Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..

Transkript

1 Vektorer Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..15 Facit 19 Bilder: Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011 Vektorer - 1

2 1 Vad är vektorer? Teori Skalärer och vektorer i koordinatsystem I grundskolan och denna boks första modul har du stött på skalärer fastän vi har kallat dem reella tal. Detta innebär att de har storlek men inget annat. Vi kan t ex nämna temperatur och massa. Om vi säger att ett föremål har massan 3 kg så vet vi allt om detta ting med avseende på dess materieinnehåll. Vektorer däremot har både storlek och riktning. Om man har två punkter P och Q kan man föreställa sig den riktade sträckan PQ. Denna kan t ex ses som en förflyttning; man flyttar något från punkten P till Q. Det latinska ordet vektor betyder någon som bär. Om vårt föremål släpps fritt i luften så faller det mot jorden. Den påverkas av en kraft, gravitationskraften. Ett föremål på 1 kg påverkas av kraften ca 10 newton som verkar mot jordens centrum. Man brukar representera vektorer med pilar, där pilens längd motsvarar vektorns storlek, och där pilens riktning är densamma som vektorns. Man brukar åtminstone i tryck använda fetstil för namnet på vektorer för att skilja dem från skalärer, t ex u eller OA, med en pil över. Här nedan ser du två riktade sträckor AB och CD med samma storlek och riktning. Vi kan säga att de båda representerar samma vektor. Även om vi flyttar runt med de riktade sträckorna i planet så representerar dessa ändå en entydig vektor. Vektorer - 2

3 Koordinatsystem i två dimensioner Vektorer kan ha vilken riktning som helst, norr, söder, nordost, uppåt. I detta kapitel skall vi dock begränsa oss till vektorer i två dimensioner. Detta innebär att de kan åskådliggöras på ett papper eller på ett arbetsblad i en miniräknare eller i en dator. Vanliga reella tal kan man pricka in på en tallinje som punkt eller vektor, P eller OP. Det går inte med vektorer, eftersom de har riktning i planet. För att beskriva vektorer behöver vi ett koordinatsystem. Detta ger oss en gemensam referens för riktningar. För två dimensioner behövs två axlar, som vi kallar x- och y-axeln. Man brukar rita dem med rät vinkel mot varandra, ett s k ortonormerat koordinatsystem, och så att x-axeln pekar åt höger, och y-axeln pekar uppåt. Den punkt där koordinataxlarna skär varandra kallas origo. Detta koordinatsystem har samma funktion för vektorer i planet som tallinjen har för reella tal. En vektor kan nu representeras som en pil i koordinatsystemet En punkt är ett objekt med läge men utan utsträckning åt något håll, något som vektorer, linjer eller plan i en tredimensionell rymd har. Som vi vet anges en punkts läge med dess koordinater, x-koordinat och y-koordinat. En punkt kan namnges som t ex P eller namnet åtföljt av dess koordinater P(x, y). För en given punkt finns precis en vektor som börjar i origo och slutar i punkten. Denna vektor kallas ortsvektor till punkten. Ofta får vektorer namn efter start- och slutpunkterna. Ortsvektorn från origo till punkten P får då det naturliga namnet OP. Koordinaterna för en punkt har samma värden som koordinaterna för punktens ortsvektor och vi kallar dem koordinater i bägge fallen. En vektor kan skrivas med sina koordinater: OP = (x, y). Koordinaterna står inom parentes och är separerade av ett kommatecken. Vi kan sätta likhetstecken mellan vektornamnet och koordinaterna. Det kan vi dock inte göra för punkter, där skriver vi P(x, y). Vektorer - 3

4 Ovan ser du en punkt P i ett koordinatsystem. På axlarna är koordinaterna till P införda som blå punkter. Ortsvektorn OP till P är utmärkt med en röd pil. Du kan nu ta tag i P med musen och dra den runt i koordinatsystemet. Du ser då hur koordinaterna hänger med och förändras. Du ser även hur ortsvektorn OP följer med och hur dess koordinater förändras. G1.1 Rita vektorerna u = (3, 4), v = ( 6, 0) och w = (7, 0) i ett ortonormerat koordinatsystem. G1.2 En vektor med längden 5 längdenheter bildar 90º med x-axeln. Bestäm vektorns koordinater. G1.3 Vilken är ortsvektorn för mittpunktsnormalernas skärningspunkt till en rätvinklig triangel vars hörn har koordinaterna (0, 6), (8, 0) och (0, 0)? G1.4 En triangel har sina hörn i punkterna A(3,4), B( 2, 4) och C( 3, 6). Vilka är triangelns ortsvektorer? Vektorer - 4

