MATMATI ort förberedande material för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis formgivning: Lennart Jörelid halmers tenisa högsola
Till dig som söer till högre tenis utbildning Somduvetförutsätterstudieritenisaämnengodaunsaperimatematinstordelav det första året ägnas därför åt grundläggande matematisa ämnen Goda resultat i de teoretisa ämnena under första studieåret öar dina möjligheter till framgång i de fortsatta studierna Det första läsåret vid en högsola innebär alltid en stor omställning från gymnasiestudierna Har man dålucorigymnasiematematien,andetblirättarbetsamtmduinteärsäerpåattduredan har mycet goda unsaper i matemati, gör du lot i att förbereda dig ordentligt genom att repetera gymnasieursen och läsa in avsnitt som du anse tidigare försummat Hurgörjagdå? Till hjälp får du detta ompendium Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer Arbeta igenom det så grundligt, att du behärsar de olia avsnitten De många övningsexemplen ger dig möjlighet till nyttig räneträning I början av ompendiet finns dessutom ett diagnostist prov och i slutet en provräning med blandade uppgifter ompendiet är avsett för c:a 50 timmars studier Ta avsnitten i den ordning du själv finner lämplig n metod är att först räna alla[1] och[2]-uppgifterna(ompendiet rat igenom) Sedan alla[3]-uppgifterna osv Har du bra betyg i matemati från gymnasiet och tror dig unna gymnasieursen gansa bra, an du försöa dig på sista uppgiften i varje övningsuppgift(uppgifterna är i stort sett ordnade efter växande svårighetsgrad) Är det något eller några områden du speciellt behöver repetera, tex logaritmer, trigonometri eller derivering med hjälp av edjeregeln, an du i första hand oncentrera dig på dessa Det väsentligaärattduränar(mindreväsentligtärvadduränar)sulleduörafastpånågra uppgifter an du eventuellt få hjälp per telefon(se bilaga Upplysningar inför terminsstarten) tt syfte med ompendiet Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är att nötainvissaformler,somduansevaritvanatthittaienformelsamlingpåtentamenvidde tenisa högsolorna ommer du inte att ha formelsamlingen till hands Försö därför att lara dig utan, när du löser övningsexemplen unsapsontroll? Du ommer inte att avrävas redovisning av de här repetitionsövningarna Däremot ommer du snart att mära, att du har stor nytta av förberedelsearbetet, även om högsolestudierna inleds med en repetitionsurs i matemati Lyca till Med Hälsningar från de Tenisa Högsolorna ii
Tillägg av författaren I detta ompendium behandlas i huvudsa de moment, som matematilärare vid tenisa högsolor ansett vara de mest grundläggande delarna av gymnasiematematien Den nuvarande gymnasieursen i matemati är gemensam för alla solor i landet, men olia solor och lärare betonar anse vissa delar mer eller mindre start Därför an några delar av ompendiet vara mer(eller mindre) välbeanta för dig Tips: Hoppa över avsnittet 3 om ellipser mm, ifall dessa begrepp inte behandlats i din gymnasieurs bservera ocså att ompendiet är avsett att väsentligen vara en repetition av matematien i delarnaa,b,ochd,sombruargenomgåsdetvåförstaårenpågymnasietdäremotrepeteras vanligen del (med bla tillämpning av integraler och differentialevationer), samt en eventuell, frivillig del F, i samband med de ordinarie matematiurserna på de tenisa högsolorna Lyca till Rolf Pettersson Årets utgåva av Matemati ort förberedande urs för blivande tenologer är en grafist bearbetad upplaga av ett äldre, i huvudsa masinsrivet, original Jag har i samråd med författaren försöt ge häftet en så lättöversådlig och pedagogis utformning som möjligt, utan att förändra dess sainnehåll nämnvärt ftersom jag själv är tenolog vid F-setionen på halmers och därmed onfronterats en del med tenis urslitteratur, har jag strävat efter att ge häftet en utformning som i så hög grad som möjligt linar tenologens vardagslitteratur detta för att ge Dig en så smidig övergång som möjligt mellan gymansielitteraturen och de Tenisa Högsolornas ttgottrådär dessutomatt verligenförsöaläggaundanminiränarendåduränardigi igenom häftet nligt min egen erfarenhet, var detta en av de verligt givande poängerna med att repetera gymnasiets matemati Förståelsen för de grundläggande tenisa matteurserna öar enormt om många av detta häftes formler och samband sitter i ryggmärgen Lyca till Lennart Jörelid iii
