6.1 Histori, grundläggande lagar och begrepp 6.13 Använd resultaten i 6.1 a) och c). 6.6 Uttryc noralaccelerationen för en planet i dess banradie och oloppstid. Kraften är uttryct i banradien = avståndet till solen. 6.9 a) I den föreslagna referensraen: A vilar i origo (v A = 0, s A = 0) v B = a B t s B = s o + a B t där a B = 1,5 /s s o = 30 6.11 Utgå från Newtons lag d v s F absolut = a absolut Använd galileitransforationen, ev. (6.1.4) för hastighet och acceleration. 6.1 b) M R ϕ O ϕ dϕ Eleentarraft på P f = G daσ där ➀ ρ σ = M/4πr och ρ = (r + R rrcosϕ) 1/ Addera raftoposanter längs PO. Bidrag från alla eleent so bildar ett cirulärt band på sfärens yta ed radien Rsinϕ och bredden Rdϕ : πr sinϕ Rdϕσ df = G cosα ➂ ρ Här är cosα = R r ρ (cos.teoreet) rρ Integrera ➂ över hela sfären ed ϕ so integrationsvariabel. Vi får F = G4πR σ 1 r = GM r r ρ ρ α α P 6. Tilläpningar 6.15 F är den uppåtritade raft so annen påverar barnet ed. "Tyngd" i ilogra åste då i en situation so denna avse storheten ' so uppfyller sabandet F = 'g. 6.17 Jäför e. 6.15 ovan. 6.0 Eipagets acceleration är a = g sinα. Tilläpa på ulan acc.lagen F = a. Två oponentevationer uppställs. 6. Låt v o = 18 /s och t 1 = 1, s. Koordinaterna (s 1 och s ) för de två bollarna är följande funtioner av tiden s 1 = v o t 1 gt s = v o (t t 1 ) 1 g(t t 1 ) 6.4 Sätt t 1 = 4,6 s. Mellanresultat: Vid tiden t = t 1 är hastigheten 3gt 1 och tillryggalagd sträca 7gt 1 6. Därefter verar endast tyngdraften. 6.5 Acc.lagen: a) F r = a r Enlast: F r = G M r och a r = v dv dr r v Ger GM r dr = vdv osv R v o 6.6 Jäför e. 6.5. används. 6.9 µ s avgör när roppen börjar röra sig; sedan gäller µ = µ. 1
6.30 Se anärning vid e. 6.9. c) för t > 3,5 s: O i beräningarna bostäverna står för storheternas ätetal i SI-systeet: 1 g t 0,5g dv dt = 5 6.3 Sriv i acc.lagen accelerationen enligt = d d 6.33 Betrata en viss "resa" vilen so helst under vilen totalsträcan L tillryggaläggs. Vid en viss tidpunt har då vägoordinaten värdet s satidigt so hastigheten har värdet v. Enligt probleteten är då återstående rörelsesträca = 5 ln 1 + v 4 Alltså: L = s + 5 ln 1 + v 4 Tidsderivering av denna evation ger ett saband ellan v och v. 6.43 Det är från början inte lart o A glider relativt B eller ej. O an börjar ed antagandet att A följer ed i B:s rörelse an accelerationen hos ropparna beränas till 6,06 /s. Denna acceleration hos A an doc inte fritionsraften (so är högst 0,4 A g) ellan ropparna åstadoa. A glider alltså relativt B; fritionen är fullt utbildad på båda ställena. Med = 4 g och F = 180 N fås då: F 0,3 5g 0,4g = 4a B 6.44 Var uppärsa på åt vilet håll den inbördes fritionsraften (µg) ellan trailer och container verar på resp. ropp. Obs. ineatist saband. 6.45 Kineatist: Kropparnas accelerationer är 4a, a och a. Bloc och linor är lätta varför linrafterna an tecnas so i figuren. S B S B 6.37 Mellanresultat: Första situationen innebär att fritionsoefficienten µ 0,80. SC S C S C S B 6.40 Observera det ineatisa sabandet ellan ropparnas hastigheter. Observera ocså: Kraften i stången ellan blocet och den övre roppen står i en viss, enel relation till raften i linan. Denna relation används. 6.41 Mellanresultat: Planet fieras i läget α = 43,91. Acc.lagen tilläpas på ropparna en i taget. Eliinera linrafterna och beräna acceleratio nerna. Ger a = g 7 (8eα 5,5) För beräning av sluthastigheten, enlast: (a = ) v dv d = g 7 (8eα 5,5)
