TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 mars 06 Tid 8:-: Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 0 av ma 4 poäng. För betyg A, B,, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. Uppgift. (p) Bestäm definitionsmängden till ln( ). Uppgift. (p) Beräkna följande gränsvärden sin a) lim b) lim 0 0 e sin c) + + lim. + Uppgift. (p) Tangenten till kurvan + y i punkten (, ) skär -aeln och i y-aeln i punkterna A och B. Bestäm arean av triangeln OAB där O är origo i y-planet. Uppgift 4. (4p) 4 + 4 Låt f ( ). a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär. b) Bestäm eventuella asymptoter till f (). c) Rita funktionens graf. Var god vänd.
Uppgift. (p) Beräkna följande integral + d. + Uppgift 6. (p) Vi betraktar en tunn metalltråd som har den konstanta snittarean A cm ligger på -aeln mellan a cm och b cm. Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm. Trådens massa kan beräknas med formeln Beräkna trådens massa om Uppgift 7. (p) b m A ρ ( ) d a ρ 0 + e g/ cm, A0. cm, a 0 cm och b cm. Lös differentialekvationen y y + y 0 då y( 0) och y ( 0) 0. Uppgift 8. (p) Lös differentialekvationen 0 ln y + y med villkoret y ( ). 00 Uppgift 9. (p) I nedanstående R-krets finns en kondensator med kapacitansen 0.0 farad, en resistor med resistansen R00 ohm och en spänningskälla med den konstanta polspänningen. U 0 4 volt. Kondensatorn är oladdad vid t0. Bestäm spänningen över kondensatorn U c ( som en funktion av tiden t. R i( U Tips: Spänningsfallet över en resistor med resistansen R är lika med R i( eller kortare R i(. Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen och U R laddningen q ( är lika med q ( /, dvs U. Dessutom gäller q ( i(. Lycka till.
FAIT Uppgift. (p) Bestäm definitionsmängden till ln( ). Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda: Villkor : > 0, Villkor : 0 Villkor löser vi med hjälp av teckentabell: + 0 0 + 0 + 0 Alltså Villkor är uppfylld om < <. Notera att Villkor är redan inkluderad i denna lösning. Rättningsmall: Korrekt tabell p. Korrekt tabell och svaretp Svar: Funktionen är definierad om < <. (Alternativt svar: Definitionsmängden D(,) ) Uppgift. (p) Beräkna följande gränsvärden sin a) lim b) lim 0 0 e sin c) + + lim. + a) sin 0 lim 0 0, L' Hospitals regel cos 0 lim 0 0,, L' Hospitals regel sin 0 lim 0 6 0,, L' Hospitals regel cos lim 0 6 6
b) lim 0 sin e 0 0, L' Hospitals regel e lim 0 cos. ( + + ) ( + + ) + + c) lim lim lim 0. + ( + ) ( + ) Svar: a) b) c) 0 6 Rättningsmall: Korrekt metod och svar ger p för varje del. Uppgift. (p) Tangenten till kurvan + y i punkten (, ) skär -aeln och i y-aeln i punkterna A och B. Bestäm arean av triangeln OAB där O är origo i y-planet. Implicit derivering ger + y y 0 y. y Tangentens ekvation är y ( ) eller y +. B(0,) (,) O A(,0) Tangenten skär aeln i punkten A (,0) ( som vi får om vi substituerar y0 i löser ut ur ekvationen y + ) och y aeln i punkten B (0,) (som vi for om vi substituerar 0 i tangentens ekvation y +.) Arean av den rätvinkliga triangeln OAB är a. e. Svar: a. e.
Rättningsmall: Korrekt tangentens ekvationp. Korrekta punkter A och B p. Allt korrektp. Uppgift 4. (4p) 4 + 4 Låt f ( ). a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär. b) Bestäm eventuella asymptoter till f (). c) Rita funktionens graf. 4 + 4 ( 4)( ) ( 4 + 4) 4 + 4 a) f ( ) ( ) ( ) + 4 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) 0 0 ( ) Detta ger två lösningar: 0 och och därmed har vi två stationära punkter: S (0, 4) och S (,0 ) Förstaderivatans tecken: 0 0 + + + + + ( ) 0 + ( ) + + + 0 + + + ( ) + 0 ej 0 + f ( ) ( ) def f () ma ej def min b) i) Funktionen är definierad för.
