Teknisk dokumentation

Transkript

1 Teknisk dokumentation Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Version 0.2 Simon Eiderbrant 4 december 2012 Status Granskad Godkänd

2 Projektidentitet Grupp-e-post: Hemsida: Beställare: Kund: Kursansvariga: Handledare: Kristoffer Lundahl, Avdelningen för Fordonssystem vid LiTH Telefon: +46 (0) , E-post: Daniel Axehill, Avdelningen för Reglerteknik vid LiTH Telefon: +46(0) , E-post: David Törnqvist, Avdelningen för Reglerteknik vid LiTH Telefon: +46 (0) , E-post: Daniel Axehill, Avdelningen för Reglerteknik vid LiTH Telefon: +46(0) , E-post: Isak Nielsen, Avdelningen för Reglerteknik vid LiTH Telefon: +46 (0) , E-post: Gruppmedlemmar Namn Ansvar Telefon E-post Joel Lejonklou Projektledare joele569 Simon Eiderbrant Dokumentansvarig simei865 Erik Olsson Designansvarig eriol622 Fredrik Glans Testansvarig freca476 Thomas Barath Leveransansvarig thoba099 Erhan Konuskan Informationsansvarig erhko279

3 Dokumenthistorik Version Datum Gjorda förändringar Signatur Granskad av november 2012 Första utkast december 2012 Korrigerad

4 Innehåll

5 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 1 1 Inledning Förra året (2011) genomfördes ett projekt OSARR [?] vars syfte var att ta fram ett styrsystem för en radiostyrd bil (RC-bil), som skulle kunna styra bilen längs en optimal trajektoria som beräknats offline. Detta projekt, kallat VOSARR (Vidareutveckling av Optimal Styrning Av Radiostyrd Racerbil), har byggt vidare på OSARR och förbättrat prestandan i form av snabbare varvtid. Detta har genomförts till största delen med hjälp av ny modell av bilens dynamik utvecklad av Almroth [?]. Den förbättrade bilmodellen har implementerats i både beräkning av optimal trajektoria och i regulatorn, vilket har lett till en förbättrad optimal trajektoria och därmed förbättrade varvtider. 2 Syfte och mål Målet med projektet var att ta vid där tidigare projekt avslutats och förbättra prestandan i den meningen att bilen dels ska kunna köra autonomt flera på varandra följande varv snabbare än vad man tidigare lyckats med, men samtidigt följa referenstrajektorian bättre än innan. 3 Användning Detta system ska sedan användas som laborationsmoment, demonstrationsmoment och studentprojekt vid ISY. 4 Systemöversikt Systemet består av flera olika delar som samverkar. Hårdvarumässigt är det fem stora delkomponenter som är aktuella: ˆ Bilbana ˆ Bilar ˆ Kameror ˆ Radiokontroll ˆ Dator Figur?? visar hur hårdvarukomponenterna interagerar med varandra. Bilbanan är uppbyggd av kvadratiska skumgummiplattor som är placerade på en träplatta. Körbanan är inhägnad av en sarg i skumgummi som absorberar kraften ifall bilarna skulle krascha. I taket ovanför bilbanan är två kameror monterade. Dessa är placerade så att deras synfält täcker av hela banan. Bilderna som kamerorna tar skickas till datorn som med hjälp av algoritmer detekterar bilarna och skattar deras tillstånd. Sampeltiden för systemet är 100Hz, men kan ändras om så önskas (dock klarar det ej över cirka 110Hz). Styrningen av bilarna kan ske antingen autonomt eller manuellt. I det helt autonoma läget så beräknar datorn en styrsignal (via en regulator) som sedan ställs ut. I det manuella läget så körs en enkel loop-back funktionalitet som gör att bilen körs helt manuellt. Mjukvarumässigt består systemet av fem huvudkomponenter:

6 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 2 Figur 1: Informationsflöde mellan hårdvarukomponenter. ˆ Målföljningssystemet ˆ Regulatorn ˆ System för att beräkna en tidsoptimal trajektoria ˆ Bilmodellen ˆ Referensinterface Målföljningssystemet beräknar bilens skattade position. Bilmodellen tas fram genom att frilägga en single track-modell. Den parametersätts sedan utifrån genomförda mätningar på bilens acceleration och position då olika styrsignaler sätts ut till bilen. För att beräkna en referenstrajektoria används bilmodellen. Detta görs offline och modellen kan användas i regulatorn om så krävs. Ett referensinterface används för att online kunna hantera informationen om trajektorian på ett enkelt sätt. Ett blockschema över hela mjukvarustrukturen ses i figur??.

7 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 3 Bilmodell offline bilmodell reducerad trajektoria online Trajektoriaoptimering Baninformation Referensinterface Handkontroll x x ref, u offline Tracking ˆx Regulator u Radiomodul Figur 2: Blockschema beskrivande signalflödet mellan de olika delsystemen. 5 Bilmodellering RC-bilarna som används i projektet är tillverkade av företaget Kyosho. Bilarna är av modellklassen dnano och är i skalan 1:43. Bilens mått är 107x50x27 mm och väger cirka 40 gram. Projektet har haft tillgång till två sorters bilmodeller men har endast arbetat med en av dem, närmare bestämt bilmodellen Lamborghini Murcielago. RC-bilarna består av en plastkaross och ett chassi. På chassit sitter fyra gummidäck, ett styrservo och en elmotor. Gummidäcken slits med tiden, vilket inte tagits i beaktning i modellen. Styrservot är kopplat till framdäcken och styrs via styrsignalen (u s [ 1, 1]). Elmotorn sköter via gas-/bromssignal (u g ) acceleration, inbromsning och back. På mitten av chassit sitter det batteri som driver elmotorn. Utifrån Almroths sommarprojekt [?] (hädanefter benämt sommarprojektet) har en redan framtagen modell av bilens dynamik utvärderats. Sommarprojektet utgick från en single track-modell med ett framhjul och ett bakhjul. Genom friläggning och kända modeller skapades sedan en modell för RC-bilen. Under sommarprojektet verifierades även modellen