6.46 Fall 1: Brossträcan blir Fall : Accelerationen är s 1 = vo /µ 1 g = 39,8 (µ 1 = 0,80) a(v) = µg = µ o g 1 v (µ o = 0,75) α Integrationer ger v(t) och sedan s(t) = αt + (α v o ) α µ o g (1 eµ ogt/α ) Koer till stopp (v = 0) vid tiden t = α µ o g ln α α v o Ger brossträcan s = 53, 6.48 Diff.ev. ed beg.villor ger s = g c t g c (1 e ct ) 6.51 För t 0: URK s U = v 1 t (v 1 = 300 3,6 /s) 007 g cv = a ➀ där c = g v 1 ➁ Progra: Sö läget (s B ) för 007 so funtion av t. Sätt s U = s B och lös ut t. Beg.villor till diff.ev ➀ t = 0 v = v 1 s B = 40 Ger s B (t) = v 1 t + v 1 g (1 e gt/v 1 ) + 40 Evationen s B = s U an lösas nuerist. Inför t e y = gt. v 1 Ger y 0,757 t 3,1 s 6.5 I båda eperienten är a = 0. 6.49 ΣF = v : g cv = dv dt Från dv g cv = dt följer svaren på a) c). gsinα µgcosα dv = 0 Ger två evationer i d och µ. d = 0,8 Ns / µ = 0,14 där = 87 g d) 1 dv = g cv ds ger eat lösning där s = 1/c an sättas in. Tänbart alternativ (jobbigare): Lös först ut t ur svaret i b) (räver nueris lösning). Sätt sedan in detta t-värde i v-funtionen enligt a). 6.50 Första inforationen ger att, o otståndsraften srivs cv, så är otståndsonstanten c = g/v g där v g = 7 /s. Rörelseev. g cv = v ger sedan att ln g + cv = ct osv g + cv o 6.55 Lösningar till rörelseevationen: Linjär odell v = v o e ct s = v o c (1 e ct ) Kvadratis odell v v = o s = 1 1 + v o t ln(1 + v o t) En ateatis odell är alltid förenlad; vi an inte vänta oss svar på alla frågor se b) och c). 3
6.56 v o = 4 /s = 150 g a) Acc.lagen på foren v dv ds = (cv + bv ) Lösning s = b ln c + bv o c + bv b) Acc.lagen på foren dv dt = (cv + bv ) Lösning cv v = o e ct/ c + bv o bv o e ct/ För övrigt jfr e. 6.55 6.57 Lyftraften enligt Ariedes princip är 3g. Acc.lagen Däred dv = 3g g v dt 1 g ln g + v g v = t 6.58 Behandla rörelse uppåt och nedåt var för sig. Tidsförloppet ej ed i frågeställningen. Pröva för accelerationen uttrycet a = v dv ds = 1 dv ds. Sriv luftotståndet på foren cv. Rörelse uppåt: Acc.lagen 1 dv ds Ger s = 1 c ln g + cvo g + cv = g cv Rörelse nedåt: Acc.lagen 1 dv = g cv d (-aeln nedåt, = 0 i toppunten) Ger = 1 c ln g g cv Gränshastigheten vid fritt fall v g = g c 6.59 Efter första sedet, i det ögonblic då sären lösgörs, är den tillryggalagda sträcan s 1 = 1 340 ln b 50 = 958,5 6.60 Acc.lagen ger s(v) = 1 bc arctan u c arctan v c där u är hastigheten vid starten. s a otsvarar u = och v = 0. 6.6 Lägg inte till någon tyngdraft eller noralraft! Den givna raften är den resulterande. 6.64 d) Det går att finna en linjärobination av de tre oordinaterna so är onstant, oberoende av t. Däred är ett plan definierat, i vilet rörelsen ser. Däred ligger ocså raftvetorn i detta plan. Uppgifterna 6.65 - forts. Kaströrelseprobleen behandlas ofta sidigast o an först tecnar oordinaterna (, y) var för sig so funtioner av tiden t. Däred har an ocså banurvans evation på paraeterfor. Detta är ofta att föredra fraför att försöa utgå från parabelurvans evation uttryct so y = f(). 6.69 Ideala elevationsvineln (45 o ) för långt ast an ej användas i b) slår i "taet". 6.70 Rörelsen i planet styrs av tyngdraftoposanten g'e y. Här är g' = g sin5 och y-ritningen nedåt utefter linjen för största lutning. 6.71 6.7 Kastparabelns evation y = f() so utgångspunt. Jfr ill.e. 6..8. 4
6.73 h =,0 v o = 13 /s = v o cosα t y = h + v o sinα t 1 gt Stötlängden (z) fås so -värdet för y = 0. z v o g sinαcosα z h v o g cos α = 0 ➀ Derivera denna ev. ed avseende på α och sätt dz = 0 i det erhållna uttrycet. dα Detta ger z a = h tanα Sätt in detta i ➀: sin 1 α = + gh v o eller α = 4,0 o Däred z a = h tanα = 19,1 6.74 Se ev. ➂ i ill.e. 6..7, astparabeln: g y = v o cos α + tanα För givet (= 0 ) betratas y so funtion av α. Kan visas, att y då har aiivärde för tanα = v o osv g 6.75 Med origo i P och horisontell -ael följer roppen urvan (ev. ➂ i ill.e. 6..7) g y = v o cos β + tanβ ➀ Det lutande planet representeras av linjen y = 3 Kobinera ➀ och så fås oordinaterna för särningspunten ( l ; y l ). Utgående från funtionen 1 (β) an frågeställningarna i a) och b) bearbetas. 