Value-at-risk Från teori till implementation

Transkript

1 Value-at-risk Från teori till implementation Mats Johansson TRITA-NA-E03137

2 NADA Numerisk analys och datalogi Department of Numerical Analysis KTH and Computer Science Stockholm Royal Institute of Technology SE Stockholm, Sweden Value-at-risk Från teori till implementation Mats Johansson TRITA-NA-E03137 Examensarbete i datalogi om 20 poäng vid Programmet för elektroteknik, Kungliga Tekniska Högskolan år 2003 Handledare på Nada var Stefan Arnborg Examinator var Stefan Arnborg

3 Att missa en uppgång innebär ingen katastrof. Katastrofen uppstår då du erfar en nedgång.

4 Sammanfattning Att riskberäkna en portfölj med ett godtyckligt urval av transaktioner är en uppgift vars komplexitet växer med antalet transaktioner, både med avseende på beräkningar och tolkning av resultat. En beräkningsmetod som vuxit i popularitet under andra hälften av nittiotalet kallas Value-at-risk. Metoden förser användaren med ett tydligt resultat och kan utföras med olika beräkningssätt, vars komplexitetsgrad är varierande. Detta examensarbete ger en utförlig redovisning av nödvändig teori, matematisk såväl som ekonomisk, för utveckling av en fungerande programvara som beräknar Value-atrisk med en begränsad mängd instrumenttyper. Rapporten redovisar även en implementation av en prototyp för Value-at-riskberäkning.

5 Abstract The english title for this thesis is: Value-at-risk: From theory to implementation. Risk Management for a given portfolio is a task whose complexity grows with the number of transactions, respecting both calculations and interpretation of the result. A method, which has grown in popularity during the second half of the last decade, is called Value-at-risk. This method provides the user with an easily interpretated result and is able to be calculated in different ways, with a varying degree of complexity. This thesis gives a detailed report of the necessary theory, mathematical as well as economical, to render a possible development of a working software to calculate Valueat-risk for a finite amount of economical instruments. In this thesis we also describe an implementation of a prototype for calculation of Value-at-risk.

6 Förord Denna uppsats är grundad på ett examensarbete vid institutionen för Numerisk analys och datalogi på Kungliga Tekniska Högskolan. Arbetet är obligatoriskt för att erhålla civilingenjörsexamen. Flera personer har hjälpt mig att slutföra detta arbete och jag är dem alla tacksam. Min handledare Stefan Arnborg har visat ett stort intresse och engagemang. På CRM Treasury Systems, där jag utfört examensarbetet, har Teuvo Suoraniemi och Knut Åkerlund stått ut med otaliga ekonomifrågor. Peder Strauss, Gunnar Jonasson och Johan Werner har hjälpt mig med tekniska detaljer. Tack, även Inez Malm och Malin Holm för kloka råd och rön, samt Ludvig Henrikson för betydelsefull matematisk hjälp. Jag vill också rikta ett varmt tack till Bengt Pranborg som försett mig med värdefull insikt vad gäller ekonomiska beräkningar och Fredrik Lagercrantz för att du envist stått på dig vid våra ekonomiska gräl. Stockholm oktober 2000 Mats Johansson

7 INNEHÅLL 11 Innehåll 1 Introduktion Bakgrund Syfte Konventioner och terminologi 17 3 Teori för riskberäkning av olika instrumentet Obligationer Nollkupongobligationer Riskberäkning med principalmetoden Introduktion till duration Modifierad duration Riskberäkning med modifierad duration och nollkupongrisk Konvexitet Duration och konvexitet för flera tillgångar Riskberäkning med kassaflöde Tilldelning av nollkupongvikter Implementering Diskonteringsinstrument och deposits Implementering Forwards och futures Prissättning Risk Risk för valutaforwards Implementering Forward rate agreement Implementering Valutaswap Implementering Ränteswap Implementering Optioner Definition av distributionen Mgf-FFT Implementering Volatiliteter och korrelationer Avkastningars egenskaper Exponential weighting moving average Förutsägelse av volatilitet Korrelationer med EWMA EWMA, storlek på fönster och val av avklingningsfaktor Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity

8 4.3.1 Korrelationer med GARCH Parameteranpassning för GARCH modellen Implicerad volatilitet Singulariteter i korrelationsmatrisen Implementering Beräkning av avkastningar Beräkning av avklingningsfaktor Beräkning av korrelationsmatrisen Beräkning av egenvärden Historiska kursnoteringar, tidsserier Brist på statistik Prototypens behandling av tidsserier Kurshantering Tillgångars objektrepresentation Beräkning av Value-at-Risk Information från transaktioner Prototypens behandling av transaktionerna Varians Kovariansmodellen Värsta scenariot respektive odiversifierad Var Historiska modellen Monte Carlo-modellen Prisgenerering för en tillgång Prisgenerering för flera (korrelerade) tillgångar Scenarioanalys Prototypens implementering Varians-kovariansmodellen Historiska modellen Monte Carlo-modellen Scenarioanalys Resultat 69 Referenser 74 A Logaritmiska avkastningar 76 B Siegels paradox 77 C Ändring av valutabaser med log-avkastningar 78

9 Figurer 1 Exempel på fördelningskurvor Beräkning av Var med Mgf-FFT-metoden Illustration hur olika tillgångar kursnoteras på olika sätt Prototypens bildande av en tillgång Klassrepresentation av tillgångar Kursinhämtning och generering av statistik Primitiva riskfaktorer associeras till olika instrument Value-at-risk för obligation utan växlingsrisk Value-at-risk för obligation med växlingsrisk Historisk Value-at-risk med 95% konfidensintervall Volatiliteter för en depositränta med olika perioder Första korrelationsmatrisen samt dess egenvärden Korrelationsmatrisen efter en iterering Korrelationsmatrisen efter två itereringar Beräkning av Value-at-risk

10 Tabeller 1 Dokumenterade respektive implementerade instrument Illustration över kassaflödesallokering och kassaflödesrisk Korrelationer mellan nollkupongobligationer med förfallodatum: 1 5 år Nödvändig information för beräkning av Var för en valutaforward Antal observationer använda av EWMA-modellen

11 15 1 Introduktion De flesta finansiella transaktioner är förknippade med en risk oavsett om det är en bank, ett företag eller en institution som gjort transaktionen. Banker och finansavdelningar använder ofta en metod som kallas Value-at-risk (Var) för att erhålla ett tydligt mätresultat som är lätt att tolka. Att mäta risk med hjälp av Var har under andra hälften av nittiotalet blivit mycket populärt och rekommenderas av bankinspektioner som Baselkommittén, US Federal Reserve och FSA (Financial Supervisory Authority). 1.1 Bakgrund Det finns minst åttio företag som tillhandahåller mjukvara för Value-at-risk av varierande sofistikeringsgrad. Ett angeläget önskemål från användare är att integrera en beräkningsmodul för Value-at-risk med ett förvaltningssystem för transaktioner (treasury-system). Ett treasury-system har funktioner för registrering, analys och kontroll av affärer (s k front-, middle- och backoffice funktioner), där affärerna utgörs av portföljer med transaktioner. Var-modulen kommer på detta vis att komplettera analysfunktionen i förvaltningssystemet. Existerande mjukvaror för Var-beräkning kräver ofta att treasury-systemets transaktioner definieras på nytt eller att dess databasrepresentation ändras för att passa ihop med beräkningsprocedurerna. Det händer även att sofistikerade riskberäkningsmetoder används till mindre nytta eftersom de grundläggande riskfaktorer som kan tillhandahållas är begränsade och används som substitut för de instrument som är aktuella för användaren. I ett befintligt förvaltningssystem (treasurysystem) kan historiska data samlas av användaren själv till de instrument hon är intresserad av, vilket förenklar generering av rättvisande statistik. Följande är en definition av Value-at-risk: Givet en tidshorisont (t ex en dag eller en månad), ett konfidensintervall (t ex 95% eller 99%) och ett företags portfölj (d v s dess aktier, obligationer, optioner etc.), bestäm det största penningbelopp som företaget kan förlora med bibehållna positioner och med en given stokastisk modell för händelseutvecklingen. 1.2 Syfte Rapporten beskriver framtagandet av en prototyp som beräknar Value-at-risk från en portfölj av godtyckligt valda transaktioner ur uppdragsgivarens (CRM) treasury-system. [23] Prototypen genererar den grundläggande statistik och de ekonomiska data som behövs för att beräkna Var och fungerar för en begränsad mängd instrument ur instrumenttäckningen till [23]. Det finns olika metoder för Var-beräkning och prototypen implementerar en av dessa. Rapporten redovisar även förslag på ytterligare metoder och hur dessa kan implementeras. Syftet med examensarbetet är att prototypen ska kunna vidareutvecklas för att beräkna Var på hela instrumenttäckningen i treasury-systemet och sedan integreras med detta. Vikt är därför lagd på en modulariserad uppbyggnad av prototypen med avseende

