ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges på reell form Del 1 Modul 1 E fallande föremål med massan m påverkas av yngdkrafen mg och av e lufmosånd Den rearderande krafen är proporionell mo hasigheen v Enlig Newons andra lag är massan gånger acceleraionen lika med de krafer som påverkar föremåle Besäm föremåles hasighe efer lång id ösning: Vi säller upp differenialekvaionen dv = mg kv d Vi besämmer förs den saionära lösningen Den erhålles då derivaan är lika med noll Vi får v = mg k Sudera derivaans ecken och ria upp funkionens uppförande i faslinjen mg/k Efer lång id blir hasigheen lika med mg k SVAR: Föremåles hasighe efer lång id är mg k Modul y 1 (x) = x är en lösning ill differenialekvaionen x y x y + y =, x> Besäm en fundamenalmängd av lösningar sam ange den allmänna lösningen ösning: Vi ansäer y = xz(x), y = x z (x) + z(x), y = x z (x) + z (x) Insäning i differenialekvaionen ger x (x z (x) + z (x)) x(x z (x) + z(x)) + xz(x) = x z (x) + z (x) = Sä u(x) = z (x), u (x) = z (x) x u (x) + u(x) =, d (xu(x)) = dx Inegrera med avseende på x: xu(x) = C 1 och vi får z (x) = C 1 x Inegrera med avseende på x: z(x) = C 1 ln x + C y = xz(x) ger y = x(c 1 ln x + C ) = C 1 x ln x + C x En fundamenalmängd av lösningar besår av linjär oberoende lösningar Anale är lika med differenialekvaionens ordning I vår fall vå En fundamenalmängd är { x ln x, x } Den allmänna lösningen är en linjärkombinaion av de linjär oberoende lösningarna Vi får y = C 1 xln x + C x SVAR: En fundamenalmängd är { x ln x, x } Den allmänna lösningen y = C 1 xln x + C x Modul 3 å F(s) = e s vara en given laplaceransform Besäm orginalfunkionen f () då f () s Besäm även f (3) v { } = F(s)
ösning: Vi åerransformerar och får f () = ( )U( ), där U( ) Heavisides segfunkion f (3) = (3 )U(3 ) = 1U(1) = 1 SVAR: Orginalfunkionen f () = ( )U( ) och f (3) = 1 Del 11 Om ingen fisk as upp ur en sjö så varierar mängden fisk, y() [on], i sjön med iden [ år] enlig differenialekvaionen y = y a 1 y b, y >, där a = 4 [ år] och b = 8 [on] Nu börjar man fiska u c [on] fiskar per år, (c är en posiiv konsan) a Ange differenialekvaionen för y som då gäller b Ange de kriiska värde på c som ine får överskridas om de skall finnas någon jämvikslösning > c Då c ligger under dea kriiska värde finns de en sabil jämviksnivå y > för mängden fisk Besäm y som funkion av c ösning: a Den korrigerade differenialekvaionen blir y = y a 1 y b c Med de givna värdena på konsanerna får vi y = y 4 1 y y(8 y) y(8 y) 3c 8 c = c = = f (y) 3 3 b Jämvikslösning erhålles då f (y) = Då är y 8y +3c =, (y 4) = 16 3c = 3(5 c) Reella lösningar och sörre än noll erhålles då c 5 För c > 5 exiserar inga jämvikslösningar Jämvikslösningarna är y = 4 ± 3(5 c) c Vi besämmer den sabila jämvikslösningen y genom a sudera eckne hos f (y ) Jämvikslösningen är sabil om f (y ) < och insabil om f (y ) > 8 y f (y) = = 4 y och insäning av jämvikslösningarna ger 3 16 3(4 c) f (4 + 3(5 c)) = < sabil jämvikslösning 16 3(4 c) f (4 3(5 c)) = > insabil jämvikslösning 16 SVAR: a Den nya differenialekvaionen är y = b De kriiska värde på c är c = 5 c Jämviksnivån y = 4 + 3(5 c) y(8 y) 3 1 Undersök om f 1 (x ) = x och f (x ) = x är orogonala på inervalle (,) Besäm därefer konsanerna c 1 och c så a f 3 (x) = x + c 1 x + c x 3 blir orogonal mo både f 1 och f på samma inervall ösning: Vi undersöker om funkionerna är orogonala genom a förs besämma den inre produken mellan dessa Om den inre produken är lika med noll så är funkionerna orogonala c
f 1 (x ), f ( x ) = f 1 ( x )f (x )dx = xx dx = x 3 dx =, y udda funkion och origosymmerisk ineervall Den inre produken är lika med noll och således är funkionerna orogonala Vi skall bilda e orogonal sysem med hjälp av funkionerna f 1, f och f 3 Inre produken mellan f 1 och f 3 lika med noll ger: = f 1 (x),f 3 (x) = f 1 (x)f 3 (x )dx = x(x + c 1 x + c x 3 )dx Inre produken mellan f och f 3 lika med noll ger: = f (x ), f 3 (x ) = f (x )f 3 ( x )dx = x (x + c 1 x + c x 3 )dx = 3 3 + c 5 5 Vi erhåller följande sysem: 5 = c 1 5 f 3 (x) = x 5 1 x 3 c = 5 1 c 1 = är orogonal mo de givna funkionerna SVAR: f 1 (x ) = x och f (x ) = x är orogonala på inervalle (,) c 1 = och c = 5 1 ( +1) e 13 X = är en lösning ill syseme X = AX Besäm en fundamenalmaris ill e syseme sam besäm den lösning som uppfyller villkore X() = 5 ösning: För a besämma en fundamenalmaris ill vår sysem behövs vå linjär oberoende lösningar Vi besämmer förs sysemes maris och därefer dess egenvärden och egenvekorer Skriv sysemes maris enlig följande A = a b c d ( + )e Insäning av den givna lösningen i syseme ger = a b ( +1) e ( + 1)e c d e ( + )e Hyfsning ger = a( + 1)e + be eller + = (a + b) + a ( + 1)e c( + 1) e + de +1 (c + d) + c 1 = a + b a = = a b = 1 Idenifiering ger följande sysem:, 1 = c+ d c = 1 1 = c d = Marisen är A = 1 1 Egenvärdena fås ur ekvaionen = de(a I) = 1 1 = + 1 = ( 1) Vi erhåller e mulipel egenvärde =1 1,
