Elektromagnetiska simuleringar med finita elementmetoden

Transkript

1 Elektromagnetiska simuleringar med finita elementmetoden Linköpings universitet Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Senate uppdaterad våren 2017

2 Namn: Personnummer: Linje+Årskurs+Klass: Uppgift nr Godkänd den Signatur Förberedelseuppgifter Uppgift 1: Fråga 1.5, Fråga 1.6, Fråga 1.7 Uppgift 2: Fråga 2.1, Fråga 2.2 Uppgift 4: Fråga 4.6, Fråga 4.7 Uppgift 5: Fråga 5.4, Fråga 5.5 Skriven av Peter Münger med ändringar av Jonas Sjöqvist Uppdaterad för COMSOL 5.0 av Christopher Tholander Uppdaterad för COMSOL 5.2 av Joel Davidsson 1

3 Innehåll Att komma igång med simuleringar Uppgift 1. Plattkondensator Uppgift 2. Plattkondensator med avrundade hörn Uppgift 3. Plattkondensator med olika material Uppgift 4. Cylindrisk resistor Uppgift 5. Spole

4 Att komma igång med simuleringar Simuleringar av elektromagnetiska fenomen används i industrin eftersom det finns mycket att vinna på att slippa tillverka flera prototyper och genomföra mätningar. De flesta problem låter sig inte lösas exakt, utan numeriska metoder är absolut nödvändiga. I programvaran COMSOL Multiphysics R, som använder finita elementmetoden (FEM), går det till på följande vis: Skapa en modell. Bestäm vilken fysik som ska studeras. Analysera resultaten. Uppgifterna i den här laborationen gäller strukturer med oändlig längd i en riktning, alltså 2D-lösningar. Anledningen till detta är att kompletta 3D-simuleringar tar lång tid och kräver datorer med mycket primärminne vilket skulle göra att ni skulle tvingas slösa bort tid på att vänta. Ni (eller snarare programmet) löser problemet i ett tvärsnitt av en oändligt lång struktur. I många av uppgifterna efterfrågas också någon storhet per längdenhet, där längdenhet alltså är vinkelrätt mot skärmen. Då kan det vara motiverat att fråga sig: Ifall det finns program som löser elektromagnetiska problem, varför läser vi då en hel kurs?. Svaret är bland annat att programmen ger felaktiga resultat ifall de inte används korrekt och därför måste användaren vara väl förtrogen med den elektromagnetiska teorin. Detta gäller simuleringar inom alla vetenskapliga områden. 3

5 Uppgift 1 Plattkondensator 1. Plattkondensator Introduktion I den här uppgiften ska du bekanta dig med COMSOL Multiphysics R genom att studera en plattkondensator. De två plattorna är parallella och har en oändlig utsträckning i längdriktningen. Plattornas bredd är större än avståndet mellan plattorna vilket i sin tur är större än plattornas tjocklek. Fyra olika fall ska undersökas: 1. Första geometrin 2. Första geometrin med finare mesh 3. Första geometrin med ett adaptivt mesh 4. Andra geometrin (större yttre rand) Målet är dels att jämföra värdet på kapacitans per längdenhet som kan räknas ut från resultatet av simuleringen med det som kan räknas fram för hand, och dels att granska och undersöka lösningen. Skapa en modell För att skapa vår första modellen använder vi oss av COMSOLs Model Wizard. I första steget ska vi definiera dimensionen på vårt problem, vilket är 2D (den utan axelsymmetri). I nästa steg väljer vi fysiken vi vill studera, nämligen AC/DC Electrostatics(es), markera och klicka på Add. Gå vidare till sista steget genom att trycka på Study, där ska vi definiera typen av undersökning, Stationary. Sen är det bara att klicka på Done så kan vi börja bygga vår modell. Geometrin De grundläggande inställningarna för geometrin får vi fram genom att markera Geometry i listan till vänster på skärmen. Här finns bland annat längdenheterna på geometrin definierade. Se till att ändra dem så att de är inställda på mm. Nu är det dags att skapa geometrin vi vill undersöka. Starta med att skapa en rektangel som är 12 mm bred och 1 mm hög. Det lättaste sättet att göra detta på är att högerklicka på Geometry i listan till vänster på skärmen och välja Rectangle, inställningarna för objektet får vi sedan fram genom att markera det i listan. Se även till att dess mittpunkt (center) har koordinaten (0, 3.5), dvs att den är centrerad i x- led och förskjuten uppåt i y-led. För att skapa objektet klickar vi på Build All Objects. Vi kan nu skapa den andra plattan enkelt genom att skapa den som en spegelbild av den första. På samma sätt som innan kan vi lägga till en geometri genom att högerklicka på Geometry och välja Transforms Mirror. För att spegla det första objektet klickar vi på Mirror objektet i listan och sedan markerar objektet som ska speglas samt 4