6.76 Läpligt oordinatsyste: -ael uppåt planet, y-aeln nedåt planet. = gsin0 o y = gcos0 o Begynnelsevillor insätts o s v. Sö sedan v för y = h. 6.77 Lägg in läpligt Ayz-syste (ed sitt origo i utastpunten A). Tre oponentrörelser; tag fra funtionerna (t), y(t) och z(t). Arbeta ed dessa: Bestä tidpunten t 1 för träff. Värdena på oordinaterna och deras derivator vid tiden t 1 är av intresse. 6.78 Tän på vad det innebär ifråga o luftotståndsraften storle, o hastigheten i ett visst ögonblic är just v g. 6.80 Inför ett oordinatsyste (referensra) ed en onstant hastighet so är lia ed bilens hastighet i utastögonblicet. Detta oordinatsyste är ett inertialsyste och an däred betratas och hanteras so fit. Däred oer bilen att hanteras so o den började accelerera från vila i det ögonblic då partieln astas iväg. För den atuella frågeställningen är detta helt orret. I det fia systeet utför partieln aströrelse ed given utgångsfart (v o ) och elevationsvinel (α). Den absoluta astlängden L är däred i vanlig ordning given so en funtion av α. Partieln tar ar på flaet i en punt vars avstånd 1 till utgångspunten på flaet an uttrycas i L och den tid astet har tagit. (Bilen har ju under denna tid rört sig sträcan 1 (0,75g)t och t an uttrycas i α.) Däred har an 1 so en funtion av α ed v o so en paraeter. Sö det värde på α so ger ett aiu hos 1. So en etra hjälp, 1 är följande funtion: 1 = v o g sinα cosα 3 sin α 5
6.81 I en inertialra so följer ed hjulets centru är begynnelsetillståndet i aströrelsen det so figuren visar. y r v o α 6.9 Det är fråga o ett funtionssaband ellan läge och tid. Acc.lagens oponenter i noral- och tangentritningar: N = v R µn = dv dt Med givna begynnelsevillor fås efter integration vägoordinaten s so funtion av tiden. s = R µ ln 1 + µv o R t Inför so oordinat höjden y över hjulcentru. I det ögonblic en sten lossnar i läget α gäller för dess oordinat och hastighetsoponent: y = r sinα y = vo cosα där r = 0,65 v o = 4 /s Med detta so begynnelsevillor i aströrelsen fås y(t) = r sinα + v o cosα t 1 gt 6.94 Observera att roppen rör sig i en horisontell cirelbana ed radien 90 roppen endast påveras av tyngdraften och en noralraft från onen 6.95 Kroppens acceleration är sin30 o ω. Betrata de två gränsfallen ed fritionsraften ritad uppåt och nedåt resp. Låt största värdet på y (för givet α) vara h. Sö a. av funtionen r + h(α). µn N N 6.83 Obs. analogin ed aströrelse. 6.86 Se disussionen vid figur 6.1.7. g a g µn a Uppgifterna 6.88 - forts. Se disussionen o fitivrafter vid figur 6.1.6. Endast verliga rafter sall användas här. 6.98 Punten på aren åste ligga på evatorn. Vinelhastigheten i banan är lia ed (den absoluta) vinelhastigheten hos jorden i dess rotationsrörelse. 6.90 Själva staven är asslös. Den an behandlas so i statien. Jfr ed resoneanget ring figur 6..1 under Masslösa asinoponenter. 6.101 b) Börjar glida då F frition = µg Alltid gäller F frition = a 6.91 Observera att fritionsraften har två oposanter en att i fritionsvilloret ingår raftens belopp; F µn 6
6.103 F n = a n N gsinϕ = Rϕ ➀ F s = a s gcosϕ µn = Rϕ Använd ϕ = d ϕ ϕ dϕ = 1 d ϕ dϕ ➀ och ger d dϕ ( ϕ ) + µ ϕ g µg = cosϕ R R sinϕ ➂ Med y = ϕ är detta en differentialevation av typen y' + µy = f(ϕ) ➃ Dess allänna lösning är y = y h + y p där y h = Ae µϕ är den "hoogena lösningen" och y p är en partiulärlösning till ➂-➃. Visa att funtionen y p = Bcosϕ + Csinϕ satisfierar ➂ o B = 6µg R(1 + 4µ ) C = g(1 µ ) R(1 + 4µ ) Begynnelsevilloret ger värdet på oefficienten A: A = 6µg R(1 + 4µ ) Det efterfrågade sabandet är häred ϕ = Ae µϕ + Bcosϕ + Csinϕ 6.104 Då a är onstant har vi i läget B: v = as där s = 3πR 4 Acc.lagen F n = a n används ed N = 0. 