Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Relevanta dokument
Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Fö relä sning 2, Kö system 2015

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

Tiden i ett tillstånd

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

TILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem

M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

a) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få


Markovprocesser SF1904

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

Performance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Performance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Utdrag ur TAMS15: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79

Föreläsningsanteckningar köteori

Markovprocesser SF1904

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

Tentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser

TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010

6-2 Medelvärde och median. Namn:

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1

LAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

ANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Markovprocesser SF1904

Bok: X (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Längd, tid och samband Kapitel : 4 Algebra och mönster

Svar till vissa uppgifter från första veckan.

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

6 Derivata och grafer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Markovprocesser SF1904

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.

1 Dimensionsanalys och π-satsen.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Exempel på tentamensuppgifter

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Transkript:

Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet när antalet kunder är begränsat och/eller antalet platser i kösystemet är begränsat Problem 1 Antag att vi har ett M/M/1-system med två buffertplatser och fyra kunder Antag vidare att ankomstintensiteten för en ledig kund är β s 1, samt att betjäningsintensiteten är µ s 1 (a) Rita tillståndsdiagram (b) Beräkna medelantal upptagna betjänare (c) Beräkna sannolikheten att en kund spärras (d) Beräkna hur många kunder som i medeltal betjänas per sekund Antag att vi kan modellera ett system som ett M/M/-system med sex kunder och en buffertplats När en kund har fått ett svar från systemet så tänker kunden i medeltal 1 s innan hen skickar ett nytt jobb till systemet Medelbetjäningstiden är 05 s (a) Rita Markovkedjan för detta system (b) Bestäm tillståndsfördelningen (c) Bestäm spärrsannolikheten (d) Bestäm medelantal upptagna betjänare (e) Bestäm hur många kunder som i medeltal spärras per sekund 3 Ankomstintensiteten till ett M/M/1-system är λ Vid varje ankomst kommer två kunder till systemet Betjänaren behandlar kunderna en och en med intensiteten µ (a) Rita tillståndsdiagram och ställ upp ekvationerna för p k med hjälp av snittmetoden (b) Bestäm z-transformen för antalet kunder i systemet utgående från ekvationerna i a) (c) Beräkna medelantal kunder i systemet 4 I denna uppgift skall vi analysera en webbserver Nya jobb, dvs httprequests, kommer enligt en Poissonprocess med λ s 1 Servern modelleras som en betjänare med en begränsad buffert med K platser Jobben behandlas enligt First-Come-First-Served Medelbetjäningstiden är E(X) s I diagrammet nedan visas den uppmätta tiden i systemet, E(T ), (i sekunder) för jobb som inte spärras som en funktion av ankomstintensiteten Bestäm följande från diagrammet: 1

(a) Medelbetjäningstiden för ett godtyckligt jobb, dvs E(X) (b) Antalet köplatser, dvs K 5 Betrakta ett M/M/ -system där kunder kommer i grupper om två Det kommer i medeltal λ grupper per sekund Kunderna betjänas en och en och betjäningsintensiteten är µ (a) Rita Markovkedjan för systemet och ställ upp tillståndsekvationerna (b) Bestäm den differentialekvation som måste lösas för att få fram z- transformen för antalet kunder i systemet genom att först multiplicera tillståndsekvationerna med z k och sedan addera dem (c) Visa att P (z) = Ce λ(z+z /)/µ är en lösning till differentialekvationen (d) Bestäm C (e) Bestäm medelantal kunder i systemet (f) Vilken relation måste råda mellan λ och µ för att systemet ska vara stabilt? 6 Kunderna som befinner sig i kön i ett M/M/1-system med K buffertplatser blir otåliga Så länge en kund befinner sig i kön lämnar den kön utan att få betjäning med intensiteten µ/ Ankomstintensiteten är λ och betjäningsintensiteten är µ (a) Bestäm tillståndssannolikheterna (b) Beräkna medelantalet spärrade ankomster per tidsenhet (c) Beräkna medelantalet avgångar utan betjäning från systemet per tidsenhet Lösningar till övning 3 1 (a) Markovkedjan blir

(b) Vi använder snittmetoden och inför α = β/µ Det ger 4βp 0 = µp 1 p 1 = 4αp 0 3βp 1 = µp p = 1α p 0 βp = µp 3 p 3 = 4α 3 p 0 Sedan utnyttjar vi att summan av alla sannolikheter ska vara = 1 för att bestämma p 0 1 p 0 = 1 + 4α + 1α + 4α 3 Nu får vi medelantal upptagna betjänare som E(N s ) = 0 p 0 + 1 (p 1 + p + p 3 ) = 4α + 1α + 4α 3 1 + 4α + 1α + 4α 3 (c) Sannolikheten att en kund spärras blir λ 3 p 3 3 λ kp k = = β4α 3 p 0 4β p 0 + 3β 4αp 0 + β 1α p 0 + β 4α 3 p 0 4α 3 4 + 1α + 4α + 4α 3 (d) Antal kunder som betjänas per sekund är (a) Markovkedjan ser ut så här: λ eff = 4βp 0 + 3βp 1 + βp (b) Vi ställer upp tillståndsekvationerna med hjälp av snittmetoden 6p 0 = p 1 5p 1 = 4p 4p = 4p 3 Löser vi dessa ekvationer (med hjälp av att p 0 + p 1 + p + p 3 = 1) så får vi p 0 = 4/46 p 1 = 1/46 p = 15/46 p 3 = 15/46 3