6 Uppgift 1 Plattkondensator Figur 1: Geometrin för uppgift 1. ställer in den på att behålla den första plattan (Keep input objects). Välj också att den ska speglas över (0,0) med normalen (0,-1). När ni har skapat detta objektet så behöver ni zooma ut för att kunna se hela objektet, detta görs lättast med knappen Zoom extents som ligger över den grafiska fönstret. Skapa slutligen en 40 mm bred och 30 mm hög rektangel centrerad mitt i bilden. Den slutgiltiga geometrin ska då se ut som Figur : Varför har vi denna yttre rand? Material Vi behöver nu bestämma vilket material som finns i de olika områdena som vi definierat ovan. Detta gör vi genom att högerklicka på Materials och välja Add material. Vi får då fram en flik där vi kan söka efter ett passande material. Ett lämpligt material för området runt plattorna är luft (Air). Sök fram det (se till att du väljer materialet under Built in), markera det önskade området och klicka på Add to Selection. För plattorna kan ni använda koppar (Copper). Fysik Nästa moment i designen av vår modell är att definiera fysiken i den. De grundläggande inställningarna för fysiken fås fram genom att markera Electrostatics (es) i listan till vänster. I inställningarna för denna syns vilka ekvationer som kommer att lösas. Genom att veckla ut fliken Electrostatics (es) i Model Builder menyn kan vi se grundinställningarna för modellen. Som standard värde är alla laddningar bevarade i modellen, det finns inga ytladdningar på några av randerna, och startvärdet i lösningsområdet för simuleringen är 0 V. För att skapa en kondensator behöver vi skapa en potentialskillnad mellan de två plattorna. Detta gör vi genom att sätta potentialen till +1 V på randen runt den övre plattan och 1 V runt den undre. Vi kan sätta dessa värden genom att högerklicka på Electrostatics (es) och välja Electric Potential. Skapa ett potential för var platta. 5

7 Uppgift 1 Plattkondensator I inställningsrutan för dessa kan vi definiera vilka ränder som ska gälla genom att sätta potentialen till önskat värde på randen, samt välja vilka rander som ska få det värdet. 1.2: Vad innebär villkoret ρ s =0 för D och E-fälten vid den yttre randen? Ledning: Vad innebär detta villkor för sambandet ρ s = ˆn D? 1.3: Vilken fysikalisk situation hade beskrivits om du valt villkoret att potentialen skulle vara 0 V på den yttre randen? Beräkningsmesh Det sista som behöver definieras för vår modell är beräkningsmeshen. Denna kommer bestämma i vilka punkter i modellen som ekvationerna kommer att lösas. Meshet genereras genom att markera Mesh i listan till vänster. I Inställningsfliken för meshen kan vi specifiera vilken typ av mesh vi vill använda samt noggrannheten på meshen. Standardinställningarna funkar för den första beräkningen så generera bara meshen genom att klicka på Build All högst upp i inställningsfliken. Första simuleringen Nu när modellen är skapad är det dags att köra beräkningen. Detta görs genom att högerklicka på Study i den vänstra listan och välja Compute. När beräkningen är klar bör COMSOL automatiskt genererat en figur av den elektriska potentialen åt dig. Nu när vi har ett resultat måste vi bedöma om resultatet av den numeriska lösningen är rimligt eller inte. Proceduren för att kontrollera lösningsresultatet är densamma för alla simuleringarna och det gäller att kontrollera ifall de satta randvillkoren är uppfyllda och att lösningen ser rimlig ut med avseende på potential och fältstorheternas riktning och styrka. Elektriskt fält Även det elektriska fältet är viktigt i en kondensator. För att titta på styrkan av det elektriska fältet kan vi skapa en ny 2D Plot Group. Detta görs genom att först skapa en ny 2D Plot Group genom att högerklicka på Results och välja 2D Plot Group. Högerklicka sedan på den nyskapade 2D Plot Group och välj Surface. För att plotta det elektriska fältet klickar vi på den grön och röda knappen till höger om Expression i inställningsfliken för den nya ytplotten och klicka vidare till Component Electrostatics Electric es.norme - Electric Field norm. Välj sedan Plot längst upp i inställningsfliken för att plotta den. Det elektriska fältet är ett vektorfält tillskillnad från potentialfältet som är ett skalärt fält, därför är också riktningen på det elektriska fältet viktigt. Denna kan vi visa med hjälp av en Arrow Surface, där fältriktningen visas med hjälp av pilar. Lägg till denna i samma 2D Plot Group som figuren av det elektriska fältet. För att kunna se pilarna i hela området kan det vara värt att ändra längden på pilarna till logaritmisk, detta görs med Arrow length. 6