Innehåll DIAGNSTIST PRV 5 1 Algebraisa räningar 7 11 Addition,subtrationochmultipliationavreellatal 7 12 DivisionavreellatalBråräning 10 13 Lineäraevationssystem 1 1 Absolutbelopp 15 15 vadratrotenurettpositivtreellttal 15 16 Ice-reellatalomplexatal 18 17 AndragradsevationerFatoruppdelningavandragradspolynom 19 18 Fatorsatsenvationeravstörregradtaläntvå 21 19 liheter 22 110 :terotenurettreellttalallmännapotenser 23 111 Logaritmer 25 2 Trigonometri 27 21 Vinelmätning 27 22 Rätvinligatrianglar 28 23 Detrigonometrisafuntionernaförgodtycligavinlar 31 2 Någraenlatrigonometrisaformler 3 25 Additions-ochsubtrationsformler 36 26 Formlerfördubblaresphalvavineln 37 3 Plan analytis geometri 38 31 Avståndetmellantvåpunter 38 32 Rätalinjen 39 33 ireln 1 3 llipsen,hyperbelnochparabeln 2 Funtionslära 1 Inledning 2 Derivatansdefinition 5 iv
3 nla deriveringsregler Deelementärafuntionernasderivator 6 Sammansattafuntioneredjeregeln 8 5 Tangentochnormaltillenurva 51 6 Maximi-ochminimiproblem 52 PRVRÄNING(Blandade exempel) 5 FAIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTRNA 56 Facittilldetdiagnostisaprovet 69 Facittillprovräningen(blandadeexempel) 69 v
A DIAGNSTIST PRV (Lämplig tid: cira 2 timmar) (Svar finns på sista sidan i ompendiet) [1] Förenla [2] Lös evationen " [3] Förenla så långt som möjligt: $&%('*) +-, ' ) / )0 / + 0 [] Förorta(ommöjligt)iuttrycet 1 2-3 5 [5] Dividera(medpolynomdivision)sålångtsommöjligt 6 1 " -3 7 5 [6] Lös evationssystemet 8 [7] Bestämexat >? : 9;: $ 9 $ 5 A [8] Bestäm rötterna till evationen [9] Förvila gälleroliheten =< %B F G D H 3 %JIL A IM 3 : [10] Förenla HN IM 1-3 IL 3 [11] Angiv exata värdet av -P RQS3T 5 UWVT RQS3 : (samt förenla) [12] Bestämallavinlar mellan Y och H [Z]\ : ^ Y som satisfiera HN _P 3 3 [13] [a]ienrätvinligtriangelärsinusförenvinelliamed2/3ochdenmotdennavinel stående sidan är 3 längdenheter Bestäm hypotenusans längd exat [b]sammauppgiftsomovan,omiställettangensförvinelnär2/3 [1] Bestäm UNVT exat,om UWV ` 3a [15] Angivpåformen = $`cb " enevationförrätalinjengenompunterna edb f 5 och d 6
i [16] vationen gh$ : betyder geometrist en cirel(i ett ortonormerat system) Bestäm medelpunt och radie [17] Bestäm derivatan ij (och förenla den), om < [18] Bestäm i j,om i ), 3 D [19] Bestämpåformen $b denpuntpåurvan,där [20] Bestämdetstörstavärdesom i 1 ) D enevationförtangententillurvan $ _P l7 mzn\ anantaförreella 1 i 7
1 Algebraisa räningar 11 Addition, subtration och multipliation av reella tal För reella tal gäller bla följande enla räneregler: & f & & & f l = %? f g Jd ty? %? Man definierar potenser med heltalsexponenter som: 5o för qp dn r % osv s % ftbtbt- ^d dvsprodutenav stycenfatorer Varav följer Potenslagarna u % s uw s g s uv s 5uyx s s s ftersom? och z h & {,sågälleratt y { ovs För att förtydliga ges nedan några exempel: { dj y { 1 & { 1, xempel xempel 5 T " T b 6T b & Tl } b T b 5 T T ;bm Tl b & b $ W~ 1 %? = $ 1 $ ~ %? f25 %n W$ 1 f2 o $ ~ 8