12 16 1 INTRODUKTION på instrument, Var-metoder och primitiva riskfaktorer. Inga ansträngningar har lagts på att ta fram nya matematiska modeller för beräkning av Value-at-risk. En grundlig undersökning är däremot gjord av befintliga modeller och motiveringar presenteras varför vissa används och andra förkastas. Utbudet av litteratur och information inom kapitalmarknadsekonomin är stort och det går inte att utesluta faktumet att förbättringar av prototypen är möjliga även under arbetets gång. Noteringar är gjorda på upptäckter och förändringar som skulle kunna förbättra den befintliga prototypen. Dessa förändringar är föremål för eventuell ytterligare industriell utveckling av prototypen. För att åstadkomma en stokastisk modell med parametrar krävs det förberedande analys/generering av bl a aktuella instrument, tidsserier med marknadsnoteringar, standardavvikelser, korrelationer och transaktioner. Rapporten är strukturerad så att kapitlen kan läsas oberoende av varandra samtidigt som de ger ett logiskt avancemang av nödvändig teori för beräkning av Value-at-risk. I slutet av varje kapitel redovisas eller föreslås olika metoder som har valts eller bör väljas att implementeras i prototypen.

13 17 2 Konventioner och terminologi I syfte att göra rapporten lättläst ger detta kapitel en kort beskrivning av definitioner och språkbruk. Referenser till författare och böcker är i löpande text skriven inom hakparenteser, t ex [24] för en referens till Söderlind. Variabler används konsekvent och förklaras i tabellform. Saknas förklaring är variabeln redan definierad. Skillnaden mellan en tillgång, ett instrument och ett derivat kan lätt bli diffus. I rapporten består en transaktion alltid av ett instrument. Ett instrument kan i sin tur bestå av en tillgång, t ex en aktie eller en komposition av (underliggande) tillgångar, t ex en option. Till skillnad från instrument kan tillgångar med andra ord aldrig dekomponeras. Standardavvikelse och volatilitet har samma (terminologiska) betydelse. Risk definieras däremot som en penningsumma, vilken representerar en given volatilitet. Value-at-risk förkortas Var. Hänvisning till ekvationer utförs utan förkortning alternativt med förkortningen ekv eller endast med ekvationsnumret, t ex Faktorisera ρ enligt (84). Variansen och kovariansen betecknas V AR(.) respektive COV (.). Korrelationsmatriser skrivs ρ och matriselementen indexeras efter matrisens namn t ex ρ i,j för element i,j. För övrigt noteras alltid matriser med versaler och vektorer med gemener.

