags eller är det frågan om? 4. Bryt upp följande i grundläggande påståenden och formalisera: 33

36 3 Sanningsvärden och ekvivalens a) Jag har inga pengar men jag är glad ändå. b) Antingen far jag hem eller så stannar jag i stan och går på bio. c) Jag kan varken köra bil eller båt. Går något förlorat vid formaliseringen? 5. I en annan restaurang står det att i lunchpriset ingår efterrätt och kaffe eller glass. Formalisera detta med parenteserna placerade på två olika sätt (låt p stå för i lunchpriset ingår efterrätt osv). Vilket alternativ tror du man tänkt sig? (Antag att eller är inklusivt.) 6. Evaluera a) (p q) ( T q) då p F och q T (b) p ( p q) q då p F och q T 7. Skriv om med logiskt skrivsätt: a) x = 2 ± 1 (b) 2 < x 3 (c) x ±1 8. Uttryck så enkelt som möjligt a) x är lösning till ekvationen (x 1) 2 = 4 b) talparet (x, y) löser ekvationen (x 1) 2 + (y 2) 2 = 0 9. Visa med s-tabell att a) p p är en motsägelse b) p ( p q) q är en tautologi. 10. Visa den ena distributionsreglerna genom att göra upp en s-tabell. 11. Använd logikens omskrivningsregler för att förenkla a) p (b) p q (p q) 12. Använd logikens omskrivningsregler för att förenkla a) (p q) ( p q) (b) (p q) (p q) 13. Förenkla genom att åskådliggöra på en tallinje a) x < 2 x 3 (b) x 2 x 1 (c) x 4 x Förenkla algebraiskt (dvs med en härledning) 34