Š Ö-1 Förenla Ö-2 Beräna [1] A $ :a ~ $ A 9 ~ $ [1] [2] z"6t b [2] 1 [3] b "6T b "ƒl b T [3]?f5 []?= 1 [5]? g o Ö-3 Förenla Ö- mforma(genom att multiplicera ihop parenteserna) [1] g 1 % 2g [2] 6<T5 W [3] 1W$ % $e-( % $ []?= W$1 ~ 1z% ~ y%? 1ˆ$ Följande vitiga formler bör man unna utantill: ƒ VADRRINGSRGLRNA ] ƒ Tg UBRINGSRGLRNA NJUGATRGLN ƒ ] 1 ƒ 1 &]] FATRUPPDLNINGARNA 1 1 1 1 BS dw g xempel Utvecla 6 7 ~ 1 och g [1] n [2] 7" ] 1 [3] " n6 1 T g 1 1 g 1 ]]] &] nƒ g an ej fatoruppdelas med reella tal Lösning: 9 ~ 1 Š uberingsregelnmed och ~ BŒ 1 % z% ~ % {% ~ ƒ ~ 1 2 1 : ~ m < ~ ~ xempel Fatoruppdelauttrycet 2 b 1 1ˆbˆ 2 Wbˆ1 Lösning: 2T b 5 1 1 b 2T b 1 ŽŠ allagemensammafatorerbrytsut T Œ bl% ƒa Tg 1 b b ŽŠ anvadreringsregelnanvändas? T Œ bl% ƒg 1 % g 1 % bm 6 b Œ Š vadreringsregeln T Œ ˆbl% ƒg 1 b 9
i i p o xempel Fatoruppdelauttrycet Lösning: 2 $1 2 $ 1 ŽŠ anfatoruppdelningenför 1 1 användas? Œ 1 $ 1 $ ]M % $y $ $ n (F $ $ Ö-5 Utvecla Ö-6 Förenla [1] $ [1] ] 9 [2] 6< [2] T nt [3] $1 [3] 6 m 5n 5n A5 Ö-7 Utecla Ö-8 Uppdela i fatorer [1] $ 1 [1] A [2] <T [2] 7 [3] T 1 [3] 5 J: [] ƒ : 1 Ö-9 Uppdela i fatorer Ö-10 Uppdela i fatorer [1] 2 $ $ [1] 1 [2] 2 n [2] $ ~ $ [3] W$e1S $ 1W$e [3] 2 1W$ Polynom; vadratomplettering Medettpolynom(i )menasettuttrycavformen där s s s tntbt 7 dbtntbt dw o allasoefficienterför sedbtbtbt d o m s säges varaavgrad tt vitigt begrepp är vadratomplettering i andragradspolynom(jämför detta med lösning av andragradseationer[17]) vadratompletteringen ges av: 9 % %B9 " 7 " xempel Bestäm(genom vadratomplettering) minsta värdet av Lösning: " 7 m " Š vadratomplettera Œ %B % 1 1 " 1 7 1 J 10 7 1 2
b b 2 ftersom 1 š viletinträffardå föralla,medlihetomochendastom 1 1,insermanatt iœ Ÿž, Ö-11 vadratomplettera Ö-12 vadratomplettera [1] [1] 7 [2] < [2] [3] $ 2 $ [3] J: Aa [] $ $e [] m [5] m: $ $" [5] $e ~ $ ~ Ö-13 Bestäm (genom vadratomplettering) minsta värdet av: Ö-1 Bestäm största värdet av [1] m [1] < [2] < [2] [3] 7 [3] 12 Division av reella tal Bråräning nligtdefinitionenpåbråharförstagradsevationen % (anocsåsrivas 3T )för 7p bl% %œb Förortning och b % %Bb förlängning: (för b p Multipliation: Division, dubbelbrå: Addition, subtration: BS nämlligen r För bråräning gäller bla följande regler: % D ) b b b b % 3T b 3 b ( b % % % och % %œb % denentydigalösningen v ärejliamed (Alltförvanligtfelatttromotsatsen)mtex v,medan Potenser med negativa exponenter definieras som b,är 11
Definition s s 5u s varav följer u s s u ª xempel Förenlauttrycet: «Lösning: ] z e?? œƒl? l ƒl xempel Sriv 9" somettbrå(påsåenelformsommöjligt), Lösning: 9 Š Fatoruppdelanämnarna Œ 9 7" n 7 h%b Š Förlängdeoliabråen,såattdenyabråenfårsammanämnare Vi har minsta gemensamma nämnare D %5 %B 7 % 9 % Tn T 7 ] Œ n 7 %5 ] % 9 9 n 9 Tn 1 g 12
Anmärning: Man an ocså(i ovanstående exempel) först addera två av bråen och sedan till summan addera det tredje brået Genomför dessa räningar Ö-15 Beräna Ö-16 Beräna [1] 1 % J 1 1 [2] -3 [1] 1 [2] 3T5 [3]?=< 1 Ö-17 Sriv som potens av 2 Ö-18 Förenla [1] 3T5 [2] T253T [3] 2T ˆ3 1 [1] $ -3 $ o [2] T 1 ;: g -3 g [3] $e ~ 1 < ~ $ < ~ W$ -3< $ ~ Ö-19 förenla Ö-20 Förorta(om möjligt) [1] ]_3 [1] g-3ƒ [2] ] 3z [2] ƒ _3 g [3] ] 3z [3] 1 _3 1 [] ze 3 1 [5] ] 3z 1 Ö-21 förenla Ö-22 Lös evationen [1] 3-3 $ 3 $ _3 &" 3 $ 3 3 3 $ [2] 3T 3T -3 3Tz3T [1] 3 53 32 [2] 6< 9 T-3 g 3 ƒ 7 _36 Ö-23Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 " [2] 7 3 7 _3 7" [3] 3 3 z : _3ƒ Ö-2Srivsomettbrå(påsåenelformsom möjligt): [1] 3 3 [2] 3ƒ 6 _3 [3] 7" _36 2 " _3ƒ 2 13
Rationella uttryc, Polynomdivision ttrationelltuttryc(i )ansrivaspåformen,där och ärpolynomoch p,dvs ejidentistnollmnugradtaletför ärstörreänellerliamedgradtaletför, an dividerasmed, så att gradtalet för restpolynomet ± blir mindre än gradtalet för Manfår ± r²,där ² allas votpolynom Polynomen ² och ± an bestämmas med en polynomdivisionsalgoritm(se följande exempel) xempel Dividera 1mm -3 7 Lösning:Srivupptäljaren ochnämnaren stolen ): så långt som möjligt med trappan (eller liggande ± 3 ² 3 ² ± 7" 7 1 - ³² - 1 A " n _ Metod:Dividerahögstagradstermen 1 i medhögstagradstermen i, dvs bilda 1, som blir första termen i voten Multiplicera sedan hela nämnaren med och subtrahera från Fortsätt med att dividerahögstagradstermen irestenmedhögstagradstermeni,dvsbilda,somblirnästatermi Multiplicera och subtrahera som ovan Fortsätt tills gradtalet i restpolynomet ärsträngtmindreängradtaletför Svar: 1 n 7" 7 7 Ö-25 Dividera så långt som möjligt: Ö-26 Dividera så långt som möjligt: [1] " _3 [1] :a T-3 [2] _3 " [2] 1 _36 [3] 1 < 7" _3 [3] m g-3 1 5 1
