Ingenjörsmetodk IT & ME 009 Föreläsare Dr. Gunnar Malm Emal: gunta@kth.se Tel. 790 43 3 Mtt kontor Electrum-huset C4
Innehåll Matematska modeller Dervator, logartmer, polynom Statstk, medelvärde, felgränser Datormodeller Enkla program matlab Skrftlg presentaton & nformatonssöknng Använda KTHs bblotek Ingenjörsrollen
Att göra när v repeterar ) Genomgång av den formelsamlng som förberetts tll tentan och som fnns prelmnärt på hemsdan ) En avrundnng av labmomentet med eventuella frågor nför rapportskrvandet. 3) Repetton utfrån Grmvall 4) Repetton om kurvanpassnng med MK-metoden (utfrånfrån förra årets kompendum, kap 6). Fact läggs tll på hemsdan. Jag kommer att sälja ca 5 eemplar av detta kompendum bllgt 50 (40):-/st. 5) Repetton utfrån gästföreläsnngarnas materal 6) Repetton utfrån gamla tentor med fokus på hur lösnngen ska läggas upp och presenteras, nfo om hur rättnngen går tll rent praktskt. 7) Era frågor 3
Mål Målrelaterade betyg 7-gradg betygsskala (A, B, C, D, E) godkänt (F, F) underkänt Betyget sätts på tentamen Labmomenten använder bara godkänd/underkänd. 4
Krav Tentamen tsdag 0 oktober eller vd omtenta januar 00. Godkända labbar och skrftlga uppgfter, först då regstreras slutbetyget LADOK. Brster labbar och skrftlga uppgfter kompletteras omedelbart efter rättnng. Närvaro uppmuntras men nget krav 5
Lkabehandlng Funktonsnedsättnng Har du en funktonsnedsättnng och behöver särsklda hjälpmedel/stödåtgärder under utbldnngen? Kontakta samordnaren för studenter med funktonsnedsättnng så snart som möjlgt! Tel: 08-790 70 98, E-post: funka@kth.se www.kth.se/utbldnng/studentlv/funktons nedsättnng Funktonsnedsättnng 6
Enheter SI-systemet Fnns 7 st grundenheter Ska känna gen de vanlgaste Många härledda enheter Dessutom pref nm, µm, mm, cm, m, km eller mg, g, hg, kg 7
7 st grundenheter Namn Symbol Vad mäter man? Meter m Längd Klogram kg Massa Sekund s Td Ampere A Elektrsk ström Kelvn K Termodynamsk temperatur mol mol Substansmängd candela cd Ljusstyrka 8
Defntoner Storhet Enhet Symbol Defnton Längd Meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas vakuum under ett tdsntervall av /9979458 sekund. Massa Klogram kg Ett klogram är massan för den nternatonella klogramprototypen. Td Sekund s En sekund är tdsvaraktgheten av 9963770 peroder av den strålnng som motsvarar den fyskalska övergången mellan de två hyperfna nvåerna av cesum 33 atomens grundnvå. Elektrsk ström Termodynamsk temperatur Substansmängd ampere A En ampere är den elektrska ström som fås när kraften mellan två oändlgt långa parallela lednngar vakuum som separeras meter och som har ett försumbart tvärsntt, blr 0-7 newton per meterlängd. kelvn K Kelvn som är enheten för den termodynamska temperaturen är /73.5-del av den termodynamska temperaturen av trppelpunkten för vatten. mol mol 6.03 0 3 molekyler Ljusstyrka candela cd En candela är ljusstyrkan, en gven rktnng, av en ljuskälla som emtterar monokromatsk strålnng vd frekvensen 540 0 hertz samt en strålnngsstyrka den rktnngen av /683 watt per steradan. 9
