12. Plana vågors fortskridande i oändliga media
|
|
- Göran Jakobsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2. Plana vågors fortskridande i oändliga media Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: Tredimensionella vågor En harmonisk elementarvåg i tre dimensioner skrivs som där κ = κbu och bu anger vågens fortskridningsriktning. Vi har nu att ea(κ)e i(κ r ωt) (2.) så att fashastigheten är som tidigare ω = κ v = κv (2.2) v f = du dt = ω κ c n (2.3) Vektorn är v f = vbu. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.
2 Två viktiga specialfall av tredimensionella vågor är plana vågor och sfäriska vågor. Vi återkommer eventuellt i ett senare skede till sfäriska vågor, tills dess fokuserar vi uteslutande på plana vågor. Plana vågor är vågor vars fas är konstant på varje plan som är vinkelrätt mot vågens fortskridningsriktning. Om exempelvis bu = bz så får vi och κ måste vara oberoende av x och y. ea(κ)e i(κz ωt) (2.4) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
3 Produkten av vågvektorn och positionen kan skrivas där u = r cos α är koordinaten längs med riktningen κ. κ r = κr cos α κu (2.5) Elementarvågen kan vi nu skriva som ea(κ)e i(κ r ωt) = e A(κ)e i(κu ωt) (2.6) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
4 Storleken av en godtycklig komplex-värd våg utan riktningsvektorn ges av integralen ee(r, t) = (2π) 3/2 dv κ e A(κ)e iω(κ)t e iκ r (2.7) Detta motsvarar den tredimensionella Fouriertransformen. Observera att dispersiva effekter har inkluderats i och med att ω = ω(κ). Amplituden ges av ea(κ) = (2π) 3/2eiω(κ)t dv r e E(r, t)e iκ r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.4
5 Det fysikaliska fältet eller den fysikaliska amplituden fås med hjälp av följande regler. Antag z = a + ib där a, b är reella. Då gäller a = Re(z) = 2 (z + z ) (2.9) där z betyder komplexkonjugering. b = Im(z) = 2i (z z ) (2.0) Initialvillkor Om vågens form Re( e E(r, 0)) = E r (r, 0) och dess tidsderivata är kända vid t = 0 kan amplituden bestämmas enligt följande. Vi börjar med att notera att ee(r, t) = E r (r, t) + ie i (r, t) (2.) = dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iω(κ)t e iκ r (2.2) te(r, e t) = t E r (r, t) + i t E i (r, t) (2.3) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.5
6 = (2π) 3/2 dv κ ( iω(κ) e A(κ)e iω(κ)t e iκ r (2.4) Insättning av t = 0 och tillbakatransformation ger oss Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.6
7 Detta system ger att så att vi får ea(κ) = dv (2π) 3/2 r [E r (r, 0) + ie i (r, 0)] e iκ r (2.5) iω(κ) A(κ) e = dv (2π) 3/2 r [ t E r (r, 0) + i t E i (r, 0)] e iκ r (2.6) E i (r, 0) = ω(κ) te r (r, 0) (2.7) ea(κ) = (2π) 3/2 dv r» E r (r, 0) + i ω(κ) te r (r, 0) e iκ r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.7
8 Exempel :: Vi har genererat en sinusvåg som rör sig i z-riktningen, och som består av N våglängder, L = Nλ 0. Bestäm frekvensspektret e A(κ). Låt vågen vara E r (z, t) = sin(kz ωt). Vågen och dess tidsderivata är E r (z, 0) = sin(κ 0 z), 0 < z < L (2.9) t E r (z, 0) = ω cos(κ 0 z), 0 < z < L (2.20) Amplituden: ea(κ) = (2π) /2 L = i (2π) /2 = i (2π) /2 = 0 L dz [sin(κ 0 z) i cos(κ 0 z)] e iκz (2.2) 0 L 0 dz [cos(κ 0 z) + i sin(κ 0 z)] e iκz (2.22) dze i(κ κ 0 )z (2.23) (e i(κ 0 κ)l ) (2.24) (2π) /2 κ κ 0 Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.8
