SIMULERINGAR MED FINITA-ELEMENT-METODEN inom ELEKTROMAGNETISM

Tekniska högskolan i Linköping Institutionen för Fysik och Mätteknik Peter Münger med ändringar av Jonas Sjöqvist Vintern 2013 SIMULERINGAR MED FINITA-ELEMENT-METODEN inom ELEKTROMAGNETISM

Innehållsförteckning. Att komma igång med simuleringar.......................... 5 Plattkondensator..................................... 7 Plattkondensator med olika material......................... 13 Cylindrisk resistor.................................... 15 Läckresistans....................................... 17 Appendix A: Kort guide till COMSOL Multiphysics................ 19 Namn: Personnummer: Linje+Årskurs+Klass: Uppgift nr Godkänd den Signatur 1 2 3 4

Att komma igång med simuleringarna. Liten introduktion. Simuleringar av elektromagnetiska fenomen används i industrin eftersom det finns mycket att vinna på att slippa tillverka flera prototyper och genomföra mätningar. De flesta problem låter sig inte lösas exakt utan numeriska metoder är absolut nödvändiga. Oavsett metod går det i stort sett till som följer: Geometrin: rita objektet, bestäm i vilket område problemet ska lösas. Randvillkor: Bestämmer egenskaper på randen av objekten. Egenskaper i lösningsområdet: laddning, dielektricietskonstant, ledningsförmåga, och så vidare. Dela upp lösningsområdet i mindre delar, ett rutnät eller på engelska: mesh. Låt ett program beräkna en lösning. Då kan man ju fråga sig: Ifall det finns program som löser det här, varför läser vi då en hel kurs?. Svaret är bland annat att programmen ger felaktiga resultat ifall de inte används korrekt och därför måste användaren veta ungefär vilket resultat som är att vänta. Uppgifterna i den här laborationen gäller strukturer med oändlig längd i en riktning, alltså 2D-lösningar. Anledningen till detta är att kompletta 3D-simuleringar tar lång tid och kräver datorer med mycket primärminne vilket skulle göra att ni skulle tvingas slösa bort tid på att vänta. Ni (eller snarare programmet) löser problemet i ett tvärsnitt av en oändligt lång struktur. I många av uppgifterna efterfrågas också någon storhet per längdenhet, där längdenhet alltså är vinkelrätt mot skärmen. I den här laborationen används COMSOL Multiphysics som startas genom att i ett terminalfönster skriva: module add comsol. comsol. I den första rutan som kommer upp dubbelklickar du på COMSOL Multiphysicsmappen under fliken New och sedan på Electromagnetics mappen. Välj sedan antingen Electrostatics eller Conductive Media DC beroende på vilken typ av problem som ska lösas. 5

Uppgift 1 Plattkondensator. Plattkondensator. Introduktion I den här uppgiften ska du bekanta dig med COMSOL Multiphysics genom att studera en plattkondensator. Dess två plattor är parallella och har en oändlig utsträckning i längdsriktningen. Plattornas bredd är större än avståndet mellan plattorna vilket i sin tur är större än plattornas tjocklek. Fem olika fall ska undersökas: 1. Första geometrin 2. Första geometrin med två gånger förtätad mesh 3. Första geometrin med adaptiv mesh 4. Andra geometrin (större yttre rand) med adaptiv mesh 5. Andra geometrin med avrundade hörn och adaptiv mesh Målet är dels att jämföra värdet på kapacitans per längdenhet som man kan räkna ut från resultatet av simuleringen med det man kan räkna fram för hand, men i lika stor grad att granska och undersöka lösningen. När COMSOL Multiphysics har startat, ladda in geometrin för plattkondensatorn genom att öppna filen plattor1.mph. (File; Open; Model under /edu/tflab. Förmodligen går det inte att klicka sig fram till rätt fil utan man måste skriva in hela sökvägen /edu/tflab/plattor1.mph explicit.) Första beräkningen Geometrin Efter att ha öppnat filen bör du nu se ett tvärsnitt av plattkondensatorn i form av två rektanglar omgivna ett rosa område. Detta rosa område utgör lösningsområdet och är där programmet kommer att räkna ut elektriska fält, potentialer, o.s.v. Lösningsområdet är begränsat av en yttre rektangel som vi kommer att kalla yttre randen. Randvillkor 1.1: Varför har vi denna yttre rand? Randvilkor måste nu specificeras på de två plattorna samt den yttre randen. Det är möjligt att antingen ange potential eller laddning på respektive rand. Ange randvillkoren för plattorna så att potentialen är 1 V på hela den övre plattans yta och 1 V på hela den undre plattans yta genom att välj Physics; Boundary Settings. Det går att välja flera kanter samtidigt om man håller shift nere när man klickar på dem eller genom att markera en ruta runt om med hjälp av musen. Kom ihåg att klicka på Apply för varje randvillkor. På den yttre randen väljer du i stället ytladdningstäthet ρ s =0. 7