: < µ µ b : < 13 Lineära evationssystem Vid lösning av evationer med flera obeanta söer man genom elimination saffa sig en evation,sominnehållerendastenobeantmanananvändasigavenavtvåmetoder substitutionsmetoden eller additionsmetoden För att illustrera, ges nedan ett exempel:(tecnet µ betyder om och endast om ) xempel Lös evationssystemet 8 7 < $ 7 $ =< Lösning: Metod 1[Substitutionsmetoden] Denförstaevationenger ƒ < $ _3,sommansätterinidenandraDåerhålles ^ƒ< $ _3 $ =< = < $ $ µ B$ µ y=2 Alltsåär ƒ < $ -3 Svar: = d $ ƒ _3 f,ochmanfårett Lösning: Metod 2[Additionsmetoden] Multiplicera(föratteliminera )bådaledenidegivnaevationernamed3resp och addera dem: :7 < $ : $ B$ Häravfås y=2,sominsattienavdegivnaevationernager = BS ontrollera alltid svaret genom insättning i de givna evationerna Anmärning:Denlineäraevationen f $ betyder geometrist en rät linje ttsystemavsådanaevationerharalltsåa)enb)ingenellerc)oändligtmånga lösningar beroende på om de räta linjerna är a) särande b) parallella(och olia) c) sammanfallande Ö-27 Lös evationssystemet Ö-28 Lös evationssystemet 9 $ 7 $ [1] 8 9 < $ [1] 8 :7 $ $ $ [2] 8 7 $ [2] 8 : $ [3] 8 7 $ < $ Ḩ¹ [3] 9 $ ~ 7$ ~ 9 $ ~ : 15
< < 1 Absolutbelopp DFINITIN 8 om qš om Alltsåär éš föralla ochom såär avståndetmellanpunterna och påtallinjen Geometristan º uppfattas som xempel nligtdefinitionenär &?=,ty xempel xvationen ansrivas,varförrötternaär och = xempel liheten anävensrivas =< 7,dvs = Studera tallinjen z, Ö-29 Bestäm Ö-30 Lös evationerna [1] < [1] [2] < [2] 7 <et»< [3] Ÿ: 2 [3] [] = t»< [] 7" 3T [5] : 2 [5] 7 [6] < Ö-31Angivutanabsolutbeloppde,somsatisfiera: är: Ö-32Sriv i utan absolutbelopp, om i [1] [1] 9¼ [2] ǵ½ [2] [3] [3] 7" ˆ [] ǵ½ [] e :7 15 vadratroten ur ett positivt reellt tal ftersom ¾%œ;š š DFINITIN förallareellatal harevationen reella lösningar endast om Med,där š, menas det ice-negativa, reella tal vars vadratär Alltsåär ] för š 16
BS för f xempelvisär B: (Mycet vanligt fel att tro motsatsen) Avdefinitionenpå följervissaräneregler: ochinte 1 % och e3 3T > för och = 2 förallareella,varför % á% för š,alla 3 3 n3 för = 3 ] ]_3 8 3 ]_3 för och = och Àp Reglerna allas förlängning med onjugatuttryc(se exempel nedan) BSIallmänhetär p?= xempel Förenla > Lösning:?= nligträneregel2ovan,är >?= n alternativ lösningsmetod är > xempel Sriv med heltalsnämnare 1 eá Lösning: Förläng med onjugatet till nämnaren: ; < < Â <nƒ < < " <T < A< < xempel Förenla ) Á ) och ange definitionsmängd Lösning: ärdefinieratför qš¼,men 3 & endastför För är: Svar:För är ) Á ) 17
> > 8 µ Ö-33 Förenla Ö-3 Förenla [2] [1] A [1] [2] tj: :<T?f5 [3] > [3] 2 % 2 Ö-35 Förenla Ö-36 Sriv med heltalsnämnare: [1] 2T3 A : [1] 3 [2] 2 [2] 3 [3] < 5] < 5 [3] 3 : [] 52 < ƒ <-3= < [] [5] 3 [6] 3 : Ö-37 Förenla Ö-38 Förenla följande uttryc(och angiv definitionsmängd): [1] %,om h och = [1] 7 _3 9 [2] %,om och = [2] 6< _3 < [3] % 3T,om h och = [3] _3 [] % 3T,om och [] _3 1 [5] _3 1 [6] 3 9 [7] 6-3 7 vationen harför = tvåoliareellarötter ÄÃ Å för š œd Man sriver BS Ã Ã men xempel vationen A xempel vationen D,dvs D,dvs 3A harrötterna Å sanarlösning,ty Àš T3T 18