5 G1.5 Klossen på 0,4 kg i figuren nedan dras med kraften 10 N och konstant hastighet. Rita in de krafter som verkar på kroppen med korrekta fotpunkter. Rita dessutom in den reaktionskraft som kroppen påverkar bordet med. G1.6 Vilken kraft är det som håller kvar en bil med konstant fart i en kurva? G1.7 Rita de krafter som påverkar en stege som vilar mot en vägg. G1.8 Vilka krafter påverkar ett flygplan som rör sig horisontellt och rätlinjigt med konstant fart? Gör en figur! Vektorer - 5

6 2 Räkneregler för vektorer Teori Räkneregler för vektorer Om vi har en vektor AB =(x, y) och multiplicerar den med skalären k så gäller k AB = k(x, y) = (kx, ky). Figuren nedan visar multiplikation av en vektor med det reella talet k (värdet på k kan varieras med glidaren i applikationen). Vektorn AB är betecknad med en blå pil. Vektorn k AB är rödfärgad Produkten pekar i samma rikting som den ursprungliga (blå) vektorn. Det enda som händer är att längden på pilen för k AB blir k gånger längre än AB. Multiplicerar man med negativa tal blir tydligen riktningen motsatt. Du kan nu ta tag i vektorn AB med musen och förändra den. Du ser då hur vektorn k AB hänger med och förändras. Du kan även förflytta k AB utan att den ändrar storlek eller riktning. Vektorer - 6

7 Addition av vektorer Summan av två vektorer får man genom att lägga den enas startpunkt (t ex den blå vektorn) där den andra slutar (den röda vektorn). Summan av u och v blir w = u + v. Man kan lätt visa att om u har koordinaterna ux och uy och v har koordinaterna v x och v y så är u+v = (ux, uy) + (vx, vy) = (ux + vx, uy + vy). I figuren nedan är u = (3, 1) och v = (2, 5) och följdriktigt enligt både teori och figur w = (5,6) För alla vektorer u, v och w och skalärer k 1 och k 2 gäller: 1. u + v = v + u (den kommutativa lagen) 2. (u + v) + w = u + (v + w) ( den associativa lagen) 3. Om u + v = u + w så är v = w 4. u + 0 = u där 0 är nollvektorn dvs 0 = (0, 0) 5. k 1(k 2u) = (k 1k 2)u 6. (k 1 + k 2)u =k 1u + k 2u 7. k 1(u + v) = k 1u + k 1v Vektorer - 7

8 G2.1 Förenkla följande vektoruttryck 3u + 7v 5v + 11u 3u G2.2 Beräkna koordinaterna till vektorn ( 4) ( 0,5) (8, 3). G2.3 Vilka par av vektorer är identiska: (a) -6(3, -2) och -2(-9, 6) (b) 7(0, 2) och (0, 14) (c) -10(1, 4) och (-10, -19) (d) 7(0, 0) och 3(0, 0) G2.4 Förenkla vektoruttrycket (5, 2)+( 1, 7)+( 4, 5) G2.5 Lös vektorekvationen (6 + x, y + 11) = (3 + 3x, 12) G2.6 Bevisa den associativa lagen genom att rita en figur! G2.7 En vektor med längden 12 cm adderas till en vektor med längden 10 cm. Vilken är den minsta (största) längd en sådan vektor kan ha? V2.8 Bestäm ortsvektorn till punkten C på vektorn AB. Punkten C delar vektorn AB i förhållandet m:n.. Resultatet skall uttryckas med vektorerna OB och OA m (Ledning: Sträckan AC är av AB.) m n Vektorer - 8

9 V2.9 Figuren nedan föreställer en regelbunden sexhörning. Ge ett uttryck för vektorerna AC och AD som linjärkombination av AB, EF och AF. Komponenter och koordinater Man kan även dela upp en vektor i komponenter. Vektorn själv kallas då summa eller resultant. En vektor är lika med summan av sina komponenter längs koordinataxlarna. Vi kan alltså skriva: v = v x + v y. För dessa komponenter gäller att v x = (x, 0) och v y = (0, y) och för v gäller: (x, y) = (x, 0) + (0, y) Figuren visar tydligt att vektorn (4, 3) = (4, 0) + (0, 3). Längden (magnituden) av en vektor För att beräkna längden av en vektor utnyttjar vi dess komponenter längs koordinataxlarna. Dessa utgör kateterna i en rätvinklig triangel, där själva vektorn utgör hypotenusan. Om vi nu har en vektor v = (vx, vy), så kan vi med hjälp av Pythagoras sats beräkna längden av v, som betecknas v. Alltså är v = Vektorer - 9 v 2 2 x vy