14 18 3 TEORI FÖR RISKBERÄKNING AV OLIKA INSTRUMENTET 3 Teori för riskberäkning av olika instrumentet Value-at-risk mäter en portföljs marknadsrisk. En portfölj kan betraktas som en mängd instrument, vilka är komponerade av (en eller flera) underliggande tillgång(ar). För att beräkna portföljrisken krävs kunskap om hur de enskilda instrumentens risk beräknas, vilket i sin tur kräver en förståelse för hur instrumentets värde ändras med de underliggande tillgångarna. Det går att klassificera instrumenten som linjära och ickelinjära, där instrumentets värde ändras linjärt respektive ickelinjärt med de underliggande tillgångarna. Exempel på linjära instrument är aktier, vars värde är direkt relaterat med dess aktiekurs och växelvaluta, vars värde beräknas som en linjär funktion med avseende på växelkursen. En option på en valutakurs är däremot ett ickelinjärt instrument och optionens värdeändring kan beskrivas som en ickelinjär funktion med avseende på växelkursen. Value-at-risk kan beräknas med olika metoder, analytiskt eller med hjälp av simuleringsmetoder. 1 För linjära instrument ska resultaten mellan en analytisk metod och en simuleringsmetod inte skilja sig dramatiskt. Med ickelinjära instrument baseras Var-resultatet på en approximation, oavsett vilken metod som används. Estimatet kan vara mer eller mindre korrekt, beroende på metodens sofistikeringsgrad. För icke linjära instrument kan därför den analytiska Varberäkningen skilja sig från simuleringsberäkningen. En portföljs Value-at-risk uttrycks som en penningsumma där varje (instruments underliggande) tillgång har gett sitt bidrag. Detta bidrag beror på följande: 1. Hur instrumentets värde ändras med tillgången, vilket beskrivs med hjälp av fundamental kapitalmarknadsteori. Då Value-at-risk ska beräknas, baseras allokeringen av (korrekta) kassaflöden till respektive tillgång på denna teori. Tillgångens kassaflöde representerar dess relativa storlek i förhållande till summan av alla kassaflöden, d v s dess vikt. Om kassaflödet multipliceras med tillgångens standardavvikelse erhålls däremot dess risk. 2. Standardavvikelsen, vilken representeras av respektive tillgång. 3. Penningsumman representerad av respektive transaktion. I detta kapitel redovisas olika metoder att utföra punkt 1. medan kapitel 4 beskriver teorin för punkt 2. Tabell 1. redovisar vilka instrument som är dokumenterade enligt punkt 1. samt vilka instrument som är implementerade i prototypen. 3.1 Obligationer För att beräkna en obligations risk behövs i allmänhet volatiliteter och korrelationer från motsvarande räntekurvor eller nollkupongkurvor. Nedan beskrivs olika sätt att beräkna risken för en obligation eller ett aggregat av obligationer. Kapitlet inleder med en introduktion till nollkupongobligationer. 1 Det finns även andra Var-metoder. Se kapitel 6.

