I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 23 april 2007 MEKANIK LABORATION 1 REVERSIONSPENDELN FY2010 ÅK2 vårterminen 2007 Mål En viktig applikation av en enkel pendel är bestämning av tyngdaccelerationen g. Ett approximativt värde på g kan enkelt bestämmas genom att använda en matematisk pendel och mäta pendelns längd och dess svängningstid. Svängningstiden kan normalt bestämmas med mycket hög noggrannhet medan pendellängden i praktiken visar sig vara mer svårmätt, bland annat på grund av svårigheten att bestämma pendelns tyngdpunkt. Ett sätt att komma från denna svårighet är att använda en fysikalisk pendel och göra om den till en s.k. reversibel pendel. Du skall inför denna laboration gå igenom teorin för reversionspendeln. Du skall genom en systematisk metod nå fram till den reducerade pendellängden och med hjälp av datainsamlingsprogrammet Data Studio bestämma pendelns svängningstid. Du får anledning att applicera två viktiga korrektioner till dina mätningar och utvärdera ytterligare systematiska fel som kan spela in för ett noggrant värde på g. Experimentet redovisas i en kort, skriftlig rapport.
2 LABORATION 1: Reversionspendeln 1 Tyngaccelerationen Tyngdaccelerationen är den acceleration g med vilken en kropp i vila (normalt vid havsytans nivå) börjar att falla (i vakuum) p.g.a. tyngdkraften. Denna acceleration ger kroppar i vila en tyngd som skrivs enligt Newton som mg, där m är kroppens massa. I motsats till den allmänna gravitationskonstanten G (som är en universell konstant med samma värde överallt) är tyngdaccelerationen lokalt betingad och varierar med latituden p.g.a. centrifugalkraftens variation och jordens avvikelse från sfärisk form. Andra avvikelser kan förekomma beroende på inhomogeniteter i jordens massfördelning och med avståndet till jordytan. Ett internationellt normalvärde för tyngdaccelerationen g n är 9,806 65 m/s 2, dvs tyngden av 1 kg är 9,806 65 N. En internationellt antagen formel för tyngdaccelerationen är 1 g = 9, 780 326 771 4 K där korrektionsfaktorn K ges av (ϕ är ortens latitud): K = 1 + 0, 001 931 851 386 39 sin2 ϕ 1 0, 006 694 379 990 13 sin 2 ϕ 2 Reversionspendeln Reversionspendeln som används i detta försök består av en styv stålstång med två flyttbara vikter som samtidigt, med sina mot stången vinkelrätt ställda eggar, fungerar som upphängningspunkter. Reversionspendeln användes första gången av kapten Henry Kater (H. Kater, Philos Trans Roy Soc London 108, 33 (1818)). Experimentet med reversionspendeln har ett historiskt intresse så till vida att det från 1906 och fram till 1968 hade status av en standardmetod för bestämning av tyngdaccelerationen i ett internationellt nätverk. Med denna metod är det möjligt att mäta g med en noggrannhet som är bättre än 1 : 10 5. 1 International Gravity Formula(e) http://solid earth.ou.edu/notes/potential/igf.htm.
LABORATION 1: Reversionspendeln 3 3 Teori för en fysikalisk pendel A En stel fysikalisk pendel svänger i ett plan kring en axel genom punkten A (se Fig. 1). Friktionen kan försummas. θ är utslagsvinkeln från jämviktsläget. För små amplituder θ 0 är sin θ θ och svängningsperioden T ges av (se Kleppner-Kolenkov, avsnittet om fysisk pendel): T = 2π I mgl där I = Tröghetsmomentet kring Svängningsaxeln. m = Pendelns massa. g = Yyngdaccelerationen. l = Avståndet från masscentrum c.m. Figur 1: En fysikalisk pendel med masscentrum i punkten c.m. och pendellängden l. Med hjälp av parallellaxelteoremet kan uttrycket för T omformas till I cm + ml T = 2π 2 mgl (1) där I cm är tröghetsmomentet för en axel genom masscentrum, parallell med svängningsaxeln. Ekvation 1 är för fixt T en andragradsekvation i pendellängden l: l 2 gt 2 4π 2 l + I cm m = 0 Varje värde på T fås således för två olika avstånd l 1 och l 2, vilket man även ser i grafen (Fig. 2) för ekvation (1) med T som funktion av l. För varje par l 1 och l 2 av rötter till ekvation (1) gäller följande samband: I cm = ml 1 l 2 I cm + ml T(l 1 ) = T(l 2 ) = 2π 2 mgl = 2π L g (2) (3)