10 G2.10 Beräkna x- och y-komponenterna till följande vektorer a) 240 N med riktningen 90 (räknat moturs från x-axeln) b) 35 m/s med riktningen 180 c) 20 m/s 2 med riktningen 270 G2.11 Beräkna riktning och resultantens magnitud utifrån komponenterna: a) F x = 120 N, F y = 345 N b) a x = -7,5 m/s 2, a y = 6 m/s 2 G2.12 Addera de tre nedan beskrivna vektorerna grafiskt, du behöver alltså en gradskiva och linjal. Vilken riktning och magnitud har resultanten? u = 450 N med riktning 20, v = 250 N med riktning 270 och w = 230 N med riktning 70. G2.13 En kloss befinner sig på ett lutande plan. Gravitationskraften på klossen är u =12 N. Beräkna kraftens komponenter vinkelrät och längs med planet. V2.14 Tre krafter som verkar på en punkt håller denna i vila. Krafterna är 9,3 N, 7,6 N och 12,2 N. Beräkna vinkeln mellan krafterna grafiskt. Betrakta krafterna som sidor i en triangel. V2.15 A river flows westward at 8 m/s. A person wants to go directly across the river so that the resultant velocity is 12 m/s northward. Find the velocity of the motorboat that would be required to achieve this resultant velocity. Vektorer - 10

11 Teori Subtraktion och längd av vektorer Man konstruerar differensen v u av två vektorer genom att dra en vektor, w, från vektorn u:s slutpunkt till v:s slutpunkt. Varför? Addition av u och (v u) ger u + (v u) = v vilket tycks vara korrekt. Metoden ovan är naturligtvis samtidigt en metod för att teckna vektorn mellan två vektorer som utgår från samma punkt t ex två ortsvektorer. Om OB = (u x, u y) och OC = (v x, v y) så får vi BC = OC OB = =(v x, v y) (u x, u y) = = (v x u x, v y u y). Avståndet mellan två punkter Om vi nu har två punkter B(ux, uy) och C(vx, vy) så är alltså enligt teorin ovan BC = (vx ux, vy uy). Längden av vektorn BC får vi med Pythagoras sats, alltså: Avståndet mellan punkterna B och C är ( v u ) ( v u ) 2 2 x x y y Vektorer - 11

12 Enhetsvektor En vektor med längden 1 kallas en enhetsvektor. Om v = (5/13, 12/13) så är dess längd = = =1 och är därmed en enhetsvektor. Man kan säga att denna vektor är en enhetsvektor till u = (5, 12) ty de har samma riktning. Detta innebär att enhetsvektorn till (5, 12) fås genom att dividera u med skalären 13. Resultat: Enhetsvektorn till vektorn u är u u G2.16 Beräkna enhetsvektorn till v = (3, 4). G2.17 Beräkna komponenterna till följande vektor 2(3, -6) 3( 3, 6). G2.18 En vektors x-koordinat förhåller sig till dess y-koordinat som 5:12. Längden av vektorn är 26 l.e. Vilka är vektorns komponenter? G2.19 Beräkna vektorerna i figuren nedan uttryckta i de två enhetsvektorerna ex och ey. Vektorer - 12

13 Teori Två metoder för att beräkna skalärprodukt av vektorer Antag att vektorerna u och v har den mellanliggande vinkeln. Vektorernas skalärprodukt definieras som: u v= u v cos. Läses "u skalärt v". På engelska heter den "dot product", och symbolen för skalärprodukten, skall vara en tjock punkt, och inte bara en prick som multiplikationstecknet. Kalla enhetsvektorerna efter x-axel och y-axel för ex och e y. Låt oss beräkna skalärprodukten genom att skriva u = ux ex + u y e y och v = vx ex + v y e y. Alltså får vi uv (ux ex + u y e y) (vx ex + v y e y) = uxvx exex + uxv y exe y + +u yvx e yex + v yv y e ye y. Eftersom vinkeln mellan ex och ex och mellan e y och e y är 0 är dessa skalärprodukter = 1. Vidare är vinkeln mellan ex och e y 90 och denna skalärprodukt = 0. Alltså u v=u v u v x x y y Båda metoderna ger ett tal, en skalär, som resultat. Produkten kallas också följdriktigt för skalärprodukt. För att beräkna vinkeln mellan två vektorer behöver vi först definiera detta begrepp. Om de två vektorerna inte börjar på samma ställe kan man ju tycka att det inte finns någon vinkel mellan dem. Då kan man dock tänka sig att man parallellförflyttar den ena vektorn så att de börjar på samma ställe. Nu finns plötsligt två vinklar att välja mellan, en som är mindre än 180 och en som är större. Nu kommer vi överens om att vi alltid menar den mindre av dessa vinklar. Låt oss kalla denna för. Alltså gäller Exempel: Beräkna vinkeln mellan vektorerna u = (3, 4) och v= (5, 12) Lösning: u v (3,4) (5,12) cos cos 63 / 65 vilket ger 14 Vektorer - 13