15 3.1 Obligationer 19 Tabell 1: Dokumenterade respektive implementerade instrument. instrumenttyp instrument dokumenterat implementerat linjär obligation X X diskonteringsinstrument X X deposit X X forward/future X X FRA X X valutaswap X X ränteswap X X ickelinjär option X Forward Rate Agreement Nollkupongobligationer En obligation utan kupongbetalningar kallas nollkupongobligation (zero) och ändringen av räntan i förhållande till förfallotiden bildar en nollkupongkurva. Amerikanen Frederick Macaulay utvecklade redan 1939 tekniker som mäter marknadsvärdets känslighet för förändringar i räntan. Macaulay insåg att en jämförelse mellan obligationers effektiva löptid kräver ett mått som även tar hänsyn till obligationens tidsstruktur med dess löpande kupongbetalningar och inte bara information om datum för sista betalning. Livslängden på kupongobligationer måste därför uttryckas i termer av löptiden på en kreditriskmässigt jämförbar obligation utan kuponger, d v s en nollkupongare. Detta resonemang är välgrundat eftersom löptiden på en nollkupongare är ett mått på en obligations livslängd och varje kupongobligation kan betraktas som en uppsättning av nollkupongobligationer. [24] Riskberäkning med principalmetoden Principalmetoden är ett okomplicerat sätt att beräkna risk. Metoden har relativt dålig precision men ger en fingervisning av grunderna i riskberäkning. Det går att hitta en nollkupongobligation med samma förfallotid som medelvärdet för aktuell portfölj. När det är gjort associeras nollkupongobligationens volatilitetet med portföljen. Endast en tillgångs standardavvikelse (nollkupongobligationen) används för riskberäkning av aktuell portfölj och detta ger metoden konkurrens från t ex durationsmetoden. Metoden använder standardavvikelsen från aktuell ränta tillsammans med portföljens duration, vilket ger en mer avancerad analys. [24] Introduktion till duration Tekniker som mäter marknadsvärdets känslighet för förändringar i räntan brukar ofta baseras på durationsanalys. Macaulay kom fram till hur den genomsnittliga

16 20 3 TEORI FÖR RISKBERÄKNING AV OLIKA INSTRUMENTET löptiden på en uppsättning nollkupongobligationer beräknas. Antag en obligation på nominellt 100 MSEK handlad till pari som ger 10 procent ränta i fem år. 2 Denna obligation kan betraktas som fem stycken obligationer utan kupong; fyra stycken på nominellt 10 MSEK vilka förfaller år 1, 2, 3 och 4 samt en på nominellt 110 MSEK som förfaller år 5. Macaulay rekommenderade ett viktat genomsnitt av tiden till varje betalning, kupong, som slutlig återbetalning av kapitalbeloppet. Vikterna förhåller sig som nuvärdet av varje kupong genom summan av alla kupongers nuvärden. Genomsnittet, durationen, kan skrivas: δ = n i=1 i PV(C i ) V (1) [24] i PV(C i ) V år 1..n (Present Value) av kassaflödet vid år i summan av alla nuvärdesberäknade kassaflöden Modifierad duration Eftersom duration är den vägda medellöptiden för en ström av kassaflöden kan denna information utnyttjas för att beskriva känsligheten i marknadsvärdet (nuvärdet) hos en obligation eller annat kassaflödesbaserat instrument. Känsligheten gäller för en ränteförändring under en bestämd period. Om obligationens prisformel (2), deriveras enligt (3), erhålls en approximation på dess priskänslighet. N CF i priset, p = (1 + r) i (2) r CF i dp = aktuell marknadsränta kassaflödet för år i i=1 N CF i d(1 + r) i (1 + r) i (1 + r) i=1 Antag att ekvation (3) omformas enligt följande: dp = N N CF i d(1 + r) i (1 + r) i (1 + r) 1 δ CF i (1 + r) (1 + r) i (1 + r) i=1 Tiden i till nästa kassaflöde är ersatt med δ utanför summationstecknet, där δ motsvarar obligationens durationstid. För att det ska bli praktiskt genomförbart att beräkna en ränteändring har även d(1 + r) ersatts med (1 + r). 2 Kursen anges i procent av nominellt belopp. Ett lån vars kupongränta överensstämmer med marknadsräntan har kursen 100%, d v s pari. i=1 (3) (4)

