LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel. Beäm om w är linjär kombinaion a och då a ww (8, 7, 6, (,, och (,, b ww (,, 6, (,, och (,, a Vi öker om de finn en löning ill ww d (8, 7, 6 (,, (,, Vi idenifierar koordinaer och får re kalära ekaioner: 8 7 6 Seme har (preci en löning, Därmed kan ww kria om en linjär kombinaion a och : ww b I dea fall ww ger (,,6 (,, (,, Vi idenifierar koordinaer och får re kalära ekaioner: 6 Seme SAKNAR löning ( konrollera. Därmed kan ww INTE kria om en linjär kombinaion a och. Sar a ja b nej UNDERRUM Definiion a. Lå W ara en icke om delmängd ill ekorrmme VR n. Mängden W är e nderrm ill V om och enda om följande re illkor är ppfllda: Vilkor : W ara en icke om delmängd ill R n Vilkor :, W W ( om, illhör W då mman illhör ockå W, i äger a W är len nder addiion Vilkor: ( W, R W ( om illhör W då illhör ockå W för arje kalär, i äger a W är len nder mliplikaion med kalär Sida a
Anmärkning. Från illkor, för, får i a W, d e nder rm måe innehålla nollekorn. Därmed kan nderrmme definiera på följande ekialena ä: Definiion b. Lå W ara en delmängd ill ekorrmme V. Mängden W är e nderrm ill V om och enda om följande re illkor är ppfllda: Vilkor: W ( nollekorn illhör W Vilkor:, W W ( om, illhör W då mman illhör ockå W, i äger a W är len nder addiion Vilkor: ( W, R W ( om illhör W då illhör ockå W för arje kalär, i äger a W är len nder mliplikaion med kalär Eempel. Via a mängden W a alla ekorer ar koordinaer aifierar z ekaionen z (* är e nderrm ill R. Med andra ord, ia a W { : z } z är e nderrm ill R. Vi ka ia a alla re illkor i oanående definiion är ppfllda. Vilkor Nollekorn W eferom de koordinaer,, z ppenbar aifierar ekaionen z. Därmed är Vilkor ppfll. Vilkor. Lå och ara å ekorer i W. Då dera koordinaer aifierar ekaionen d då gäller och. För a ia a W, måe i ia a koordinaer ill ockå aifierar ekaionen (*. Vi bierar koordinaer i änerlede och får Sida a
( ( ( ( ( Därför W och därmed är Vilkor ppfll. Vilkor. Lå ara en ekor W och e reell al (kalär. Då är ar koordinaer aifierar ekaionen (* eferom (. Därför W och därmed är Vilkor ppfll. -------------------------------- Generaliering: På amma ä om i oanående eempel kan man ia a mängden a alla ekorer n ar koordinaer aifierar e linjär homogen ekaionem är e nderrm ill R n. Eempeli, mängden W a alla ekorer ar koordinaer aifierar följande homogena ekaionem 7 5 är e nderrm ill R. Krae a eme är homogen är ikig. Om eme ine är homogen å nollekorn illhör ine W. ( Se nedanående eempel Eempel. Via a mängden W a alla ekorer z ar koordinaer aifierar ekaionen 5 8 z INTE är e nderrm ill R. Nollekorn ligger ine i W eferom 5 8. Villkor är INTE ppfll och därmed är W INTE e nderrm. Sida a
Eempel. Beäm om följande mängder är nderrm i R a W är mängden a alla ekorer i R om har föra och redje koordinaen, d W {(,,,, ddärr, RR} ( b W är mängden a alla ekorer i R om har föra och redje koordinaen, d W {(,,,, ddärr, RR} a Om i äljer och i (* får i a er i a nollekorn (,,, ligger i W och därmed är Villkor ( i definiionen för nderrm ppfll. Vi ear Villkor Vi anar a, W d (,,, och (,,, Då gäller (,,, W ( för föra och redje koord. är och Villkor är ppfll ( Vi äger a W är len nder addiion. N konrollerar i Villkor Vi anar W d (,,,. Då, för e al R, i har (,,, W ( för föra och redje koord. är och Villkor är ppfll ( Vi äger a W är len nder mliplikaion med al. Eferom Villkor, Villkor och Villkor är ppfllda är mängden W e nderrm ill V. Sar a W är e nderrm ill V. b Vi anar a, W d (,,, och (,,, Då gäller (,,, W eferom koordinaer på föra och redje pla är och ine om i mängden W. Med andra ord mman a å elemen i W hamnar anför W. Villkor är ine ppfll och därför W är INTE e nderrm ill V. ( Lägg märke ill a arken Villkor eller Villkor är ppfll Sar b W är INTE e nderrm ill V. BASER Definiion (BAS Lå V ara e ekorrm ( eller nderrm. Vekorerna,,, nn gör en ba i rmme V om följande å illkor är ppfllda:. Vekorerna,,, nn är linjär oberoende. Varje ekor i V kan kria om en linjär kombinaion a,,, nn. Sa ( Anale elemen i en ba. Om,,, nn är en ba för V då arje ba för rmme V har amma anal ekorer, n. Sa ( Koordinaer för en ekor i en gien ba. Sida a