6.106 a) Eat ellanresultat: gr söt fart v = tan15 där r = (1, ) cos15 6.107 Utgångshastigheten i aströrelsen är v o = g (85 ) (ill.e. 6..7 c)) 6.108 Accelerationen a är lodrät ed onstant belopp g. v Bevisa och använd sabandet ρ = g cosα där α är bantangentens lutningsvinel. 6.109 Se e. 6.108. Utnyttja uttrycet för ρ. b) I högsta punten är farten (16 /s) cos40. 6.110 Låt y = Asinπ ed A = 0,05. Betrata sabandet ΣF y = a y y N g Villoret att N alltid är > 0 används. = vo = 0 Visa y = Aπ sinπ v o 6.111 I punterna A och B: µn = N g = = µg µ y ➀ y Derivera urvans evation a p tiden: y = 0, 0,6cos(0,) y = (innehåller även -ter) Här är = v = 60 /h. Vidare är värdena på sinus- och cosinusfuntionerna i A och B ända. Använd nu ➀ och och det söta fås. I punten C: Infleionspunt där röningsradien är oändligt stor (ρ = ) d v s a n = 0. Kan då behandlas so o inbrosningen sedde på lutande plan ed lutningen bestäd av dy d. 6.11 Med den givna raftfuntionen innebär ω = acc.lagen: ω y = y ➀ Bilda tidsderivatan av funtionerna f 1 och f. Enligt ➀ är då dessa tidsderivator noll. S α 7
6.113 a) Antag ontat ellan siva och partiel. Partielns vertiala acceleration är då y = ω h cosωt ΣF y = y Villoret N 0 visas innebära att alltid åste gälla: ω h g b) Horisontell -ael längs utastritningen. ΣF = : µn = N finns i ΣF y = y och däred: = µ(g ω h cosωt) sat = vo µgt + µhω sinωt ( = 0 då rörelsen upphör) c) Villoret = 0 leder ed givna värden till 1 ωt + 0,5sinωt = 0 Nueris lösning ger ωt 1,499 Glidsträcan fås då ur vägfuntionen (t) = µg ω t 1 µgt + µg (1 cosωt) ω 6.114 ΣF = a övergår i ed beg. vill. = eby y = ee + eb z = 0 t = 0 = y = z = 0 = v o y = z = 0 (Härur fås z = 0, rörelsen ser i z-planet.) Derivera första ev. i ➀ a p t och obinera ed andra ev. i ➀. Inför betecningen u =. Vi får u e B + u + E B = 0 so, ed utnyttjande av beg.villoren, ger funtionerna u(t) och (t). Andra ev. i ➀ övergår nu i där ω = eb. y = eb v o + E B ➀ ➁ cos ωt ➂ a) ➂ ed beg.villor ger funtionen y(t). Vi har y = eb v o + E B (1 cosωt ) = eb v o + E B sinωt E B t b) Sö punten där u = = 0. E Där är cosωt = B v o + E B och således y = = v o eb 6.3 Härledda lagar 6.115 W = F dr = F dr = F (r r 1 ) där r och r 1 är lägesvetorerna för slut- resp startpunterna. 6.118 Jfr ill.e 6.3.3! 8
6.119 a) Linraften är F = R cos(ϕ/). Kraftens oposant längs cirelns tangent är F s = F sin(ϕ/). F ö se ill.e 6.3.3. b) Sillnaden jäfört ed (a) är att F = (R cos(ϕ/) R ). 6.14 Tyngdraftens totala arbete är noll. 6.15 Använd lagen för inetisa energin: W = T 6.16 Utgå från v g = a. Sriv först o a so dv och visa att dt τ = ln g + v o g v 1 där v 1 är farten vid återosten. Sriv därefter o a so v dv och visa att ds v 1 = g ln g + v o v g v o 1 Geno att jäföra uttrycen ser an att v 1 = gτ v o Det söta arbetet an sedan beränas h a lagen för inetisa energin. 6.17 T absolut = 1 (v + u) 1 v A:s arbete = ändringen av T i A:s inertialra alltså 1 u. Resten av T absolut åste tåget ha svarat för. När A astar iväg föreålet påverar detta A ed en baåtritad raft enligt Newtons 3:e lag. A påverar i sin tur tåget ed en lia stor baåtritad raft. Denna borde noralt innebära att tågets fart insar. Enligt teten bibehåller doc tåget onstant fart. För att detta sall vara öjligt åste därför en viss energi tillföras (för ett ånglo enligt figuren i boen geno förbränning av ol). Denna tillförda energi är lia ed vu och an i slutändan sägas ha använts för att uträtta arbete på det astade föreålet. 6.18 Med betecningar enligt figuren nedan: F fj = g 1 1 cosϕ N = g cosϕ F = µn Minsta arbetet uträttas o ΣF = 0 i varje ögonblic. a a W in = 0 P in d = 0 (F fj sinϕ + F) d = π/4 = a g (tanϕ sinϕ + µ cosϕ) cos ϕ dϕ = 0 1 =ga cos ϕ 1 cosϕ + µ ln tan ϕ + π π/4 4 a y ϕ 6.133 Jfr ill.e 6.3.6! F fj F N g 6.134 Nyttig effet P ut = 0,7 750 W Drivande raften F = P ut där v = 40 /h. v F D = a, där D är rörelseotståndet. 6.135 a) Konstant hastighet innebär att drivande raften är lia ed rörelseotståndet. b) Här är den drivande raften lia ed suan av rörelseotståndet och tyngdraftens oposant baåt. Se ocså ledning till e 6.134. P 0 6.136 Cylistens effet antas given = P. Vid onstant fart: P Dv = 0 v 3 = P. Minsa ed % och räna ut relativa ändringen i v. 9