9 L = 2 cm 0 = 3 cm - A r ( ) [cm] [cm - ] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.9
10 Check: Får vi tillbaka samma fält som vi startade med? ee(r, t) = = 2π (2π) /2 2π dκ e A(κ)e iω(κ)t e iκz (2.25) dκ e i(κ 0 κ)l e iω(κ)t+iκz κ κ 0 = 2π eiκ 0 L 2π dκ e iω(κ)t+iκz (2.26) κ κ 0 dκ e iω(κ)t e iκ(z L) κ κ 0 (2.27) dκ e iω(κ)t+iκz (2.28) κ κ 0 (2.29) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.0
11 Vid t = 0: Från residykalkyl har vi följande regel: ee(r, 0) = 2π eiκ 0 L 2π dκ eiκ(z L) κ κ 0 eiκz dκ (2.30) κ κ 0 eiaκ dκ = sgn(a)πie iaκ 0 (2.3) κ κ 0 där sgn(a) = a/ a ger tecknet på a. Då z < 0 och z > L fås ee(r, 0) = ±πi 2π eiκ 0 L e iκ 0 (z L) (±)πi 2π eiκ 0 z = 0 (2.32) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.
12 Då 0 < z < L: ee(r, 0) = πi 2π eiκ 0 L e iκ 0 (z L) πi 2π eiκ 0 z (2.33) = πi 2π eiκ 0 z πi 2π eiκ 0 z (2.34) = ie iκ 0 z = i cos(κ 0 z) + sin(κ 0 z) (2.35) så att E r (r, 0) = sin(κ 0 z), 0 < z < L, exakt som väntat! Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
13 2.. Energitäthet och -ström Vi har upp tills nu kunnat använda komplexvärda fält i Maxwells ekvationer. Detta har möjliggjorts av det att ekvationerna är linjära, och reella och imaginära delarna av ett komplext fält därför var för sig uppfyller ekvationerna. Vi kommer nu att granska energitätheten u EM och Poynting-vektorn S, som båda innehåller produkter av fälten. I dessa sammanhang måste vi använda de reella eller imaginära fälten, och inte den komplexa versionen. De fysikaliska fälten är ju E P (r, t) = E 0p sin(ωt κ r φ)bp + E 0s sin(ωt κ r)bs (2.36) B P (r, t) = n c (E 0p sin(ωt κ r φ)bs E 0s sin(ωt κ r)bp) (2.37) Välj r = 0 för att förenkla uttrycken. E P (r, t) = E 0p sin(ωt φ)bp + E 0s sin(ωt)bs (2.38) B P (r, t) = n c E 0p sin(ωt φ)bs n c E 0s sin(ωt)bp (2.39) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
14 Kvadraterna är E 2 P = E 2 0p sin2 (ωt φ) + E 2 0s sin2 (ωt) (2.40) B 2 P = n2 c 2 E2 0p sin2 (ωt φ) + n2 c 2 E2 0s sin2 (ωt) (2.4) = n2 c 2 E2 P = εµe2 P (2.42) Energitätheten: u EM = 2 (E P D P + B P H P ) = 2 (εe2 P + µ B 2 P ) = 2 (εe2 P + εe2 P ) = εe 2 P = µ B2 P (2.43) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.4
15 Poyntingvektorn: S = E P H P = µ E P B P = µ E P B P bu = µ E P εµep bu = εµ ε εµe 2 P bu = µ n c E2 P bu = c µ n B2 P bu = εµ u EM bu = c n u EMbu = u EM v f (2.44) där v f är vågens fas-hastighet. Observera att enheten för S är J/(m 2 s) = W/m 2, d.v.s. energi per area och tid, eller effekt per area. Detta är ju enheten för intensitet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.5
16 Jämför: Vågen transporterar alltså energi i.o.m. Poyntingvektorn. J = ρv (2.45) Vid höga frekvenser går det inte alltid att mäta den momentana intensiteten S, så man bestämmer istället tidsmedelvärdet S. Vi bevisar nu ett teorem med vilket dylika tidsmedelvärden fås snabbare från de komplexa ursprungsuttrycken. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.6
17 Teorem Låt f = f 0 e iωt = (f 0r + if 0i )e iωt (2.46) g = g 0 e iωt = (g 0r + ig 0i )e iωt (2.47) Realdelarna är f r = f 0r cos(ωt) f 0i sin(ωt) (2.48) g r = g 0r cos(ωt) g 0i sin(ωt) (2.49) medan imaginärdelarna är f i = f 0r sin(ωt) + f 0i cos(ωt) (2.50) g i = g 0r sin(ωt) + g 0i cos(ωt) (2.5) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.7
