I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt i teorin för harmoniska svängningar, bekantskap med mätapparatur och träning i datainsamling och databehandling. Den enkla pendeln som vi studerade i laboration om reversionspendeln är ett exempel på ett fysikaliskt system som utför en harmonisk svängning. Pendeln kan betraktas vara en oscillator med konstant frekvens och amplitud (om vi bortser från dämpning) svängningstid (period). Den totala energin för systemet är konstant men pendlar mellan, i detta fall potentiell energi och rörelseenergi. Två eller flera oscillatorer kan vara kopplade till varandra och deras rörelsemönster karakteriseras då av flera överlagrade frekvenser och varierande amplitud och en energiöverföring från den ena till den andra oscillatorn, naturligtvis så att den totala energin i systemet hela tiden är bevarad. Ett system med två kopplade oscillatorer kan enkelt studeras både analytiskt och experimentellt och laborationen går ut på att experimentellt verifiera de analytiska sambanden. Experimentet redovisas i en kort, individuellt skriven, skriftlig rapport.
LABORATION : Kopplade svängningar 1 Kopplade svängningar Laborationen består av tre delmoment. I det första momentet studeras en enkel pendel. Momentet injkluderar även en liten övning i att sätta upp en enkel induktionsdetektor. I det andra och tredje momentet studeras system av två kopplade oscillatorer. Insamlade mätdata jämförs med teorin för kopplade harmoniska oscillatorer. 1.1 Teori Att en oscillator är harmonisk innebär att kraften som verkar på massan är en linjär funktion av förskjutningen från jämviktsläget (F = kx). Rörelseekvationen kan skrivas d x + ω x = 0 (1) där ω är en konstant som i sig är en funktion av kroppens massa m och konstanten k (fjäderkonstanten). Ekvation (1) har den välkända allmänna lösningen x = A cos(ω t + φ) + B sin(ω t + φ) Begynnelsevärden bestämmer konstanterna A, B och. En modell av två kopplade harmoniska oscillatorer Figur 1 visar en modell av två likadana, linjärt kopplade harmoniska oscillatorer i form av två vikter med massan m och tre fjädrar med fjäderkonstanter k och k. Den mellersta fjädern kopplar oscillatorerna till varandra och k < k. I verkligheten kan modellen approximeras av t.ex. två pendlar eller två atomer i en molekyl, som åtminstone för små amplituder kan betraktas som harmoniska oscillatorer, mellan vilka det finns en koppling som i modellen representeras av en fjäder. Låt x 1 och x beteckna vikternas förskjutning från sina jämviktslägen. Vi antar att fjädrarnas massa kan försummas. Rörelseekvationerna blir då ett system av differentialekvationer i x 1 och x : m d x = kx 1 + k (x x 1 ), m d x = kx k (x x 1 ) ()
LABORATION : Kopplade svängningar 3 x 1 x Figur 1: Kopplade harmoniska oscillatorer. Om vi bildar summan och differensen av ekvationerna i () får vi m ( d x 1 + d x ) + k(x1 + x ), m ( d x 1 d x ) + (k + k )(x 1 x ) Variabelsubstitutionerna u = x 1 + x och v = x 1 x ger m d u + ku = 0, m d v + (k + k )v = 0 Differentialekvationerna är nu på samma form som (1) och vi kan välja att skriva lösningarna som u = x 1 + x = C cos(ω t + φ) med ω = v = x 1 x = D cos(ω t + φ ) med ω = k m (k + k ) m (3) (4) Om vi bildar summan och differensen av (3) och (4) får vi x 1 = A cos(ω t + φ) + B cos(ω t + φ ) x = A cos(ω t + φ) B cos(ω t + φ ) Betrakta nu följande begynnelsevillkor: x 1 (0) = A 0 (den ena vikten är förskjuten från jämviktsläget),
4 LABORATION : Kopplade svängningar x (0) = 0 (den andra är i jämviktsläget), dx 1 (0) = dx (0) = 0 (anordningen släpps från vila vid t = 0). Dessa begynnelsevillkor ger φ = φ = 0 och A = B = A 0 /, vilket kan skrivas om som x 1 = A 0 cos ( ω ω x = A 0 sin ( ω ω t ) cos ( ω + ω t ) sin ( ω + ω t ) (5) t ) (6) Uppgift 1: En härledningen av ovanstående uttryck skall bifogas din rapport (se Physics Handbook). Den mekaniska energin E = E kin +U kan, om vi försummar fjädrarnas massor samt den potentiella energi som finns i kopplingsfjädern skrivas som E 1 = mẋ 1 + kx 1 (7) för oscillator 1, där ẋ är tidsderivatan dx 1. Om man skriver ut uttrycken för E 1 och E och använder de trigonometriska formlerna för dubbla vinkeln ser man att den mekaniska energin pendlar mellan oscillatorerna med vinkelfrekvensen ω e = ω ω Om k << k, d.v.s. kopplingen mellan oscillatorerna är svag, har vi att (en redovisning lämnas i rapporten): ω + ω ω och ω e k mω (8) I figur har uttryck 5, 6 och 7 ritats för k = 0, 1 k. Uppgift : Visa även i rapporten att energipendlingen (vinkelfrekvens hos de streckade amplitudkurvorna i figur a och b, sker med frekvensen ω e k /mω.