Æ Æ b Æ Æ Æ 8 Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ö-39 Lös evationen Ö-0 Lös evationen [1] [2] T [3] [1] " [2] 7" " [3] 7 D [] " [5] [6] A 16 Ice-reella tal omplexa tal vationen rötter: b d "Æ sanarreellarötterom b Däremot har den ice-reella(imaginära),där Æ Man an nu(något oegentligt) sriva: b à Šb baç b Æ xempel vationen r,dvs = harrötterna Å ræ = Æ,dvs ttomplexttalansrivspåformen enheten, som satisfierar evationen Æ Æ,där och ärreellataloch Æ ärdenimaginära xempel ]6 Š onjugatregeln Œ A Ö-1 Lös evationen Ö-2 Sriv på formen [1] =A [1] " [2] m D [2] ]6 [3] J: T< " [3] _36 [] f [] 3 " 3= [5] 5 m r Æ 19
¹ Ï Ê Ê < Ê Æ 17 Andragradsevationer Fatoruppdelning av andragradspolynom nadragradsevation cb r an,då Àp r,srivaspånormalform: * ¼É " nandragradsevationpånormalform, h fà ",anlösasgenomvadratomplettering: 7ËÊ *Ì Ê *Ì r µ Ên9 *Ì *Ì Alltsågälleratt: vationen m 9 D harrötterna Å Dessarötter och är ŽÍ Ì [1] Reellaocholia,om 3 [2] Reellaochlia,om 3 r [3] Ice-reellaocholia,om 3 BSm D,harevationen Î D enrot r,samtroten xempel Beränarötternatillevationen < Lösning: vationenansrivaspånormalform: 1 ",ochharrötterna Å <9 ŽÍ Alltsåärrötterna Ï xempel vationen : " Å <*Ì Ê < < < < <*Ì D har rötterna A < Í BS ontrollera alltid svaret genom insättning i den givna evationen T< < < <9 < 20
Ñ ~ Ö-3 Bestäm rötterna till evationerna Ö- Lös evationerna, dvs bestäm alla rötter: [1] : < r [1] 7: " [2] 9;: [2] 9 D [3] < D [3] < [] n [] ;: r (Sätthär [5] < D [5] [6] A " : D [7] : D Fatoruppdelning(av andragradspolynom) mevationen Ð = r harrötterna och,såanpolynomet Ð fatoruppdelas: ] Anmärning: m 3T,såär och ice-reellaochisåfallan 9 ej fatoruppdelasmedreellatal(därmotan ¾ c alltidfatoruppdelasmedomplexatal) xempel Fatoruppdela polynomet Ñ Lösning: får Å Lösdärförförstevationen ŽÍ J: ) r Man Rötterna är alltså 8 Alltsåär 3 n Ê 7 n *Ì,varför ]6 &r 21
d < < Æ Ö-5 Fatoruppdela(med reella tal): Ö-6 Angiv en andragradsevation med rötterna: [1] [1]1och = [2] : º [2] och ; [3] m [3] Æ och [] 2 2 [5] :9 18 Fatorsatsen vationer av större gradtal än två Sats Fatorsatsen m ärettpolynomi och Ò,dvsom är enrottillpolynomevationen Ó,såär en fatori,dvs %J där ärettpolynomavenenhetlägregradän xempel Lösevationen 1 Tnm T 5< D Lösning: fter prövning(av tex d edbtbtbt )finnermanatt ärenrot,ty T }T 5< Ë nligtfatorsatsenäralltsåpolynomet 1 Tn T h 5< delbartmed? " Division(avpolynom,se12)ger 1 n 9 5< 7" ] < Tredjegradsevaitonensövrigarötterfåsurevationen 5< alltså Å 1 : : 5< :,dvs och 1 Svar:vationenharfötterna, och 1 Tillägg: Viharalltsåfatoruppdelningen 1 n Ô 5< <Tn BS n tredjegradsevation har alltid tre rötter(lia eller olia) D Manfår D n 22
) š Ö-7 Lös evationerna Ö-8 Fatoruppdela(med reella tal): [1] 1 2 r [1] 1 2 [2] 1 " [2] 1 [3] 1 ;: r [3] 1 ;: [] 1 m D [] 1 m Ö-9 Lös evationerna Ö-50 Fatoruppdela [1] r [1] 1 [2] D [2] 1 n [3] D [3] 1 : W$ $:T$ 19 liheter xempel Förvila är 1 n 5<? Lösning: lihetenansrivas 1 n T h 5< (Haalltidförvanaatt flytta över termer, så att ena ledet blir noll) nligt exempel ovan har vi fatoruppdelningen 9 n <Tn Tecenstudium ger nu: Svar: lihetengällerför xempel Förvila är 7" š )? Lösning: liheten an srivas 7" ochför < Õ,där 7 ] I Õ harviendastfatoruppdelattäljarentecenstudiumav ger nu: Svar: lihetengällerför = ½Ö ochför qš¼ BSDengivnaoliheten(isenasteexemplet)fårejsrivas 9" š,dvsolihetenfårej 23
Ú > 8 µ µ, š Ú à multiplicerasmed,ty anvaranegativt h  %œb } %Jb d Allmänt gäller att 8 h  %œb %Jb d om b om b Ö-51Förvila gällerföljandeoliheter? Ö-52Förvila gällerföljandeoliheter? [1] ¼ [1] 7" _3 š [2] ½ [2] 6 _3 ½ [3] Àš [3] 3 qš [] š [5] 1m: < [6] : ½ < 91 110 Ø :te roten ur ett reellt tal Allmänna potenser Med Ù Ú menasdenreella(ochpositiva,om Û jämnt heltal) roten till evationen s Alltsåär Ù Ú s,dvs Ú ] s Fördenvanligavadratrotengälleralltsåatt Ü för m definieras potensuttrycet Wu Ü s (medrationellexponent ƒû¾3 )genom u Ü s u Mananvisaatt u Ü s satisfierar(de allmänna) potens- och exponentiallagarna: Potens- och exponentiallagarna ) % + ) 3T + ) + g ) 3T ) ) v + ) + ) x + ) % ) ) 3T ) Anmärning: Denandralagengerspeciellt 3TN+ +,om D xempel Förenal Ý Lösning: g Þ Ý 6 % Ù, Ù Ý 6 ß, Ù Ý ß, x Ù Ý Ù à 2