8 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 4 Figur 3: Friläggning av bilen. Figur 4: Bilens olika rörelsevektorer. i olika arbetsområden. Nedan följer härledningen av de delmodeller, se?? -?? som sommarprojektet kom fram till. Slutligen återfinns modellen i sin helhet,??, samt ett stycke om hur modellen kan förbättras, se??. 5.1 Rörelseekvationer Med hjälp av figur?? och?? kan följande rörelseekvationer tas fram: a x = V x V y Ω z (1) a y = V y + V x Ω z (2) Med hjälp av ekvation (??) och (??) får man följande ekvationer: m( V x V y Ω z ) = F xf cos δ f + F xr F yr sin δ f (3) m( V y + V x Ω z ) = F yr + F yf cos δ f + F xf sin δ f (4) Ekvation (??) beskriver bilens girvinkelacceleration. I z Ωz = l 1 F yf cos δ f l 2 F yr + l 1 F xf sin δ f (5) Vektorerna som beskriver hastighet och acceleration måste emellertid projiceras på det globala koordinatsystemet, vilket tydliggörs i figur??. Ekvationerna som beskriver rörelsen i de globala koordinaterna, ˆX och Ŷ, blir enligt (??) till (??):

9 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 5 Y x Y y X X Figur 5: Bilens koordinatsystem,{ˆx,ŷ}, i det globala koordinatsystemet,{ ˆX,Ŷ }. V X = V x cos θ + V y sin θ (6) V Y = V x sin θ V y cos θ (7) 5.2 Konstanter Nödvändiga konstanter för att modellen ska bli komplett bestämdes också i sommarprojektet. Med hjälp av en brevvåg bestämdes bilens totala massa samt hur den var fördelad på fram- och bakhjul. När massfördelningen var bestämd kunde man med hjälp av linjal bestämma avstånden från däcken till masscentrum, l 1 och l 2. Genom tiptest kunde man sedan bestämma höjden h. Slutligen bestämdes även friktionskoefficienten µ genom att hindra hjulen att rulla och sedan sakta öka planets lutning. 5.3 Krafter på däcken För att bestämma de olika krafterna på däcken delades krafterna på däcken upp i komposanter, vilket resulterade i longitudinell, x-led, och laterall dynamik, y-led Longitudinell dynamik För att modellera F xr gjordes accelerationstester. F xf sattes dock till noll i och med att bilen endast drivs med bakhjulen och att friktionskraften på framdäcken negligeras. Utifrån dessa accelerationstester anpassades två polynom enligt (??), ett för acceleration och ett för broms. a x = AV 2 x + BV x + Cu g V x + Du 2 g + Eu g (8)

10 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 6 Figur 6: Friktionsellipsen Lateral dynamik För att bestämma de laterala krafterna på däcken användes friktionsellipsen, se figur??. Utifrån denna får man den maximala laterala kraften för olika slippvinklar, α, givet longitunell kraft. Sambandet mellan longitudinell kraft, F x, maximal longitudinell kraft, F xmax och maximal lateral kraft F y0 (α), kan approximeras av (??). ( ) 2 ( ) 2 Fy Fx + = 1 = F y = F y0(α) F y0 (α) F xmax 1 ( Fx F xmax ) 2 (9) För att ta reda på den maximal kraften mellan underlaget och däcken i x-led, F xmax, multipliceras friktionskoefficienten med normalkraften, se (??). Normalkrafterna på däcken beräknas enligt (??) och (??). F xmax = µw r (10) W f = l 2W L h L ma x (11) W r = l 1W L + h L ma x (12) F y0 (α) modellerades med hjälp av Magic Formula (MF), se (??). Konstanten D, vilket är den maximala kraften i y-led, valdes att inte användas direkt utan istället beräknas som D f = µw f respektive D r = µw r. I och med att datan från kamerorna i taket inte är fullt tillförlitliga så har dessutom en konstant A lagts till som osäkerhetsparameter, se (??).

11 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 7 F y0 (α) = D sin(c arctan (Bα E(Bα arctan(bα)))) (13) F y0 (α) = D sin(c arctan (B(α + A) E(B(α + A) arctan(b(α + A))))) (14) 5.4 Slippvinklar Slippvinklarna α r och α f är vinklarna mellan de riktningar som hjulen pekar i och de rullande hjulens faktiska färdrikting. Utifrån figur?? så härleddes dessa vinklar enligt (??) och (??). ( ) l1 Ω z + V y α f = δ f arctan V x ( ) l2 Ω z V y α r = arctan V x (15) (16) 5.5 Styrvinkel För att modellera styrvinkeln mättes vinkeln som ställdes ut för olika styrsignaler. I modellen som togs fram i sommarprojektet fanns en offset med. Denna offset är dock en trimparameter som används för att bestämma hur snett hjulen står när man inte ger någon styrsignal alls. För slutgiltiga sambandet se??. 5.6 Tröghetsmoment Utifrån ekvation (??) fick man fram hur man skulle beräkna tröghetsmomentet för bilen. Omskrivningen gav sedan (??). I z = l 1F yf cos δ f l 2 F yr + l 1 F xf sin δ f Ω z (17) 5.7 Bilmodellen i helhet Utifrån den parametersättning som gjordes under sommarprojektet samt ovanstående delmodeller blir den totala bilmodellen enligt (??) Rörelseekvationer V x = F xf cos δ f + F xr F yf sin δ f m V y = F yf cos δ f + F yr + F xf sin δ f m + V y Ω z (18) V x Ω z Ω z = l 1F yf cos δ f l 2 F yr + l 1 F xf sin δ f I z V X = V x cos θ + V y sin θ V Y = V x sin θ V y cos θ