14 G2.20 Triangeln ABC i planet har de tre hörnen A(0, 1), B(2, 0) och C(2, 2). Bestäm cos A där A är triangelns vinkel i hörnet A. G2.21 I en rätvinklig triangel ABC är kateterna AB och AC lika med 3 längdenheter. Bestäm följande tre skalärprodukter: AB AC AB BC AC BC Man kan bevisa att skalärprodukten har följande egenskaper: 1. u v =v u 2. (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v 3. v (u 1 + u 2 ) = v u 1 + v u 2 4. (tu) v = t(u v) 5. u tv)=t(u v) G2.22 Bevisa att u + v 2 = u 2 + v u v och u v 2 = u 2 + v 2 2 u v genom att fullfölja u + v 2 = (u + v)(u + v) = och u v 2 = (u v)(u v) = G2.23 Mabel drar ett paket längs golvet med ett rep. Repet bildar 40 graders vinkel med golvet. Vilket arbete utför hon om kraften är 450 N och paketet förflyttas 5 m? Vektorer - 14

15 3 Vektorgeometri Teori Har medianerna till en triangel en gemensam skärningspunkt? Vi låter a, b och c vara ortsvektorer till triangeln ABC. Då blir b+c ortsvektorn till mittpunkten D på sträckan BC:. Vi antar att 2 tyngdpunkten delar medianen AD i förhållandet 2:1. Ortsvektorn för b+c a a+b+c punkten T, tyngdpunkten, är då 2 = Det verkar rimligt att vilken median vi än väljer för vår härledning får vi samma resultat för tyngdpunktens ortsvektor. Eftersom a = (ax, ay), b = (bx, by) och c = (cx, cy) får vi: T:s koordinater: [(a x + bx + cx)/3, (a y + by +cy)/3] Vektorer - 15

16 G3.1 I triangeln ABC har triangelns hörn koordinaterna A(1,1), B(6, 5) och C(8,1). Hur lång är medianen som dras från punkten B? G3.2 I figuren nedan är en fyrhörning ritad. Mittpunkterna på fyrhörningens sidor är markerade som E, F, G och H. Kan du ställa upp en hypotes för fyrhörningen EFGH? Kan du bevisa den? V3.3 Visa att de tre höjderna i ΔABC skär varandra i en punkt. (Ledning: Utnyttja det faktum att b och c är vinkelräta mot v resp. u.) Vektorer - 16

17 V3.4 En periferivinkel i en cirkel är en vinkel mellan två kordor som möts i en punkt på periferin. Visa att en godtycklig periferivinkel i en halvcirkel är rät (Thales sats). Använd vektorbeteckningarna i figuren nedan för beviset. Thales levde i handelsstaden Miletos på Mindre Asiens västkust. Enligt traditionen förutsade han en solförmörkelse och upptäckte bärnstenens statiska elektricitet. VV3.5 Visa att diagonalerna till en romb är bisektriser till vinklarna. Vektorer - 17

18 Facit G1.1 G1.2 u =(0, 5) G1.3 G1.4 Vektorer - 18

19 G1.5 G1.6 Friktionskraften mellan däck och vägbana. G1.7 G1.8 Vektorer - 19

20 G2.1 11u + 2v G2.2 (16, 6) G2.3 (b) och (d) innehåller identiska vektorer G2.4 (0, 0) G2.5 x = 1,5 och y = 1 G2.6 Om vi adderar vektorern u och v först eller v och w först så blir resultatet (u+v)+w och u+(v+w) detsamma: de svarta vektorerna. G2.7 Den största vektorns längd blir 22 cm och den minsta 2 cm. m m G2.8 Vektorn AC AB Alltså är OC OA AB m n m n G2.9 En lösning är AC AB EF och AD AB EF AF G2.10 a) (0, 240)N b) (-35, 0) m/s c) (0, -20) m/s 2 G2.11a) 2 2 Resultantens magnitud = ( N ) tan(riktning)=345/120 vilket ger riktningen 71 Vektorer - 20