lim f ( ) 4 + 4 4 + 4, lim f ( ) +. + Alltså är en vertikal (lodrä asymptot. Polynomdivision ger lim f ( ) 4 + 4 +. (Notera att 0 om ± ) Därmed är y en sned asymptot. c) Funktionens graf: Rättningsmall: Korrekt derivatan och två stationära punkter p. Korrekt en punkt och punktens typp Korrekta två stationära punkter och dras typ p. Korrekta asymptoter +p. Korrekt grafen +p. Uppgift. (p)
+ Beräkna följande integral d. + + d d d d d + + + + + + (formelblad) + arctan + ln( + ) +. Svar: arctan + ln( + ) + Rättningsmall: Korrekt d eller d + ger p. Allt korrektp + Uppgift 6. (p) Vi betraktar en tunn metalltråd som har den konstanta snittarean A cm ligger på -aeln mellan a cm och b cm. Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm. Trådens massa kan beräknas med formeln Beräkna trådens massa om b m A ρ ( ) d a ρ 0 + e g/ cm, A0. cm, a 0 cm och b cm. m b A ρ ) d 0. (0 + ( e ) d a 0 + e e ) 0 (0 Svar: [( + e e ) (0 + 0 ) ] 4+ e 4+ e m gram Anmärkning: Partiell integration ger e d e e Rättningsmall: Korrekt till Uppgift 7. (p) e e ) 0 (0 + ger p. Allt korrektp Lös differentialekvationen y y + y 0 då y( 0) och y ( 0) 0. Den karakteristiska ekv: r r + 0 r, r. Den allmänna lösningen: y e + e Från y( 0) och y ( 0) 0 får vi systemet (notera att y e + e ):
+ + 0 som ger och. Därmed är y e e. Svar: y e e Rättningsmall: Den allmänna lösningen y e + e ger p. Allt korrektp. Uppgift 8. (p) Lös differentialekvationen Metod. Beteckna 0 ln P( ) och Q( ). 0 ln y + y med villkoret y ( ). 00 0 Först P( ) d d 0ln P( ) d Integrerande faktor är e e 0 9 0 ln y + 0 y 0 9 D( y ) ln 0 9 y ln d 9 ln d (partiell integration) 0 ln 0 0 d 0 0 ln 0 0 0 0 y ln + 0 00 0 ln 0 0 0 ln 0 0 ( e ) + y ln + 0 00 0 y ( ) ln + 00 00 0 00 0 Metod. (formel y( ) F ( + F Q( ) d) ) 0 ln Beteckna P( ) och Q( ).
0 Först P( ) d d 0ln P Integrerande faktor är F e ( ) d e Lösningen för vi med hjälp av formeln: y( ) F ( + F Q( ) d), 0 0 ln y( ) ( + d) 0 9 y( ) ( + ln d) 9 ln d (partiell integration) 0 ln 0 Därmed 0 d 0 0 ln 0 0 0 ln 0 0 + ln 0 0 ( e ) 0 0 0 y( ) ( + ln ) 0 0 0 0 y ( ) + ln ) 0 00 Som ovan: y ( ) ln + 00 00 0 00 Svar: y ( ) ln + 0 0 00 0 Rättningsmall: Korrekt integrerande faktor är 0 9 Korrekt till y( ) ( + ln d) ger p. Allt korrekt p. 0 0 F ger p. Uppgift 9. (p) I nedanstående R-krets finns en kondensator med kapacitansen 0.0 farad, en resistor med resistansen R00 ohm och en spänningskälla med den konstanta polspänningen. U 0 4 volt. Kondensatorn är oladdad vid t0. Bestäm spänningen över kondensatorn U c ( som en funktion av tiden t. R i( U
Tips: Spänningsfallet över en resistor med resistansen R är lika med R i( eller kortare R i(. Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen och U R laddningen q ( är lika med q ( /, dvs U. Dessutom gäller q ( i(. u ( + u ( U R R i( + U 0 00 i ( + 4 (*) 0 För att få en ekvation med EN obekant funktion kan eliminerar vi antingen q ( eller i ( ur (*). Eftersom vi ska beräkna U är det mindre räkning om vi eliminerar i ( som vi gör i metod. Vi ska beräkna METOD. Eliminera i( ur ekvationen 00 i ( + 4 : 00 q ( + 4 q ( + t q ( De + 4 0 4 q (0) 0 0 De + D t ( 4 q e U + 4 4 / e 4 4 + 4 e t t c( t ) Svar: U ( 4( e ) c + 4 METOD. Eliminera ur ekvationen genom att derivera ekvationen 00 i ( + 4. Vi får 00 i ( + i( 0 Villkoret q ( 0) 0 och 00 i ( + 4 ger villkoret för i(0): 4 00 i (0) + 0) 4 i(0). 00 Därmed har vi ekvationen 00 i ( + i( 0 med villkoret i ( 0).
Den karakteristiska ekv: t i( Ae Från. i ( 0) har vi t i( ) 00r + 0 r och därmed A och därmed t e. Vi bestämmer q ( med hjälp av sambandet q ( i(, som ger e 4 t i( dt + B e + B. t 4 4 t 4 q ( 0) 0 0 B och därmed q ( e +. Slutligen spänningen över kondensatorn U 4 t 4 e + t ( c 4 e / + 4 t Svar: U ( 4( e ) c Rättningsmall: Korrekt ekvationen R i( + U 0 ger p. Korrekt i( eller q ( ger p. Allt korrekt p.