Institutionen för Energivetenskaper, LTH

Institutionen för Energivetenskaper, LTH MMV05/11 Strömningslära LABORATION 1 Omströmmade kroppar MÅLSÄTTNING (1) Förstå hur kroppsform och ytråhet påverkar krafterna på en omströmmad kropp () Förstå hur modellförsök kan användas för att bestämma krafterna på en verklig kropp (3) Förstå vad som orsakar avlösning (4) Bestämma och analysera tryckfördelning runt en cylinder och längs en vingprofil SAMMANFATTNING Kraften på en omströmmad tvådimensionell kropp, t. ex. en vingprofil, kan delas upp i ett s.k. strömningsmotstånd, verkande i strömningsriktningen, och en lyftkraft, vinkelrätt mot strömningsriktningen. Till sitt ursprung i lokala krafter verkande mot kroppens yta kan strömningsmotståndet delas upp i två komponenter: formmotståndet, tryckkrafternas bidrag, och friktionsmotståndet, de viskösa krafternas bidrag. Av central betydelse vid modellförsök är Reynolds likformighetslag som säger att inkompressibel strömning kring geometriskt likformiga kroppar, utan inverkan av fria vätskeytor, blir likformig om Reynolds tal är lika. I laborationen ingår tre försök. Försök 1: Mätning av strömningsmotstånd Bestäm strömningsmotståndet för några olika rotationssymmetriska kroppar samt två cylindrar med cirkulärt tvärsnitt (olika diametrar). Försök : Kraftmätning på vingprofil Bestäm strömningsmotstånd och lyftkraft för en vingprofil vid olika anfallsvinklar. Försök 3: Tryckmätning Mät hur det statiska trycket varierar dels runt en cylinder och dels längs en vingprofil. Bestäm även cylinderns formmotstånd. FÖRBEREDELSER Läs detta PM samt sid. 449-45, 468-470, 474-484, 49-498 i F. M. White, Fluid Mechanics, 6th edition 1, 006. Laborationen inleds med viss kunskapskontroll. REDOVISNING Varje laborant skall redovisa mätningar och resultat i ett laborationsprotokoll som delas ut vid laborationstillfället. Redovisning sker i direkt anslutning till laborationen. Laborationstiden är ca. 4 timmar, inklusive redovisning. 1 Sid. 451-454, 470-47, 476-486, 494-500 i 5th edition, 003; sidhänvisningar i övrigt är till 6th edition, 006. C. Norberg, 010-01-16

Krafter på en omströmmad kropp En fast kropp som omströmmas av ett visköst medium utsätts för en kraft på grund av strömningen. Denna kraft är resultanten till de tryck- och friktionskrafter som verkar på kroppsytan. Betrakta en vingformad kropp med stor bredd, se Fig. 1. Strömningen kring vingprofilen kan betraktas som tvådimensionell. Figur 1: Krafter på en omströmmad tvådimensionell kropp Kraften F kan delas upp i två komposanter, strömningsmotståndet D, som verkar i strömningsriktningen och lyftkraften L, som verkar vinkelrätt strömningsriktningen. Strömningsmotståndet brukar i sin tur delas upp i ett formmotstånd och ett friktionsmotstånd. Formmotståndet är tryckkrafternas bidrag (statiskt tryck p) och friktionsmotståndet är friktionskrafternas, eller de viskösa krafternas bidrag (väggskjuvspänning τ). Beloppet av F brukar anges i form av en dimensionslös koefficient C definierad enligt F = C A (1) V - anströmningshastighet A - karakteristisk area ρ - fluidens densitet För geometriskt likformiga kroppar gäller Reynolds likformighetslag: Strömningen kring geometriskt likformiga kroppar blir likformig om Reynolds tal är lika. Förutsättningar: inkompressibel strömning utan inverkan av fria vätskeytor. Reynolds tal, Re, definieras enligt l V l Re = = () μ ν V - karakteristisk hastighet, t.ex. enligt ovan l - karakteristisk längd μ - dynamisk viskositet, ν = μ / ρ - kinematisk viskositet Viskösa ytnormalspänningar försummas.