12 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Konstanter Här följer en tabell över konstanterna som bestämdes i sommarprojektet. Tabell 1: Tabell över fysikaliska konstanter till modellen Konstant Förklaring Värde m Bilens massa kg L Avståndet mellan fram- och bakhjul m l 1 Avståndet från masscentrum till framhjulet m l 2 Avståndet mellan masscentrum och bakhjulet m h Tyngdpunktens höjd 0.01 m µ Friktionskoefficienten 1.1 I z Tröghetsmomentet kgm Krafter F y = F y0 (α) 1 ( ) 2 Fx F xmax F xr = ma x = m(a 1 V 2 x + B 1 V x + C 1 u g V x + D 1 u 2 g + E 1 u g ) (u g 0) F xr = ma x = m(a 2 V 2 x + B 2 V x + C 2 u g V x + D 2 u 2 g + E 2 u g ) (u g 0) Tabell 2: Konstanter till krafterna i x-led på bakdäcket Konstant Värde A A B B C C D D E E F xf = 0 F xmax = µw W f = l 2W L W r = l 1W L h L ma x + h L ma x F y0f (α) = µw f sin(c f arctan (B f (α + A f ) E f (B f (α + A f ) arctan(b f (α + A f ))))) F y0r (α) = µw r sin(c r arctan (B r (α + A r ) E r (B r (α + A r ) arctan(b r (α + A r )))))

13 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 9 Tabell 3: Konstanter till Magic Formula Konstant Värde A f B f C f E f A r B r 5.7 C r E r Slippvinklar ( ) l1 Ω z + V y α f = δ f arctan V x ( ) l2 Ω z V y α r = arctan V x Styrvinkel δ f = C 1 u s + C 0 [ ] δ f,max = ±22 [ ] Tabell 4: Konstanter till styrvinkelsmodellen Konstant Värde C C Validering av sommarprojektets modell Modellen validerades utifrån det material som gruppen tillhandahållit vid projektets start, se Validering av sommarprojekt[?]. Den givna modellen från sommarens projekt gav tillfredställande resultat och kunde användas som modell i detta projekt. 5.9 Utvecklingsmöjligheter Överlag stämmer modellen från sommarprojektetetl väl överens med RC-bilens dynamik. Det finns dock vissa förbättringsmöjligheter. Modellen har sina brister, främst vid låga gaspådrag. Genom att ta fram en adaptiv modell som har olika parametrar, som beror på till exempel hur fort bilen åker, skulle modellen kunna bli mer noggrann. Vidare skulle en adaptiv modell tas fram för både batteri- och däckslitage. För att kunna göra detta måste man först få en uppfattning om hur mycket och på vilket sätt respektive del slits med tiden.

14 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 10 6 Beräkning av tidsoptimal trajektoria Detta delsystem beräknar den trajektoria runt banan, som regulatorn använder som referens. Optimeringen beräknas med hjälp av en bilmodell och en parametrisering av banan som bivillkor. Bilmodellen beskrivs i Modelica och optimeringsvillkoren beskrivs i Optimica, som är ett tilläggsspråk till Modelica. JModelica kompilerar Modelica- och Optimica-modellerna/-skripten, och omvandlar det till ett Non-Linear Programming (NLP) problem som sedan löses av lösaren IPOPT. IPOPT genererar den optimala trajektorian om en sådan existerar. Flödet för detta kan ses i figur??. Fordonsmodell Modelica JModelica IPOPT Bivillkor Optimica Optimal Trajektoria Figur 7: Informationsflöde för att beräkna optimal trajektoria med JModelica. 6.1 Ingående mjukvaror För att lösa optimeringsproblemet används följande mjukvara: ˆ JModelica.org Ett open source-verktyg som är baserat på programmerings-/modelleringsspråket Modelica. Det används för att modellera, simulera och optimera dynamiska system. JModelica.org innehåller även stöd för Optimica, vilket är ett tillägg till Modelica som ger möjlighet att optimera systemet. För att optimera systemet innehåller JModelica även den icke-linjära optimeringslösaren IPOPT. ˆ Python Ett programmeringsspråk med goda skriptmöjligheter som används för att kompilera och optimera modellerna och för att presentera resultaten. Python används med paketen: NumPy Lägger till stöd för stora multidimensionella arrayer och matriser och även matematiska funktioner för att manipulera dessa. SciPy Lägger till stöd för många matematiska och tekniska funktioner som liknar matlab. matplotlib Lägger till stöd för plottar och grafer i matlab-stil. IPython

15 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 11 Ett interaktivt skalprogram som lägger till lite extra funktionalitet. PyReadline Lägger till funktionalitet för att redigera i kommandoraden. 6.2 Implementation av optimeringsproblem i JModelica.org Ett optimeringsproblem ställs upp på följande form: min tf 0 (u u 2 2) dt s.a. ẋ = f(x(t), u(t)) g(u(t), x(t)) 0 x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f u min u u max t [t 0, t f ] där u(t) är styrsignaler, t f är tiden då bilen når mållinjen, x(t) är tillstånden i modellen, g(u, x) är optimeringsproblemets villkor, u min och u max är minsta respektive största tillåtna värde på styrsignalen, t 0 är starttiden och x 0 är tillstånden vid tidpunkten 0. Detta kan implementeras i Optimica enligt: optimization Opt Model starttime = 0, finaltime = t f, (objective = costfunction, // Tillstånd Real x1(start=x1 0,fixed=true); Real x2(start=x2 0,fixed=true);... // Styrsignaler input Real u1(free=true, min=u1 min, max=u1 max); input Real u2(free=true, min=u2 min, max=u2 max);... // Modellekvationer equation der(costfunction) = u1 2+u2 2

16 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 12 der(x1) = f1(u1,u2,...,x1,x2,...); der(x2) = f2(u1,u2,...,x1,x2,...);... // Optimeringsvillkor constraint 0 <= g1(u1,u2,...,x1,x2,...); 0 <= g2(u1,u2,...,x1,x2,...);... x1(finaltime) = x1 f; x2(finaltime) = x2 f;... end My Opt; 6.3 Lösning av optimeringsproblemet Efter att Modelica/Optimica-modellen har skapats behöver den kompileras till ett JMUobjekt som sedan optimeras med hjälp av IPOPT-lösaren. Detta gör man med hjälp av pythonscript. # Importera funktionen för kompilering av modeller och JMUModel-klassen from pymodelica import compile_jmu from pyjmi import JMUModel # Kompilera modellen (<Modellnamn> och <Modellfil> byts ut mot passande namn) jmu_name = compile_jmu(<modellnamn>,<modellfil>) # Ladda modellen opt_mod = JMUModel(jmu_name) # Optimera modellobjektet m.h.a IPOPT om inget annat anges res = opt_mod.optimize() # Plocka ut variabelvärden (exempel på variabelnamn, kan vara andra i modellen) x1=res[ x1 ] x2=res[ x2 ] u=res[ u ] t=res[ time ] Variablerna returneras i form av numpy-arrayer som sedan tas om hand på önskat sätt. De kan plottas med hjälp av matplotlib-biblioteket eller så kan de skrivas ut till en textfil och användas tillsammans med referensinterfacet för att styra bilen i det autonoma läget.