18 Följande gäller: f r g r = f i g i = 2 (f g) r = 2 (fg ) r (2.52) Bevis: f r g r = f 0r g 0r cos 2 (ωt) f 0r cos(ωt)g 0i sin(ωt) f 0i sin(ωt)g 0r cos(ωt) + f 0i g 0i sin 2 (ωt) (2.53) så att f r g r = 2 f 0rg 0r + 2 f 0ig 0i (2.54) f i g i = f 0r g 0r sin 2 (ωt) + f 0r sin(ωt)g 0i cos(ωt) +f 0i cos(ωt)g 0r sin(ωt) + f 0i g 0i cos 2 (ωt) (2.55) så att Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.8
19 f i g i = 2 f 0rg 0r + 2 f 0ig 0i (2.56) (f g) r = ˆ(f 0r + if 0i ) (g 0r + ig 0i ) r = [(f 0r if 0i )(g 0r + ig 0i )] r = f 0r g 0r + f 0i g 0i (2.57) eftersom (z z 2 ) = z z 2 så att vi kan plocka bort exponentialfunktionerna direkt. (fg ) r = ˆ(f 0r + if 0i )(g 0r + ig 0i ) r = [(f 0r + if 0i )(g 0r ig 0i )] r = f 0r g 0r + f 0i g 0i (2.58) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.9
20 Vi kan nu enkelt bestämma tidsmedelvärdet för E 2 P : D E E 2 P = 2 (E E) r = 2 ((E 0pe i( φ) bp + E 0s bs) (E 0p e i( φ) bp + E 0s bs)) r = 2 q E 2 0p + E2 0s (2.59) Detta ger tidsmedelvärdet av Poynting-vektorn som S = n q E0p 2 µ c 2 + E2 0sbu (2.60) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.20
21 2.2. Hastighetsbegrepp Det existerar ett flertal olika hastighetsbegrepp angående elektromagnetisk strålning: Fashastighet i vågens fortskridningsriktning, v f, och v f c. Fashastighet i annan riktning, v f, v f c eller v f c. Grupphastighet Hastigheten från väntevärdet av vågens position Energins transporthastighet... Då man frågar efter en vågs eller signals hastighet bör man ha klart för sig vad för slags hastighet man egentligen är intresserad av Fashastighet [J. Weber, Am. J. Phys. 22 (954) 68; R. L. Smith, Am. J. Phys. 38 (970) 978; A. M. Steinberg, No thing goes faster than light, Phys. World, September (2000)] Fashastigheten i vågens färdriktning ges av kravet att argumentet κ r ωt ska vara konstant. Om vi rör oss i vågens färdriktning gäller att r = r 0 + sbu och Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.2
22 κ r = κ r 0 + κs (2.6) så att d dt κ r = κds dt = κv f = ω (2.62) och v f = ω/κ. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.22
23 Låt en signal bestående av t.ex. N st sinusoidala våglängder sändas ut från A. Signalen anländer till mottagaren i C, efter att ha rört sig den kortaste möjliga sträckan mellan A och C. Om mediet är icke-dispersivt är signalens hastighet c. Enligt bilden sammanfaller detta med fashastigheten i signalens fortskridningsriktning, så att v = r/ t = c. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.23
24 Å andra sidan, om sträckan BC består av en ljuskänslig vägg så kommer ljuspulsen som faller in på väggen att röra sig längs väggen mot mottagaren i C, eftersom vågfronten utanför gör det. Hastigheten för denna ljusspalt längs med väggen rör sig med en hastighet r / t. Eftersom ger vars storlek är v f = c! cos α = r r (2.63) v f = r t = r cos α t = cos α v f (2.64) Strider inte detta mot lagen att ingen signal kan röra sig snabbare än ljuset?! Förklaringen är att det som rör sig längs med väggen inte är en signal. Ljusspalten är en sekundär effekt till signalen, och består egentligen av skärningspunkten mellan väggen och vågfronterna i den riktiga signalen. Endast om vi har en mottagare och sändare i B, som skickar signalen från A vidare till C, så kommer en riktig signal att gå längs med sträckan ABC, med maximalt ljusets hastighet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.24
