Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht09 Kapitel 6. - 6.5 6 oktober 2009 tma043 Ht09 tma043 Ht09 6. beräkna divergens, div F, och rotation, curl F för ett vektorfält F. 6. formulera sats 6.. om divergensen som flödestäthet. 6. formulera sats 6..2 om rotationen som virveltäthet.
Om f : R 3 R så definieras gradienten genom: f = f x i + f y j + f z k Man kan se = x i + y j + z k som en operator som verkar på f. Denna operator, som kallas nabla, kan verka även på vektorfält: Om F : R 3 R 3 så är F = F i + F 2 j + F 3 k och ( div F = F = x i + y j + ) z k (F i + F 2 j + F 3 k) = F x + F 2 y + F 3 z ats 6.., divergensen som källstyrka Låt D vara en sfär med radie ɛ och centrum i punkten P. Låt vara randen med utåtriktad normal. Då gäller enligt divergenssatsen (6.4.8): och alltså: D div FdV = F ˆNd 3 div F(P) = lim ɛ 0 4πɛ 3 F ˆNd Ytintegralen kan ses som flödet ut ur punkten P. div F(P) tolkas då som källstyrka per volymsenhet. (Återkommer i 6.4) ats 6..2 Tolkning av rotationen Vi har också: ( curl F = F = x i + y j + ) z k (F i + F 2 j + F 3 k) i j k = x y z F F 2 F 3 ( F3 = y F ) ( 2 F i + z z F ) ( 3 F2 j + x x F ) k y Låt vara en cirkelskiva med radie ɛ och centrum i punkten P och normalvektor ˆN. Låt vara randcirkeln genomlöpt moturs sett från spetsen av ˆN. Då gäller enligt tokes sats (6.5.0): F dr = (curl F) ˆNd πɛ 2 (curl F(P)) ˆN och alltså: (curl F(P)) ˆN = lim ɛ 0 πɛ 2 F dr
Tolkning av rotationen (curl F(P)) ˆN = lim ɛ 0 πɛ 2 F dr Kurvintegralen kan tolkas som arbetet vektorfältet F uträttar då en partikel går runt i den cirkulära banan. (curl F(P)) ˆN kan alltså ses som fältets förmåga/tendens att få en partikel att rotera kring axeln ˆN, förmågan är störst om ˆN är parallell med (curl F(P)) och obefintlig (0) om de är ortogonala. 6.2 definiera begreppen källfritt (solenoidal) och virvelfritt (irrotational) vektorfält. 6.2 tillämpa sats 6.2.4. Adams 6.2, tma043 V6, Ht09 ats 6.2.3 6.2 formulera och bevisa sats 6.2.3 g) och h) (g) ( F) = 0 (div curl = 0) (h) ( f ) = 0 (curl grad = 0) Adams 6.2, tma043 V6, Ht09 Adams 6.2, tma043 V6, Ht09
Definition 6.2.2 ats 6.2.4 Ett vektorfält F kallas källfritt, divergensfritt, eng: solenoidal i ett område D om div F = 0 i D. Ett vektorfält F kallas rotationsfritt, eng: irrotational i ett område D om curl F = 0 i D. Om F är konservativt så är F rotationsfritt (enligt sats 6.2.3(h)). curl F är alltid källfritt (enligt sats 6.2.3(g)). Om F är ett glatt, rotationsfritt vektorfält i ett enkelt sammanhängande område D så är F konservativt. Adams 6.2, tma043 V6, Ht09 Adams 6.2, tma043 V6, Ht09 6.3 tillämpa Greens formel (6.3.6) i relativt okomplicerade situationer. 6.3 beräkna area av område i planet med hjälp av Greens formel 6.3 formulera Greens formel (sats 6.3.6) och bevisa den för x- och y-enkla områden. 6.3 tillämpa Greens formel i mer komplicerade situationer.
Definition Definition Ett område kallas x-enkelt om det begränsas av linjer y = a och y = d i y-led och kurvor x = g(y) och x = h(y) i x-led. Ett område kan vara både x-enkelt och y-enkelt: Det kallas reguljärt område om det kan delas i ändligt många x- och y-enkla delområden. ats 6.3.6 Greens formel Area som kurvintegral Antag att D är ett reguljärt, slutet område vars rand består av en eller flera styckvis glatta slutna kurvor utan dubbelpunkter, positivt orienterade relativt D. Antag också att F = F (x, y)i + F 2 (x, y)j är ett glatt vektorfält definierat i D. Då gäller: ( F2 F (x, y)dx + F 2 (x, y)dy = x F ) da y D Antag att är den positivt orienterade randen till D. Då gäller: xdy = ydx = xdy ydx = Arean av D 2
6.4 tillämpa divergenssatsen i relativt okomplicerade situationer. 6.4 formulera och bevisa divergenssatsen (sats 6.4.8) i tre dimensioner för z-enkla områden. 6.4 tillämpa divergenssatsen i mer komplicerade situationer. Adams 6.4, tma043 V6, Ht09 Adams 6.4, tma043 V6, Ht09 ats 6.4.8 Gauss divergenssats. Tolkning av divergensen Antag att D är ett tredimensionellt reguljärt område vars rand är en orienterad sluten yta med enhetsnormal ˆN riktad ut från D. Antag också att F är ett glatt vektorfält på D. Då gäller: div FdV = F ˆNd D Låt D vara en sfär med radie ɛ och centrum i punkten P. Låt vara randen med utåtriktad normal. Då gäller: div FdV = F ˆNd och alltså: D 3 div F(P) = lim ɛ 0 4πɛ 3 F ˆNd Ytintegralen kan ses som flödet ut ur punkten P. div F(P) tolkas då som källstyrka per volymsenhet. Adams 6.4, tma043 V6, Ht09 Adams 6.4, tma043 V6, Ht09
Inga godkäntmål i detta avsnitt. 6.5 tillämpa tokes sats (6.5.0) i relativt okomplicerade situationer. Adams 6.5, tma043 V6, Ht09 Adams 6.5, tma043 V6, Ht09 ats 6.5.0 tokes sats Tolkning av rotationen Låt vara en styckvis glatt orienterad yta med enhetsnormalvektorfält ˆN. Antag att randen till består av en eller flera styckvis glatta, slutna kurvor, positivt orienterade relativt orienteringen av. (Detta innebär ungefär att ˆN ˆT pekar in i ytan.) Antag också att F är ett glatt vektorfält på en öppen mängd D som innehåller. Då gäller: F dr = (curl F) ˆNd Låt vara en cirkelskiva med radie ɛ och centrum i punkten P och normalvektor ˆN. Låt vara randcirkeln genomlöpt moturs sett från spetsen av ˆN. Då gäller: och alltså: F dr = (curl F) ˆNd πɛ 2 (curl F(P)) ˆN (curl F(P)) ˆN = lim ɛ 0 πɛ 2 F dr Adams 6.5, tma043 V6, Ht09 Adams 6.5, tma043 V6, Ht09
Tolkning av rotationen (curl F(P)) ˆN = lim ɛ 0 πɛ 2 F dr Kurvintegralen kan tolkas som arbetet vektorfältet F uträttar då en partikel går runt i den cirkulära banan. (curl F(P)) ˆN kan alltså ses som fältets förmåga/tendens att få en partikel att rotera kring axeln ˆN, förmågan är störst om ˆN är parallell med (curl F(P)) och obefintlig (0) om de är ortogonala. Adams 6.5, tma043 V6, Ht09