17 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Banparametrisering För att optimeringslösaren ska känna till vilka positioner i x- och- y-led som är tillåtna, och vilka positioner som är utanför sargen, behöver banan parametriseras. Nedan beskrivs metoden som använts för att implementera dessa bivillkor som constraints i Optimica Kontinuerliga begränsningar Banan kan beskrivas med hjälp av ellipser som representerar sargerna på banan. Dessa ellipser blir förbjudna områden i optimeringsproblemet och villkoren formuleras så att bilen vid varje tidpunkt måste befinna sig utanför alla ellipserna. Figur?? nedan visar de ellipser samt bivillkor som använts i optimeringen. För att bilen inte ska riskera att slå i väggen under autonom körning finns det en extra marginal i ellipserna. Banan som referensen håller sig innanför är alltså smalare än den verkliga banan. Denna marginal är satt till mellan 8 och 12 cm runt hela banan. På start- och målrakans ytterkant sattes marginalen til 12 cm p.g.a. oscillationer då bilen kör på raksträckor. Ellipserna beskrivs av ekvationen ( ) n ( x r n xi y yi + a i Där (x i, y i ) är ellipsens centrum och a i och b i är halvaxlarnas längder. Kraven formuleras som optimeringsvillkor i optimica som r^n <= ((x - xi)/ai)^n + ((y - yi)/bi)^n; Sedan måste bilen även hålla sig innanför de yttre väggarna. Detta är väldigt enkelt att implementera som direkta gränser på x- och y-position. x >= xmin; y >= ymin; x <= xmax; y <= ymax; b i ) n 6.5 Optimeringsmetoder och initialgissning För att lösa ett optimeringsproblem krävs en initialgissning som optimeringslösaren utgår ifrån innan den börjar söka den optimala lösningen. Eftersom detta optimeringsproblem är väldigt ickekonvext krävs en god initialgissning för att problemet ska kunna lösas. Den nya mer avancerade bilmodellen försvårar optimeringsproblemet ytterligare. För att lösa detta kan optimeringsproblemet behöva delas upp i mindre delar, alternativt förenkla modellen eller använda sig av en uppstyckad bana med förenklad modell. I projektet har flera metoder testats för att komma fram till en bra gissning och dessa metoder och deras utfall beskrivs nedan Stegvis utökning av optimeringshorisont En metod som testades var att börja optimera endast en kort del av banan. Sedan användes resultatet av denna optimering som initialgissning till en optimering av en lite längre del av banan. Tanken var att fortsätta likadant till dess man kunde optimera hela banan.

18 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 14 Figur 8: Skiss över hur banans väggar kan representeras med ellipser. Ellipserna här är av ordning 6. De röda linjerna är de begränsningar som använts i optimeringen och de blå linjerna representerar de verkliga väggarna. Denna metod blev tyvärr för svår att använda i praktiken. När en ny bana innehöll en ny hårnålskurva som inte var med i gissningen så hade gissningen troligtvis helt fel hastighet in i denna kurva vilket gjorde att det var omöjligt att hitta en lösning med denna initialgissning. Därför fick vi testa andra tillvägagångssätt Överlappande Den andra metoden som testades var att börja med att optimera en kort del av banan, sedan optimera över en ny del av banan som överlappar med den första och använda andra delen av första optimala lösningen som initialgissning till denna optimering. Sedan förskjuts banan som ska optimeras över mer och mer till dess man har täckt in hela banan. Då sätter man ihop dessa lösningar till en stor initialgissning till hela problemet. Denna metod var inte heller så smidig i praktiken då det var väldigt svårt att koppla ihop de olika banorna och det lång tid att lösa varje enskilt optimeringsproblem. De blev inte särskilt bra som initialgissningar Minimering av styrsignalerna En tredje metod som vi testade var att istället för att lösa ett sluttidsproblem så minimerade vi följande kostnadsfunktion t f 0 (u2 g + u 2 s) dt där sluttiden t f är fix. Detta är ett enklare problem än sluttidsproblemet och det tar avsevärt kortare tid för IPOPT-lösaren att hitta en lösning. Med detta problem fungerar det att göra en stegvis utökning av optimeringshorisonten tills hela banan kan optimeras. Då sänker man den fixa sluttiden och optimerar igen och itererar tills en lösning inte längre hittas. Då kan man använda den senaste lösningen som en initialgissning till ett sluttidsproblem då denna trajektoria bör

19 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 15 vara nära optimal. I projektet har det sista steget inte gjorts eftersom lösningen på det enklare problemet är tillräckligt bra och även i någon mening optimal. Viss handpåläggning har varit nödvändig för att få banan kontinuerlig i start- och slutpunkten i hastighet, position i y-led, vinkel och de båda styrsignalerna. Detta har gjorts genom att sätta bivillkor på start- och slutpunkter i optimeringskoden [?] Slutgiltig metod För att komma fram till den slutgiltiga lösningen kombinerades metoderna beskrivna i?? och??. Tiden det tagit för att lösa optimeringsproblemen har handlat om max några minuter. När trajektorian skapats med hjälp av stegvis utökning av optimeringshorisont har antalet lösningspunkter sänkts för att minska på lösningstiden. Först när optimala trajektorian har tagits fram utökas antalet lösningspunkter för att erhålla en tätare referens. Antalet referenspunkter som använts i detta projekt har varit Utvecklingsmöjligheter Som nämnt ovan i?? finns i nuläget marginaler runt banan på mellan 8 och 12 cm. Om regulatorn förbättras så att oscillationerna på framförallt raksträckorna försvinner så kan extramarginalerna kring banan eventuellt minskas. Detta skulle leda till att bilen får mer utrymme och kan utnyttja en större del av banan. 6.7 Resultat och diskussion I figur?? och i figur?? kan vi se plottar av den optimala trajektorian respektive referenser för intressanta variabler i den optimala lösningen. Körprofilen av den optimala trajektorian ser bra ut och överensstämmer med vad som intiutivt känns som det snabbaste spåret. Vad gäller styrsignalerna så har vi mjuka övergånger i gaspådrag och styrning. Sluttiden av den optimala trajektorian är 5.23 sekunder, medan den snabbaste tiden som uppnåtts i verkligheten är 6.45 sekunder. Denna skillnad kan förklaras med att modellen överskattar bilens hastighet en aning. 6.8 Gränssnitt I optimeringen användes bilmodellen framtagen i avsnitt?? samt en parametrisering av banan enligt metoden beskriven i avsnittet??. Resultatet från optimeringen sparas ner i en textfil och konverteras med hjälp av ett pythonscript till de format som regulatorn vill ha referenserna i. 7 Regulator Regulatorns uppgift är att se till att bilen följer den tidsoptimala trajektorian i en så hög hastighet som möjligt samtidigt som systemet förblir robust och stabilt. Beroende på var bilen befinner sig på banan måste regulatorn ställa ut olika hastigheter och styrvinklar. 7.1 Regulatorstruktur Regulatorn har implementeras som en linjär tillståndsåterkoppling, enligt (??), där ẑ är de storheter som regleras. Värdet på återkopplingsmatrisen L har beräknats genom