25 Observera, att mottagaren i C tar emot signalen längs med linjen AB och signalen längs med ACB vid samma tillfälle. För att mäta signalens hastighet dividerar mottagaren sträckan AC mellan sig själv och sändaren med den tid som gått åt för att signalen att anlända. Detta ger c som största möjliga hastighet för information att passera mellan A och C Grupphastighet [Jackson; J. Weber, Am. J. Phys. 22 (954) 68; H. M. Bradford, Am. J. Phys. 44 (976) 058; P. C. Peters, Am. J. Phys. 56 (988) 29; K. T. McDonald, Am. J. Phys. 66(8) (998) ] En vågs eller ett vågpakets grupphastighet definieras som v g = dω (2.65) dκ κ=κ0 evaluerat i nåt värde κ 0 av vågvektorn κ. Denna definition kan motiveras med följande resonemang. Låt ett vågpakets amplitudfunktion vara e A(κ). Antag att e A(κ) är stor då κ = κ 0 och liten för övriga värden. Detta betyder att vågpaketet innehåller många vågor med vågtalet exakt lika med eller mycket nära κ 0. Låt vågen röra sig längs med z-axeln, så att κ = κbz och κ 0 = κ 0 bz. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.25
26 Expandera vinkelfrekvensen kring vågtalet κ 0 enligt Elfältet blir ω(κ) ω(κ 0 ) + (κ κ 0 ) κ ω(κ) κ=κ0 ω 0 + ω 0 (κ κ 0) (2.66) ee(z, t) = dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iκ z e iω(κ)t dv (2π) 3/2 κa(κ)e e iκ z e iω 0 t e iω 0 t(κ κ 0 ) = e iω 0 t+iω 0 tκ 0 dv (2π) 3/2 κa(κ)e e i(z ω 0 t)κ = e it(ω 0 ω 0 κ 0 ) E(z ω 0t, 0) (2.67) Detta är en funktion i z ω 0 t. Detta motsvarar en våg som rör sig med hastigheten ω 0. Amplituden varierar periodiskt med tiden, p.g.a. exponentialfaktorn. Vågens hastighet är alltså v g = ω 0 = dω (2.68) dκ κ=κ0 Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.26
27 och kallas grupphastighet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.27
28 I allmänhet gäller v f = c n(κ) (2.69) så att κ = ω(κ) v f = ω(κ)n(κ) c (2.70) Detta ger v g = dκ dω = n c + ω c dn dω = n + ωdn/dω c (2.7) och v g = c n + ωdn/dω (2.72) För normal dispersion gäller n och dn/dω > 0 så att v g < c. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.28
29 [Jackson] I vissa frekvensområden med anomalisk/abnomal (eng. anomalous) dispersion kan dock gälla att dn/dω 0, så att man rentav kan få v g > c, så att vågen tycks röra sig snabbare än ljuset! Denna paradox är snabbt löst genom att inse att en snabb variation i n = n(ω) innebär en snabb variation i κ = κ(ω) så kan vi inte längre göra expansionen Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.29
30 ω(κ) ω(κ 0 ) + dω (κ κ 0 ) (2.73) dκ κ=κ0 Detta betyder att v g = ω 0 = dω (2.74) dκ κ=κ0 inte längre duger som definition av vågens hastighet Hastigheten från väntevärdet av vågens position [E. E. Bergmann, Am. J. Phys. 44(9) (976) , H. M. Bradford, Am. J. Phys. 44() (976) ] En möjlig definition av ett vågpakets hastighet får vi från väntevärdet av vågens position. Väntevärdet är = = r(t) r dv re e (r, t)re(r, e t) dv (2π) 3 r dv κ dv κ e A (κ)e iω(κ)t e iκ r r e A(κ )e iω(κ )t e iκ r (2.75) (2.76) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.30
31 = = (2π) 3/2 (2π) 3/2 dv κ dv κ» dv κ A e (κ)e iω(κ)t dv (2π) 3/2 r re iκ r e iκ r dv κ A e (κ)e iω(κ)t F A(κ e )e iω(κ )t ea(κ )e iω(κ )t (2.77) där F är Fouriertransformen av re iκ r : Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.3