6.139 Villor på noralraften: N 0. Sö N(ϕ) och använd villoret ovan. v fås ur energilagen so funtion av ϕ. 6.140 Villor på noralraften: N 0 överallt (störst ris att ontaten förloras i högsta punten). Använd energilagen för att be stäa farten i högsta punten. 6.14 Använd lagen för inetisa energin för att bestäa hastigheten i B. Att K tappar ontaten i B innebär att noralraften är noll där. 6.143 Kraften i tråden åste vara positiv hela tiden (störst ris att tråden slanar i högsta punten i cirelbanan). Använd energilagen för att bestäa farten där. 6.145 Mellanresultat: Farten vid taanten är 5,0 /s. 6.146 Snörraften fås ur ΣF n = a n, där a n = v /L. Farten v bestäs h a energilagen. 6.147 a) Kroppen rör sig i en cirelbana. När farten är aial är tangentialaccelerationen a s =v = 0, d v s ΣFs = 0. Fritionsraften F = µgcos30 Tyngdraftoposant i planet: g' = g sin30 ΣF s = g' cosϕ F so bestäer ϕ b) Lagen för inetisa energin: g'l sinϕ FLϕ = 1 v där v = L ϕ c) Snörraften fås ur ΣF n = a n d v s S g'sinϕ = v L 6.148 Med betecningar enligt figuren nedan: d v o = v cosϕ dy = tan ϕ Lagen för inetisa energin ger: gy = 1 v 1 v o so leder till d dy = gy v 0 so efter integration ger svaret. y ϕ 6.151 I gränsfallet stannar roppen i det läge där fjädern är ospänd. Använd lagen för inetisa energin. Fjäderraftens arbete = V = L /. 6.15 Fritionsraftens arbete = (T + V) 6.154 b) Svaret fås geno nueris lösning av evationen 1+ y = y y + där y = /a. 6.155 Energin onserveras. Observera att begynnelsehastighetens ritning är oväsentlig i detta saanhang. 6.157 Jfr ill.e 6.3.9, speciellt oentar. 6.158 Energionservering ger: 1 v G M = 0 r där v då är flythastigheten 5 /s (jfr ocså ill.e 6.3.9, speciellt oentar ). Vidare är M = 4 3 πr3 ρ. v 10
6.159 Börja ed att beräna farten och banradien för den geostationära satelliten. Utnyttja ΣF n = a n, sat det fatu att satelliten åste fullborda ett varv i banan på saa tid so jorden roterar ett varv ring sin ael, d v s på ett dygn. Använd energilagen för att beräna vilen absolut hastighet avfallsbehållaren åste ges. 6.160 a) Sabandet ellan raften och potentiella energin ges av ev (6.3.). c) Svaret fås geno nueris lösning av evationen e y + y = e 1, där y = α. 6.161 Potentiell energi: V() = F o L 4 L 4 L 6.16 Partieln har störst fart, när inetisa energin är so störst, vilet inträffar när potentiella energin har iniu. 6.165 Använd ev (6.3.35)! 6.166 Använd ev (6.3.36) för a) hela tåget b) dels loet, dels sista vagnen. 6.167 Använd ev (6.3.36) 1) på hela tåget under de inledande 0 s, ) på loet och den återstående vagnen under nästa 0 s. 6.169 Efterso fritionsraften byter ritning, då roppen byter rörelseritning, åste probleet lösas i två steg. Först beränas hur lång tid det tar tills roppen vänder; därefter beränas hur lång tid det tar att uppnå hastigheten v. Observera att probleet förutsätter att µ > cot α; i annat fall stannar roppen definitivt när den brosats upp av tyngdraften och fritionsraften. 6.170 Använd ev (6.3.35), och tän på att integralens värde an beränas diret ur diagraet. 6.171 Partieln börjar inte röra sig förrän vid t = 1 s, då P nått fritionsraftens aiala belopp (µ s g). Därefter är totala raften lia ed P µ g. 6.17 F t = v v 1 o s v 6.173 a) Kraftoentet a p en vertial ael geno hålet är noll. c) Arbetet = ändringen i inetis energi. 6.174 Rörelseängdsoentet a p lodlinjen geno O onserveras. För varje cirelbana visas att v g tanα = l sinα där l är linans längd, α dess lutningsvinel. 