Defntoner Meter bestäms ur ljusets hastghet Klogram bestäms från en referens Sekunder defneras mha atomur - mycket eakt klocka Ström bestäms epermentellt Temperaturskalan bygger på vattnets frys- och kokpunkt Mol bestäms från kolatomens vkt Ljusntenstet bestäms av ögats känslghet för grönt ljus 0
Eempel härledda enheter newton N Kraft Newtons :a lag N N kg m/s m kg s - joule J Energ Arbetet vägen J N m J m kg s- watt W Effekt Energ / td W J/s W m kg s-3 pascal Pa Tryck Kraft / yta Pa Pa m - N/m kg s -
Härledda enheter Enhet Symbol Defnton I grundenheterna Vad som mäts radan rad rad m/m m m - Planvnkel steradan sr sr m /m m m - Rymdvnkel hertz Hz Hz s - Hz s - Frekvens newton N N kg m/s N m kg s - Kraft joule J J N m J m kg s - Energ watt W W J/s W m kg s -3 Effekt pascal Pa Pa N/m Pa m - kg s - Tryck volt V V W/A V m kg s -3 A - Elektrsk spännng coulomb C C As C s A Elektrsk laddnng ohm Ω Ω V/A Ω m kg s -3 A - Resstans farad F F C/V F m - kg - s 4 A Kapactans henry H H Ωs H m kg s - A Induktans semens S S A/V Ω - S m - kg - s 3 A Elektrsk konduktans weber Wb Wb Vs Wb m kg s - A - Magnetsk flöde tesla T T Wb/m T kg s - A - Magnetsk flödestäthet grader Celsus o C o C K o C K TemperaturCelsus lumen lm lm cdsr lm m m - cd Ljusflöde lu l l lm/m l m m -4 cd Lumnans katal kat kat mol/s kat s - mol Katalytsk aktvtet becquerel Bq Bq s - Bq s - Radoaktvtet gray Gy Gy J/kg Gy m s - Absorberad dos av jonserad strålnng severt Sv Sv J/kg Sv m s - Dosekvvalent
Dmensonsanalys kastvdd stghöjd : : v v 0 0 sn g α sn α g Eempel - två uttryck som bör ha samma dmensoner Vnklar har dmensonen Konstanter har också dmensoner 3
Dmensonsanalys Varje term en summa måste ha samma dmenson Dmensoner för faktorer en produkt multplceras Vänsterledet och högerledet måste stämma överens s s + vt + 0 at VL: dm(s)l HL: dm(s 0 )L HL: dm(vt)(lt - )TL HL: dm(at /)(LT - )(T )/()L 4
Dmensonsanalys För dervator gäller att df/d och f()/ har samma dmenson Evs är dmensonen för hastghet sträckan/tden dm[v]dm[ds/dt]dm[s]/dm[t] L/T med symboler 5
Dmensonsanalys Eempel ta fram dmensonerna för ett okänt uttryck Vll veta perodtden för en gunga Påstående en vuen och ett barn kan gunga takt Förenkla problemet tll en deal pendel θ l L m g 6
Dmensonsanalys Ställ upp ett uttryck t km Inför betecknngarna för dmensoner Förenkla T L 0 M 0 km L y (LT - ) z L y g z T -z L 0y+z M 0 z-/, y/ t k L g 7
8 Eempel Gauss formel Formeln beskrver: ett ltet fel funktonen F p.g.a osäkerhet de uppmätta värdena och y Osäkerheten betecknas Det värde v sätter n är oftast det uppskattade mätfelet standardosäkerheten u som fås genom statstsk behandlng av många uppmätta värden F F y y F + y, ( ) ( ) ( ) 0 0 + y u y f u f f u y y c