Om B(,,, nn är en ba för V då gäller följande: Varje ekor w i rmme V kan kria om på eak e ä en linjär kombinaion a,,, nn ww nn nn Tal,,, nn kalla ww: koordinaer i baen B, och kalla koordinaekor i baen B. n Sa. Om,,, nn är n oberoende ekorer i e n- dimenionell ekorrm V då gör ekorerna en ba för V. Definiion (DIMENSION Om ekorrmme V har en ba med n ekorer äger i a V har dimenion n. Eempel a. Vekorerna ii (,, jj (, gör en ba ( andardbaen i rmme R eferom de är linjär oberoende och arje (, ekor i R kan kria om en lin. komb. a, : och R har dimenion. (, (, (, Eempel 5b. Vekorerna (,, (, gör ockå en ba i rmme R eferom de är linjär oberoende och arje w ekor i R kan kria om en lin. komb. a, ( eferom ekaionen ww är allid löbar Eempel 5c. Vekorerna (,, (, är INTE en ba i rmme R eferom de är linjär beroende. Eempel 5d. Vekorerna ii (,,, jj (,,, kk (,, gör en ba ( andardbaen i rmme R Eempel 5e. Vekorerna Sida 5 a
(,,, (,,, (,, gör en ba ( andardbaen i rmme R, eferom de är linjär oberoende ekorer i R Eempel 5f. Vekorerna (,,,, (,,,, (,,,, (,,, gör en ba ( andardbaen i rmme R eferom de är linjär oberoende och arje (,,z,w ekor i R kan kria om en lin. komb. a,,, : (,, zz, ww (,,, (,,, zz(,,, ww(,,, och R har dimenion. Eempel 6. Agör om (,,, (,,, (,,, gör en ba i redimenionell ekorrmme R. Vi krier ekorerna om kolonner i en mari och kollar om de är oberoende: ~ ~ Tre ledande ariabler implicerar a re kolonner är oberoende d ekorerna,, är oberoende. Vi har oberoende ekorer i e dimenionell rm och därför gör ekorerna en ba i rmme. Sar: Ja Eempel 7. Agör om (,,, (,,, (,,, gör en ba i rodimenionell ekorrmme R. Vi krier ekorerna om kolonner i en mari och kollar om de är oberoende: ~ ~ Tå ledande ariabler implicerar a ma å kolonner är oberoende d ekorerna,, är beroende ( Vi er a och därför är INTE en ba för rmme R. Sar: Nej Eempel 8. Agör om (,,, (,, gör en ba i redimenionell ekorrmme R. Nej, eferom arje ba i R måe ha ekorer. Sar: Nej Eempel 9. Beäm koordinaekorn för ekorn w(, i baen B(, där (,, (,. Sida 6 a
Vi löer ekaionen ww (, (, (, och får, och därmed koordinaekorn i baen B är ] [ B w Sar: ] [ B w Eempel. Lå S ara nderrmme om beår a alla ekorer ar koordinaer aifierar följande homogena ekaionem. 6 5 Beäm en ba ill S. Underrmme S är fakik löningmängden ill de gina ekaioneme. Vi löer eme med e Ga meoden 6 5 ek ek Vi beecknar och, löer ledande ariabler och får och ( Allå delen - och (eparerar } { } { - - S } { } {. Med andra ord kan arje ekor i S ange om en linjer kombinaion a ekorerna och om är ppenbar oberoende ( kolla jäl ekorer. Därmed är (, en ba ill S Sida 7 a
Sar: Vekorerna, är en ba ill S Eempel. Lå S ara nderrmme om beår a alla ekorer följande homogena ekaionen z. Korare S {, z } z Beäm en ba ill S. z ar koordinaer aifierar Vi löer ekaionen d i löer den ledande ariabeln z z Vi beeckna och z och får Allå S. z Därmed är arje ekor i S en linjer kombinaion a ekorerna och om är ppenbar oberoende ( kolla jäl ekorer. Därför är är (, en ba ill S. Sar: Vekorerna, bildar en ba ill S LINJÄRT SPANN (eller LINJÄRT HÖLJE Definiion 5. Linjär pann (eller linjär hölje Lå S{,,, nn } ara n ekorer ( beroende eller oberoende i en ekorrm V. Mängden a alla linjära kombinaioner a ekorerna i S kalla de linjära panne ( linjära hölje a S och beeckna Span(,,, nn. Sida 8 a
Span(,,, nn är e nderrm ill V. Dimenionen a Span(,,, nn är lika med ( maimala anale oberoende ekorer bland,,, nn. Enlig definiionen en ekor w illhör nderrmme Span(,,, nn om och enda om w kan kria om en linjär kombinaion a,,, nn. Eempel. Lå (,,,,, (,,6,, och (, 6, 9,, a Beäm dimenionen a pan(,, b Beäm en ba för pan(,, bland,, Vi krier ekorer om kolonner i en mari och öerför marien ill rappegform: 6 6 6 6 9 6 9 ~ ~ ~ En ledande ea. Ma anal oberoende kolonner är och därmed Ma anal oberoende ekorer är. pan(,, har dimenion. En ba är (,,,, (arar mo ledande ean i rappegform. Eempel. Lå S Span(, Beäm om ekor illhör S om a b. Enlig definiionen en ekor illhör nderrmme S Span(, om och enda om kan kria om en linjär kombinaion a ekorerna och. a Ekaionen d krier i om e ekaionem med kalära ekaioner: Sida 9 a
om har löningen,. Allå är ekorn en linjär kombinaion a och och därför ligger i S. b Ekaionen d eme aknar löning ( och aifierar ine föra ekaionen. Vekorn är ine en linjär kombinaion a ekorerna, och därför ine illhör S. Sar a Ja b Nej Sida a