21 G2.11b) Resultantens magnitud= 7,5 6 9,6 ( m/ s ) ger tan(vinkeln mot x-axeln)=6/7,5 vilket ger vinkeln = 38,7 Detta innebär att vinkeln mot den positiva x-axeln är 141,3º G2.12 Magnituden är (520 30) N och riktningen är (15 2) G2.13 Eftersom klossen befinner sig i vila är w lika med den i planet bakåtriktade friktionskraften. Vinkeln mellan v och u är 24º och mellan u och w 66 º. v cos24 v ( komposanten vinkelrät mot planet) 11N 12 w vidare cos66 w ( komposanten längs med planet) 4,9N 12 V2.14 Konstruktion; Rita först sträckan AB (eller vektorn w) 12,2 N därefter dras två cirklar med radierna 9,3 och 7,6 från punkterna A och B. Cirklarnas skärningspunkt är C. Detta innebär att vektorernas riktning och magnitud fås ur figuren ovan. Om A är vår punkt som påverkas av de tre krafterna så får vi vinklarna genom att mäta triangelns vinklar A och B. Vektorer - 21

22 V2.15 Pythagoras sats på figuren nedan ger resultantens magnitud 14 m/s G2.16 Vektorn v:s längd är 5. Alltså är enhetsvektorn till v: (3/5, 4/5) G2.17 Subtraktionen av de två vektorerns ger (6, -12)-(-9,18) =(15, -30) G2.18 Enhetsvektorn av vektorn = (5/13, 12/13). Alltså är vektorn 26(5/13, 12/13) = (10, 24) Dvs vektorns komponenter (eller koordinater är 10 resp 24. G2.19 Lösningarna är räknade från vänster I figuren 30 cos30º e x + 30 sin30º e y = 26 e x + 15 e y -70 cos45º e x - 70 sin45º e y = -49 e x - 49 e y -40 cos79º e x + 40 sin79º e y = -7,6 e x + 39 e y G2.20 Vinkel ( ) ligger mellan vektorerna AB och AC där AB=(2, -1) och AC=(2, 1). o Alltså är 2 2+(-1 1)= 5 5 cos vilket ger = arccos(3/5) = 53 G2.21 Om vi lägger in triangeln ABC i ett KS med A i origo och AC efter x-axeln och AB efter y-axeln får vi följande vektorer: AB (0, 3), AC=(3,0) samt BC=(3,-3) vilket ger AB AC AB BC (0, 3) (3,-3)= - 9 samt AC BC=(3,0) (3,-3)= 9 G2.22 u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + v v +2u v = u 2 + v 2 +2 u v cosθ G2.23 Mabels arbete blir 450 N 5m cos 40º = 1, 7 kj Vektorer - 22

23 G3.1 Längden av sträckan från B(6, 5) till mitten av AC (4,5; 1) är 2 2 (6 4,5) (5 1) 4,27 l.e. G3.2 Hypotes: De fyra punkterna bildar en parallellogram. Använd dessa fyra vektorer: AE u, AH v, BF w och CG x för beviset. V3.3 P är skärningspunkten mellan höjderna från punkterna B och C. Figuren visar vektorerna u och v samt a, b och c. Eftersom b och c är vinkelräta mot v resp. u får vi bv = cu = 0. Subtraktion ger BC = v u. Vektoraddition ger vidare a = u + b = v + c Om vi kan visa att vektorn a är vinkelrät mot vektorn BC (= v u) är beviset klart. Ty detta betyder att linjen genom A och P är vinkelrät mot sidan BC och därmed höjden från punkten A mot sidan BC. Punkten P ligger därmed på alla höjderna. Alltså låt oss beräkna a(v u) = av au = (u + b)v (v + c)u = uv + bv uv cu = uv + 0 uv 0 = 0 V.S.B V3.4 r OA AP r-oa BP ( r OA)( r-oa) AP AP 2 r OA AP AP 2 2 r r AP AP AP BP 0 V3.5 Om vi beräknar skalärprodukten av AB och AC respektive AD och AC får vi: ( AB+ BC ) AB = AB + BC AB cosθ1 respektive ( AB+ BC ) BC = AB + BC BC cosθ2 Dessa två skalärprodukter förenklas till AB AB+BC AB= AB+BC AB cosθ1 och AB BC+BC BC= AB+BC BC cosθ2 2 2 Ledvis subtraktion och kunskap om att BC BC= BC = AB 0 = AB+BC BC (cosθ cos θ ) ger { } 1 2 Alltså är θ1 = θ2. Detta innebär att diagonalen (diagonalerna) är bisektriser till romben. V.S.B. Vektorer - 23

24 Vektorer - 24