17 3.1 Obligationer 21 I ekvation (4) återfinns prisformeln enligt ekvation (2), vilket gör det möjligt att definiera den relativa förändringen, priskänsligheten, med avseende på räntan. Detta är gjort i ekvation (5) där r motsvarar en förändring i marknadsräntan. δ dp p = 1 δ r (5) (1 + r) Termen 1+r kallas modifierad duration. Den modifierade durationen beskriver första ordningens approximation av en ränteändring. Då en obligations priskurva är ickelinjär erhålls ett estimeringsfel vid större ränteavvikelser. Fenomenet kallas konvexitet (kurvan är konvex) och beräkningen kan förfinas med en metod som tar hänsyn till konvexiteten (se kapitel 3.1.6). Karaktäriserande för ränteändringar är: En ränteökning ger alltid ett sänkt obligationspris och vice versa. Därav faktorn -1 före formeln till den procentuella prisändringen. På grund av konvexiteten kommer durationen alltid att underestimera prisstegringen då räntan faller och överestimera prisfallet då räntan stiger. [24] Antag exempelvis att en portfölj med värdet 100 Mkr har en modifierad duration på 4,5 år. Marknadsräntans standardavvikelse är 0,38 % under en veckas period med ett 95% konfidensintervall. Detta ger följande Value-at-risk för en veckas tidshorisont: 3 Var = 4,5 år 100 MSEK 0,38% = 1,71 MSEK Riskberäkning med modifierad duration och nollkupongrisk Riskberäkning med modifierad duration och nollkupongrisk är en metod liknande beräkningen med ränterisk. Durationen associeras med volatiliteten för motsvarande nollkupongobligation. Nollkupongobligationernas standardavvikelse är beräknad för jämna månader/år. Det är däremot inte troligt att durationen är ett jämnt antal månader/år. Standardavvikelserna för nollkupongerna och dess förfallodatum används därför till att interpolera fram en standardavvikelse som motsvarar durationstiden. Antag två obligationer med ett- respektive femårs förfallo och en duration på 2,5 år. Antag vidare två nollkupongobligationer med följande standardavvikelse under två dagar: tvåårig nollkupongobligation: 0,987 % treårig nollkupongobligation: 1,484 % Genom linjärinterpolering ger detta ger en standardavvikelse på 0,987 + (1,484 0,987)*(2,5 2) % = 1,24 % och risken blir 1,24%* 100 MSEK = 1,24 MSEK. [9] 3 Lägg märke till att det är perioden för marknadsräntans avvikelse som bestämmer tidshorisonten.

18 22 3 TEORI FÖR RISKBERÄKNING AV OLIKA INSTRUMENTET Konvexitet Ekvation (5) i kapitel beskriver en obligations procentuella prisförändring. Genom att ytterligare en term tillfogas blir beräkningen av prisförändringen mer exakt. Konvexitetstermen beskrivs som andra ordningens approximation av en ränteändring (eller andra termen i prisformelns taylorutveckling). Ekvation (6) beskriver justering med hjälp av konvexitet. γ a = 1 2 n i=1 i(i + 1) PV(C i ) V (1 + r) 2 ( r) 2 (6) γ a i PV(C i ) V r justeringstermen för konvexitet (a för adjust) år 1..n nuvärdet (Present Value) av kassaflödet vid år i summan av alla nuvärdesberäknade kassaflöden förändringen i räntan Ur ekvation (7) erhålls termen γ, konvexitetstermen. [4] [24] γ = n i=1 i(i + 1) PV(C i ) V (1 + r) 2 (7) Duration och konvexitet för flera tillgångar Både duration och konvexitet har den egenskapen att det för flera tillgångar går att göra ett viktat medelvärde för hela portföljen. Låt x i vara proportionen investerad i obligation i. Låt vidare varje obligation i s risk, r i vara estimerad genom både första och andra ordningens approximation. Portföljens risk, r tot, kan approximeras med: r tot = i x i r i (8) [4] [24] Riskberäkning med kassaflöde Kassaflödesprincipen består i att associera varje kassaflöde med tillhörande nollkupongförfall. Risken för varje kassaflöde erhålls genom att multiplicera standardavvikelsen för respektive nollkupongobligation med kassaflödets nuvärde. Detta illustreras i tabell 2, där den totala kassaflödesrisken blir 2,63 dollar. Då nuvärdesberäkningarna sträcker sig över ett stort antal förfall (läs år) kan korrelationen mellan de olika nollkupongerna påverka resultatet. Antag att de fem nollkupongobligationerna i föregående exempel har en korrelationsmatris enligt tabell 3. Matrisen är symmetrisk och endast den undre delen är inskriven.