Eempel Gauss formel I vårt eempel är F restden t, vägsträckan s och y blens hastghet v Dvs: s vt t t s v (, ) t( sv, ) (, ) (, ) t sv t sv s, s v v v t sv s + v s v 9
Eempel Gauss formel V kanske kör med 70 km/h med en osäkerhet på 0 km/h Sträckan kanske är 30 km med en osäkerhet på 5km Fråga: bör v gå över tll grundenheter SIsystemet för kommande beräknng? v 70 km / h v 0 km / h s 30km s 5km 0
Eempel Gauss formel s t s + v v v 30 5 + 0 70 70 0.5h 8mn 30s t v s 30 5 35, 60 5.7 mn, 6.7 mn, 70 90 50 4mn Mnsta värde Medelvärde Största värde 6.7 mn 5.7 mn 4 mn
Alternatv metod Lägg hop de relatva osäkerheterna t t t v s 5 5 + + 0.38lös ut t v s 70 30 t 0.38 5.7 0.38 6.mn
Eempel Gauss formel Fnns två formler som är användbara om man är osäker på partella dervator, funkar nästan alltd! För en summa av potenser För en produkt av potenser ( a ) ( b Aa ) Bb F + F F a + b Defnton av relatvt fel, enhetslöst men procent % ger ett lätthanterlgt svar 3
4 Eempel Gauss formel Vlken av formlerna fungerar på det eemplet v just vsade? SVAR: produkt av potenser ( ) + + + + v v s v s v v t s s t t v v s s v v s s t t v s v s t
Hur kan Gauss formel användas f π LC Tag en radomottagarkrets en mobltelefon som eempel I 3G gäller det att ställa n rätt frekvens, med hjälp av en nduktans (spole) och en kapactans (kondensator) http://www.umtsworld.com/umts/faq.htm Värdet på L och C bestäms av kretsens layout och varerar något 90-980 and 0-70 MHz Frequency Dvson Duple (FDD, W-CDMA, channel spacng s 5 MHz and raster s 00 khz. 5
Hur kan Gauss formel användas Gvna värden för frekvensen L 0.6 ± 0.nH C 0.0 ± 0.pF ger Δf f f π 0. 0.6. 0547 0 L L 9 0. 0 0 C + C 0. 6 0 0.0 + 0.0 9. 0547 0 0.0835 eller 0. 0835 076. GHz 76. MHz Detta kan uttryckas som 8% varaton och är nte tllräcklgt bra eftersom kanalseparatonen ska vara bara 5 MHz! 9 Hz 6
Mätvärden och mätfel Tre möjlga typer av mätfel. Grova fel, felavläsnng. Systematska fel, e.vs något med mätutrustnngen som varerar med temperatur 3. Slumpmässga fel, kortvarga varatoner 7
Mätvärden och mätfel Skllnaden mellan precson och noggrannhet llustrerar konceptet med medelvärde och sant värde 8
Mätvärden och mätfel Medelvärde (artmetskt) Sant värde µ Standardavvkelse s σ Varansen σ Standardosäkerhet u För n st mätnngar s n 9
Mätvärden och mätfel Grunden är att man använder medelvärden för att uppskatta ett så kallat sant värde µ Man säger att är en skattnng av µ 30
Mätvärden och mätfel Standardavvkelsen talar om hur mätvärdet varerar Jämförelsen görs med medelvärdet eller det sanna värdet µ V ser från formeln att det spelat stor roll hur många (antalet n) mätnngar v gjort σ n n ( ) n s σ n ( ) 3
Mätvärden och mätfel Om v vll veta hur medelvärdet varerar kan v också använda standardavvkelsen V defnerar ett nytt samband som kallas standardosäkerheten Även här spelar antalet n mätnngar roll u s n där s beräknas på samma sätt som tdgare 3
