Primitiva funktioner och differentialekvationer
|
|
- Christer Öberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Primitiva funktioner och differentialekvationer Analys360 (Grundkurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet. Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen! Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet! Övning Bestäm den funktion f som uppfyller b) f (x) = a) f (x) = x sin(x ), f (0) = 0, ( + x ) arctan x, lim f (x) = 0. x Använd sedan detta till att beräkna cos n x för n =, 3, 4, 5. Vilken formel får vi om vi byter cos n x mot sin n x? Övning Beräkna integralen cos x genom att göra variabelbytet t = sin x. Ett annat sätt att beräkna den är genom att börja med variabelbytet t = π x och sedan använda formeln för dubbla vinkeln för sinusfunktionen. Gör det också. Ser svaren likadana ut? Hur kan du se att det faktiskt är samma svar? Övning Bestäm alla primitiva funktioner till a) e x sin e x, b) x(x + ) 9, c) x cos x Övning 3 Beräkna integralen x + Övning 3 Bestäm samtliga primitiver till a) 5x 7x + 3 x 3 6x + x 6, b) x 5 + x 4 + x 3 + x, c) x + x + 4x + 6 Övning 4 Bestäm den funktion f som uppfyller f (x) = Övning 5 Bestäm alla primitiver till x + 6 (x ) (x + x + 5), lim f (x) = 0. x x + x x + + x. Övning 6 Finn en primitiv funktion till funktionen f (x) = x 4x + 34 (x + x + 5)(x + x 3). Övning 7 För vilka värden på konstanterna a och b gäller det att är en rationell funktion? ax + b (x )(x + ) Övning 8 Bestäm primitiva funktioner till de två funktionerna arctan x och arcsin x. Övning 9 Bestäm alla primitiva funktioner till a) sin(5x) cos(x), b) sin 4 (x) cos (x), c) e x sin(3x). Övning 0 Bestäm en primitiv till var och en av följande funktioner: a) sin(x) cos 3 x, b) cos x sin x + sin x, c) sin x + cos x. Övning Låt I n (x) vara den primitiva funktion till cos n x som är noll då x = 0. Visa att det gäller att I n (x) = n (sin x cosn x + (n )I n (x). genom att man gör varibelbytet x = tan t. Vilken viktig trigonometrisk formel är det du behöver använda? Du kan använda resultatet i föregående övning. Övning 4 a) Visa att om t = tan x, x < π, så följer att x = arctan t, sin x = t + t och cos x = t + t. b) Använd variabelbytet i a) till att beräknar cos x c) Använd variabelbytet i a) till att beräkna sin x. Anmärkning Detta variabelbyte, som kallas Weierstrass substitution, överför en rationell funktion i cos x och sin x på en rationell funktion i t, vilket gör att sådana i princip alltid kan integreras. Övning 5 Bestäm alla primitiva funktioner till + x + x +, x >, genom att först göra variabelbytet t = x +. Övning 6 Bestäm alla primitiva funktioner till 3 x (x + ) x +, x > genom att göra variabelbytet t = (x )/(x + ). Övning 7 a) Visa genom derivation att x + = ln(x + x + ) + C. b) Visa att om t x = x + så följer att x = (t )/t. c) Bestäm primitiven i a) genom att göra variabelbytet i b).