LABORATION : Kopplade svängningar 5 a) x = A 0 cos ω ω t cos ω +ω t. b) x = A 0 sin ω ω t sin ω +ω t. c) x = mẋ 1 + kẋ 1. Figur : Rörelsen hos två identiska, svagt kopplade oscillatorer. Följande parametervärden har använts: A 0 = 1,k = 1,k = 0, 1,m = 0, Uppgift 3: Vilken vinkelfrekvens har de streckade amplitudkurvorna i figur a och b?
6 LABORATION : Kopplade svängningar 3 Två kopplade harmoniska oscillatorer på lutande luftkuddespår Vi tittar på ytterligare en modell för kopplade harmoniska svängningar. På ett lutande luftkuddespår befinner sig två glidkroppar med massorna m 1 och m, förbundna enligt figur 3 med fjädrar med fjäderkonstanter k 1 och k. Låt x 1 och x beteckna k 1 m k m 1 Figur 3: Kopplade harmoniska oscillatorer. glidkropparnas förskjutning från sina jämviktslägen. Vi antar att fjädrarnas massa kan försummas. Rörelseekvationerna blir då m 1 ẍ 1 = k 1 (x 1 x ) (9) m ẍ = k x + k 1 (x 1 x ) (10) Uppgift 4: I rapporten bör det finnas med en argumentation varför vi inte behöver ta hänsyn till lutningen då vi ställer upp rörelseekvationerna ovan. Vi har återigen fått ett system av system av andra ordningens differentialekvationer i x 1 och x. Vi försöker lösa detta genom ansatsen x 1 = A 1 cos ωt x = A cos ωt (11) (1)
LABORATION : Kopplade svängningar 7 Vi vill alltså hitta lösningar där båda massorna svänger harmoniskt med samma frekvens. Då vi satt in ansatsen i (17) och (18) kan cos ωt förkortas bort och vi får ett homogent ekvationssystem i A 1 och A : (k 1 m 1 ω )A 1 k 1 A = 0 (13) k 1 A 1 + (k 1 + k m ω )A = 0 (14) Vi dividerar den första ekvationen med m 1 och den andra med m och inför beteckningarna ω 01 = k 1 /m 1 och ω 0 = k /m. Frekvenserna ω 01 och ω 0 är frekvenserna för m 1 och m då de svänger ensamma i sina respektive fjädrar k 1 och k. Med de nya beteckningarna kan vi skriva ekvationssystemet som (ω 01 ω )A 1 ω 01A = 0 (15) m 1 m ω 01A 1 + ( m 1 m ω 01 + ω 0 ω ) A = 0 (16) Icke-triviala lösningar, d.v.s. lösningar där A 1 och A inte båda är = 0 fås för vissa värden på ω, de s.k. egenfrekvenserna. Villkoret för icke-triviala lösningar är att ekvationssystemets determinant är = 0: (ω01 ω ) ω01 ( m 1 m ω01 m1 m ω01 + ω0 ω ) = 0 (17) Detta villkor ger två möjliga värden för ω, glöm inte att drar roten ur för att få egenfrekvenserna. I den ena egensvängningen har A 1 och A olika tecken, i den andra har A 1 och A samma tecken. Man kan visa att en goycklig svängning kan uttryckas som en linjärkombination av egensvängningarna. Uppgift 5: Vad innebär det för svängningen att A 1 och A har lika respektive olika tecken? 4 Experiment 4.1 Apparatur Under laborationen görs mätningar på pendelsvängningar och på svängningar hos glidkroppar på ett luftkuddespår. Pendlarna monteras på samma sätt som reversionspendeln som användes vid tidigare experiment. För att mäta pendelns frekvens