32 F = (2π) 3/2 dv r re iκ r e iκ r = (2π) 3/2 dv r re i(κ κ) r = i κ δ(κ κ) (2.78) Detta ger r(t) r = dv (2π) 3/2 κ dv κ A e (κ)e iω(κ)t i κ δ(κ κ) A(κ e )e iω(κ )t» = dv i(2π) 3/2 κa e (κ)e iω(κ)t dv κ κ δ(κ κ) A(κ e )e iω(κ )t = dv i(2π) 3/2 κa e (κ)e iω(κ)t κa(κ)e e iω(κ)t (2.79) (2.80) där vi använde regeln dv r f(r) δ(r r ) = dv r ( f(r))δ(r r ) = f(r) r=r (2.8) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.32
33 Vi får nu r(t) r = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 +i (2π) 3/2 = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 dv κ e A (κ)e iω(κ)t κ e A(κ)e iω(κ)t dv κ e A (κ)e iω(κ)t e iω(κ)t κ e A(κ) dv κ e A (κ)e iω(κ)t e A(κ) κ e iω(κ)t dv κ e A (κ)i κ e A(κ) + t (2π) 3/2 dv κ e A(κ) 2 κ ω(κ) (2.82) dv κ e A (κ) κ e A(κ) + t κ ω(κ) r (2.83) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.33
34 Jämför: r(t = 0) r = i(2π) 3/2 = i(2π) 3/2 dv κ e A (κ)e iω(κ)0 κ e A(κ)e iω(κ)0 dv κ e A (κ) κ e A(κ) (2.84) Vi får alltså: r(t) r = r(0) r + t κ ω(κ) r (2.85) r(0) r + tv (2.86) där V kan kallas vågpaketets medelhastighet: V = κ ω(κ) r (2.87) = dv (2π) 3/2 κ A(κ) e 2 κ ω(κ) (2.88) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.34
35 Konsistens-check: Om vinkelfrekvensen kan approximeras som ω ω(κ 0 ) + (κ κ 0 ) κ ω κ=κ0 (2.89) får vi V = = D κ κ κ ω κ=κ0 E E D κ ω κ=κ0 κ κ E D κ ω κ=κ0 r r r = κ ω κ=κ0 (2.90) som är samma svar som tidigare Energins transporthastighet [ R. L. Smith, Am. J. Phys. 38 (970) 978; F. S. Johnson, Am. J. Phys. 58 (990) 044; A. Bers, Am. J. Phys. 68 (2000) 482 ] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.35
36 Då man i praktiken vill mäta em signals hastighet genom ett medium använder man en detektor. Denna ger utslag då den träffas av en puls med en styrka över ett visst gränsvärde. Antag att signalen som sänds ut har den maximala intensiteten I m = E 2 r,m. Som villkor för att signalen skall anses ha anlänt till detektorn kan man ha att den uppmätta intensiteten skall vara I m /α, där α. Då dispersiva eller dissipativa effekter inte spelar nån större roll kommer detta villkor att ge korrekt uppskattning av vågpaketets hastighet. Då dispersion och dissipation förekommer, kommer utgångssignalen att dämpas. Om t.ex. hela pulsen dämpas med faktorn β > α, där β = I m /I m och I m är den mottagna signalens maximala intensitet, så kommer I m < I m/α och detektorn mäter inte alls upp den anlända pulsen. Signalens hastighet kan då tyckas vara 0. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.36
37 Man kan visa att för media med normal dispersion och svag absorption vid de frekvenser som förekommer i vågpaketet så gäller att där S = u EM v f = u t v g (2.9) där u abs är den energitäthet som absorberas av mediet. u t = u EM + u abs (2.92) Detta visar att energin och en elektromagnetisk signal färdas med grupphastigheten i ett medium utan dissipation och då vågpaketet är koncentrerat omkring en bestämd vågvektor κ 0 (som ger v g ). Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.37
12. Plana vågors fortskridande i oändliga media
12. Plana vågors fortskridande i oändliga media [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 12.1 12.1. Introduktion Ny notation för den relativa permittiveteten I detta kapitel granskas hur monokromatiska