1 1 Tillhörande egenvekor fås ur ekvaionen 1 1 K =, K = 1 1 1 1 En ny lösning är X 1 = 1 1 e = e Vi har nu vå linjär oberoende lösningar e Dessa är X 1 = 1 1 e = e ( +1) e och den givna lösningen X e = e En fundamenalmaris är Φ = e ( +1)e, observera a de Φ = e e e Den allmänna lösningen är en linjärkombinaion av de linjär oberoende lösningarna Vi får X = a e ( +1)e + b Besäm de godyckliga konsanerna e e Villkore X() = 5 ger: X() = a 1 1 + b 1 = 5, a b = 3 (3 + 5)e Insäning ger X = (3 + )e SVAR: En fundamenalmaris ill syseme är Φ = e ( +1)e e e (3 + 5)e Den lösning som uppfyller villkore är X = (3 + )e 14 Skriv differenialekvaionen d x d = x x + 1 3y dx som e auonom sysem d Sudera syseme genom a hia alla kriiska punker, besämma deras yp(nod, sadelpunk, spiral, cenrum) och avgöra huruvida de är sabila eller insabila ösning: dx Vi säer y = dx dy och d d = d x d = y varvid följande sysem erhålles: d dy d = x x + 1 3y y Vi sarar med a besämma var angenvekorn är lika med noll Dea ger oss de kriiska(saionära) punkerna Därefer suderar vi de kriiska punkernas karakär genom a undersöka Tayloruvecklingen kring akuell kriisk punk, med andra ord en linjarisering Jacobimarisen blir då e vikig redskap = y Tangenvekorn lika med nollvekorn ger: (x, y) = (,) = x x + 1, 3y y (x,y)=( 1,) Två kriiska punker Jacobimarisen ges av marisen 1 1 1 x 9y Insäning av respekive kriisk punk ger:
(x, y) = (,) Marisen A = 1 1 1 har komplexa egenvärden med posiiv realdel Egenvärdena erhålles ur ekvaionen = 1 1 1 = 1 + 1 = ( 1 4 ) + 15 16 Dessa är = 1 ± i 15 4 Den kriiska punken (,)är en insabil spiral Desamma gäller även för de icke-linjära syseme (x, y) = ( 1,) Marisen B = 1 1 1 har skilda egenvärden och olika ecken Egenvärdena erhålles ur ekvaionen = 1 1 1 = 1 1 = ( 1 4 ) 17 16 Dessa är = 1 ± 17 4 Den kriiska punken ( 1,) är en sadelpunk och därmed insabil Desamma gäller även för de icke-linjära syseme SVAR: De kriiska punkerna är (,) och (-1,) Den kriiska punken (,)är en insabil spiral Den kriiska punken ( 1,) är en sadelpunk och därmed insabil 15 å u(x,) vara emperauren i en smal sav med längden u Vidare gäller a x hu = u, <x<, >, h är en konsan Besäm emperauren u(x,) då begynnelseemperauren är f (x) och savens ändpunker är isolerade ösning: Vi separerar variablerna: u(x, ) = X (x )T( ) Insäning i den pariella differenialekvaionen ger: X (x)t() hx (x )T() = X (x) T () X (x) Dividera med X (x)t() : X (x) = T () T() + h = konsan = X (x) X(x) = Vi erhåller e sysem av linjära okopplade differenialekvaioner: T () ( h)t() = "T-ekvaionen" har lösningen: T() = Ce ( h) För "X-ekvaionen" behandlas re olika fall: >, = och < >, =, R = <, =, R X(x)=A 1 e x +B 1 e x X (x) = A x + B X (x) = A 3 cos x + B 3 sin x u Savens ändpunker är isolerade innebär a x (,) = u (, ) = x Tillsammans med variabelseparaionen ger dea a: X ()T() = X ()T() = Dea skall gälla för alla : X () = X () = >, =, R = <, =, R
X (x ) = (A 1 e x B 1 e x ) X (x ) = A X (x ) = ( A 3 sin x + B 3 cos x) Insäning av ändpunkerna ger: >, =, R = <, =, R = X () = (A 1 B 1 ) = X () = A = X () = (B 3 ) = X () = (A 1 e B 1 e ) = X () = A = X () = ( A 3 sin + B 3 cos ) Endas den riviala lösningen X (x) = B B 3 = X (x) = A = n 3 Mosvarande "T-lösningar" blir: >, =, R = <, =, R T() = C e h T() = Ce ( ( n ) h ) Vi har erhålli vå uppsäningar med lösningar = <, =, R u(x,)=b C e h u(x,) = A 3 n C ( 3 e( ) h) injärkombinaioner av lösningar är lösning Den lösning som uppfyller de givna randvillkoren är på formen: u(x,) = a e h + a n e (( n ) + h) n=1 De åersår a besämma koefficienerna Begynnelsevillkore u(x,)=f(x) ger: f (x) = u(x, )= a + a n n =1 Koefficienerna är: a = f (x )dx och a n = x f (x )cosn dx SVAR: Savens emperaur är u(x,) = a e h + a n e (( n ) + h) n=1 a = f (x )dx och a n = x f (x )cosn dx