3 Reynolds likformighetslag medför bland annat att den dimensionslösa koefficienten C under angivna förutsättningar och för en viss geometri endast blir en funktion av Re (och dimensionslös tid, t.ex. tv / l ). Om F står för tidsmedelvärderad kraft gäller således C = f (Re) (3) Praktiskt innebär Reynolds likformighetslag att då man vill bestämma kraften på en kropp experimentellt, är det inte tvunget att välja samma kroppsstorlek, hastighet, medium, tryck, temperatur, m.m. som i verkligheten. Om bara Re är lika, eller eventuellt ligger i ett område där C är oberoende av Re, är det ändå möjligt att skala (överföra resultat från) modellförsök till verkliga förhållanden. Det är därför möjligt att använda resultat som erhållits vid t.ex. luftströmning även på vattenströmning, om bara Re är lika. Strömningsmotstånd Uppdelning i formmotstånd D och friktionsmotstånd D : p D = D p + D f (4) f Om ϕ är vinkeln mellan normalen n till ytelementet da och den ostörda strömningsriktningen (se Fig. 1), kan formmotståndet allmänt skrivas D p D p = p da cosϕ = ( p + ρ gz) da cosϕ = A A A * p *( x*, y*, z*,re) l da* cosϕ = l p * ( x*, y*, z*,re) da* cosϕ = l funkt (Re) * A Storheter markerade med * är dimensionslösa, ex. x = x / l. Om kroppens projicerade yta vinkelrätt mot strömningsriktningen är A så är A proportionell mot l. (Man kan naturligtvis välja andra ytor, som bestäms av kroppens dimensioner.) Vi skriver därför * D p = CD, p A, där C D, p enbart beror av Re. På samma sätt fås det totala friktionsmotståndet D f = τ da sinϕ = μ V t V Vt * da sinϕ = μ l n da sinϕ l n = * μ V l funkt (Re) = l μ l funkt (Re)

4 Alltså Med D C D = CD, f + D, p f = CD, f A, där C D, f enbart beror av Re. C enligt ekv. (4) fås för det totala strömningsmotståndet D = CD A, där C D enbart beror av Re. C D kallas för motståndskoefficient. Lyftkraft På samma sätt som ovan visas att L = CL A, där C L enbart beror av Re. C L kallas för lyftkraftskoefficient. Med hjälp av ovanstående formler kan mätning av krafter i ett fall lätt omräknas till ett annat, förutsatt att kropparna (geometrin, inklusive t.ex. anfallsvinkel i Fig. 1) är likformiga och Re samma. Vid symmetriska strömningsfall (m.a.p. anströmningsriktningen) är lyftkraften i medel lika med noll. Val av karakteristisk area och längd För likformiga kroppar kan den karakteristiska längden l respektive arean A väljas godtyckligt. För trubbiga kroppar, kroppar som normalt sett ger upphov till stora avlösta områden, väljs vanligen som karakteristisk area kroppens yta projicerad vinkelrätt strömningen ( frontarean ); som karakteristisk längd någon typisk tvärdimension i denna yta. För cylindrar med cirkulärt tvärsnitt väljs diametern (d) som karakteristisk längd samt A = b d, där b är cylinderns längd. För långsträckta slanka kroppar av vingtyp ( vingprofiler ) väljs i regel medelkordan ( l = c ) som karakteristisk längd (se Fig. ). Som karakteristisk area, A, väljs då den s.k. planarean (vingytan), A = Ap = bc, där b är vingbredden. Figur : Vingprofil vid viss anfallsvinkel α.

5 Symmetriska kroppar En symmetrisk kropp, t. ex. en sfär, påverkas i medel endast av en kraft i strömningsriktningen (D). Mot denna svarar enligt ekv. (1) en dimensionslös koefficient, motståndskoefficienten CD, som följer likformighetslagen. Några exempel på hur CD varierar med Re ges i Fig. 3a och Fig. 3b, som visar C D som funktion av Re för en slät 3 sfär respektive en oändligt 4 lång, slät cylinder med cirkulärt tvärsnitt i vinkelrätt anströmning. I Fig. 3a (sfär) och för låga Re närmar sig kurvan asymptotiskt en rät linje. Vid tillräckligt lågt Re fås strömningsmotståndet D ur Stokes formel, se sid. 480 i White, D = 3π μ Vd (5) Insättning i ekv. (1) med A = π d / 4 och Re = d / μ ger 4 C D = (6) Re vilket innebär en rät linje i ett dubbellogaritmiskt diagram (streckad i Fig. 3a). 5 Inom 5 10 < Re < 3 10 är C D för en slät sfär approximativt konstant (0.44 ± 0.07). I detta intervall är alltså strömningsmotståndet D grovt sett proportionellt mot hastigheten i kvadrat, D V, medan det vid låga Re (ca. Re < 1) är direkt proportionellt mot V. Figur 3a: Motståndskoefficienten för en slät sfär (Fox & McDonald 1994). 3 Vid höga Re kommer ytans skrovlighet kommer att inverka på C D, se Fig. 5.3 och Fig. D5. i White. 4 Tillräckligt lång så att längden inte inverkar på medelströmningen, jämför Fig. 5.3 i White.