8 Uppgift 1 Plattkondensator Ytladdningar För att avgöra om randvillkoren är rimliga kan vi titta på integralen av ytladdningarna längst en rand. Detta kan vi göra genom att högerklicka på Derived Values under Results i Model builder och välja Integration Line Integration. I inställningarna för den kan vi specificera vad vi vill integrera samt längst vilken rand genom att markera randen. För att integrera ytladdningarna klickar vi på den grön och röda knappen till höger om Expression, väljer sedan Component Electrostatics Currents and Charge Surface Charge Density. Klicka sedan på Evaluate längst upp till vänster på inställningsfliken. Resultatet av integreringen kommer då visas i Table fliken längst ner till höger på skärmen. För att få en överblick över fördelningen på ytladdningarna kan vi plotta även dem. Skapa en ny 2D Plot Group och lägg till Line under den. I inställningarna för denna ska vi välja Expression på samma sätt som ovan. Det kan vara lite klurigt att tolka figuren i 2D, så högerklicka på Line och välj Height Expression för att få en 3D plot istället. 1.4: Var finns störst ansamling laddningar, och varför? Jämförelse med idealiserad modell För att göra en mera kvantitativ kontroll ska vi beräkna plattkondensatorns kapacitans per längdenhet och jämföra med resultatet från en beräkning där modellen med plattsymmetri antas. Simulerad kapacitans per längdenhet Ta reda på den totala laddningen per längdenhet på den övre plattan ρ lö och den undre ρ lu. För in värdena i resultattabellen i slutet på denna uppgift. Räkna även ut plattkondensatorns totala laddning per längdenhet, ρ lö + ρ lu och laddning per längdenhet på den yttre randen, ρ lr. Vad förväntar du dig att dessa är? Räkna ut kapacitans per längdenhet, C l och för in i samma tabell. Ideal kapacitans per längdenhet Det idealiserade sättet att räkna på en plattkondensator som beskrivs i läroböcker är en approximation av den verkliga situationen för de elektriska fälten. 1.5: Vad blir kapacitans per längdenhet för vår kondensator enligt den idealiserade modellen? 1.6: Vilka approximationer görs i den idealiserade modellen och i vilka områden verkar dessa gälla? 1.7: Vad är formeln för kapacitansen hos en idealiserad plattkondensator fylld med vakuum där plattorna har längd l, bredd b och avstånd h? Vad blir formeln för kapacitans per längdenhet? 7

9 Uppgift 1 Plattkondensator 1.8: Jämför med det analytiska värde med det numeriska lösningen. Vad tror du att skillnaden mellan resultaten beror på? Undersök modellens noggrannhet I de exempel som följer ska du genomföra beräkningen med de modifieringar som anges. Kontrollera resultaten och för in värden i tabellen som i den första beräkningen. Andra simuleringen Du ska nu undersöka hur mycket och på vilket sätt lösningen påverkas av den mesh vi valt genom att göra meshen finare (så fint det kan bli). Tredje simuleringen Nu ska vi se hur mycket noggrannare beräkningen blir med ett adaptivt mesh istället. Ett adaptivt mesh kan genereras efter att en studie har körts. Det kommer att generas på ett sådant sätt att problemområden blir bättre beskrivna genom att meshet förfinas. För att skapa ett adaptivt mesh gör du så här: Kör om studien med ett normalt mesh (om det inte redan är gjort). Gå in under Study Step Study extensions. Klicka i rutan Adaptive Mesh Refinement. Kör om studien. (Lägg märke till att ett nytt mesh läggs till under Meshes) När man avänder adaptiv mesh så skapas ett extra mesh för den adaptiva lösningen. Detta måste man tänka på när man plottar så måste man välja rätt. Detta väljs i fliken Datasets för respektive plot. Där finns nu två dataset, ett för den vanliga meshen och ett för den adaptiva meshen. 1.9: Vilka områden har det nya meshet förbättrat och varför? 1.10: Hur skiljer sig den maximala fältstyrkan mellan plattorna beroende på om du använder det vanliga eller det adaptiva meshet? Ett tips är att använda Surface Maximum under Derrived values. Fjärde simuleringen Innan vi kan lita på lösningen måste vi, förutom meshens inverkan, även kontrollera hur mycket den yttre rektangelns storlek påverkar resultatet. Gör denna kontroll genom att gå tillbaka till geometrin och gör rektangeln dubbelt så stor. Kör sedan om studien med normal mesh. 1.11: Vad är absolutvärdet av den högsta elektriska fältstyrkan som uppstår? 1.12: Diskutera om det lönar sig att göra meshen finare och/eller att göra den yttre rektangeln större om du vill beräkna plattkondensatorns kapacitans per längdenhet noggrannare. 8