) ) ) ~ ~ [2] á [1]2Ü Ö-53 Förenla Ö-5 Förenla [1]à [2]Ù, A [3] TÜ1 [3]ß > 2 []A Ü %Aoá []à > «< [5]5T á ˆ3 á [5]ß Þ A > : Mananallmäntdefinierauttrycet)för9 ochallareella,såatt)satisfierarpotenslagarnaovan)allasforenpotensav,därallasbasoch exponentavspecielltintresseär den(naturliga) exponentialfuntionen)med basen edˆ25t2ätbtbt För allmänt)gäller bla att [1]) [2]Wo [3]i föralla föralla )ärväxande(förväxande)om,och avtagande(förväxande)om BS Man siljer på a) potensfuntioneni och b) exponentialfuntionen i ) Lösning: vationen ) % ) v ansrivas ) % ),varför ) ) D Lösning: Sätt Dåerhållesandragradsevationen ~T och ~ f Manfårnutvåfall: [1] ~ ger " f [2] är en orimlighet, eftersom ) Svar: D xempel Lösevationen ) % ) v xempel Lös evationen % 5,dvs ) % eller ~ " medrötterna ~ förallareellatal 25
) $ µ µ $ $ ) ) ) ) 1 $ µ ) µ µ ) µ : t ) ~ Ö-55 Bestäm reella lösningar till Ö-56 Bestäm reella lösningar till [1] ) 2 [2] ) v ) [3] A ) 3T [] % ) v ) [5] ) v % ) : etâ< [1] ) ) D (Sätt [2] ) ) " D [3] ) % ) 2 D [] ) v A % ) r ) 111 Logaritmer Förtio-logaritmen IMã$ ochnaturligalogaritmen ILÄ$ gäller IMã$ ),för $ IMÄ$ r,för $ BSFöratt ILãT$ resp IMÄ$ sallvaradefinieraträvsalltsåatt $ IMã d ILã D tytex $ d IM Y " d IM IMã d ILã5$ Specielltär r Av formlerna ovan följer ocså diret att ILã och IL förallareella äÿåœæ= ž + och nä xempel IMã ILã^ T xempel IMã t ILã xempel IM IL Ü = xempel Lösevationerna [1] %JILw [2] % föralla $ 3 Lösning: [1] %JILw [2] % µ IMw t»< tâ< á D IL tâ<ç Dtè 26
t µ µ µ ) ä 1 ) µ Ê µ Ö-57 Förenla Ö-58 Förenla [1] ILã` T [1] IL [2] ILã [2] IL ß [3] 1 á äÿå [3] IL 3 [] o á ž äÿå [] ä ž á [5] Ö-59 Lös evationerna Ö-60 Bestäm reella lösningar till: [1] ILã " [1] [2] ILw [2] %5 [3] %JILãm [3] %5 ) " ) v [] ) < ) ;: r [5] %5 ) ) : Urpotenslagarnaanmanhärledaföljandelogaritmlagar(för $ och ~ Sats Avlag2följerspecielltatt BS IL $ ~ [1] IL $&% ~ ILÄ$IL ~ [2] IL +é ILÄ$ IM ~ [3] ILÄ$aê Ô%BILÄ$ Logaritmlagarna Motsvarandelagargällerocsåförtio-logaritmen, ILã IL ~ IL ~ ärinteliamed IMÄ$IL ~ (Mycetvanligtfelatttromotsatsen) : D ): gäller enligt logaritmla- xempel Lösevationen %JIMãm %BIMã Lösning: Föratt IMãT sallvaradefinieraträvsatt garna, att %JIMãT 2 %JIMã < µ ILã ILã 1 För < 5 < < ILã ty 2 Ì Svar: <3T< 27
Y Ö-61 Förenla Ö-62 Sö reella lösningar till evationerna [1] ILã 2 IMã 2 [2] IL 52 :%JIL %BIL [3] ILã 2 :%JILã [] IL 3TA IL [5] IL IM < IL A IL T [6] ILã t t»< IMã IMã` t»2 IMã [1] ILw7 %BIM IL < [2] IMãy IMã [3] IL " IMw 1 : IM [] IL IMl IM [5] IL " IL IL [6] ILã ƒ IMã 9 IMã 2 Trigonometri 21 Vinelmätning Vinlar an mätas i(delar av) varv, grader eller radianer Med 1 radian menas storleen av centrumvineln i en cirelsetor, där periferibågen är lia lång som cirelns radie(rita en figur) Sambandenmellandeoliaenheternaär: varv : œq Yz radianer Härav fås: QS3 2 Y radianer och 1radian= 2 3aQqç¼<etë Y (ftasrivermaninteutenhetenradian,utansrivertex A QS3 Y ) Ö-63 Bestäm grader och radianer för Ö-6 Bestäm grader och radianer för [1] 3 varv [1] 3 varv [2] 3T varv [2] =< varv(ritafigur) Ö-65 mvandla till radianer Ö-66 mvandla till grader [1] g< Y [1] QS3 : [2] < Y [2] `QS3T2 [3] : Y [3] TQì3 [] Y [] =<aq 28