19 3.1 Obligationer 23 Tabell 2: Illustration över kassaflödesallokering och kassaflödesrisk. år volatilitet (%) kassaflöde ($) kassaflödesrisk ($) 1 0, ,77 0, ,987 5,48 0, ,484 5,15 0, ,971 4,80 0, ,426 78,79 1,911 total 200,00 2,633 Tabell 3: Korrelationer mellan nollkupongobligationer med förfallodatum: 1 5 år. år år1 år2 år3 år4 år , ,886 0, ,866 0,976 0, ,855 0,966 0,988 0,988 1 Följande tillvägagångssätt används vid riskberäkning med kassaflöde: Skapa en diagonalmatris, C, med kolumnen volatilitet i tabell 2 som diagonal och nollor för övrigt och en vektor, s, från kolumnen kassaflöde. Definiera ρ från tabell 3. Portföljens Value-at-risk definieras enl ekvation 9 (kapitel 6.2 behandlar beräkning av portföljvarianser). r tot = s t C ρ C s =2, 57 $ (9) [9] Tilldelning av nollkupongvikter I föregående exempel (se 3.1.8) föll kassaflödet på ett av nollkupongens förfall (1 år, 2 år etc). Generellt sett behövs en mekanism för att beräkna risken även då kassaflödet inte fördelar sig som idealfallet. Följande tillvägagångssätt används för att tilldela nollkupongvikter: Utgå, som i kapitel 3.1.5, från att ett kassaflöde hamnat mellan två noder. Uppgiften blir att tilldela kassaflödet två vikter, vilka representerar respektive nod. Portföljvariansen beräknas enligt ekvation (10). σ 2 p = x 2 σ (1 x) 2 σ x(1 x)ρσ 1 σ 2 (10) σp 2 portföljvariansen x vikten tilldelad standardavvikelsen för nollkupong 1 σ i standardavvikelsen för nollkupong i ρ korrelationskoefficienten för nollkupong 1 och 2

20 24 3 TEORI FÖR RISKBERÄKNING AV OLIKA INSTRUMENTET Portföljvariansen beräknas genom interpolering av varianserna för nollkupong 1 och 2. Vikten x erhålls genom att lösa ekvation (11). [9] (σ σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 )x 2 + 2( σ ρσ 1 σ 2 )x + σ 2 2 = σ 2 p (11) Implementering För att ge beräkningarna precision är kassaflödesmetoden implementerad enligt avsnitt Varje nollkupong har ett förfallodatum som kan associeras med ett kassaflödesdatum för en obligationsportfölj. Oftast har portföljen många olika kassaflöden vid olika tidpunkter och ju fler nollkupongobligationer det finns, desto mindre blir varje interpoleringsintervall. Kassaflödesmetoden går dessutom att applicera på många olika instrument eftersom det nästan alltid går att definiera ett (positivt eller negativt) kassaflöde för en tillgång. I kapitel 6.2 beskrivs en metod som beräknar Value-at-risk helt eller till stora delar med hjälp av kassaflöden. Metoden har tyvärr även nackdelar. Nollkupongobligationer är sällsynta på marknaden. Detta problem löses genom nollkupongberäkning från en passande vald grupp kupongobligationer, vilka har en riskprofil som passar ihop med aktuell portfölj. Om det är svårt att hitta rätt riskportfölj är ett alternativ att använda durationsmetoden (kapitel 3.1.3), vilken kräver standardavvikelsen för endast en vald marknadsränta. Den senare metoden är emellertid inriktad på penningmarknadsinstrument, vilket medför en annan begränsning. Trots denna begränsning rekommenderas en implementering av durationsmetoden som ett komplement till kassaflödesmetoden. 3.2 Diskonteringsinstrument och deposits Tekniskt sett är diskonteringspapper och deposits liknande till sin konstruktion, vilket leder till att de behandlas likadant vid riskberäkning. Ett diskonteringsinstrument är ett lån där låntagaren inte utbetalar någon formell ränta i form av en räntekupong. Instrumentet emitteras istället till ett lägre belopp (diskonterat) än det som betalas tillbaka då lånet förfaller (nominellt). En deposit beskrivs som ett lån där låntagaren betalar tillbaka det nominella beloppet plus räntesatsen. I praktiken blir beräkningarna identiska och därmed även riskberäkningen på dessa instrument, vilken utförs i analogi med ett kassaflöde för en nollkupongobligation. Denna teknik redovisas i kapitel och [8] Implementering Risken på diskonteringsinstrument och deposits beräknas med kunskap från kapitel och Eftersom de liknar en nollkupongobligation, är största delen av implementeringsarbetet gjord efter implementationen av obligationer.