6 Figur 3b: Motståndskoefficienten för en oändligt lång, slät cirkulär cylinder. Enligt tidigare kan strömningsmotstånd delas upp i formmotstånd och friktionsmotstånd. Vid höga Re är friktionsmotståndet litet i förhållande till formmotståndet, och förhållandet minskar med ökat Re. Vid tillräckligt höga Re kan därför strömningsmotståndet uppskattas genom integrering av tryckkrafternas bidrag i strömningsriktningen över hela kroppsytan. För strömningen kring en cirkulär cylinder är formmotståndet helt dominerande vid Reynolds tal högre än ca. 3000, se Fig. 3b. Motståndskoefficienten p.g.a. friktionskrafter, C D, f, kan uppskattas enligt: C D, f 3.5/ Re (7) För den cirkulära cylindern inom 3 10 < Re < 3 10 är C D = 1.08 ± 0.15. Observera att både sfären och cylindern uppvisar s.k. drag crisis, d.v.s. en plötslig, kraftig minskning i motståndskoefficient med ökat Re över ett snävt intervall. För en slät sfär och en slät cylinder 5 med cirkulärt tvärsnitt sker detta fenomen vid ca. Re = 3 10. Denna motståndskris är såpass stor att strömningsmotståndet minskar vid passagen genom den plötsliga minskningen i C D vid ökad hastighet (Reynolds tal). Fenomenet hänger samman med omslag från laminär till turbulent strömning i samband med gränsskiktsavlösning, se s. 477-479 i White. Vid 6 högre Re (kring Re = 4 10 i Fig. 3b), återgår motståndskoefficienten till en nivå lägre än före motståndskrisen, för cylindern från ca. C = 1. till C 0. 6. D 5 D

7 4 5 Figur 4: Tryckfördelning kring en omströmmad cylinder ( ). Re 10 10 Fig. 4 visar tryckfördelningen längs stagnationspunktens strömlinje ( axialströmlinjen ) vid strömning kring en lång cylinder. Tryckdifferensen Δ p fås som Δ p = p patm, där p atm är den ostörda fluidens tryck (i detta fall atmosfärstrycket). Man ser att det sker en tryckstegring framför cylindern fram till stagnationspunkten. Likaså sker en tryckstegring från det låga trycket i vakområdet tills trycket p atm återhämtats en bit nedströms. Tryckfördelningen kring själva cylindern är typisk och kommer att studeras närmare under laborationen. Vingprofiler En vingprofil påverkas i allmänhet av en resulterande kraft som ej är parallell med strömningsriktningen. Enligt tidigare, om strömningen i medel är tvådimensionell, kan kraften delas upp i två komposanter, strömningsmotståndet D och lyftkraften L, mot vilka svarar motståndskoefficienten CD och lyftkraftskoefficienten C L. Betrakta nu strömning kring en vingprofil liknande den i Fig., vid konstant Re (konstant hastighet). Både CD och C L kommer att variera med anfallsvinkeln α (geometrin ändras!). Till en början ökar både C D och C L då α ökas (Fig. 5). C L når emellertid ett maxvärde för ett visst kritiskt värde α =. Då α ökas ytterligare minskar C L. α k Förklaringen är följande: Vid små anfallsvinklar ligger strömningen an utmed vingen nästan till dess bakkant. P.g.a. vidhäftningen fås en omlänkning av strömningen nedåt vid bakkanten, vilket enligt Newtons lagar innebär en kraft på vingen uppåt d.v.s. en lyftkraft 5. Samtidigt fås en hopträngning av strömlinjerna på översidan och omvänt på undersidan, d.v.s. hastighetsökning på ovansidan och omvänt på undersidan. Enligt Bernoullis ekvation innebär detta en resulterande tryckkraft uppåt. (Re antas högt d.v.s. friktionseffekter är underordnade.) Om emellertid den kritiska anfallsvinkeln α k överskrids, så löser strömningen av nästan framme vid framkanten ( α k = stallvinkel ). Ett stort virvelområde uppstår på översidan och strömlinjerna på ovansidan fortsätter nästan rakt fram i strömningsriktningen, se Fig. 5 och Fig. 7.4 i White. Därmed blir det omlänkade flödet mindre, lyftkraften minskar. Samtidigt 5 Även strömningen uppströms påverkas, vid vingens framkant sker en omlänkning uppåt vilket också bidrar till lyftkraften.