Plattkondensator. Uppgift 1 1.2: Vad innebär villkoret ρ s =0 för D och E-fälten vid den yttre randen? 1.3: Vilken fysikalisk situation hade beskrivits om du valt villkoret att potentialen skulle vara 0 V på den yttre randen? Beräkningsområdet Under Physics; Subdomain Settings väljer du egenskaperna i området där differentialekvationen löses. Relativa dielekticitetskonstanten, ε r, (Relative permittivity (isotropic)) ska vara den för vakuum och volymladdningstätheten (Space charge density) ska vara noll i lösningsområdet. Lösningen Generera en initial mesh, Mesh; Initialize Mesh. Låt programmet beräkna en lösning av den partiella differentialekvationen, i detta fall Laplace ekvation i två dimensioner, för plattkondensatorn, Solve; Solve Problem. Kontroll av resultatet Nu när vi har ett resultat måste vi bedöma om resultatet av den numeriska lösningen är rimligt eller inte. Proceduren för att kontrollera lösningsresultatet är densamma för alla simuleringarna och det gäller att kontrollera ifall de satta randvillkoren är uppfyllda och att lösningen ser rimlig ut med avseende på potential och fältstorheternas riktning och styrka. Under Postprocessing; Plot Parameters kan man välja mellan ett flertal sätt att visualisera sina resultat - elfält i färg! Börja med att kontrollera om randvillkoren för plattorna och den yttre randen har uppfyllts. Plattornas potential: För att undersöka om plattornas randvillkor är uppfyllda studerar du deras potential. (Postprocessing; Plot Parameters och sedan fliken Boundary.) Yttre randen: Studera laddningen på yttre randen. Gå sedan över till att studera själva lösningsområdet. Hur ser potentialen ut i lösningsområdet? Är det rimligt? Hur står det till med det elektriska fältets styrka och riktning? Den elektriska fältstyrkan kan representeras med pilar vars längder är proportionella mot fältstyrkan. (Arrow-fliken) Prova även att representera den elektriska fältstyrkan med normaliserade i stället för proportionella pilar för att se fältets riktningen även där det är svagt. Öka antalet pilar för att få en bättre bild. 8

Uppgift 1 Plattkondensator. Stämmer randvillkoren för fälten? Är riktningen och beloppet av den elektriska fältstyrkan mellan plattorna den väntade? Fortsätt genom att kontrollera den elektriska flödestätheten på samtliga ytor. Använd både 2D och 3D surface plot, contour och line plot. För att göra en mera kvantitativ kontroll ska du beräkna plattkondensatorns kapacitans per längdenhet och jämföra med resultatet från en beräkning där modellen med plattsymmetri antas. För att räkna ut den fria ytladdningstätheten på metallytan används uttrycket ρ s = ˆn D i programmet. För att integrera upp laddningen längs en rand kan man göra på följande vis: Välj Postprocessing; Boundary Integration för att få programmet att integrera upp ytladdingstätheten ρ s på randen vilket ger resultatet ρ l. Många kanter kan markeras precis som vid valet av randvillkor. Resultatet visas i textrutan längst ned till vänster i COMSOL Multiphysics fönstret. Ta reda på den totala laddningen per längdenhet på den övre plattan ρ lö och den undre ρ lu. För in värdena i resultattabellen i slutet på denna uppgift. Räkna även ut plattkondensatorns totala laddning per längdenhet, ρ lö + ρ lu och laddning per längdenhet på den yttre randen, ρ lr. Vad förväntar du dig att dessa är? Räkna ut kapacitans per längdenhet, C l och för in i samma tabell. Jämförelse med idealiserad modell Det idealiserade sättet att räkna på en plattkondensator som beskrivs i läroböcker är en approximation av den verkliga situationen för de elektriska fälten. 1.4: Vilka approximationer görs i den idealiserade modellen och i vilka områden verkar dessa gälla? 1.5: Vad är formeln för kapacitansen hos en idealiserad plattkondensator fylld med vakuum där plattorna har längd l, bredd b och avstånd h? Vad blir formeln för kapacitans per längdenhet? Räkna ut vilken kapacitans per längdenhet vår kondensator har enligt den idealiserade modellen och jämför med det värde du fick från den numeriska lösningen. 1.6: Vad tror du att skillnaden mellan resultaten beror på? I de exempel som följer ska du genomföra beräkningen med de modifieringar som anges. Kontrollera resultaten och för in värden i tabellen som i den första beräkningen. Andra beräkningen Du ska nu undersöka hur mycket och på vilket sätt lösningen påverkas av den mesh vi valt genom att göra meshen två steg tätare. (Mesh; Refine mesh två gånger.) 9