Normalfördelnngen f() Fgur 4..5 0.5 0 Gaussfördelnngen σ0.5 σ0.5 µ0.5-0.5 - - 0 3 Vsar förväntad sprdnng för två värden på standardavvkelsen Kan uttryckas med välkänd formel, kallas normalfördelnng f ( ) σ ( µ ) σ e π 33
Normalfördelnngen Fgur 4.3 0.8 Gaussfördelnngen µ f() 0.6 0.4 µ-σ µ+σ 0. µ-σ µ-3σ 0 - - 0 3 µ+σ µ+3σ Man kan dela n området (arean) under kurvan och ange procenttal för deras respektve sannolkhet 34
Normalfördelnngen Sannolkheten att htta µ ntervallet zσ (ett sgma) är: µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( ) d f ( ) d 0. 68 P + (4.8) µ σ Detta kan jämföras med sannolkheten att htta ett sant värde ntervallet ( µ σ ) < < ( µ + σ ) (två sgma) som är: percentage wthn CI σ 68.68949%.645σ 90%.960σ 95% σ 95.4499736%.576σ 99% 3σ 99.730004% P µ + σ µ + σ ( µ σ, µ σ ) f ( ) d f ( ) d 0. 954 + µ σ http://en.wkpeda.org/wk/standard_devaton 3.906 σ 99.9% 4σ 99.993666% 5σ 99.999946697% 6σ 99.999999807% 7σ 99.999 999 999 7440% 35
Dfferenser Eempel en skuld som väer med räntan 0%. för varje tdsntervall A { 000,00,0,33, 36
Räntetllvät Väer snabbt är eempel på eponentell tllvät Inte så ntressant rent matematskt eller Fgur 5. för en ngenjör 7000 700 a k 6000 5000 4000 3000 000 000 0 600 500 400 300 00 00 0 0 5 0 5 0 k a k 37
En enkel ekvaton Kan skrva upp ekvatonen Om räntan r. så Detta betyder obgränsad tllvät a n ra n + Fnns andra fall för SAMMA ekvaton 38
En enkel ekvaton r0 Konstant värde 0 r Alla startvärden är konstanta lösnngar r<0 Oscllaton svängnng mellan postva och negatva värden r < Avtagande mot 0 r > Obegränsad tllvät 39
Räntetllvät Vktgt fall när tllvät och avtagande konkurerrar! Ändra ekvatonen lte genom att lägga tll b som kan vara ett postvt eller negatvt tal: a ra + n + n b 40
Matlab kod a00.; antal50 a()a0; r0.5; b0.; for n::antal a(n+)a(n)*r+b; end 4
Resultat Eemplet vsar att man når jämnvkt oberoende av var man startar Varför? r < 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0 4 6 8 0 4 4
Räntetllvät Vad händer då för r > Bara menngsfullt för b negatvt annars tllvät Tag r.0 och b-000 Prova olka startvärden 90000, 00000, 0000 43
Resultat. 05.5..05 0.95 0.9 0.85 Avbetalnngen måste vara tllräcklgt stor för en vss ränta och storlek på skulden Mycket KÄNSLIGT för var man startar! 0.8 0 0 0 30 40 50 60 44
Sammanfattnng r Värdet ändras nte bara en lnje r < Stabl jämvkt r > Instabl jämvkt 45
Vad är (teknsk) uppskattnng? Educated guess Någon form av nformaton behövs Alternatvt jämför med något man redan känner tll för att slppa lösa problemet Svara med storleksordnng, vanlgtvs en to-potens eller Eller bestäm annan acceptabel noggrannhet förväg Kap. 46
Uppskattnngar. Identfera huvudbdragsgvaren. Göra grova förenklngar 3. Formulera de vktga sambanden 4. Utför snabba beräknngar 5. Dra slutsatser och resonera krng resultat, rmlgt eller ej En stegvs process, som styrs av resurser (td, manpower) och tänkt användnngsområde 47