20 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 16 Figur 9: Plot av den optimala trajektorian. De röda linjerna representerar de begränsande ellipser och ytterväggar som använts i optimeringen, medan de blå linjerna representerar de verkliga väggarna. Figur 10: Plot av states och styrsignaler i den optimala trajektorian.

21 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 17 minimering av linjärkvadratiska kriterier (LQ-teknik) i offlineläge. LQ tekniken bygger på att man bestämmer värden på straffmatriserna Q och straffar avvikelser i storheterna man försöker reglera, samt R som avgör hur stora styrsignaler regulatorn får ställa ut. Ett flödesschema som beskriver det tillståndsåterkopplade systemet visas i figur??. Regulatorn innehåller inte bara en återkoppling, utan består även av en framkopplingslänk från referensinterfacet, u offline. Denna utgörs av de styrsignalerna optimeringslösningen har bestämt att bilen ska hålla i varje punkt. Framkopplingslänken medför att regulatorn kan följa referensbanan snabbare och med tydligare stabilitesmarginaler. Regultorn består av fem tillstånd: ˆ Bilens hastigheten i x-led, v x. ˆ Bilens hastigheten i y-led, v y. ˆ Bilens vinkelhastighet, Ω. ˆ Avståndet mellan bilens önskade och verkliga position r e. ˆ Skillnaden mellan referensvinkeln och bilens nuvarande vinkel, θ e. u = u offline + L( ẑ + r) (19) ẑ är de värden på de fem tillstånden som kalman-filtret mäter upp. ẑ tas fram i referensinterfacet genom olika omräkningar av de globala koordinaterna, se Referensinterface för mer utförlig beskrivning. r är värden på de fem tillstånden som optimeringslösningen har räknat fram att bilen måste ha för att bilen ska kunna köra runt på den optimala tjaketorian. Vanligtvis så regleras felet mellan r och z och då ställer regulatorn ut en styrsignal för att minimera detta fel. Här används även en framkopplinglänk som har beskrivts innan. Referensinterface u offline r L Lr u Bil Lẑ L ẑ Referensinterface Figur 11: Blockschema beskrivande det tillståndsåterkopplade systemet. 7.2 Bilmodell för regulatorsyntes För att kunna användaen LQ-regulator, har en linjär modell som beskriver hur regulatorn påverkar bilens tillstånd via styrsignalerna tagits fram. Modellen består av fem tillståndsvariabler. Dels de som beskriver bilens dynamik, givna av (??) och dels de storheter som är definierade i figur??. Vid framräkningen av rörelseekvationerna har en del antaganden och approximationer, enligt (??), gjorts. Dessa approximationer är giltiga vid

22 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 18 Figur 12: Variabler som är intressanta för regulatorn. små värden på styrvinkeln δ f. Avståndsskillnader mellan bilens nuvarande position och referensbanan betraktas som positiva då bilens masscentrum befinner sig till vänster om referensbanan och negativa när bilen är placerad till höger om referensbanan. F xf 0 (20) F yf c αf α f F yr c αr α r sin(δ f ) δ f cos(δ f ) 1 δ f c f u s α f δ f l 1Ω z + V y V x α r l 2Ω z V y V x 7.3 Härledning av rörelsemodellen och övriga storheter I detta avsnitt visas hur rörelseekvationerna angivna av (??), med antaganden och approximationer enligt (??), tagits fram. I nedanstående härledningar har endast fallet för u g 0 behandlats. Detta innebär att det förutsätts att dynamiken är samma för acceleration som för inbromsning.

23 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Hastigheten i x-led V x = F xr F yf sin(δ f ) m + V y Ω = (21) =AV 2 x + Du 2 g + BV x + Cu g V x + Eu g c αf α f sin(δ f ) m =AVx 2 + Du 2 g + BV x + Cu g V x + Eu g c αf (δ f Ωzl1 V x m =AVx 2 + Du 2 g + BV x + Cu g V x + Eu g c αf (c f u s Ωzl1 V x m Hastighten i y-led + V y Ω z = Vy V x )δ f Vy V x )c f u s + V y Ω z = + V y Ω z Vinkelhastigheten V y = F yf cos(δ f ) + F yr m = c αf α f + c αr α r V x Ω z = m = c αf (c f u s l1ωz+vy l V x ) + c 2Ω z V y αr V x m V x Ω z = (22) V x Ω z Ω z = l 1F yf cos(δ f ) l 2 F yr I z = (23) = l 1c αf α f l 2 c αr α r I z = = l 1c αf (c f u s l1ωz+vy l V x ) l 2 c 2Ω z V y αr V x I z Avståndet mellan bilens önskade och verkliga position Förändringshastigheten för r e (ṙ e ) antas vara projektionen av hastighetsvektorn på referensbanans normal. ṙ e = sin(θ e )V x + cos(θ e )V y (24) Skillnaden mellan referensvinkeln och bilens nuvarande vinkel Hur denna defineras visas i figur??. θ e = θ ref θ (25)