Plattkondensator. Uppgift 1 Tredje beräkningen I stället för att göra meshen ytterligare tätare ska du prova att låta programmet använda en adaptiv mesh. Börja med att generera en ny initial mesh och gå sedan in under Solve; Solver Parameters och klicka för Adaptive mesh refinement-rutan under rullmenyn till vänster. Gå in under fliken Adaptive och sätt Residual method till Weak, Maximum number of refinements till 5 och Maximum number of elements till 5000. Sätt igång lösningen som vanligt. När lösningen är klar, välj Mesh; Mesh Mode och notera hur meshen ser ut. Mellanspel Välj bort Adaptive solver och generera en ny initial mesh. Nu är det dags att göra en lösning med både gles och tät mesh. Notera att plattornas kortsidor endast täcks in av en triangel. Välj nu Mesh; Refine Selection (eller välj ikonen med en röd triangel i mitten) och markera området runt om och inklusive de två vänstra kortsidorna. Det här kan behöva upprepas en 2 3 gånger för att få meshen tät. Låt programmet lösa problemet och studera hur D-fältet ser ut vid hörnen med hjälp av en surface plot, gärna med D-fältet även som Height Data. Vad är det vi missar med en gles mesh? Fjärde beräkningen Innan vi kan lita på lösningen måste vi, förutom meshens inverkan, även kontrollera hur mycket den yttre rektangelns storlek påverkar resultatet. Gör denna kontroll genom att öppna filen plattor2.mph som är samma geomentri så när som på att den yttre randens kanter är dubbelt så långa. Randvillkoren och egenskaperna i området är redan satta och det finns en inital mesh. Gör en adaptiv mesh på samma sätt som i beräkning tre. Notera absolutvärdet av den högsta elektriska fältstyrkan som uppstår. Ett tips är att använda Max/Min möjligheten under Plot Parameters. Det går också att se min- och maxvärden på skalan till höger. 1.7: Diskutera om det lönar sig att göra meshen finare och/eller att göra den yttre rektangeln större om man vill beräkna plattkondensatorns kapacitans per längdenhet noggrannare. Femte beräkningen Som du förhoppningsvis sett i tidigare beräkningar får man en laddningsansamling nära plattornas hörn. Då vi även vet att ρ s = ˆn D vid metallytor och att D = ε 0 ε r E leder detta till höga fältstyrkor vid hörnen, som du sett. Det här är inte ett fenomen som är specifikt för detta problem utan det är ett generellt resultat av att ytladdningstätheten är stor där ytans krökningsradie är liten. Denna effekt kan vara både av godo och av ondo beroende på tillämpning. På flygplan till exempel sitter det pinnar som sticker ut och har en vass spets. När ett flygplan flyger genom ett åskmoln och laddas upp samlas laddning vid spetsen så att det bildas en hög elektrisk fältstyrka där. När fältstyrkan 10