Typer av uppskattnngar. Storleksordnng. Skalnng från kända fakta/värden 3. Produkt av uppskattade värden 4. Olkheter 5. Summor av bdrag (med olka storleksordnng) 6. Egocentrska resonemang 7. Ekonom 8. Vardagskunskap 48
. Storleksordnng. Storleksordnng Begrunda följande påståenden: (a) Antalet nvånare Sverge vd 006 var 9 3 57. (b) Antalet nvånare Sverge vd utgången av år 006 var 9 mljoner. (c) Antalet nvånare Sverge vd utgången av år 006 var av storleksordnngen 9 mljoner. (d) Antalet nvånare Sverge vd utgången av år 006 var av storleksordnngen 0 mljoner. 49
Hemuppgfterna Gör epermentet att koka en kopp te med vattenkokare (kaffebryggare), spsplatta Uppskatta energförbruknngen! Tps läs märknngen på apparaten och mät tden! Mala ett ungefärlgt svar tll: gunta@kth så gör jag en sammanställnng. 50
Epermentet/läan Volym Antal koppar Td Energ Enhet Effekt 40 Wh 44 KJ mn 500 W 66 s 9.4 Kj 80 78 s 48 Wh 00.5 dl 45 s 99 kw 00 600ml 80 s 0.045 kw/h mn 000 lter 09 s 0.6 kwh 000 lter 4 mn 0.33 kwh 000 54 s 3 wattmmar 00 dl 3 mn 0. kg 75kJ 4dl 00J 65 s 9.4 kj 80 0.5l 98 s.73 kj 30 s 60 kj 000 dl 55 s 0000 J 000 40 s 6 kj 900 5
Uppskattnng energförluster Uppskatta energförlusterna hemma hos dg när det gäller apparater som står standby -läge Ta hjälp av tabellen: http://standby.lbl.gov/summary-table.html 5
Uppskattnng energförluster Här är mn lsta på elförbrukare mn lägenhet. De som är satta tll med noll är normalt urpluggade när de ej används aktvt (e. anslutna tll avstängnngsbart skyddsgrenuttag). Kolumnen längst tll höger är en uppskattnng av den aktva förbruknngen hos varje pryl. Datorskärm LCD 3st 0 65 Statonär Dator 0 0 Laptop 0 40 Server 0 300 Router/Brandvägg 0 60 WF Accesspunkt 0 0 4ports Swtch 0 00 Laserskrvare 0 30 Surroundrecever 3 00 HTPC (Hembodator) 5 50 Subwoofer 0 00 Mkrovågsugn 5 000 Moblladdare 0,3 3,5 Projektor LCD 3 50 Pano/Keyboard 5 38,3 553,5 Slutsats: Jag förbrukar ca 40W per tmme eller 44 kj (40 * 3,6) prylar som står standbyläge. När jag tttar lstan så ser jag ganska snart att alla grejer kan jag lka gärna plugga ur när de nte används. 53
Hemuppgfterna Gör epermentet enlgt Grmvall sdan 73, uppgft 0 om språkkunskaper, behöver nte göra 0 sdor. 54
Hemuppgfterna Ur lekon med 4 000 ord och fraser 55
Hemuppgfterna Jag har valt Engelska och ordboken "Norstedts stora engelska-svenska ordbok" 993 Norstedts ISBN 9-- 93538-0 boken har 0 000 ord och har 07sdor. Jag valde att slumpa fram 0 sdor på måfå. Tabell över genkända ord 6 ord på sda 5 ord på sda 9 ord på sda 3 3 ord på sda 4 6 ord på sda 5 ord på sda 6 0 ord på sda 7 5 ord på sda 8 4 ord på sda 9 0 ord på sda 0 Summa 70 ord på 0 sdor, dvs 7 ord per sda blr totalt 7 ggr07 blr c:a 8000 ord totalt Jag tttade ett franskt lekon och slog upp 4 sdor. Kunde genomsntt ett ord på varje sda. Hela lekonet är på 69 sdor. Uppskattnngen av mtt franska ordförråd måste därför vara ca 70 ord. SVAR: 70 ord, om jag förstått uppgften rätt. 56