6.175 r 1 = 18000, v 1 = 4700 /s Totala energin E = v 1 GM r 1 Rörelseängdsoentet L = r 1 v 1 sin84 o. Då avståndet har a eller in är vineln ellan v - och r -vetorerna 90 o. Efterso energi och rörelseängdsoent onserveras gäller i de två atuella punterna: E = v GM och L = rv r Detta evationssyste ger de två efterfrågade värdeparen för v och r. 6.176 Bestä först rydstationens hastighet. Resultat: 4597 /s. Använd därefter energionservering för att bestäa hastigheten vid uppsjutningen. Elevationsvineln bestäs slutligen av att areahastigheten är onstant. 6.178 Rörelseängdsoentet a p en vertial ael geno O onserveras liso energin. I de punter där avståndet till O har a eller in är lägesvetorn och hastighetsvetorn vinelräta. Detta innebär att rörelseängdsoentet fås so rv. 11
6.179 Se ledning till föregående proble. Svaret fås geno nueris lösning av evationen v o L ( + L) + v o L = 0 Här är = 100 g, = 50 N/, v o = 4,0 /s, L = 100 och guibandets förlängning i de söta punterna. Partielns avstånd till O är alltså + L. 6.4 Svängningsrörelse 6.181 b) Krafterna i de båda fjädrarna är lia stora och lia ed raften på roppen. Kroppens förflyttning är suan av fjädrarnas förlängningar. 6.183 Obs. liheten ed 6.181 b). 6.184 Försö sapa en svängningsevation av typen (6.4.5). I detta fall an det närast betyda y + eff y + onstant = 0. 6.185 a, b, d) Tän på "asslösa asinoponenter" och "ineatisa saband". (se ap 6.(a)) c) Använd resultat från uppgift 6.181. 6.186 Vid tiden t är de tillryggalagda sträcorna: Vagnen: Loet: y = at Vagnen: F = ger (y ) = ➀ För in linförlängningen z = y. ➀ går över i z + = 0 Använd begynnelsevilloren: t = 0, z = 0, z a = 0 z(t) = (1 cosωt) 6.187 Kroppen A börjar röra sig i ett läge so är sträcan g under jävitsläget. 6.189 Beräna aiala fjäderförlängningen i en svängningsrörelse so otsvarar den so B inträder i innan A glider. Jäför fjäderraften ed fritionsraften. 6.191 Visa: Så länge den övre roppen rör sig åt höger gäller: g µg = Hela den första rörelsen åt höger otsvarar en halv period i svängningsrörelsen. 6.19 O y är fjäderns sträcning gäller: acc. lagen på hela systeet: g y = y acc. lagen på undre roppen: g F = y där F är liraften. F sätts = 1,5g. Ger det söta y-värdet efter eliinering av y. 6.193 Efterso systeet är i jävit vid = 0 så är rörelseevationen = ( eller hur?) Läpligen beränas begynnelsehastigheten (i = 1 ) ed hjälp av en energirelation. P:s arbete: W P = P 1 Av de två lösningsansatserna (t) = Asin(ωt + δ) och (t) = C 1 sinωt + C cosωt är den senare något lätthanterligare i detta fall, där an vid t = 0 har från noll silda värden på både och. 6.194 b) nivå 3 vändläge nivå nivå 0 nivå 1 fjädern ospänd svängningscentru startläge Från nivå 1 till nivå : Haronis svängning enligt + = 0 o = 0 vid nivå 0. Tiden för detta t 1 = 0,03635 s. Från nivå till nivå 3: Kaströrelse, sträcan är 0,03097. Tiden t = 0,07946 s. 1
6.195 Arbeta fra en diff.ev. av typen M + C + K( o ) = 0 I enlighet ed tetavsnittet 6.4(b) gäller vid C ritis däpning KM = 1 I eepelvis fallet b) an evationen srivas 5 + c + ( o ) = 0 6.197 a) b) c 1 v F c c 1 c F = c 1 v + c v F = c 1 v 1 = c (v v 1 ) c F = (c 1 + c )v F = 1 c v c 1 + c 6.198 a) Hängande roppens rörelseevation an srivas so 5 + c + 4 = g b) Kroppens rörelseevation an srivas so + 9 4 c + 3 = g 6.00 τ d =,3 s och e ζω 10τ d 78 = ger ett 130 värde på ζω. Kobineras ed π τ d = ω 1 ς =,3 s, = ω c och ς = v 1 F v 6.06 Följande funtioner an visas vara de atuella ω = : a) (t) = a o ( ωt + 1) e ωt b) (t) = v o t e ωt c) (t) = [(a o ω v o )t + a o ]e ωt 6.07 Se ill.e. 6.4.6 c) där ocså ζ =. 6.08 Det får förutsättas att däpningen är "svag". Borde stått i probleteten. Kroppens absoluta acceleration är + a. Däpningsraften beror på den relativa hastigheten inne i olven, är alltså c. Däred c = ( + a) 6.09 Första situationen ger = MΩ. För andra situationen fås evationen 5M 4 = + aω sinωt 6.11 I de två situationerna är = g d där d = 0,001 och 0,0036 resp. Låt ω = och Ω = 3π rad/s. Beräna förstoringsfatorerna λ = 1 1 Ω. ω Enligt resoneanget vid ev. (6.4.8) fås voten ellan de två λ-värdena. 6.03 Nueris lösning av evation. 6.04 Nueris lösning av evation. 6.1 Mellanresultat: p = CsinΩt där C = 0,001616. p studeras. 13