2 Övning 8 Bestäm (4x + 3) x + Övning 9 Lös följande differentialekvationer a) y + 3y + y = (x + )e 3x, b) y 3y 4y = 5e x + 4x genom att göra variabelbytet t = x + x +. Övning 9 Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y = x e x. Bestäm också den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) =. Övning 0 Lös ekvationerna a) y + xy = 0, b) xy + 0y = ln x, x > 0, Övning Lös ekvationerna c) y + y cot x = tan x, 0 < x < π a) y + x y = x, y(0) = b) ( x )y + xy = x, y(0) = 3, x < c) ( + x )y xy = ( + x ) arctan x, y() = d) (x + )(x + )y y =, y(0) =, x > Övning a) Beräkna derivatan av ln(x + x + ). b) Visa genom partialintegration att x + = (x x + + ln x + x + ) + C c) Lös begynnelsevärdesproblemet Övning 3 Lös ekvationerna + x y + y = + x, y(0) = 7. a) y = (y )x, y(0) = 0, b) xy = y y, y() =, x 0 Övning 4 Lös följande differentialekvationer: a) y = + x + y + xy, b) ( + x)y + + y = 0. Övning 5 Bestäm en relation f (x, y) = C som gäller om y är en lösning till ekvationen a) y = y x + y, b) y = x + y x y. Övning 6 Lös begynnelsevärdesproblemet y + 6y + 9y = 0, y(0) =, y (0) =. Övning 7 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y + λy = 0, y(0) = y(l) = 0, l > 0 har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll. Ange också motsvarande lösningar. Övning 8 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y + λy = 0, y (0) = y (l) = 0, l > 0 har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll. Ange också motsvarande lösningar. Övning 30 För vilka r har ekvationen y 3y + y = e rx en lösning på formen Ae rx? Ange också en partikulärlösning för de r för vilka det inte finns en sådan lösning. Övning 3 Lös ekvationen y (x) + 4y(x) = h(x) för följande högerled: a) h(x) = sin(x), b) h(x) = + cos(x), c) h(x) = sin x. Övning 3 Vilken är den linjära differentialekvation med konstanta koefficienter som har den allmänna lösningen y = ( x3 6 + Ax + B)e x + Övning 33 Bestäm den funktion y(x) som löser xy xy + xy = e x, y() = y () = 0. Övning 34 Bestäm lösningen på problemet { 0 < t < y (t) + y(t) + 30y(t) =, y(0) = y (0) = 0, 0 t > för t >. Övning 35 Lös differentialekvationen y + y = cos x genom att skriva y(x) = z(x) cos x. Övning 36 Betrakta differentialekvationen (x x)y (x )y + (x )y = (x 4x + )e x. a) Visa att den homogena ekvationen har lösningen y h (x) = e x. Bestäm sedan den allmänna homogena lösningen. b) Lös själva ekvationen. Övning 37 Någon gång mitt på dagen på lillejulafton började det snöa. En plogbil började ploga på en längre motorväg klockan 00. Efter en timme hade den kört mil, efter ytterligare en timme hade den kört ytterligare mil. När exakt började det snöa om plogens hastighet är omvänt proportionell mot snötäckets tjocklek och detta i sin tur är proportionellt mot den tid det har snöat? Övning 38 En klotformig doftkula har som ny diametern 8 cm. Doftkulans volym minska i varje ögonblick (p.g.a. avdunstning) med en hastighet som är proportionell mot kulans area. Efter en månad har diametern minskat till 6 cm. Vad är kulans diameter efter 3 månader? Övning 39 I en tank finns 000 l rent vatten. Vid en viss tidpunkt börjar saltlösning, som innehåller 0. kg salt per liter, strömma in i tanken med ett volymflöde av l/min. I tanken antas det ske en fullständig blandning. Den homogena blandningen pumpas ut ur tanken med volymflödet 4 l/min. a) Hur många kg salt finns det i tanken efter 50 minuter? b) Hur många kg salt innehåller tanken som mest? c) Skissera mängden salt i tanken som funktion av tiden under de första 0 timmarna.
3 Övning 40 En population fiskar som lever i en lagun växer exponentiellt med en relativ tillväxthastighet av 0.3% per dag. Vid en viss tidpunkt upptäcks populationen av en grupp delfiner i området som börjar äta av dem. Per dag äter de upp 0.00 N fiskar per m 3, där N är antalet fiskar per m 3. Sedan delfinerna kommit lämnar 0.00 fiskar per m 3 och dag lagunen. Om det när delfinerna kom till platsen fanns 0 fiskar/m 3, bestäm ett uttryck för koncentrationen fiskar t dagar senare. Övning 4 Hastigheten med vilken trypsiongen (A) omlagras till trypsin (B) påverkas av koncentrationen av trypsin. Detta s.k. autokatalytiska förlopp följer hastighetsekvationen d[a] dt = k[a][b] där hakparanteserna betecknar koncentration av. Omlagringen sker troligtvis endast då trypsinogenet från början är förorenat av trypsin. Antag att ett preparat ursprungliden innehåll 7. 