10 Uppgift 1 Plattkondensator Tabell 1: Tabell för att fylla i resultat från beräkningarna. Simulering ρ lö ρ lu ρ lö + ρ lu C l ρ lr (Uppgift 2) 9

11 Uppgift 2 Plattkondensator med avrundade hörn 2. Plattkondensator med avrundade hörn Introduktion Som du förhoppningsvis sett i tidigare beräkningar erhålls en laddningsansamling nära plattornas hörn. Då vi även vet att ρ s = ˆn D vid metallytor och att D = ε 0 ε r E leder detta till höga fältstyrkor vid hörnen, som du sett. Det här är inte ett fenomen som är specifikt för detta problem utan det är ett generellt resultat av att ytladdningstätheten är stor där ytans krökningsradie är liten. Denna effekt kan vara både av godo och av ondo beroende på tillämpning. På flygplan till exempel sitter det pinnar som sticker ut och har en vass spets. När ett flygplan flyger genom ett åskmoln och laddas upp samlas laddning vid spetsen så att det bildas en hög elektrisk fältstyrka där. När fältstyrkan uppgår till genomslagshållfasthetsstyrkan för luft sker en kontrollerad blixturladdning vid spetsen i stället för en okontrollerad urladdning vid landningen, som i värsta fall skulle kunna leda till brand. Ett liknande exempel är vanligt i områden med mycket åska där uppstickande spröt på taken används för att styra var åskan slår ner. Ytterligare ett exempel är i joniseringssteget i elektrostatiska filter där det är önskvärt med höga elektriska fältstyrkor för att jonisera smutspartiklar i luften som sedan avskiljs i ett andra steg. Å andra sidan finns det tillämpningar där det absolut inte är önskvärt med höga fältstyrkor som kan riskera gnisturladdningar. I en kondensator, till exempel, måste höga lokala fältstyrkor undvikas eftersom de begränsar den maximala spänning som kondensatorn tål innan genomslag sker och kondensatorns isolationslager förstörs. 2.1: Hur ser E-fälten ut mellan åskmoln och åskledare strax innan ett åsknedslag? 2.2: Fundera över hur stor den elektriska fältstyrkan måste vara mellan moln och åskledare för att erhålla genomslag i luften. Ändra modellen I den här beräkningen ska du sänka den maximala elektriska fältstyrkan, som uppstår i plattkondensatorn för en bestämd pålagd spänning genom att runda av plattornas hörn. Detta kan du göra genom att lägga till Fillet i din geometri (Figur 1). Med denna kan du runda av hörn genom att markera dem och välja radien för avrundningen. I vårt fall vill vi köra med en radie på 0.5 mm. Kör sedan studien med det meshet som gav bäst result i förra uppgiften. Analysera 2.3: Hur är lösningen jämfört med resultaten från de rektangulära plattorna? Skriv in resultatet i tabellen. 2.4: Hur stor är den maximala elektriska fältstyrkan? 10