6.13 Det är väsentligt att innan an börjar räna göra lart för sig vad so är absolut rörelse och vad so är rörelse relativt vagnen. Förslag till figur och betecningar: O y A z us Låt A vara den punt på vagnen so är rörelsecentru för usens rörelse på vagnen. Då fjädern är sla är A i punten O. är oordinaten för usens absoluta rörelse. y är fjäderförlängningen. z = a sinωt (där Ω = π/τ o ) = y + z Kraftsuan för vagnen ("lätt") är noll: F (= y) Kraften från vagnen på usen är ocså F. 6.14 Vi får p = d 3 sinωt (ω = /) F a = g + a F 6.17 Maial raft är C där C = λf o ω Här är ω = 1 och λ = 1 Ω /ω a) Transissibiliteten är voten C = F o ( 1 Ω /ω )ω Alltså 0,1 = osv Ω 6.18 Rörelseevation + ω = ω asinωt Partiulärlösning, ansats p = Csinωt a) Svar (t) = a (sinωt sinωt) 3 b) Betrata funtionen z(u) = sinu sinu Ma. belopp för cosu = 0,5. Däred a = a 3 0,866a 6.19 Rörelseevation + ω = F o sinωt Jfr e. 6.18: (t) = F o (sinωt sinωt) 3 och F (t) = o ω (cosωt cosωt) 3 Vid den atuella tiden t = π ω : 6.16 Fatorn C i partiulärlösningen är här: C = F o ➀ Ω Atuella raften = C + g = 3600 N (där = 30 g) Vi får C = 3600 N g De två öjliga -värdena uppoer geno att C ingår i evationen. Se ➀; an ju antingen vara > Ω eller < Ω. = 0 = vo = 4F o ω 3 Därefter fri svängning ed totalenergin 1 v o Då blir aplituden A = v o = 4F o 3 14
Uppgifterna 6.0-6.4 Eeplen 6.0-6.4 är gansa liartade. De ingående systeen försätts i påtvingad svängningsrörelse och de har en linjärt däpande oponent vars inveran ej får försuas. Det får förutsättas att an i problelösningen utnyttjar resultaten av de analyser so genoförts från figur 6.4.8 och -3 sidor fraåt. Se spec. sabanden (6.4.4). Se vidare speciella oentarer här nedan. 6.0 Standardproble enligt vad so fragår av figur 6.4.8, ev. (6.4.) och uttrycen i (6.4.4). Paraetrarnas värden finns i tet och figur. 6.1 Lådans rörelse: z = ξ o sinωt Kroppens K absoluta acceleration är + z = ξo Ω sinωt där anger läget relativt lådan. Däred c = ( ξo Ω sinωt ) eller + c + = ξo Ω sinωt 6. Kroppens K absoluta acceleration är + y = yo Ω sinωt där anger läget relativt lådan. däred c = ( yo Ω sinωt) osv. Här är ω = 6.3 Påtvingade vertiala svängningar ed vinelfrevensen Ω = πv där v är hastigheten hos vagnen. λ Evivalent odellsyste: c ξ o sinωt Visa: = c( ξ ) ( ξ ) so oforas till + c + = ξ0 + c Ω sin(ωt + β) ➀ där tanβ = cω Jäför diff.ev. ➀ ed ev. (6.4.) sat utnyttja uttrycet för C i ev. (6.4.4). 1 + u Här blir då C = = ξ 0 u + (1 u) där u = Ω C har iniu för u = 3 1 innebärande Ω = ( 3 1) Med Ω = πv blir v = λ λ π ( 3 1) 4 6.4 a) - b) C i sabanden (6.4.4) har aiu för det värde på där uttrycet (y) under rotäret har iniu. Med y = c Ω + 1 Ω inträffar detta då 1 Ω = 0. Alltså = 864 g 15