4 LABORATION 1: Reversionspendeln T T min l 1 l 2 l Figur 2: Svängningstiden T som funktion av l. där L = l 1 + l 2 kallas den reducerade pendellängden. Ekvationen för g lyder alltså g = 4π2 L T 2 (4) En pendel där man systematiskt kan variera l för att finna lägen där svängningstiden kring två parallella axlar på olika avstånd från masscentrum är lika kallas reversionspendel och var länge det instrument man använde för noggrann bestämning av g. 4 Experiment 4.1 Apparatur Den reversionspendel som skall användas i laborationen består av en stålstav med en fast egg A och en rörlig egg B, vilka behålls parallella (Fig. 3). Pendeln hängs upp i en på väggen fastsatt anordning varefter man provar sig fram till det läge på den rörliga axeln som inom mätnoggrannheten ger samma svängningstid kring de båda eggarna, d.v.s. T A = T B. Svängningstiden T mäts med hjälp av signaler från en fotocell som finns uppsatt vid pendelhållaren. Pulserna från fotocellen går till en elektronikmodul från Scientific Workshop (Pasco) som i sin tur sänder data, via serieingången, till en dator
LABORATION 1: Reversionspendeln 5 som kör programmet Data Studio (för användningen av Data Studio hänvisas till Appendix A). 4.2 Utförande Den rörliga eggen B flyttas stegvis och T A och T B skall mätas för varje läge. Kontrollera att de båda eggarna är inbördes parallella under varje mätning och mät T B före T A (fundera på varför?). A l A Avståndet L = l A +l B mäts med hjälp av en stålskala försedd med speglar för parallaxfri avläsning. l B Under experimentets gång plottas T B och T A som funktion av L. Detta ger två kurvor som skär varandra (Fig. 4). Skärningspunkten ger den reducerade pendellängden L som skall användas för beräkning av g. Skärningspunkten bestäms genom tre mätserier med sinsemellan ökande noggrannhet: B Reversion- Figur 3: spendel. 1. Bestäm en lämplig utslagsvinkel θ 0 och håll dennna så konstant som möjligt för alla dina mätningar. θ 0 kan bestämmas genom att använda den mm-skala som finns fastlimmad under fotocellen (fotocellen och skalan är centrerad på lodlinjen under den övre hållaren). 2. Bestäm svängningstiderna T B och T A för 8 olika värden på x i intervallet 60 cm till 95 cm. Dra kontinuerliga kurvor genom punkterna och uppskatt skärningspunktens läge. Punkterna redovisas i rapporten som ett diagram med tabell. 3. Välj ut ett intervall om 5 cm med skärningspunkten ungefär i mitten av intervallet. Flytta nu eggen 5 mm i taget inom detta intervall och kurvorna för T B och T A plottas på nytt. Punkterna redovisas i rapporten som ett diagram med tabell. 4. Välj i den nya plotten ut ett intervall om 1 cm med skärningspunkten ungefär i mitten. Flytta eggen 1 mm i taget inom detta intervall med hjälp av mmskalan (mät i minst 5 helst 7 punkter). Denna gång skall du fundera på hur lång tid du skall mäta varje punkt (kan sättas i programmet) för att få minst samma precision i tidmätningen som i längdmätningen. Notera att programmet räknar ut ett medelvärde på perioden med dess standardavvikelse. Efter de två tidmätningarna T B och T A mäts återigen avståndet L denna gång även med ett stickmått med mikrometerskruv med noggrannheten 1/100 mm.
6 LABORATION 1: Reversionspendeln 4.3 Bestämning av T 0 och L 0 En tabell (och figur) med värdena från den sista mätserien för T A och T B med medelvrdesfelen och avstånden L med feluppskattning skall finnas med i rapporten. Perioden och den reducerade pendellängden bestäms ur skärningspunkten mellan de båda linjerna efter den tredje mätserien ovan (se Fig. 4). Linjerna kan för den sista mätserien med god approximation antas vara räta och linjernas parametrar med sina fel och korrelationstermer, beräknas med viktad minsta kvadratmetod. I rapporten skall anges ett uttryck för T 0 och L 0 som funktion av de räta linjernas parametrar. I ett Appendix till rapporten skall du ange explicita uttryck för alla de partiella derivatorerna som ingår i felfortplantningsformlerna för T 0 och L 0. De räta linjerna ritas även in i figuren. 0 0 Figur 4: Grafen där de anpassade räta linjernas skärningspunkter anger värdet på T 0 och L 0. 4.4 Korrektioner Det finns två viktiga korrektioner som man bör göra vid en precisionsbestämning av g med reversionspendel (observera att i rapporten skall ni presentera g både med och utan dessa korrektioner). 4.4.1 Korrektion för ändlig amplitud Ekvation (3) gäller exakt endast för oändligt liten amplitud θ 0. Om amplituden under mätserie 3 var θ 0 skall T multipliceras med korrektionsfaktorn (1 θ 2 0/16) innan man använder T för beräkning av g. Redovisa hur detta påverkar värdet på g.