. Storleksordnng Boken nför begreppen typskt värde eller karakterstskt värde Kan lknas t.e vd medelvärdet medan storleksordnngen lte grovt kan sägas vara to -potensen 57
. Skalnng från kända fakta/värden Eempel: Hur många barn föds varje sekund på jorden Svar: Totala befolknngen är 6 mljarder (60 9 ), lvslängden kanske 60 år. Mnst 60 9 /60 föds per år 60 9 /60/365/4/3600 3 per s 58
3. Produkt av uppskattade värden Bokens eempel: Fnns det ntellgent lv unversum? Green Bank/Drake ekvatonen ALLA ngående värden är uppskattade okända! 59
4. Olkheter Bokens eempel: Kan man täcka jorden med papper? Tar ett känt värde för jordens landarea och faktorserar detta 4 9,5 0 m 0 400 75 ( 5m ) ndvder dagar td personlg åtgång 60
5. Summor av bdrag (med olka storleksordnng) Vad är den totala mängden vatten på jorden? Ursprung Volym (000 km 3 ) Gamla boken Nya boken Hav 370 000 300 000 Grundvatten 60 000 0 000 Polarsen 4 000 4 000 Sjöar 80 90 Floder Atmosfären 4 3 Summa.40 6.30 6 6
6. Egocentrska resonemang Egocentrska resonemang Var är den genomsnttlga pendlngstden för en Ksta-student? Vad kostar samtlg kursltteratur under dna 5 år på KTH? 6
Interpolaton och Kurvanpassnng Matlab kap 8 EKM. Formeltransformerng ett sätt att uttrycka mätdata med en rät lnje. Mnsta kvadratmetoden att htta den bästa räta lnjen 3. Gör detta matlab! 63
Högre-gradspolynom: Interpolerng Lägre-gradspolynom: Modellanpassnng P 9 k 9 ak a0 + a + a +... + a9 k 0 ( ) 9 P ( ) k a a + a a k 0 + k 0 64
andra metoder m m Mnmera y ( ) f Mnmera {Ma f ( ) (6.6) y },,,..., m (6.7) Mnmera y f ( ) [ y f ( )] 3 Chebyshev m 3 (6.8) 65
66
Mnsta kvadratmetoden S(a,b)Σ y -f( ) Σ[y -(a+b )]. a och b f()a+b är de bästa appromatonerna v kan htta enlgt mnsta kvadratmetoden. a och b är okända varabler { } och {y } (,,, m) är de kända mätresultaten. 67
68 + m m y b am + m m m y b a Partell derverng Lnjärt ekvatonssystem för a och b kan lösas efter Algebrakursen...
69 m m m m m m m y y a m m m m m m y y m b Lösnng tll MK a - skärnngspunkten på y-aeln b lnjens lutnngskoeffecent. a och b är de bästa appromatonerna tll A och B enlgt mnsta kvadratmetoden.
MK eempel med sffror Eempel 6.8 8 värdepar (,y) 9. 48. 7.7 9.0 8 40 65 99 y 0.0493 0.08 0.3 0.54 0.97 0.34 0.74 0.38 70
MK eempel med sffror y y f ( ) y f ( ) [ y f ( )] 9. 0.0493.4346 846.8 0.0507 0.004.83 0-6 48. 0.08 3.957 33. 0.080 0.000.49 0-8 7.7 0.3 8.94 585.3 0. 0.0008 7.09 0-7 9.0 0.54 4.68 8464.0 0.54 0.000 3.6 0-8 8 0.97 3.46 394 0.96 0.0006 3.03 0-7 40 0.34 3.760 9600 0.33 0.005.6 0-6 65 0.74 45.0 75 0.74 0.0005. 0-7 99 0.38 65.7 3960 0.39 0.003.66 0-6 Σ 864.444 94.99 770 6.94 0-6 Vktgt med delresultat! 7