8 ökar strömningsmotståndet. Man säger att vingen överstegras (eng. stall). Vid t. ex. landning med flygplan är detta fenomen av stor vikt. Det gäller då att erhålla största möjliga C L, så att lyftkraften förmår hålla planet uppe vid så låg hastighet som möjligt. Överskrids α k så att vingen överstegras kan planet börja sjunka snabbt. Figur 5: Polardiagram för en vinge med b / c = 5 (Finnemore & Franzini 00). Den anfallsvinkel där förhållandet mellan lyftkraft och strömningsmotstånd har ett maximum kallas gynnsammaste glidvinkeln ( α g ). Vid segelflygning och långflygningar kan denna vinkel vara intressant att känna till, ty om man vill komma så långt som möjligt skall man flyga vid den gynnsammaste glidvinkeln. För den välvda vingen i Fig. 5 är α 1. Randeffekter, vingspetsvirvlar I praktiken har alla vingar och cylindrar ändlig bredd vilket innebär en annan strömningsbild vid ändarna, s.k. randeffekter. Om bredden är stor i förhållande till den karakteristisk längden kan randeffekterna försummas. Om så inte är fallet kan betydelsen av randeffekterna minskas med s.k. ändplattor (tunna plattor som monteras på ändarna av kroppen). För verkliga, ändliga vingar som genererar en lyftkraft sker det alltid ett visst mått av överströmning från vingens undersida till dess översida, vid ändarna utjämnas då tryckskillnaden mellan under- och översida. Detta i sin tur ger upphov till s.k. vingspetsvirvlar. Detta innebär givetvis lägre lyftkraft men framförallt ett högre strömningsmotstånd, ett s.k. lyftkraftsinducerat motstånd. Detta fenomen behandlas närmare i Kap. 8 av White. g

9 Försöksutrustning Vindtunnel Under mätningarna vill vi ha en luftström som har så konstant och likriktad hastighet som möjligt inom mätsektionen. För att få en luftström med riktigt bra sådana egenskaper behövs egentligen en dyr och utrymmeskrävande sluten vindtunnel. Under laborationen uppnås emellertid tillräcklig noggrannhet med en kort öppen vindtunnel. Den öppna vindtunneln består av en axialfläkt som är inbyggd i en kanal med cirkulärt tvärsnitt. I kanalen är det monterat en ledskenekrans vilken är till för att bryta ned de virvlar som alstras av fläktbladen. Vid kanalens utlopp minskas arean med hjälp av utbytbara dysor (munstycken). Dysorna innebär dels att hastigheten ökas, dels fås en jämnare hastighetsprofil. Prandtlrör Hastigheten (friströmshastigheten) mäts med ett s.k. Prandtlrör (eng. Pitot-static tube). Utförande och funktion finns beskrivet i White, sid. 404/5. Bernoullis ekvation, som förutsätter stationär, inkompressibel, friktionsfri strömning, gäller med god noggrannhet i fria luftströmmen. Om effekter av tyngdacceleration försummas gäller längs en strömlinje: p + = konst. (8) där p är statiskt tryck, ρ densitet och V hastighet. Kombinationen ρv / kallas dynamiskt tryck, och utgör skillnaden mellan trycket hos luften i uppbromsat och strömmande tillstånd. Vid Prandtlrörets främre tryckuttag är hastigheten noll ( V = 0, stagnationspunkt) och trycket lika med stagnationstrycket. Vid hålkransen har hastigheten återhämtat sig till luftströmmens fria hastighet. Vid lämplig utformning är även trycket vid hålkransen lika med trycket i den fria luftströmmen. Tillämpning av ekv. (8) ger då hastigheten V i den ostörda strömningen: ρv p0 = p+ p 0 = stagnationstryck ( p 0 p) V = (9) ρ Luftens densitet kan beräknas ur ideala gaslagen, p ρ =, där R = 87 J/(kg K) och T absolut temperatur. (10) RT Tryck- och kraftmätning Vid mätning av tryckdifferenser används en manometer baserad på ett U-rör med avläsning direkt i pascal (Pa). Detaljerad beskrivning av handhavandet meddelas vid laborationstillfället. Strömningsmotstånd och lyftkraft mäts med hjälp av en tvåkomponentvåg. Beskrivning och handhavande av vågen ges vid laborationstillfället.