LABORATION 1: Reversionspendeln 7 4.4.2 Korrektion för luftens lyftkraft och medsvängning Pendeln påverkas av luftens lyftkraft enligt Arkimedes princip. Den resulterande tyngdkraften på pendeln är (m m )g, där m är pendelns massa och m massan av den undanträngda luftmängden. Pendelns tröga massa påverkas däremot inte. Vidare deltar en viss luftmassa i svängningen. Poisson har visat att man kan korrigera för dessa två effekter genom att multiplicera g (beräknad ur (3)) med korrektionsfaktorn (1+1.6ρ /ρ), där ρ är luftens densitet och ρ pendelmaterialets (stål). Redovisa hur detta påverkar värdet på g. 4.4.3 Andra korrektion Fundera på vilka andra korrektioner eller systematiska fel som kan komma in i detta försök. Hur påverkar t.ex. luftens temperatur mätningarna. Kan man bortse från en temperaturavvikelse på 5 C (från den nominella mättemperaturen 20 C)? Tyngdaccelerationens värde gäller för den platsen där den mäts. Således skall man inte göra korrektion för höjden över havet eller för jordens rotation. Men du kan enkelt göra några överslagsberäkningar och ta reda på hur stora dessa korrektionen skulle kunna vara. 4.4.4 Systematiska fel Som nämnts ovan är längdmätningen i allmänhet problematisk. I detta fall använder vi ett mekaniskt system med längdskalor. Den relativa precisionen kan vara hög, sämre är det dock med den absoluta längdskalan (varierar med temperaturen bl.a.). Passbitarna i stickmåtten adderas nominellt till 725.15 mm (med mikrometerskruven nollställd). Emellertid kan man finna individuella avvikelser på ett par hundradelar av en mm vid jämförelse med ett referensmått. Om vi antar att vi har ett systematiskt fel på 5/100 mm. Hur mycket påverkar detta värdet på g? 5 Redovisning Någon detaljerad beskrivning av experimentets utförande behöver inte göras utom en kort presentation av problemställning och metod. Sammanfattningsvis skall redogörelsen bl.a. innehålla följande punkter: 1. En härledning av ekvationerna (2), (3) och (4). 2. Alla primärvärden i prydliga tabeller.
8 LABORATION 1: Reversionspendeln 3. De två figurerna med datapunkter (använd symboler) och kurvor under punkt 1 och 2 under avsnitt Utförande. 4. En figur med datapunkter med felstaplar (ekvivalenta fel) och de anpassade räta linjerna inritade. 5. Härledning av formlerna för L 0 och T 0 och beräkning av den reducerade pendellängden L 0 och motsvarande pendeltid T 0 utifrån de anpassade parametrarna för de räta linjerna och med hänsyn till korrelationstermerna för den räta linjens parametrar. 6. Beräkning av g 0 med fel utifrån L 0 och T 0 med fel (från anpassningen där vi dock kan bortser från korrelationen mellan dessa två parametrar). 7. Korrektionsfaktorer för ändlig amplitud och luftens lyftkraft och medsvängning och respektive korrektioner till g 0. 8. Beräkning av ett korrigerat g (g korr ) utifrån g 0 och korrektionsfaktorerna. Ett totalt fel på värdet på g. 9. Resultat och jämförelse med det beräknade värdet från den internationellt antagna formeln för tyngdaccelerationen. 10. Diskussion. Vilka andra felkällor kan man ha i det här experimentet? Spelar korrektionsfaktorerna någon roll med tanke på den noggrannhet man kan uppnå?
LABORATION 1: Reversionspendeln 9 Appendix A Data Studio Se till att datorn är på och fotocellen inkopplad till en av ingångarna på elektronikenheten Scientific Workshop. Starta programmet Data Studio och välj Skapa experiment. Klicka på lämplig ingång och välj sensor (Fotogrind och pendel). Bekanta dig med menyerna i menyraden, speciellt Experiment(x) (Data Studio) och Samplinginställningar (Experimentinställning). Gör en testkörning genom att klicka på Start. Titta på data genom att välja Graf och Tabell. Gå sedan till Experiment(x) och ta bort alla körningar. Välj lämpligt tidsintervall i Samplingsinställningar för dina körningar (notera att du inte behöver räkna antalet svängningar, det gör programmet och beräknar en periodtid som visas i grafen - observera att en kortare samplingstid kan väljas för de två förberedande mätningarna, därefter förlängs samplingstiden för att erhålla tillräcklig precision i tidmätningen). Du är nu klar att ta data.