0 T.U. trypsinogen och T.U. trypsin (T.U. är en speciell biokemisk enhet). Beräkna koncentrationen av trypsin efter en timme om omlagringsreaktionens hastighetskonstant k är 4.6 per T.U. och timme. Övning 4 Den lilla mellanvästerstaden Trumptown i USA har haft en länge haft en befolkningstillväxt som styrts av differentialekvationen N = 0.04N( N/0 6 ), där tid mäts i år. År 00 hade staden invånare. Samma år etablerade sig maffian i staden, vilket ledde till att 6000 personer valt att flytta ifrån staden per år samtidigt som 4000 människor mördas per år i maffiarelaterade våldshandlingar. Om detta fortsätter, hur många invånare har Trumptown år 030? Övning 43 En kula slår med hastigheten v 0 in i en mjuk vägg av ett material, som kan antas ge kulan en retardation som är proportionell mot hastigheten. Sök sambandet mellan hastigheten v 0, väggens tjocklek b och proportionalitetskonstanten k om kulan nätt och jämnt skall kunna tränga genom väggen. Övning 44 Under vissa omständigheter dimeriseras butadien (C 4 H 6 ) enligt formeln C 4 H 6 C 8 H i en process som följer massverkans lag. Bestäm ett uttryck för hur koncentrationen av butadien varierar med tiden. Övning 45 En viss kemikalie löses upp i vatten med en hastighet som är proportionell mot produkten av den oupplösta mängden och differensen mellan koncentrationen i en mättad lösning och den aktuella koncentrationen. Man vet att i 00 ml mättad lösning är 50 g av kemikalien löst. Om 30 g av kemikalien rörs ner i 00 ml rent vatten så löses 0 g på timmar. Hur mycket har lösts upp efter 5 timmar? Övning 46 En sluten behållare med 00 liter av en lättflyktig vätska springer läck varvid vätskan rinner ut på golvet där behållaren står. Hastigheten med vilken vätskan rinner ut ur behållaren antas vara proportionell mot kvadratroten ur volymen av vätskan i behållaren och 0% av den utrunna vätskan avdunstar per timme. Efter en timme återstår 64 liter i behållaren. Efter hur lång tid, från det att den sprang läck, är behållaren tom och hur mycket vätska finns då kvar på golvet? Övning 47 En vattentank i form av en rak cirkulär cylinder som rymmer 6 m 3 läcker genom ett hål i botten. Den hastighet med vilken vattnet läcker ut är proportionell mot kvadratroten av höjden av vattenpelaren (avståndet från vattenytan till botten). När tanken innehöll 9 m 3 vatten konstaterade man att vattnet läckte ut med en hastighet av 3 m 3 /h. a) Bestäm en differentialekvation för volymen V(t) av vatten i tanken vid tid t och lös denna om vi hade en full tank när t = 0. Hur lång tid tog det för vattenvolymen att reduceras till 9 m 3? b) Man fyllde nu upp tanken igen och monterade en slang som tillförde vatten med den jämna hastigheten av m 3 /h (hålet är kvar). Hur lång tid tar det nu för vattenvolymen att bli 9 m 3? c) Vilket vattenflöde skulle man ha haft i slangen för att tanken hela tiden skulle vara full? Övning 48 Två stycken sjöar ligger längs ett vattendrag. Rent vatten flödar till den första sjön. Samtidigt flödar vatten från den första sjön till den andra sjön, och vatten från den andra sjön flödar vidare ner längs vattendraget. Både in- och utflöde för vardera sjön är 500 m 3 per timme. Den första sjön innehåller m 3 vatten och den andra sjön m 3. Vid en viss tidpunkt kraschar en lastbil med 8 ton giftigt material i den första sjön. Vi kan anta att allt giftigt material omedelbart hamnar i sjön, och att volymen i sjön inte påverkas av detta. Vidare kan vi anta att allt vatten kontinuerligt hålls perfekt blandat av vattendraget. a) Bestäm mängden giftig material i den första sjön som funktion av tiden. b) Bestäm mängden giftig material i den andra sjön som funktion av tiden. c) Vid vilken tidpunkt blir mängden giftigt material i den andra sjön som störst? Övning 49 En tillväxtmodell som är ett alternativ till den logistiska modellen och som ofta används av tumörbiologer är Gompertz modell. Den kan skrivas N (t) = r(t)n(t), r (t) = αr(t). a) Lös ekvationen. Lösningen ska uttryckas i α, N(0) samt K = lim t N(t). b) Visa att man kan skriva ekvationen på formen N (t) = f (N(t))N(t). Övning 50 Beräkna y(π) om y(x) är den kontinuerligt deriverbara funktion som är sådan att y (x) + y(x) = { då x < π då x > π, y(0) = y (0) = 0. Övning 5 En fabrik ligger vid en mindre sjö. En dag går en tank med ett kemiskt ämne sönder och innehållet läcker ut i sjön. Efter ett febrilt arbete lyckas man stoppa läckan en timme senare, men under den timmen har ämnet läckt ut med en hastighet av t kg/timme, där t är tid (timmar) sedan läckaget startade. Lyckligtvis finns i sjön mikroorganismer som bryter ner ämnet till ofarliga produkter, och detta sker med en hastighet av 0% per timme. a) Hur mycket ämne fanns i sjön när läckan tätades? b) Hur lång tid tar det för mikroorganismerna att reducera denna mängd till en tredjedel? Övning 5 En 00 m 3 tank med rent dricksvatten i Lund fick ett konstant inflöde av koliforma bakterier som motsvarar en ökning av bakteriekoloni i tanken med hastigheten 0. cfu/l per timme (cfu/l =colony forming units per liter). I ett prov 500 timmar senare upptäckte VA Syd att vattnet var otjänligt. De lyckades inte hitta felet och började omedelbart filtrera vattnet samt utfärdade en kokningsrekommendation, eftersom halten av bakterier var högre än Livsmedelsverkets norm på max 0 cfu/l. Vattnet passerar ett filter som har flödeskapaciteten 5 m 3 per timme och 00% reningseffekt, och pumpas sedan tillbaka till tanken. Efter hur lång tid kan kokningsrekommendationen hävas? Vattnet kan antas vara välblandat i varje ögonblick.