24 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Olinjär regulatormodell Den olinjära modellen för dynamiken blir då: V x = AVx 2 + Du 2 g + BV x + Cu g V x + Eu g c αf (V x c f u s Ω z l 1 V y )c f u s V x m V y = c αf (V x c f u s l 1 Ω z V y ) + c αr (l 2 Ω z V y ) V x Ω z V x m Ω z = l 1c αf (V x c f u s l 1 Ω z V y ) l 2 c αr (l 2 Ω z V y ) V x I z ṙ e = sin(θ e )V x + cos(θ e )V y θ e = Ω z + V y Ω z (26) Mätningarna för de fem tillstånden skapas i referensinterfacet och mätekvationen h(x) kan då skrivas, y = h(v x, V y, Ω z, r e, θ e ) = V x V y Ω z r e θ e där y är de (transformerade) mätningar som regulatorn får. (27) 7.5 Linjäriserad modell För att få en linjär modell så linjäriseras modellen ovan kring en viss arbetspunkt [x, u ]. För att linjärisera på ett smidigt sätt så definieras tillståndsvektorn som x = [ Vx V y Ω z r e θ e ] T och insignalvektorn till u = [ ug u s ] T. Modellen kan då skrivas som ẋ = f(x, u) (28) y = h(x) (29) där AVx 2 + Du 2 g + BV x + Cu g v x + Eu g c αf (V xc f u s Ω zl 1 V y)c f u s V xm + V y Ω z c αf (V xc f u s l 1Ω z V y)+c αr(l 2Ω z V y) V xm V x Ω z f(x, u) = l 1c αf (V xc f u s l 1Ω z V y) l 2c αr(l 2Ω z V y) V xi z sin(θ e )V x + cos(θ e )V y Ω z (30) och x 1 x 2 h(x) = x 3 x 4 x 5 är vektorvärda funktioner. Linjäriseringen sker kring arbetspunkten x = [ Vx Vy Ω z 0 0 ] T samt u = [u g u s] T och beräknas med hjälp av första ordningens Taylorutveckling enligt ẋ f(x, u ) + f(x, u) x (x x ) + x=x,u=u f(x, u) u (31) (u u ) (32) x=x,u=u

25 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 21 y y(x ) + h(x) x x=x (x x ) (33) På matrisform blir modellen enligt (??). a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 b 11 b 12 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 q = a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 q + b 21 b 22 b 31 b 32 b 41 b 42 w (34) a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 b 51 b ỹ = q där q = x x och w = u u samt a ij = fi x j och b ij = fi u j utvärderade i x och u. Dessutom är ỹ = y y(x ). Värdena för dessa återfinns i Appendix?? Bestämning av jämviktspunkter Regulatorn kommer att försöka styra systemet mot r e = 0 och θ e = 0, varför dessa värden har valts som arbetspunkt vid linjäriseringen. Övriga tillstånd har ingen konstant arbetspunkt att linjärisera kring, utan dessa har erhållits genom att testa olika jämviktspunkter. Linjärisering har skett i x = [ ] T och i u = [ ] T. Denna linjäriseringspunkt valdes eftersom den är nära medelvärdet för referensens tillstånd och styrsignaler Straff- och återkopplingsmatriser Med de valda linjäriseringspunkterna skapades matrisen L med dessa värden på straffmatriserna Q och R: Q = R = [ ] Det gav föjande L-matris: [ ] L = Gränssnitt I detta avsnitt beskrivs all information som regulatorn använder och skapar.

26 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Intressanta storheter ˆx ẑ y v ref u offline u L Skattade tillståndet hos bilen. Kommer från målföljningssystemet. De intressanta reglerstorheterna. Mätsignaler som används av regulatorn. Referenshastigheten för bilen. Offlineberäknade styrsignaler. Används i framkoppling. Önskade styrsignaler. Bestäms med LQ-teknik. 8 Referensinterface För att regulatorn ska få de skattade tillstånd som den behöver, byggdes filtret om. Filtret består numera av ett EKF, till skillnad mot tidigare då filtret utgjordes av tre stycken EKF. Det nya filtret skattar bilens hastighet, position, girvinkel och girhastighet i globala koordinater. Alltså Ẋ, Ẏ, X, Y, θ och θ. Referensinterfacet är det system som sköter kommunikationen mellan regulator och referenstrajektorian, se figur??. Givet de skattningar av tillstånden som trackingssystemet ger räknar referensinterfacet om de globala hastigheterna till hastigheter i bilens lokala koordinater. Med dessa nya tillstånd samt referenstrajektorians värden, skickar referensinterfacet mätningar som regulatorn återkopplar från. De mätningar som regulatorn får från referensinterfacet beskrivs i ekvation (??) till (??). v x = v X cos θ + v Y sin θ (35) v y = v X sin θ v Y cos θ (36) Ω z = θ (37) r e = ± XY bil XY ref (38) θ e = θ bil θ ref (39) där XY i är positionen i globala koordinatsystemet, v x är hastigheten i bilens longitudinella riktning, v y är hastigheten i bilens transversella riktning samt θ i som är vinkeln mellan bilens longitudinella riktning och den globala X-axeln (i {bil, ref}). För att avgöra vilken referenspunkt som ska användas tar referensinterfacet den punkt där avståndet mellan trajektorian och bilens masscentrum är som minst. Dessutom innehåller referensinterfacet även styrsignalerna från optimeringslösaren. Med hjälp av detta har en framkopplingslänk till regulatorn implementeras. 8.1 Gränssnitt I detta avsnitt beskrivs vilka in- och utsignaler interfacet arbetar med för att interagera med de olika delsystemen.