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.1 13.1. Vågledare... Hastigheter
Läs mer12. Plana vågors fortskridande i oändliga media
12. Plana vågors fortskridande i oändliga media [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 12.1 12.1. Introduktion Ny notation för den relativa permittiveteten I detta kapitel granskas hur monokromatiska
Läs merFöreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths
1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs mer12. Plana vågors fortskridande i oändliga media
12. Plana vågors fortskridande i oändliga media [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 12.1 12.1. Introduktion Ny notation för den relativa permittiveteten I detta kapitel granskas hur monokromatiska
Läs mer12. Plana vågors fortskridande i oändliga media
12. Plana vågors fortskridande i oändliga media Permittivitetens frekvensberoende [RMC] Då en elektromagnetisk våg passerar ett medium är responsen på vågen i allmänhet beroende på dess vinkelfrekvens
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
10. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 10.1 10.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
. Kretsar med långsamt varierande ström För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer15. Strålande system
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs mer15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 32 1 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator: Kapitel 14.1 14.4 Mekaniska vågor: Kapitel 15.1
Läs merKapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor
Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att mpères lag dr H = d J
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att Ampères lag dr H = C
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spridning av elektromagnetisk strålning [Jakson 9.6-] Med spridning avses mest allmänt proessen där strålning (antingen av partikel- eller vågnatur) växelverkar med något objekt så att dess fortskridningsriktning
Läs mer18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)
18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i
Läs mer18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
. Maxwells ekvationer och vågekvationen H = J (.2) ger [RMC] dr H = d J = I (.3) C Å andra sidan kan vi lika gärna använda ytan, som också avgränsas av samma kontur C: dr H = C d J = 0 (.4) för att ingen
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den
Läs merFöreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!
1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Lösningsförslag
160530: TFEI0 1 Uppgift 1 TFEI0: Vågfysik Tentamen 016-05-30: Lösningsförslag a) Ljudintensiteten, I, är ett mått på hur stor effekt, P eff, som transporteras per area. Om vi vet amplituden på vågen kan
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merett uttryck för en våg som beskrivs av Jonesvektorn: 2
Tentamen i Vågrörelselära(FK49) Datum: Tisdag, 6 Juni, 29, Tid: 9: - 5: Tillåten Hjälp: Physics handbook eller dylikt Förklara resonemang och uträkningar klart och tydligt. Tentamensskrivningen består
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merMer om EM vågors polarisation. Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation?