(c) Sannolikheten för spärr blir λ 3 p 3 3 λ = 45 kp k 189 04 (d) Medelantal upptagna betjänare kan vi beräkna med hjälp av definitionen av medelvärde, så här: E(N s ) = 0 P (0 upptagna betjänare) + +1 P (1 upptagen betjänare) + + P ( upptagna betjänare) = = p 1 + (p + p 3 ) = = 7 46 157 (e) Medelvärdet av antalet kunder som spärras per sekund blir 3 (a) Markovkedjan blir λ 3 p 3 = 3 15 46 = 098 Vi använder snittmetoden Observera att alla snitt utom det första skär av tre bågar i Markovkedjan Därför är det två termer i högerledet utom i första ekvationen Vi får µp 1 = λp 0 µp = λ(p 0 + p 1 ) µp 3 = λ(p 1 + p ) (b) Multiplicera ekvation k ovan med z k Det ger µp 1 z = λp 0 z µp z = λ(p 0 + p 1 )z µp 3 z 3 = λ(p 1 + p )z 3 Om vi adderar alla ekvationer får vi ( ) µ z k p k = λ p 0 z + z k+ p k + z k+1 p k 4

Definitionen av z-transform är P (z) = vilket insatt i ekvationen ovan ger z k p k µ(p (z) p 0 ) = λ(p 0 z + z P (z) + z(p (z) p 0 )) Löser man ut P (z) så får man P (z) = µp 0 µ λz λz För att bestämma p 0 så observerar vi att för z-transformen måste gälla P (1) = 1 k p k = p k = 1 I vårt fall måste då gälla att Slutligen får vi P (1) = µp 0 µ λ = 1 p 0 = µ λ = 1 λ µ µ P (z) = ( µ µ λz λz 1 λ ) µ (c) För att bestämma medelvärdet deriverar vi först P (z) P (z) = µp 0(λ + λz) (µ λz λz ) Därefter får vi medelvärdet genom att låta z 1 E(N) = lim P (z) = µp 0(λ + λ) z 1 (µ λ) = 3λ µ λ 4 (a) När ankomstintensiteten är mycket låg så kommer tiden i systemet för en kund nästan alltid att vara = betjäningstiden Därför kan vi lösa av medelbetjäningstiden genom att se vad medeltiden i systemet är när ankomstintensiteten är mycket liten Ur diagrammet (vid λ = 0) ser vi att medelbetjäningstiden = E(X) är 1 sekund (b) När ankomstintensiteten är mycket hög så kommer systemet nästan alltid att vara fullt En kund som kommer in i systemet hamnar nästan alltid på den sista köplatsen Kunden måste alltså först vänta på att de L kunderna före honom ska bli färdiga innan han börjar betjänas Därefter ska kunden själv betjänas innan han lämnar systemet Det betyder att kunden i medeltal tillbringar tiden (L + 1)E(X) i systmet Om vi tittar i diagrammet ser vi att för mycket stora värden på ankomstintensiteten så är medeltiden i systemet 4 sekunder Det betyder att (L + 1)E(X) = 4 L = 3 5

5 (a) Markovkedjan blir Snittmetoden ger tillståndsekvationerna µp 1 = λp 0 µp = λ(p 0 + p 1 ) 3µp 3 = λ(p 1 + p ) 4µp 4 = λ(p + p 3 ) kµp k = λ(p k + p k 1 ) (b) Vi multiplicerar ekvation k med z k vilket ger µp 1 z = λp 0 z µp z = λ(p 0 + p 1 )z 3µp 3 z 3 = λ(p 1 + p )z 3 4µp 4 z 4 = λ(p + p 3 )z 4 kµp k z k = λ(p k + p k 1 )z k Därefter summerar vi alla ekvationerna Resultatet är [ ] µz kp k z k 1 = λ p 0 z + z p k z k + z p k z k Vi observerar att Insatt ovan ger det P (z) = kp k z k 1 µzp (z) = λz [p 0 + zp (z) + P (z) p 0 ] = λz(1 + z)p (z) Differentialekvationen är således efter hyfsning µp (z) = λ(1 + z)p (z) (c) Deriverar man P (z) = Ce λ(z+z /)/µ så blir resultatet P (z) = Cλ(1 + z)eλ(z+z /)/µ µ Insättning visar att differentialekvationen satisfieras 6

(d) För att bestämma värdet på C använder vi att P (z) 1 då z 1 Det ger Ce λ(1+1/)/µ = 1 C = e 15λ/µ (e) Vi deriverar P (z) och låter sedan z 1 för att bestämma medelantal kunder: lim P (z) = C λ z 1 µ e15λ/µ = λ µ (f) Eftersom det finns oändligt många betjänare så är systemet stabilt Det finns inget värde på λ för vilket medelantal kunder 6 (a) Markovkedjan blir Om vi sätter ρ = λ/µ så ger snittmetoden för k 0 λp k 1 = (k + 1)µ p k p k = ρp k 1 k + 1 = (ρ) p k (k + 1)k = = (ρ)k (k + 1)! p 0 Sedan bestämmer vi p 0 K+1 ( (ρ) k K+1 (k + 1)! p 0 = 1 p 0 = ) 1 (ρ) k (k + 1)! Denna summa kan inte förenklas Svaret blir således ( K+1 ) 1 p k = (ρ)k (ρ) k (k + 1)! (k + 1)! (b) Medelantalet spärrade ankomster per tidsenhet blir λp K+1 (c) Om det befinner sig k (k 1) kunder i systemet så finns det k 1 kunder i kön Var och en av dessa kunder lämnar kön med intensiteten µ/, så den sammanlagda intensiteten med vilken kunder lämnar systemet innan de har kommit fram till betjänaren är då (k 1)µ Det innebär att medelvärdet av antal kunder som per tidsenhet lämnar systemet för att de blir otåliga blir K+1 (k 1)µ p k 7