Uppgift 1 Plattkondensator. uppgår till genomslagshållfasthetsstyrkan för luft får man en kontrollerad blixturladdning vid spetsen i stället för en okontrollerad urladdning vid landningen, som i värsta fall skulle kunna leda till brand. Ett liknande exempel är att man i områden med mycket åska har spröt på taken som sticker upp för att man ska kunna styra var åskan slår ner. Ytterligare ett exempel är i joniseringssteget i elektrostatiska filter där man vill ha höga elektriska fältstyrkor för att jonisera smutspartiklar i luften som sedan avskiljs i ett andra steg. Å andra sidan finns det tillämpningar där man absolut inte vill ha höga fältstyrkor och riskera gnisturladdningar. I en kondensator till exempel vill man undvika höga lokala fältstyrkor då de begränsar den maximala spänning som kondensatorn tål innan genomslag sker och kondensatorns isolationslager förstörs. 1.8: Hur ser E-fälten ut mellan åskmoln och åskledare strax innan ett åsknedslag? 1.9: Fundera över hur stor den elektriska fältstyrkan måste vara mellan moln och åskledare för att man ska få genomslag i luften. I den här beräkningen ska du sänka den maximala elektriska fältstyrkan, som uppstår i plattkondensatorn för en bestämd pålagd spänning genom att runda av plattornas hörn. Öppna filen plattor3.mph, där halvcirklar har lagts till på plattornas kortsidor. Randvillkoren är redan satta. Beräkna en lösning för den nya geometrin med Adaptive mesh precis som i förra beräkningen. 1.10: Hur är lösningen jämfört med resultaten från de rektangulära plattorna? 1.11: Hur stor är den maximala elektriska fältstyrkan? Simulering ρ lö ρ lu ρ lö + ρ lu C l ρ lr 11

Uppgift 2 Plattkondensator med olika material Plattkondensator med olika material I den här uppgiften ska du studera en plattkondensator med samma geometri som i föregående uppgiften. Denna gång är dock området mellan plattorna delat på mitten, med ett material med relativ dielektricitetskostant ε r1 = 4 till vänster och vakuum, det vill säga ε r2 = 1, till höger. Utanför plattorna är det fortfarande vakuum. ε r1 ε r2 Öppna filen plattor4.mph. Välj och specificera lämpliga randvillkor för att beräkna kapacitansen per längdenhet. Specificera laddningstätheten i hela lösningsområdet till noll samt sätt de olika dielektricitetskonstanterna mellan och utanför plattorna. Generera en lämplig mesh och lös problemet. 2.1: Hur ser potentialen ut? 2.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut? 2.3: Hur ser den elektriska flödestätheten (Electric displacement) ut? 2.4: Hur stor blir kondensatorns kapacitans per längdenhet, C l? Räkna ut vilket effektivt ε r,eff hade varit homogent. som kondensatorn skulle ha haft om dielektrikat 2.5: Hur tror du att formeln för kapacitansen per längdenhet ser ut för kondensatorn med olika dielektrikum i de två halvorna? Ett tips är att ta hjälp av ε r,eff och hur formeln för kapacitans per längdenhet ser ut för en oändligt lång plattkondensator med ett homogent dielektrikum i hela området mellan plattorna. 13

Uppgift 3 Cylindrisk resistor. Cylindrisk resistor. I den här uppgiften ska vi studera ett motstånd som har formen av en halv cylindrisk ring med innerradie a, ytterradie b och höjd h, se figur. Materialet i motståndet har konduktiviteten σ. Du ska beräkna motståndets resistans, det vill säga resistansen från ytan A till ytan B i figuren. z y b y ˆφ ˆR h A B x A a B x För att lösa uppgiften med hjälp av COMSOL inför vi numeriska värden på a = 1 cm, b = 2 cm, σ = 1 Ω 1 m 1 samt låter h för att få ett tvådimensionellt problem. Börja med att välja Conductive Media DC. Öppna filen motstand1.mph. Specificera lämpliga randvillkor för att beräkna konduktansen per längdenhet, K l för motståndet. K l = strömmen genom motståndet per längdenhet / spänningen över motståndet. Glöm inte att sätta randvillkor på de cirkulära delarna. Specificera parametrarna för ledningsförmågan i materialet och se till att det inte finns några strömkällor i materialet. Generera en lämplig mesh och lös problemet. 3.1: Hur ser potentialen ut? 3.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut? 3.3: Hur ser strömtätheten ut? 3.4: Hur stor blir motståndets konduktans per längdenhet K l? 3.5: Om man skulle räkna analytiskt på denna uppgift skulle man göra antagandet att strömmen bara går i tangentiell riktning, det vill säga J = J ˆφ, och att J enbart beror av avståndet R till z-axeln. Verkar detta vara ett rimligt antagande? 15