12 Uppgift 3 Plattkondensator med olika material 3. Plattkondensator med olika material Introduktion I denna uppgiften förs ett material in mellan plattorna. Området mellan plattorna är delat på mitten, med ett material med relativ dielektricitetskonstant ε r1 = 4.4 till vänster och luft, det vill säga ε r2 = 1, till höger. Utanför plattorna är det fortfarande luft. Figur 2: Geometri för uppgift 3. Ändra modellen Ändra modellen från uppgift 1 (Figur 1) så att halva området mellan plattorna är fyllt av glas (se Figur 2). Kör simuleringen med det meshet som gav bäst result i uppgift 1. Analysera 3.1: Hur ser potentialen ut? 3.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut? 3.3: Hur ser den elektriska flödestätheten (Electric displacement) ut? Beräkna Räkna ut kondensatorns kapacitans per längdenhet, C l? Räkna ut vilket effektivt ε r,eff som kondensatorn skulle ha haft om dielektrikat hade varit homogent. Ett tips är att ta hjälp av ε r,eff och hur formeln för kapacitans per längdenhet ser ut för en oändligt lång plattkondensator med ett homogent dielektrikum i hela området mellan plattorna 3.4: Hur tror du att formeln för kapacitansen per längdenhet ser ut för kondensatorn med olika dielektrikum i de två halvorna? 11

13 Uppgift 4 Cylindrisk resistor 4. Cylindrisk resistor Introduktion I den här uppgiften ska vi studera ett motstånd som har formen av en halv cylindrisk ring med innerradie a, ytterradie b och höjd h, se figur. Materialet i motståndet har konduktiviteten σ. Du ska beräkna motståndets resistans, det vill säga resistansen från ytan A till ytan B i figur 3. z y b y ˆφ ˆR h A B x A a B x Figur 3: Geometri för uppgift 4. Skapa en modell För att lösa uppgiften med hjälp av COMSOL inför vi numeriska värden på a = 1 cm, b = 2 cm, σ = 1 Sm 1 samt låter h för att få ett tvådimensionellt problem. Börja med att starta en ny model med Model Wizard och välj 2D. Lägg till fysiken för Electric Currents (ec) och tillsist en Stationary studie. Geometrin skapas lättast genom att skapa en halv cirkel med radie b och en hel cirkel med radie a. Halvcirklar görs genom att ändra Secor angle på en cirkel. Sedan högerklickar man på Geometry och väljer Booleans and Partitions Difference. Denna använder man för att skära ut den lilla cirkeln ur den stora. Specificera lämpliga randvillkor för att beräkna konduktansen per längdenhet, K l för motståndet. K l = strömmen genom motståndet per längdenhet / spänningen över motståndet. Kör simuleringen. Analysera 4.1: Hur ser potentialen ut? 4.2: Hur ser den elektriska fältstyrkan ut? 12

14 Uppgift 4 Cylindrisk resistor 4.3: Hur ser strömtätheten ut? 4.4: Ser man någon skillnad på elektriska fältstyrkan och strömtätheten? Vad beror detta på? 4.5: Hur stor blir motståndets konduktans per längdenhet K l? 4.6: I en analytisk beräkning av denna uppgift skulle det vara troligt att göra antagandet att strömmen bara går i tangentiell riktning, det vill säga J = J ˆϕ, och att J enbart beror av avståndet R till z-axeln. Verkar detta vara ett rimligt antagande? 4.7: Vad är den analytiska lösningen? 4.8: Jämför resultaten på den numeriska och den analytiska lösningen, hur väl stämmer de överens? Datachip När man producerar datachip så har man inte rundade svängar utan raka hörn. Detta kommer påverkar hur strömmen färdas genom svängen. Ställ upp de två olika geometrierna i figur 4 och beräkna konduktansen per längdenhet på samma sätt som innan. Figur 4: a) motstånd med rundade hörn. b) motstånd med raka hörn. 4.9: Hur stor blir konduktans per längdenhet K l för motsåndet med rundade hörn respektive med raka hörn konduktans? 4.10: Beräkna hur stor den procentuell skillnaden i konduktans per längdenhet skulle det bli om man bytte från raka hörn till svängda, dvs Kl rund Kl raka /Kl raka? 13

15 Uppgift 5 Spole 5. Spole Introduktion I den här uppgiften ska vi titta på magnetfältet i och omkring en spole. Vi kommer börja med en mycket enkel modell och sedan förbättra den. För att göra en modell som lätt går att ändra kommer vi definerera parametrar som vi kan användas i hela programmet. Skapa en modell I den här uppgiften vill vi skapa en spole med r s = 5 cm som består av 9 cirkulära ledare med radien r l = 0.5 cm. Starta Model wizard och välj en 2D Axisymmetric modell. Denna modelltypen tar en 2D ritning och roterar den runt z-axeln, så en inritad punkt blir en cirkel i slutänden. Välj sedan Magnetic Fields (mf) som fysiken och Stationary som studie. Rita sedan upp geometrin enligt figur 5. Gör detta med hjälp av parametrar, se nästa stycke för hur man använder parametrar. Ett tips är att använda Array för att kopiera samma objekt flera gånger. Definiera materialen som Air i den stora rektangeln och Copper i cirklarna som kommer att utgöra vår spole. För att spolen ska kunna generera ett magnetfält lägger vi till en stömtäthet genom den. Välj External Current Density under Magnetic Fields (mf). Makera alla koppar cirklarna och sätt strömtätheten till parameter J = 1 A/m 2 i ϕ-led. Kör studien. Figur 5: Geometrin för uppgift 5. 14