6.5 Relativ rörelse, fitivrafter Eleentär fraställning I avsnitt 6.5 behandlas situationer och etoder so ofta återfinnes även under andra rubrier ino eanien. Sillnaden är, att där betratas seendena utifrån en inertialra innebärande att de Newtonsa lagarna för eanien diret tilläpas. I avsnitt 6.5, däreot, tilläpas de ur Newtons lagar härledda saband, so tillåter oss att behandla rörelse sådan den ter sig utifrån en accelererande referensra. De tidigare avsnitt so närast avses är ino partieldynaien 6. och 6.4, ino stelroppsdynaien 9. och i stelroppsstatien.. I dessa återfinns ofta proble, so återoer i identis forulering här, i ap. 6.5. So avsnittsrubrien ovan anger är det här avsiten att träna på den speciella etoden ed fitivrafter. I ånga fall är denna, rätt intränad, livärdig i enelhet eller bättre än den etod so tidigare an ha använts på saa proble. I vissa fall är fitivraftsetoden överlägsen. Där hänvisning ser till eepelnuer i andra avsnitt är det naturligtvis värdefullt att genoföra räningarna även ed den etod so där förutsätts. Jäförelse av synsätten ino de två etoderna an sedan vara ycet nyttig för den djupare förståelsen. 6.33 Lådans acceleration (baåt) relativt bilen är edan den glider a rel = a vagn µg = 1,3 /s 6.35 Trycets beroende av djupet h i inopressibel vätsa p(h) = p o + ρgh För övrigt, onsevent hantering av det effetiva tyngdraftfältet. 6.36 Hela bilen är i "jävit" i den edföljande accelererade referensraen Uppgifterna 6.37-6.39 Obs! Den effetiva lodlinjen och det effetiva tyngdraftfältet i vagnens referensra. 6.40 Situationen otsvarar följande för vilen beräningar lia gärna an göras. En ropp () hänger i en fjäder () i ett hoogent tyngdraftfält ed styran g' = 0,50g. Kroppen släpps från vila i det läge där fjädern är ospänd. Under rörelsen nedåt verar även en onstant brosande raft so har beloppet 0,0g. Hur långt rör sig roppen nedåt innan den vänder (eller stannar)? Här an då, ed en viss fördel, arbete-energisaband utnyttjas. 6.5 I hissens referensra väger viterna i vitsatsen inte vad so är stäplat på de. Däreot, fjäderns -värde är oförändrat. 6.8 Enlast, energilag tilläpad på rörelse i det effetiva tyngdraftfältet. 6.9 Mellanresultat: Under varje enelresa lia upp och ner drar sig uret T = 0,04187 3,0 s. 6.31 Räna so o systeet hängde lodrätt ed tyngdraften = g' där g' = a. 16
Uppgifterna 6.41-6.4 Startposition a anger relativa läget i dragfordonets referensra. Läget = 0 är "jävitsläget" so är beläget sträcan a/ bao startpositionen. För vagnen gäller ju i denna referensra följande rörelseevation: a a = + = 0 Detta gäller innan linan lossnar. Se f ö nedan. 6.41 Tidsförloppet behövs ej. Läpligen energitänande ed införande av potentiell energi hos tröghetsraft och fjäderraft. 6.4 Tidsförloppet behövs. Tag fra funtionen (t) ur diff.ev. ovan. Mellanresultat: Linan lossnar vid tiden t = π 3 6.43 Finn först effetiva lodlinjens ritning sat det effetiva tyngdraftfältets styra (g'). Energibetratelse. 6.48-6.50 Dessa uppgifter handlar o en enstaa partiel so är i jävit relativt en roterande referensra. Görs till statiproble geno införande av en centrifugalraft. 6.51 Behandlas so statiproble. Frilägg yttre delen ed längden L. Suan av centrifugalrafterna på dess såeleent integreras fra. 6.53 Jfr ill.e. 6.5.4. Jävitssituation i den roterande referensraen. M A,centrifugal + M A,tyngdraft = 0 M A,centrifugal an integreras fra. (Kan alternativt diret utnyttja att centrifugalrafterna bildar en fördelad, "triangular" last.) Uppgifterna 6.54-6.56 Relativ jävit. Här innehåller det roterande ruet föruto det hoogena tyngdraftfältet ett "centrifugalraftfält" so är inhoogent. Dess styra (raft/enhetsassa) är rω. Se orta oentarer nedan: 6.54 En vattenytas tangentplan i en punt ligger vinelrätt ot den effetiva lodlinjen i punten. Känt från eleentär hydrostati. 6.44 Finn först effetiva lodlinjens ritning sat det effetiva tyngdraftfältets styra (g'). Energibetratelse. 6.45 Mellanresultat: Maiala vineln ed väggen är 61,9. 6.55 En ljuslåga står "rat upp". Känt från vardagslivet! 6.56 Den oentana tillväten i groddens spets ser "rat uppåt". Kurvans tangent i en viss punt saanfaller ed den effetiva lodlinjen i punten. Ställ upp differentialevation so ger y(). 17