Mer om EM vågors polarisation Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation? Svänger x Svänger y 2π Superposition av x och y polariserade EM vågor (Ritar bara positivt
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning [RMC] Nu skall vi använda resultaten för plana vågors fortskridande och speciellt resultaten för gränsvillkor som härleddes i förra kapitlet för att behandla de
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
3. Plana vågors reflektion och brytning E 2 = xe 2x e i(ωt κ 2 z) (3.3) med [RMC] Nu skall vi använda resultaten för plana vågors fortskridande och speciellt resultaten för gränsvillkor som härleddes i
Läs mer1.3 Uppkomsten av mekanisk vågrörelse
1.3 Uppkomsten av mekanisk vågrörelse För att en mekanisk vågrörelse skall kunna uppstå, behövs ett medium, något som rörelsen kan framskrida i. Det kan vara vatten, luft, ett bord, jordskorpan, i princip
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merKapitel 4. Materievågor
Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Kapitel 4. Materievågor 1 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Överblick Överblick Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 15 1 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator: Kapitel 14.1 14.4 : Kapitel 15.1 15.8 Ljud och
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning [RMC] Nu skall vi använda resultaten för plana vågors fortskridande och speciellt resultaten för gränsvillkor som härleddes i förra kapitlet för att behandla de
Läs mer10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik
10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik [AM12, HH 4.4] När man känner igen materials bandstruktur i detalj, kanman använda denna kunskap till att korrigera bristerna i Sommerfeld-modellen för
Läs merHur elektromagnetiska vågor uppstår. Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Det elektromagnetiska spektrumet
Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Hur elektromagnetiska vågor uppstår Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält, Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält samt ett magnetfält. Konstant acceleration:
Läs mer10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik
10. Den semiklassiska modellen för elektrondynamik [AM12, HH 4.4] När man känner igen materials bandstruktur i detalj, kan man använda denna kunskap till att korrigera bristerna i Sommerfeld-modellen för
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merVågor och Optik. Mekaniska vågor (Kap. 15) Mekaniska vågor (Kap. 15)
Mekaniska vågor (Kap. 15) Vågor och Optik Mekaniska vågor (Kap. 15) D Alemberts allmäna lösning i 1D En mekanisk våg är en störning i ett medium som fortplantar sig. 1 $ 1 '$ 1 ' =& )& + ) = 0 x v t %
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t s(x,t) =s 0 sin 2π T x. v = fλ =3 5 m/s = 15 m/s
140528: TFEI02 1 TFEI02: Vågfysik Tentamen 140528: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) En fortskridande våg kan skrivas på formen: t s(x,t) =s 0 sin 2π T x λ Vi ser att periodtiden är T =1/3 s, vilket ger
Läs mer1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten
1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten [Understanding Physics: 13.7-13.11] En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet kan man representera
Läs merSignal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
Läs merFYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15
FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 1,5 högskolepoäng, FK49 Tisdagen den 17 juni 28 kl 9-15 Hjälpmedel: Handbok (Physics handbook eller motsvarande) och räknare
Läs merFYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 21 augusti 2008 kl 9-15
FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 1 augusti 008 kl 9-15 Hjälpmedel: handbok och räknare. Varje uppgift ger maximalt 4 poäng. Var
Läs merLuft. film n. I 2 Luft
Tentamen i Vågrörelselära(FK49) Datum: Måndag, 14 Juni, 21, Tid: 9: - 15: Tillåten Hjälp: Physics handbook eller dylikt och miniräknare Förklara resonemang och uträkningar klart och tydligt. Tentamensskrivningen
Läs merSignaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merVågfysik. Superpositionsprincipen
Vågfysik Superposition Knight, Kap 21 Superpositionsprincipen Superposition = kombination av två eller fler vågor. Vågor partiklar Elongation = D 1 +D 2 D net = Σ D i Superpositionsprincipen 1 2 vågor
Läs mer14. Elektriska fält (sähkökenttä)
14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna
Läs merFysik (TFYA14) Fö 5 1. Fö 5
Fysik (TFYA14) Fö 5 1 Fö 5 Kap. 35 Interferens Interferens betyder samverkan och i detta fall samverkan mellan elektromagnetiska vågor. Samverkan bygger (precis som för mekaniska vågor) på superpositionsprincipen
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merKapitel 33 The nature and propagation of light. Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion)
Kapitel 33 The nature and propagation of light Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion) Brytningslagen (Snells lag) Totalreflektion Polarisation Huygens
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merCirkelkriteriet (12.3)
Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2
Läs meru = 3 16 ǫ 0α 2 ρ 2 0k 2.