í 22 Rätvinliga trianglar IenrätvinligtriangelärenvinelAY Qì3(radianer)menavdeövrigavinlarnaär,blir dentredjevinelnqs3,eftersomvinelsummanientriangelär2yä QVinelnQS3T allas omplementvineln till Den sida som står mot den räta vinlen allas hypotenusa och de båda övriga sidorna allas ateter För rätvinliga trianglar gäller Pythagoras sats: b Sats Pythagoras sats De trigonometrisa funtionerna definieras(för QS3T): DFINITIN -P ƒe3 b motstånendeatet _3 hypotenusa Zn\ 3 ^ b närliggandeatet -3 hypotenusa UWVT 3T motståendeatet _3 närliggandeatet Zn\ U 3T närliggandeatet _3 motståendeatet Härur fås: bl% _P dw %BUWVT dw UWVT Ÿž5ï îí ð ñ ï bl% Zn\ ^ % Zn\ U,samtatt ð ñóò ï Föromplementvinlen( Qì3 )gäller: -P QS3T Zn\ dnz]\ RQS3 ^ -P UWVT QS3 Z]\ U dnzn\ U RQS3 UWV Man erhåller ocså: Trigonometrisa ettan Sats _P Zn\ BS -P _P (Fås diret ur Pythagoras sats) _P % _P Ç -P ärejliamed -P 29
Y Y b A Y b ô ô Y ç 3 < < xempel Solveraenrätvinligtraingelmed t T< och ô Y (se figur), dvs bestäm de sidorochvinlarsominteärgivna Lösning: Vinlen õ Y ô : < 3 YNuär -P ô b, varför sidan t t ç et -P -P < të5t (-P < Y fås med ränedosa, ränestica eller ur tabell) Vidareär UWV e3 ô,varför e3 UNVT ç³ t tè :: ç : tè Svar: õ : < d b ç¼ et,och wç : të (längdenheter) xempel Bestäm -P och Zn\,om UWVT 53< QS3T och Lösning: Ritaenrätvinligtriangelmedateterna och nligt Pythagoras sats är hypotenusan då < T varför -P dnz]\ ^ Dåär UNVT T 53T< Ö-67 Solvera följande rätvinliga trianglar(betecningar enligt figur ovan): [1] b t : och ô Y [2] t och t [3] t 5< och õ [] t»< och õ Y [5] et»< och b t»< [6] et» och ô QS3T Ö-68 Bestäm(för ) exata värdet av: [1] Z]\ och UNVT,om -P 3T (Ledning: Ritaenrätvinligtriangelmed och b ) [2] -P och UWVT,om Zn\ 3T [3] -P och Zn\ ^,om UWVT <3 [] -P och Zn\ ^,om Zn\ U të D 30
Vi härleder nu de trigonometrisa funtionernas värden förg<yd:yochty(m man inte an dessa värden utantill, måste man snabbt unna göra en härledning) För och,samthypotenusanb g<y QS3ärdenrätvinligatriangeln(figur1ovan)enhalvvadratDåärateterna,varför: _Pg<Y _P Q Z]\g<Y Z]\Q UNVTg<Y UNVT Q Z]\Ug<Y Z]\UQ För :Y QS3 n andenrätvinligatriangelnuppfattassomenhalvlisidigtriangel(figur2ovan)(ienlisidigtriangelärallavinlarnaliamed:y,varförvinlarnaienhalv lisidig triangel är:ydwayochy) Alltså är hypotenusanb T och Pythagoras sats ger,varför: För _P`:Y -P Q Z]\:Y Z]\Q UNVT`:Y UNVT Q Z]\U:Y Z]\UQ Y Qì3:erhållesunderbetratandeavsammafigursomför:Y: 31
: Y Q Q Q Q í _P Z]\ UNVT Z]\ U Y Y Y Y -P Z]\ UNVT Z]\ U : : :º : ty -P TY=(motsåendeatet)/(hypotenusan)= 3T 3 osv Ö-69 Bestäm exata värdet av Ö-70 Förenla [1] Zn\ [2] ƒz]\ Y [3] UNVT(: Y UWV Y Y -P _3ƒZ]\ Zn\ Y Y _3 UNVT g< Y -P : TY -P TY [1] ð ñ Ü %B Ÿž Ü 1 í ëö»ö (Ledning: använd potenslagarna) [2] òl ž Ü %B ð ñ Ü ëö í ëö [3] Ÿž Ü v ð ñ Ü 1 3 òø ž Ü v ð ñóò Ü í»ö í ëö ëö»ö 23 De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar n vinel ränas positiv om den mäts moturs, och negativ om den mäts medurs, vanligen ränat frånpositiva -axeln Antag,att d $ ärenpuntpåenhetscireln,varsevationär ;$ De trigonometrisa funtionerna för godtycliga vinlar definieras genom: 32
d 8 8 $ Q d p p 3 DFINITIN -P Zn\ UWVT Zn\ $ 3 för p dó r dvs 3 $ för $ p dù D dvs QS3T ; QS QS QS3 Vi ser att definitionerna stämmer överens med de tidigare givna för, dvsför d $ (Ritafigur)ftersom -P $,är _P positivtförvinlariförstaochandra vadratenochnegativtitredjeochfjärdelinandereglerför Z]\ d UNVT dnz]\ U: Av definitionerna ovan följer diret att Sats [1] UNVT _P 3mZn\ ^ 3mZ]\ U och Zn\ U Z]\ _P 3 UWV [2] ½ -P ½¼ och ½ Z]\ ^ ½¼ Š förallavinlar Œ [3] _P D _P QS3T d _P Q r _P Qì3 d -P aq D [] Z]\ dnz]\ QS3 dnzn\ dnz]\ QS3T dnz]\ aq D " [5] _P -P F% aqs och Zn\ Z]\ ^ F% aqì,förvarjeheltal [6] _P Zn\ [Trigonometrisa ettan] 33