27 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Insignaler från offlinesystemet trajektoria Information om referenstrajektorian läses in från en fil som optimeringslösaren skapat Insignaler från onlinesystemet x Tillståndet för bilen från trackingssystemet Utsignaler till onlinesystemet y x ref u offline Mätsignaler till regulatorn. Referenstillstånd för bilen. De styrsignaler som optimeringslösaren beräknat offline. 9 Filer Då systemet körs så krävs det ett antal filer som programmet kan läsa in information från och samtidigt skapas det filer med olika data under en körning. Detta avsnitt beskriver dessa filer, deras funktion samt det format på vilka de är skrivna. Om inget annat nämns så ligger filerna i katalogen C:\Temp\OSARR som är en katalog på C-disken på datorn i bilbanelabbet. Filerna ligger kvar vid omstarter av datorn. 9.1 Inläsningsfiler Det finns tre typer av filer som måste finnas för att det ska gå att köra applikationen serial.txt För att kunna kompensera för olinjäriteter i linserna så måste programmet läsa in kalibreringsdata för de två kamerorna. Detta görs från de två filerna serial.txt där serial bytts ut mot kamerans serienummer. Dessa serienummer finns antecknade på lappar vid varje kamera. De två filerna måste ligga i samma katalog som den körbara filen. Det exakta formatet på dessa filer finns antecknade i den tekniska dokumentationen för Racetrack [?] ref.txt Denna fil innehåller all information om referenstrajektorian med tillhörande styrsignaler. Referensen är uppdelad i ett antal diskreta punkter, och dessa punkter ska vara nerskrivna i rätt ordning för att programmet ska kunna läsa in referenspunkterna korrekt. Den första punkten ska alltså vara först i filen, och sedan kommer nästa punkt och så vidare. Formatet (ordningen) på punkterna i filen är: x y V x V y θ Ω u g u s Ett exempel på några rader ur en referensfil ses nedan:

28 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil track.txt I denna fil ska banan definieras genom att man definierar upp de polygoner som banan består av. En polygon kan antingen vara en yttre begränsning (markerat med o ) eller en inre begränsning (markerat med i ). Om bilen är på banan så är den innanför de yttre polygonerna utanför de inre polygonerna. Det är viktigt att första och sista punkten i en polygon är samma! Om man har en kvadrat med en punkt i varje hörn så ska fem punkter anges, där två är exakt samma. Formatet i filen är ID typ X Y där typ betecknar om det är en inre eller yttre polygon, ID anger att punkten tillhör en viss polygon (flera inre och yttre polygoner kan definieras), X är punktens x-koordinat och Y är punktens y-koordinat. Exempel på hur delar av en sådan fil kan se ut ses nedan o o o i i i Skapade filer Programmet skapar filer under körning där olika information sparas ned för senare behandling. I alla dessa filer är variablen f ramecount ett index som visar vid vilken tidsinstans som informationen sparades fromcam0.txt Denna fil innehåller information om de markörer som den första kameran detekterat för bilarna. De markörer som sparas undan är de två bakre samt den främre (de markörer som definierar bilen) och informationen sparas på formatet framecount carid front x front y rear left,x rear left,y rear rigth,x rear right,y där carid är bilens ID (för mer information om dessa, se Racetrack-dokumentationen) och sedan kommer x- och y-koordinater för frontmarkör, bakre vänstra och slutligen bakre högra. Kamera noll har serienummer Filen inleds med en header på två rader och kan se ut som Outputfile on the format: framecount carident frontx fronty leftrearx leftreary rightrearx rightreary

29 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil fromcam1.txt Analogt med föregående avsnitt, men för den kamera ett. Kamera ett har serienummer refmeas.txt De mätsignaler som referensinterfacet skapar sparas ner till en fil. Filen börjar med en header på två rader och sedan så lagras datan på formatet framecount V x V y Ω z r e θ e v x,ref v y,ref Ω z,ref u g u s Ett exempel på hur filen kan se ut ses nedan Measures from reference interface framecount v x v y omega z re th v xref v yref omega zref ug us state.txt Bilarnas tillstånd som skattas av applikationen sparas ner till denna fil för att i efterhand få information om hur estimeringsalgoritmerna har presterat. Hela tillståndsvektorn sparas ner. Filen inleds med en header på två rader och sedan kommer tillstånden på formen framecount carid X Y v x v y Ω z θ och ett exempel på hur denna fil kan se ut ges nedan Outputfile on the format: framecount carident X Y v x v y yawr yaw Bibliotek För att kunna köra programmet krävs även två.dll-filer. Dessa ska ligga i samma katalog som programmet och de används till det grafiska gränssnittet. De två filerna är ˆ opencv core230.dll ˆ opencv highgui230.dll

30 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil Programkod I projektet har en mängd programkod tagits fram för systemet. Detta innefattar såväl implementering av själva applikationen i C++-kod, men även implementering av funktioner i Matlab för att simulera, testa och utvärdera systemet. I detta kapitel kommer en översikt av funktioner och klasser att ges C++ I detta projekt har vi i styrsystemet implementerat den nya modellen i redan existerande ramverk. Nedan redovisas de ändringar och tillägg som utförts och den som är intresserad av en mer detaljerad genomgång av styrsystemets struktur hänvisas till OSARRs tekniska dokumentation [?]. För en fullständig beskrivning av programkoden för estimering och gränssnitt hänvisas till dokumentationen av Racetrack [?]. All kod för styrsystemet körs i en tråd som kallas regulator och är en av tre trådar för hela programmet. De andra två är main och draw som sköter tillståndsskattning respektive GUI. Dessa tre trådar synkroniseras mot varandra varje sampel och om någon av trådarna låser sig eller tar för lång tid att slutföra så påverkar det hela applikationen. I avsnitten nedan redovisas de klasser som justerats och vilka ändring som implementerats Controller Denna klass implementerar den huvudsakliga funktionaliten hos regulatorn. Innehåller medlemsfunktioner för att beräkna den önskade styrsignalen. Vilken regulator som skall väljas (alltså i detta fall LQ eller ManualController) avgörs även av medlemsfunktioner i denna klass. Det är i princip bara två funktioner som användaren behöver anropa för att kunna använda objekt av klassen. Dessa är addcontrollertype(controllertype*) och updatestate(). Den första av dessa lägger till en ny regulator typ medan den andra uppdaterar det nuvarnade tillståndet i regulatorn (måste göras varje sampel). Mätningar fås från ett objekt av klassen RefInterface ControllerType För att kunna använda olika typer av regulatorer så har denna klass implementerats. Det är en så kallad pure virtual klass som innebär att inga instanser av denna klass kan skapas, utan enbart klasser som ärver denna klass kommer användas LQ Är en underklass till ControllerType och implementerar funktionaliteten hos en LQregulator som använder en framkopplingslänk från styrsignaler som beräknats offline RefInterface Denna klass är implementerad för att sköta hanteringen av online-systemets krav på information om referenstrajektorian. Objekt av klassen läser in informationen från referensfilen och har medlemsfunktioner för att skapa de mätningar som regulatorn behöver. För att hitta den närmaste referenspunkten så söker algoritmen efter det kortaste avståndet från referenslinjen till bilens centrum. Första gången detta görs så söks hela banan av, medan