4 Övning 53 A limnology class is presented with a laboratory exercise concerning continuous culture of algae in a chemostat. The apparatus consists of a culture vessel (with a constant level outflow tube to keep the volume at 8 liters) into which a fresh culture medium is continuously fed by a constant metered gas flow. A page of instructions is haded to the students. It contains physical and numerical data for the experiment and concludes with the following paragraph: Whith the pumping of a fresh culture medium into the culture chamger, it is possible to calculate the theoretical percentage concentration of the medium created in the culture chamger after any given number of hours. The following mathematical relationships are used for the calculations where C T = C 0 + (C i C 0 )( e (T T 0)R/V C T = outflow concentration at an arbitrary moment C 0 = concentration at T = T 0 C i = conentration of inflow R = flow rate (ml/h) V = volume of chamber (ml) T = time at arbitrary moment T 0 = starting time Show that you can rather easily justify this somewhat horrendous out-of-the-magic-hat formula. Svar och anvisningar Övning a) f (x) = ( cos x)/, b) f (x) = ln arctan x ln π. Övning a) cos(e x ) + C b) 0 x(x + ) 0 0 (x + ) + C c) x tan x + ln cos x + C Övning 3 a) ln x 9 ln x + 37 ln x 3 + C x b) x x ln x + ln(x + x + ) + arctan x+ + C 3 3 c) ln(x + 4x + 6) arctan x+ + C Övning 4 x + arctan x + π 4 Övning 5 3 x3 + x 3 (x + ) 3/ + C Övning 6 ln x ln x ln(x + x + 5) arctan x+ Övning 7 Alla a, b sådana att a + b = 0. Övning 8 x arctan x ln( + x ) respektive x arcsin x + x Övning 9 Ett förslag är att använda Eulers formler. a) 8 cos(4x) + C eller 4 sin(x) sin(5x) cos(x) cos(5x) + C. 5 4 b) 3 ( 6 sin(6x) sin(4x) sin(x) + x) + C eller 6 sin5 (x) cos(x) + 6 ( 4 sin3 (x) cos(x) ( x 4 sin(x))) + C e c) x 3 ( sin(3x) 3 cos(3x)) + C Övning 0 a) cos x + C b) ln sin x + C +sin x c) arctan( tan x ) + C Övning Rekursionsformeln ger att I (x) = (sin x cos x + I 0(x)) = sin(x) 4 + x, I 3 (x) = 3 (sin x cos x + I (x) = sin x sin3 x 3 I 4 (x) = 4 (sin x cos3 x + 3I (x)) = 4 (sin x cos3 x sin(x) + 3 x) I 5 (x) = 5 (sin x cos4 x + 4I 3 (x)) = 5 (sin x cos4 x + 4 sin x 4 sin3 x ) 3 Övning Variabelbytet t = sin x ger svaret ln + sin x sin x + C = ln cos x + tan x + C medan den andra ansatsen ger svaret ln tan( x π 4 ) + C = ln tan( x + π ) + C. 4 Deriverar vi uttrycken ser vi att de har samma derivata / cos x. Övning 3 Formeln är att + tan x = / cos x. Variabelbytet ger integralen dt/ cos t som vi använder formeln ln / cos t + tan t + C på. Svaret blir Övning 4 a) ln x + x + + C.