21 3.3 Forwards och futures 25 Skillnaden är endast definitionen av transaktionsbeloppet beroende på instrumentens definition; För ett diskonteringsinstrument blir risken beräknad på det nominella beloppet medan en deposit använder det nominella beloppet plus aktuellt räntebelopp. Båda instrumenten representeras av ett enda klassobjekt. För att finna lämpliga marknadsnoteringar för riskberäkning kan CRMs [23] databas användas, där användaren har associerat en tillgång till det aktuella instrumentet, vilken hon för kurser på. Alternativt används instrumentets riskportfölj som utgångspunkt för beräkningen (se kapitel 6.1.1). 3.3 Forwards och futures Ett forward/future kontrakt är ett enkelt derivat. Det är en överenskommelse att köpa eller sälja en tillgång på ett förutbestämt datum till ett förutbestämt pris. Skillnaden mellan dessa två är följande: Ett forwardkontrakt handlas normalt mellan två finansiella institutioner eller en institution och en av dess kunder. Ett futurekontrakt handlas på en marknadsplats. De största marknadsplatserna är Chicago Board of Trade (CBOT) och Chicago Mercantile Exchange (CME). Till skillnad från forwards, ligger futurekontrakt i marknadsfas (marked to market). Vinster och förluster är omräknade varje dag och skillnaden regleras direkt. 4 Ponera exempelvis att en jordbrukare har åtagit sig att leverera 1000 grismagar till priset av $2,50 per mage. Nästa dag har magarna gått ned till $2,45. Jordbrukaren har nu en vinst på 1000 $0,05 = $50 och marknadsplatsens (i detta fall CME) regleringsinstitution (clearinghouse) betalar ut summan. Således, efter den första dagen har jordbrukaren realiserat en vinst på $50 och har nu ett åtagande att leverera grismagar till priset av $2,45. Ett forwardkontrakt har ett specificerat leveransdatum medan futurekontraktet kan träda i kraft någon gång under en specificerad månad. Köparen till tillgången har rätt att välja en tidpunkt under denna månad, då denne vill effektuera affären. Den sista skillnaden bidrar till att futures är svårare att analysera än forwards. Vid ett volatilt ränteläge ökar prisskillnaden. En känsla för prisrelationen kan erhållas genom att betrakta priset för en underliggande tillgång, S. Låt säga att S har en stark positiv korrelation med räntan. Då S ökar gör en investerare med en lång futureposition (d v s en köpposition) en omedelbar vinst tack vare den dagliga prisregleringen. På samma sätt gör investeraren en förlust då räntan sjunker. En investerare i forward kontrakt påverkas inte på detta sätt av räntan. Slutsatsen blir att när S har 4 I Sverige regleras skillnaden via OM-börsen en gång per månad.