8 3 3 Q Q xempel Bestämexat: Z]\ ƒ5aqs3 : ) Lösning: Z]\ ƒ5aqs3 : Zn\ Qì3 : % aqs xempel Bestäm -P och Zn\,om Zn\ U Lösning: Medhälpavformeln Zn\ U Zn\ ^ Svar: _P samt triogometrisa ettan får man evationssystemet Zn\ ( -P Zn\ _P Zn\ RQS3 : och QS3 3T med lösningar 8 ftersom liggeriandravadranten,där Zn\ ^ och _P Z]\ =3 < ^ och _P 3 < Ö-71 I vilen vadrant hamnar följande vinlar? Ö-72 Bestäm exat [1] TQS3T [1] Zn\ Q [2] Y [2] -P aqs3 [3] < QS3 [3] -P TQS3g [] aqs3 : [] Zn\?=TQS35 [5] Y [5] UWV?fAQS3ag [6] Qì3T [6] Zn\ U? QS3T5 Zn\ -P ³ú T3 < 3g <,fås Ö-73Visaatt [1] 3mZn\ [2] 3 -P Ö-7Visa(förgodtycligaheltal )att UNVT [1] -P ` Q Zn\ U- D [2] Zn\ Q? s [3] -P 6 Ô QS3Ta [] Zn\ M Ô" QS3œ D s Ö-75 Bestäm exat Ö-76 Beräna exat [1] _P och UNVT,om Zn\ 53 och QS3 aq [2] Z]\ ^ och UWVT,om _P të û andra vadranten [3] -P och Zn\ ^,om QS3T UWVT [] -P och UWVT,om Zn\ ^ 3 och äri,och Q [1] -P Zn\ ^,om QS3T UWVT [2] _P Zn\ ^,om Zn\ U [3] UWVT Zn\ U,om _P Qì3 œq g3t och =3 och QS3T fa53 g<,och 3
2 Några enla 8trigonometrisa Z]\ _P Zn\^ _P formler 8 UNVT? UNVT _P Q¾ Z]\U ÀZ]\U -P Z]\ Q¾ qzn\ Sats 8 Z]\RQS3 _PRQS3= Zn\^ -P 8 UWVT QS3 Zn\U QS3= UNVT Z]\U 8 _P Z]\ QS Qì ÀZn\( _P 8 UWVT QS UWV Zn\U QS Z]\U Dessa formler an härledas med hjälp av spegling(se lärobo från gymnasiet) 35
Ê Ê Ê Q Ê xempel Bestäm Zn\ 6<aQS3 : Lösning: <œqs3 : liggeriandravadrantenanvändformeln Zn\ ÀZn\ Q Vifåralltså Z]\ <aq : Ì ÀZ]\ Ê Q¾ <aq : Ì ÀZ]\ : Ì xempel _P 5<aQ Ì -P Ê :% aq¾ Q Ì _P Ê Q Ì _P Q Ì Ö-77 Bestäm exat Ö-78 Bestäm exat [1] -P?`QS3g [1] -P Y [2] -P 6<aQì3 : [2] Zn\ Y [3] UWVT?`QS3T5 [3] -P? < TY [] Zn\ 6<aQì3g [] UWV Y [5] Zn\?=aQS3 : [6] UWVT 6aQS35 Ö-79 Bestäm exat Ö-80 Visa(utgående från formlerna ovan) att [1] -P œqs3t5 [2] UWVT 6<aQì3g [3] Zn\ 6< QS3T5 [] Zn\ U? Qì3T5 [1] UWV Q¾ [2] Zn\ U Q¾ Av formlerna ovan(i detta och föregående avsnitt) erhålles: Sats (1) _P -P hµ Ð% œq Q Ð% aq (2) Z]\ ^ Z]\ ^hµ Ð% aq Ð% aq eller eller UNVT ÀZ]\ U (3) UNVT UNVT hµ Ð% Q Isamtligaformlerovanär ettgodtycligtheltal 36
8 8 8 < % % % % ~ xempel Lös evationen -P Lösning: Qì3 nlösning är : Formel[1]ovanger _P Q tâ<, dvs bestäm alla vinlar som satisfierar evationen,ty -P?`QS3 : -P?`QS3 : -P QS3 : `QS3 µ : 3 Q Ql{ Qì3 eller : Svar: Qì3 : Q eller aqs3 :` Q,där ärettgodtycligtheltal Ö-81 Lös evationerna Ö-82 Lös evationerna [1] -P 3T 53T [1] -P [2] Zn\ ^ 3 [2] Zn\ 3 (Sätt < [3] UWVT [3] UWV Ö-83 Lös evationerna Ö-8 Lös evationerna [1] Zn\ Z]\ ^ [2] -P _P [3] UWVT UWV [] Zn\ _P [1] yzn\ [2] mzn\ [3] -P [] UWV "ü) Z]\ ^ (Sätt Z]\ ^ _P UNVT1 UWVT ) 25 Additions- och subtrationsformler Följande formler måste unna utantill eller unna härleda: Sats _P _P _P _P % Zn\ % Z]\ ^ ^ Zn\ Z]\ ^ ^ _P _P Z]\ Z]\ Z]\ Zn\ ^ ^ % Z]\ % Zn\ ^ ^ _P _P -P -P UNVT UNVT UWVT UNVT UWV UNVT _3 UNVT -3 zuwv %nunvt %BUWV BS -P ärinteliamed -P _P (alltför vanligt fel att tro motsatsen) 37
Y Y 8 8 % Q þ xempel Härledformelnför Zn\ Lösning: Zn\ Q _P Z]\ ^ % Z]\ utgående från formeln för _P Q Q -P cý óþ -P ÿý Q % Zn\ Zn\ ^ % -P ^ _P -P Ö-85Härledformelnför Ö-86Bestäm UNVT [1] -P utgående från formeln för -P [1] UWV 3 d UWVT _ (Ledning: [2] UNVT från formlerna för -P och [2] Zn\ UWV ed UNVT [3] UWVT frånformelnför UWVT Ö-87 Beräna exat Ö-88 Bestäm _P [1] -P < Y [Ledning: < g< [2] Zn\ T< [3] UWVT T<,om 3,om [1] -P 3Ted 3 -P och befinner sig i första vadranten 3T<ed 53< [2] -P -P och QS3T 26 Formler för dubbla resp halva vineln -P Zn\ % -P Zn\ % Z]\ ^ _P % Zn\ % _P -P ï Zn\ ï Zn\ Z]\ ^ ^ 38
attzn\ [1]Zn\ Ö-89 Härled Ö-90 Antag 3T Bestäm exat [1] formlerna förzn\ [2]-P dubbla vineln från additionsformlerna [3]-P3T []UWV3 [2] formlerna halva vineln från lämpliga formler Ö-91Bestämexat Ö-92Antagatt_P 53 ochatt [2]-P QS325 [1]-P<Y [1]-P QS3T [2]Zn\ Bestäm exat [3]UWVTTedˆ<Y [3]Zn\ 3 Plan analytis geometri 31 Avståndet mellan två punter Avståndet mellan två punterd$ochd$i ett > $ $ beränas med avståndsformeln(rita en figur): Avståndsformeln vanligt(ortonormerat) oordinatplan an Avståndsformlen bygger på Pythagoras sats [1]6edoch dˆ<t Ö-93 Bestäm avståndet mellan(och rita en figur) [3]? []?=edbf5ochdb= doch dbf5 [2]dn och origo [1]6dW5ochƒd Ö-9 [2]ƒ dw5ochdn Bestäm en punt på-axeln, som ligger lia långt från punterna 39