5 b) ln tan x + tan x + C tan x c) ln + tan x + + C Övning 5 x 4 x + 4 ln x + + C Övning 6 x x x + x + + C Övning 7 Övning 8 5 ln x + x + x + x C Övning 9 y = x3 3 x + C respektive y = x3 3 + e x. Övning 0 a) y = Ce x, b) y = 0 ln x 00 + Cx 0, c) y = sin(x) + cot(x) + C sin(x) Övning a) y = + e x3 /3 b) y = + x c) y = ( + x )( (arctan x) + π 3 ) d) y = 5x+4 x+ Övning a) / x + c) y = x + ( + x x)(ln(x + + x ) + 4) Övning 3 a) y = ex, b) y = + ex + x Övning 4 a) y = Ce x+x /, b) y = +x C. Notera att dessa är både linjära och separabla differentialekvationer! Övning 5 Tricket här är att skriva y = xz. a) ln y x y = C b) ln(x + y ) arctan y x = C, Övning 6 y = (x + )e 3x Övning 7 λ = n π /l, n =,,.... Lösningarna är y = C sin( nπx l ). Övning 8 λ = n π /l, n = 0,,,.... Lösningarna är y = C cos( nπx l ). Övning 9 a) y = e 3x ( x ) + Ae x + Be x b) y = x( + e x ) Ae4x + Be x Övning 30 En lösning på formen Ae rx finns om r =,. För r =, ges en partikulärlösning istället av xe rx /(r 3). Övning 3 a) y = 4 x cos(x) + A cos(x) + B sin(x) b) y = 4 ( + x sin(x)) + A cos(x) + B sin(x) c) y = 4 ( x sin(x)) + A cos(x) + B sin(x) Övning 3 y + y + = xe x + Övning 33 y = e x (x ln x x + ) Övning 34 y(t) = e5 5 e 5x e6 6 e 6x. Det gäller att först lösa ekvationen i 0 < t < för att få y(). Övning 35 y = A cos x + B sin x + x tan x ln(cos x). Övning 36 a) Summan av koefficienterna är noll och y = y = y då y = e x. Med y = ze x ska w = z lösa ekvationen (x x)w + (x 4x + )w = 0 som har lösningen w = A(x x)e x. Från detta fås z = Ax e x + B och alltså y h (x) = Be x Ax. b) Samma variabelbyte ger nu ekvationen (x x)w + (x 4x + )w = (x 4x + ) (x x)w + (x 4x + )(w ) = 0 för w. Ur a) får vi därför att w = A(x x)e x vilket visar att y = Be x Ax + xe x. Övning 37 kl.3 Övning 38 Efter 3 månader är doftkulans diameter cm. Övning 39 a) 9, b) 5, c) Se figuren nedan mängd salt (kg) Övning 40 N(t) = + 0 Övning T.U t (min) 9 9 8e 0.0t Övning 4 Den nya differentialekvationen blir vars lösning är N (t) = (N 0 6 /), N(0) = , N(t) = ( t + 4 )06. Vi får att N(0) = Asymptotiskt kommer den att nå nivån invånare. Notera att under samma tid har flyttat ifrån staden och mördats! Övning 43 v 0 = bk. Övning 44 /c(t) = /c(0) + kt Övning 45 50( ) g. Övning 46 Behållaren är tom då 0 4t/ = 0, alltså t = 5 h, och då finns det 00( / e) L vatten på golvet. Övning 47 a) h, b) t = ( + ln ) 3. h. c) 4 m 3 /h Övning 48 a) 8e t/00
6 b) 6(e t/400 e t/00 ) c) Mängden giftigt material är som störst 400 ln timmar efter att det börjat anlända till sjö. Övning 49 a) N(t) = Ke βe αt där β = ln(n(0)/k). b) N = α ln( N K )N. Övning 50 y(π) = 3 Övning 5 a) 00(.e 0. ) 0.45 kg. b) 0 ln 3 timmar. Övning 5 0 ln 6 36 timmar. Övning 53 Härled ekvationen (VC T ) = RC i RC T.
1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merKap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merD 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs mer8.4. Integration av trigonometriska uttryck
68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs mer17.10 Hydrodynamik: vattenflöden
824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper.
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merDifferentialekvationer av första ordningen
Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merIX. Primitiva funktioner och differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok IX. Primitiva funktioner och differentialekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com IX. Primitiva funktioner och differentialekvationer
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merTypexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.
Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merTentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström
Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24 . Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs mer1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet
Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion
Läs merKapitel 5: Primitiva funktioner
Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA (Utkast aug, 0) Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merMATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs mer1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop
Läs mer15. Ordinära differentialekvationer
153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merIV, SF1636(5B1210,5B1230).
Lösningar till tentamensskrivning i Matematik I, F636(5B,5B3) Tisdagen den 9 augusti 8, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012
TENTAMEN HF006 och HF008 TEN 0 dec 0 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Svante Granqvist Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs merLösningsförslag, preliminär version april 2017(reservation för fel) Högskolan i Skövde
, preliminär version.3 april 7reservation för fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 7-3-5 kl 8:3-3:3 Hjälpmedel :
Läs merFöljande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uttrck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Text Formell beskrivning A är proportionell
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs mer