Uppgift 4 Läckresistans. Läckresistans. Här ska vi göra en simulering som motsvarar t.ex. uppgift 5:6 i Exempelsamling i ELEKTROMAGNETISM Y och uppgift 5:8 i Elektromagnetism D. Två parallella l = 100 m långa raka koppartrådar med radien a = 1,5 mm och det inbördes avståndet d = 20 cm är nedsänkta i vatten med resistiviteten ρ Ω = 5000 Ωm. Du ska beräkna resistansen mellan trådarna? Börja med att anta att trådarna är oändligt långa för att räkna ut konduktansen per längdenhet och räkna sedan ut vad det ger på längden l = 100 m. Öppna filen motstand2.mph. Vad du ser är två små cirklar som representerar tvärsnittet av de två ledarna, omgivna av en större låda. Sätt lämpliga randvillkor på ledarna och den yttre randen för att kunna räkna ut resistansen. 4.1: Hur stor blir konduktansen per längdenhet K l? 4.2: Hur stor blir konduktansen per 100 m K 100? 4.3: Hur stor blir resistansen mellan 100 m långa ledare R 100? Ps. Om trådarna är oändligt långa kan problemet lösas exakt analytiskt till exempel med hjälp av en konform avbildning. ds. 17

Appendix A Kort guide till COMSOL Multiphysics. Kort guide till COMSOL Multiphysics. Detta är en ytterst kortfattad manual till det grafiska användargränssnittet comsol. Det finns naturligtvis många fler val man kan göra, men nedan behandlas de mest relevanta för att utföra laborationen. Användargränssnittets huvudkomponenter är: menyer, dialogfönster samt en rad och en kolumn med knappar, vilka kommer att beskrivas nedan. Menyer Användargränssnittet har en rad med rullgardinsmenyer som kontrollerar modelleringen. Meny rader som avslutas med leder till undermenyer, de som avslutas med... leder till dialogfönster, övriga anger kommandon som utförs direkt. En del kommandon kan även utföras som snabbkommandon direkt från tangentbordet. Det finns även en rad och en, eller flera, kolumner med knappar för direkt tillgång till de mest använda kommandona. En förklarande text visar sig då man för pekaren över knappen. File; Open Öppna en fil. File; Save as Spara ditt arbete. Edit; (Copy, Paste, Undo, Redo etc) Options; Axes/grid settings Ändra axlar och deras indelning. Options; Labels För att slå på och av till exempel visningen av kantnummer. Draw; Draw Objects Skapa objekt genom att peka-dra-klicka. Draw; Specify Objects Skapa objekt genom att specifiera koordinater, radier, sidor etc. Draw; Create Composite Object Skapar nya objekt av ingående rektanglar, cirklar osv. Observera att de ingående objekten förstörs när man använder dem. Physics; Subdomain Settings Här väljer man egenskaperna i det område där differentialekvationen ska lösas såsom dielekricitetskonstant och rymdladdningstäthet. Physics; Boundary Settings För att specificera randvillkoren. Mesh; Initialize Mesh Genererar en initial mesh. Mesh; Refine Mesh Förtätning av meshen. Mesh; Refine Selection Förtäta mesh inom ett begränsat område. 19

Kort guide till COMSOL Multiphysics. Appendix A Solve; Solve Problems Just det - ger lösningen. Solve; Solver Parameters Ger ytterligare kontroll över hur programmets lösare arbetar. Postprocessing; Plot Parameters Ger oss möjligheten att välja en mängd grafiska representationer av vår lösning. Fliken General Gör att det går att välja vilka typer av plottar du vill se. Geometry edges är bra att slå av då man vill se en Line plot, till exempel för att kontrollera potential eller laddningstäthet på en rand. Postprocessing; Boundary Integration Ger oss t.ex. möjlighet att integrera laddningstätheten över randen: speciellt bra till kapacitans- och resistans-beräkningar. Resultatet kommer i rutan längst ned till vänster i COMSOL Multiphysics fönstret om Display result in log är valt. Låt Boundary Integration-fönstret vara öppet och välj Boundary Mode om du vill kunna välja kanter genom att klicka. På så sätt slipper man hålla reda på kanternas nummer. Multiphysics; Model Navigator Val av olika typer av beräkningar, differentialekvationer, i vårt fall Electrostatics eller Conductive media DC. 20