Lösningar till skriftlig deltentamen, FYTA12 Elektromagnetism, 3 juni 2010, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4-blad med anteckningar, fickräknare, skrivdon. Totalt 30 poäng, varav 15 krävs för
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merKRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER
Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs
Läs mer(ii) Beräkna sidoförskjutningen d mellan in- och utgående strålar, uttryckt i vinklarna θ i och tjocklekar t i. (2p)
Tentamen i Vågrörelselära(FK49) Datum: Onsdag, 4 Augusti,, Tid: 9: - 4: Tillåten Hjälp: Physics handbook eller dylikt och miniräknare Förklara resonemang och uträkningar klart och tydligt. Tentamensskrivningen
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3]
TFEI0: Vågfysik Tentamen 14100: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vågen kan skrivas på formen: vilket i vårt fall blir: s(x,t) =s 0 sin t π T x + α λ s(x,t) = cos [π (0,4x/π t/π)+π/3] Vi ser att periodtiden
Läs mer92FY27: Vågfysik teori och tillämpningar. Tentamen Vågfysik. 17 oktober :00 13:00
Linköpings Universitet Institutionen för fysik, kemi och biologi Roger Magnusson 92FY27: Vågfysik teori och tillämpningar Tentamen Vågfysik 17 oktober 2016 8:00 13:00 Tentamen består av 6 uppgifter som
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merDopplereffekt och lite historia
Dopplereffekt och lite historia Outline 1 Lite om relativitetsteorins historia 2 Dopplereffekt och satelliter 3 Dopplereffekt och tidsdilatation L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merGripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,
Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv
Läs merMaxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ
1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merReglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 10: Fasplan Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av föreläsning 9. Nyquistkriteriet 2(25) Im G(s) -1/k Re -k Stabilt om G inte omsluter 1/k. G(i w) Sammanfattning
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merVäxelström i frekvensdomän [5.2]
Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, T, mobiltelefoner, kabel-t, bredband till datorer
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merMotivering av högerledet i Maxwells 4:e ekvation
1 Motivering av högerledet i Mawells 4:e evation tudera följande eletronisa rets: I J 1 3 Q -Q Gaussdosa 4 I Vi väljer att använda cirulationssatsen på urvan. Ytan i högerledet an ju väljas på ett otal
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs mer1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).
. (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merThe nature and propagation of light
Ljus Emma Björk The nature and propagation of light Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion) Brytningslagen (Snells lag) Totalreflektion Polarisation Huygens
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merLösningar Reglerteknik AK Tentamen
Lösningar Reglerteknik AK Tentamen 15 1 3 Uppgift 1a Systemet är stabilt ( pol i ), så vi kan använda slutvärdesteoremet för att bestämma Svar: l = lim y(t) = lim sg(s)1 t s s = G()1 = 5l = r = 1 Uppgift
Läs mer