16 Uppgift 5 Spole Parametrar I Comsol finns det stöd för mer avancerade beräkningar, man kan bland annat definera parametrar. Det gör att man bara behöver ändra på ett ställe i programmet när man ska testa nya konfigurationer. För att aktivera denna funktionalitet klicka på Global definitions Parameters. Syntaxen för att skapa parametrar är följande. Man skriver in parameterns namn i name och vilket uttryck det handlar om i expression. I expression kan man specifiera dimensionen på parameterna, tex [cm] så blir parametern en längdenhet. Skriver man inget, så blir det bara ett tal. Skapa följande parametrar till uppgiften: r_s=5 [cm], spolens radie r_l=0.5 [cm], ledarens radie N=9, antal varv w_box=10 [cm], rektangel bredd h_box=20 [cm], rektangel höjd J=1 [A/m^2], strömtätheten Man kan också använda definierade parameterar för att skapa nya. Detta kan vara smidigt om man har parametrar som beror av varandra, tex Area. Det finns också fördefinerade parametrar i Comsol så som π och µ 0. Samma saker gäller också matematiska operator så som cos(), sqrt() och ^2. Skapa följande parametrar: l=n*2*r_l, total längden på spole A=pi*r_l^2, ledarens tvärsnittsarea I=J*A, strömmen genom ledaren Visualisering När programmet har kört klart kan man se en 3D plot av geometrin, under results finns den som Revolved geometry. Skapa en Arrow Surface och studera magnetfältet, tips är att använda transparency över det grafiska fönstret. Ni kommer då upptäcka att magnetfältet ser lite konstigt ut. Programmet har satt mf.br i x-led, mf.bphi i y-led och mf.bz i z-led enligt figur 6. För att rätta till problemet behöver vi definera phi-variablen, detta gör man genom att gå in i Data sets Revolution 2D advanced define variables. Nu kan man använda phi-variablen som en parameter. Använd sedan phivariablen för att rätta till vektor plotten. Tänk på hur man transformerer mellan cylindriska och kartesiska koordinaterna. Analysera 5.1: Hur ser B-fältet i och runt spolen ut? 5.2: Hur ser B-fältet genom spolens mitt ut? 5.3: Vad är det maximala värdet på B-fältet i spolen? 15

17 Uppgift 5 Spole Analytiskt jämförelse Figur 6: input för vektor plotten. Den analytiska lösningen för en tunn spole kan ses i figur 7. Uttrycket för denna spolen kan fås från P.H. F-3.3 och med lite omskrivning så får man: ( ) NI B = µ 0 2l (cos α NI l/2 + z 1 + cos α 2 ) = µ 0 2l (l/2 + z) 2 + r + l/2 z 2 (l/2 z) 2 + r 2 Denna analytiska lösning kan ses i figur 7. Vi kan också plota denna funktionen i Comsol. Under Results, skapa en 1D plot group, högerklicka och gör en Line graph. Markera spolens mitt som indata. Ändra y-axis data expression till: (mu0_const*n*i/(2*l))* ((l/2+z)/sqrt((l/2+z)^2+r_s^2)+(l/2-z)/sqrt((l/2-z)^2+r_s^2)). Ändra också x-axis data expression till: z. 5.4: Vad är det analytiska värdet i mitten av spolen? Använd ekvationen ovan. 5.5: Vad är det analytiska värdet i mitten av en spole som är oändligt lång? 5.6: Hur stämmer din simulering med det analytiska resultatet? 5.7: Hur stor är skillnaden på det simulerade värdet för magnetfältet i spolens mitt och det analytiska värdet? 5.8: Kan du förbättra modellen så att skillnaden blir mindre? Försök! 16

18 Uppgift 5 Spole Figur 7: B-fältet i en tunn spole enligt analytiska beräkningar. 17