31 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 27 enbart ett mindre intervall av banan (kring föregående position) söks av när programmet körs. Denna klass har även medlemsfunktioner som omvandlar de mätvärden som filtret levererar till de states som onlinesystemet kräver. Här sker även en skalning av variabeln v x som onlinesystemet hämtar in från referensfilen. Skalningen har införts för att referensens v x är något överskattad, vilket har lett till att bilen har haft svårt att prestera bra utan denna skalning. Storleken på skalning har varit % ctcv Detta är klassen för rörelsemodellen som använder koordinerad sväng ctcvmarker Detta är klassen för mätmodellen som använder tillstånden som används i ctcv-modellen (coordinated turn cartesian velocity) samt mäter tiden för när sensorerna mäter positionen för IR-markörerna på bilen Matlab För att utvärdera systemts prestanda och simulera delar av applikationen så har funktionalitet i Matlab implementerats. I detta avsnitt kommer de viktigaste filerna redogöras och kort beskrivas framkoppling.mdl Detta är en simulink modell över bilmodellen och regulatorn där simulering och tester kan utföras createref.m Detta skript skapar den referenstrajektoria som används för att verifiera kravet på regulatorn. Kan lätt utökas till att göra godtyckliga trajektorior med raka linjer och cirkelsektorer som element mergeandextract.m Den fil som krävs för att ta in mätsignaler i optimeringslösaren skapas via detta skript. Användaren får välja det tidsinterval som ska sparas ned till en.mat-fil playrun.m När en körning har gjorts kan detta skript köras för att plotta upp information om reglerfel med mera. Man kan även stega igenom alla skattade positioner och på så sätt återskapa körningen offline. Denna fil används främst för att utvärdera regulatorns prestanda.

32 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil readcarpos.m En funktion för inläsning av mätningar från kamerorna. Den returnerar bilens position och riktning för varje tidsinstans som den detekterats av kameran readcontrolsignals.m Läser in de styrsignaler som regulatorn ställt ut under körningen. Om mätningarna ligger utanför intervallet [ 1, 1] så kommer dessa att trunkeras till gränsvärdena (vilket för att bilen aldrig får en styrignal med högre amplitud än 1) readmarkers.m Funktion som läser in bilarnas markörer (de tre markörer som anger att det är en bil). Den läser inte in ID-markörens position. Används om man vill testa filtreringsalgoritmer offline i Matlab readref.m Denna funktion läser in referenstrajektorian så att denna kan användas vid plottning etcetera readrefmeas.m Läser in de mätningar som regulatorn har fått från referensinterfacet. Amvänds om man exempelvis vill utvärda att regulatorn ställer ut korrekta värden readstates.m De tillstånds som skattas sparas ner till filer och kan sedan läsas in med denna funktion. Detta gör att man kan jämföra offline filtrering med den filtrering som gjorts online regmodell.m Denna funktion viktig i framtagning av regulator. Funktion tar fram linjäriseringspunkter och straffmatriser sätts systemvariabler.m Denna fil läser in alla parametrar till bilens modellekvationer för användning i simulinkmodellen framkoppling.mdl matrislinj.m Denna funktion linjäriserar bilmodellen och skapar en linjär modell på tillståndsform.

33 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil lqlinj.m Tillståndsmodellen av bilen, samt straffmatriser läses in och Ricatti-ekvationen löses. Generarar återkopplingsmatrisen L.

34 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 30 Referenser [1] Almroth, M. Modellering av racerbil. Linköpings Universitet, Linköping, [2] Danielsson, H. Vehicle path optimisation. Lunds Universitet, Lund, [3] CDIO projekt OSARR Teknisk dokumentaion, optimal styrning av radiostyrd racerbil, Linköpings universitet, Linköping, 2011 [4] Nielsen, Isak & Kihlberg, Johan Racetrack Technical Documentation v1.0 Linköpings universitet, Linköping, [5] CDIO projekt VOSARR Validering av sommarprojekt, VOSARR Linköpings universitet, Linköping, 2011.

35 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 31 A Appendix A.1 A-matrisen, tillståndsform a 11 = 2AV x + B + Cu g c αf c f u s(ω zl 1 + V a 12 = c αf c f u s mv x a 13 = c αf c f u sl 1 mvx a 14 = 0 a 15 = 0 + Ω z + V y Vx 2 m y ) a 21 = c αf l 1 Ω z + c αf Vy V 2 m a 22 = c αf mv x a 23 = c αf l 1 mvx a 24 = 0 a 25 = 0 x c αr mv x + c αf l 2 mv x c αrl 2 Ω z mv 2 x V x + c αrvy mvx 2 Ω z l1ω 2 z + Vy a 31 = c αf V 2 x I z + c αr l2 a 32 = l 1c αf V x I z + l 2c αr V x I z a 33 = l2 1c αf V x I z l2 2c αr V x I z a 34 = 0 a 35 = 0 2Ω z Vy V 2 x I z a 41 = 0 a 42 = 1 a 43 = 0 a 44 = 0 a 45 = Vx a 51 = 0 a 52 = 0 a 53 = 1 a 54 = 0 a 55 = 0

36 Vidareutveckling av Optimal Styrning av Radiostyrd Racerbil 32 A.2 B-matrisen, tillståndsform b 11 = CV x + 2Du g + E b 12 = 2 c αf c f m b 21 = 0 b 22 = c αf c f m b 31 = 0 b 32 = l 1c αf c f I z b 41 = 0 b 42 = 0 b 51 = 0 b 52 = 0 u s + c αf c f (Ω zl 1 + V y ) V x m