7 MK eempel med sffror 0.0093 864 770 8 864 94.99 770.444 8 8 8 8 8 8 8 y y a 0.0064 864 770 8 864.444 94.99 8 8 8 8 8 8 8 8 y y b ( ) f 0064 0..0093 0 +
MK eempel med sffror y y f ( ) y f ( ) [ y f ( )] 9. 0.0493.4346 846.8 0.0507 0.004.83 0-6 48. 0.08 3.957 33. 0.080 0.000.49 0-8 7.7 0.3 8.94 585.3 0. 0.0008 7.09 0-7 9.0 0.54 4.68 8464.0 0.54 0.000 3.6 0-8 8 0.97 3.46 394 0.96 0.0006 3.03 0-7 40 0.34 3.760 9600 0.33 0.005.6 0-6 65 0.74 45.0 75 0.74 0.0005. 0-7 99 0.38 65.7 3960 0.39 0.003.66 0-6 Σ 864.444 94.99 770 6.94 0-6 Vktgt med delresultat! 73
74 MK eempel med sffror 0.0093 864 770 8 864 94.99 770.444 8 8 8 8 8 8 8 y y a 0.0064 864 770 8 864.444 94.99 8 8 8 8 8 8 8 8 y y b ( ) f 0064 0..0093 0 +
Välj problemlösnngsmetod! MK problemet kan hanteras på mnst 5 olka sätt Matlab Naturlg fråga vlket sätt ska v välja? 75
Varant : beräkna summorna y.*y.^ sumsum() ysumsum(y) ysumsum(y) sumsum() a(ysum*sum-ysum*sum)/(8*sum-sum^) b(8*ysum-sum*ysum)/(8*sum-sum^) ynewa+b* plot(,y,,ynew) 76
Varant : beräkna summorna Fungerar bra även Ecel Måste defnera formlerna på rad och 77
Varant : beräkna summorna 0.35 0.3 y 0.006 + 0.009 0.5 0. 0.5 0. Seres Lnear (Seres) 0.05 0 0 50 00 50 00 50 Smdgt att en anpassnng men relatvt lten kontroll över metoden 78
Varant : använd polyft/polyval coef polyft(,y,) tra:0.:6 yftpolyval(coef,tra) plot(,y,tra,yft) Eller ännu enklare plot(,y,,polyval(polyft(,y,),)) 79
Varant 3: curve fttng toolbo Antngen Tools->Basc Fttng fgur Eller cftool om man har den nstallerad 80
Varant 3: curve fttng toolbo Eller cftool om man har den nstallerad 8
Varant 4: Lös ekvatonssystemet I vårt fall har v 8 ekvatoner av typen: y y y 8 a + b a + b eller med sffor nsatta 0.0493 a + b*9. 0.08 a + b*48. 0.38 a + b*99 a + b 8 8
Varant 4: Lös ekvatonssystemet Matlab hanterar detta som matrser >> rhs[' ones(8,)] rhs.0e+00 * 0.9000000000000 0.00000000000000 0.48000000000000 0.00000000000000 0.77000000000000 0.00000000000000 0.90000000000000 0.00000000000000.80000000000000 0.00000000000000.400000000000000 0.00000000000000.650000000000000 0.00000000000000.990000000000000 0.00000000000000 83
Varant 4: Lös ekvatonssystemet Matlab hanterar detta som matrser >> rhs[' ones(8,)] rhs.0e+00 * 0.9000000000000 0.00000000000000 0.48000000000000 0.00000000000000 0.77000000000000 0.00000000000000 0.90000000000000 0.00000000000000.80000000000000 0.00000000000000.400000000000000 0.00000000000000.650000000000000 0.00000000000000.990000000000000 0.00000000000000 84
Varant 4: Lös ekvatonssystemet Matlab hanterar detta som matrser rhs\y' ans 0.00649848099 0.00955647737 Svaret känns gen! 85
Varant 5: Låt matlab gssa sg fram Matlab har fördefnerade funktoner för optmerng Kan starta från en dålg gssnng och terera fram svaret. Fungerar nte bara för MK-metoden utan även avstånd och chebychev enlgt ovan 86
Slut för år! Lycka tll! 87