10 UTFÖRANDE Laborationen består av tre delförsök: 1. Kraftmätningar (1) Mät strömningsmotstånd, D, för några olika rotationssymmetriska kroppar (Fig. 6). Figur 6: Rotationssymmetriska kroppar. () Gör motsvarande mätning för två cylindrar med olika diametrar. Beräkna Re och C D för samtliga kroppar Jämför resultaten med Fig. 3 i detta PM samt Table 7.3 i White.. Mätning av strömningsmotstånd och lyftkraft Mät strömningsmotstånd D och lyftkraft L för en vinge vid given (uppmätt) hastighet vid olika anfallsvinklar, t. ex. α = - o, 0 o, o, 5 o, 10 o, 17 o, 0 o. Beräkna Reynolds tal, C D och C L samt rita diagram över (1) C D och C L som funktion av anfallsvinkel α (i samma diagram). Ange approximativt värde på stallvinkeln α k. () C L som funktion av C D, varvid en α-skala markeras utefter kurvan (Lilienthals polar-diagram, se Fig. 5). I detta diagram kan den gynnsammaste glidvinkeln (den anfallsvinkel, vid vilken kvoten L / D = C L / C D är maximal) bestämmas genom att dra en tangent till kurvan genom origo. Lutningen för denna linje är då C L / C D. Den punkt där kvoten C L / C D är maximal finner vi nu genom att undersöka var tangenten genom origo tangerar kurvan C ) med störst lutning. L ( C D

11 3. Tryckmätningar (a) Tryckmätning kring cylinder Trycket vid cylinderytan mäts via ett litet borrat hål i ytan. Mät tryckskillnaden, Δp ϕ, mellan trycket vid ytan på mitten av cylindern och trycket i den ostörda strömningen (omgivningstrycket) med hålet i olika vinkellägen, ex. -0 o, 0 o, 10 o, 0 o,..., 90 o, 100 o, 10 o,..., 180 o, -40 o, -0 o. Vinkelläget för stagnationspunkten ( ϕ = 0 ) bestäms genom att utnyttja symmetrin som (förhoppningsvis) råder hos tryckfördelningen på cylinderns ovan- och undersida. Tryckdifferensen Δp ϕ runt cylinderytan mäts med en differensmanometer. Analys: Endast komponenten ( Δ p ϕ cosϕ ) bidrar till strömningsmotståndet. Vid ϕ = 0 gäller enligt Bernouillis ekvation: Δ pϕ = 0 = ρv / (högt Re). Formmotståndet D p per breddenhet av cylindern fås genom att integrera tryckkomponenten i strömningsriktningen runt hela cylinderytan, π D p = 0 Δ p ϕ cosϕ R dϕ P.g.a. symmetri räcker det att integrera över halva cylindern och multiplicera med, d.v.s. π π Δpϕ cosϕ = R Δpϕ cosϕ dϕ = ρv R dϕ (11) Δp D p 0 0 ϕ= 0 Motståndskoefficienten C D, p beräknas enligt C D, p = D p R = π Δpϕ cosϕ dϕ Δp 0 ϕ= 0 (1) (b) Tryckmätning kring en vingprofil Tryckskillnaden mellan trycket vid olika fasta mäthål och omgivningstrycket, Δp x, mäts för en vingprofil (se Fig. 7, nästa sida).

1 Figur 7: Mäthålens placering längs vingprofilen. UTVÄRDERING Reynolds tal beräknas för både cylindern och vingprofilen. Cylindern (1) Plotta C p ( ϕ) = Δpϕ / Δpϕ = 0 och C p cosϕ = ( Δpϕ / Δpϕ = 0 ) cosϕ i samma diagram. Vilken del bidrar mest till strömningsmotståndet, framsidan eller baksidan? Notera att Δp ϕ=0 motsvarar stagnationstrycket. () Uppskatta formmotståndet per breddenhet genom att summera ytan under kurvan Δp / Δp ) cosϕ. ( ϕ ϕ= 0 (3) Beräkna C D, p samt uppskatta C D = CD, p + CD, f. Jämför med tidigare kraftmätningar samt Fig. 3b i detta häfte. Vingen (1) Rita upp diagram över C p ( x) = Δpx / Δpx= 0 = Δpx / Δp1 där x anger abskissan för hålens projektion på undre tangentplanet (se Fig. 7). Vilken sida bidrar mest till lyftkraften, översidan eller undersidan? På vilken sida (och var) finns risk för avlösning? Notera att Δp 1 motsvarar stagnationstrycket. () Uppskatta lyftkraften på vingen, per breddenhet (3) Uppskatta lyftkraftskoefficienten C L. REFERENSER Finnemore, E. J. & Franzini, J. B. (00), Fluid Mechanics (with Engineering Applications), 10th Edition, McGraw-Hill. Fox, R. W. & McDonald, A. T. (1994), Introduction to Fluid Mechanics, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc. White, F. M. (008), Fluid Mechanics, 6th Edition, McGraw-Hill.