8 LABORATION : Kopplade svängningar fästs en stavmagnet i pendelns ände och en 1000-varvsspole placeras så att magneten doppar in i spolen vid pendling. Spolen ansluts till en PC. När magneten rör sig in och ut ur spolen induceras en spänning som mäts och registreras av datorn. Den inducerade spänningen kommer förstås att variera med pendelns frekvens, men att hitta ett uttryck för sambandet mellan spänningen och magnetens rörelse är inte alls trivialt. Antag att stavmagneten rör sig in och ut i spolen med en harmonisk rörelse. Då kan dess position x skrivas som x = A cos ω t. Stavmagneten alstrar ett magnetiskt flöde Φ i spolen som då måste vara en funktion av x, d.v.s. Φ = Φ(x). Enligt Figur 4: Kopplade harmoniska oscillatorer. induktionslagen induceras en spänning U i spolen som är U(t) = dφ Kedjeregeln ger U(t) = dφ dx = dφ ωa sin ω t Om vi antar att variationen i Φ(x) är liten om amplituden A är liten skulle vi kunna sätta dφ konstant vilket ger U(t) konstant dx, d.v.s. den inducerade spänningen är proportionell mot magnetens hastighet och därmed mot pendelns vinkelhastighet. Enligt vårt resonemang skulle alltså den inducerade spänningen i spolen vara sinusformad om magneten rör sig harmoniskt med liten amplitud. Detta skall vi undersöka experimentellt!
LABORATION : Kopplade svängningar 9 4. Utförande 4..1 Enkel pendel, test av induktionsdetektorn Sätt upp en stålpendel med mässingsvikt och anslut induktionsspolens kabel (en kabel med banankontakter i ena änden och en BNC kontakt i den andra änden) till Scientific Workshop interfacets analoga ingång. Denna sänder i sin signalerna vidare, via serieingången, till en dator som kör programmet Data Studio. Labbassistenten visar dig hur du skall använda programmet med en respektive två pendlar anslutna till datorn. Gör några provsvängningar för att bekanta dig med programmet. Låt programmet göra en Fouriertransform så ser du vilka svängningsfrekvenser som ingår i rörelsen. Prova dig fram till hur magneten skall placeras i förhållande till spolen för att man skall få maximal amplitud på signalen. Uppgift 6: Hur ser Fouriertransformen för en harmonisk rörelse ut? 1. Bestäm perioden T när pendeln svänger med största amplitud.. Kan du bestämma någon skillnad i amplitud när pendeln svänger med största amplitud respektive liten? 3. Testa om signalen verkar sinusformad. 4.. Kopplade pendlar (dubbelpendel) Sätt upp ytterligare en pendel med mässingsvikt och anslut den till datorns andra kanal. Gör några provsvängningar när båda pendlarna svänger. Försök få samma svängningstid för båda pendlarna. 1. Koppla samman pendlarna med fjädrar i serie: först två fjädrar, sedan tre, fyra och slutligen fem fjädrar. Starta dubbelpendeln från ett läge där den ena är i jämviktsläge och den andra har maximalt utslag. Bestäm energipendlingens frekvens f e som funktion av seriens resulterande fjäderkonstant k. Plotta f e mot k i ett diagram och jämför med ekvation (8).. Studera fasskillnaden mellan pendlarnas rörelser. Stämmer den med ekvation (5) och (6)? 3. Undersök om energipendlingen blir annorlunda om man startar svängningarna med ett annat begynnelsevillkor. 4. Vad händer om pendlarna har olika egenfrekvens? Prova! 5. Bestäm de individuella fjäderkonstanterna k i. Detta gör du enklast med ett luftkuddespår och en glidkropp med känd massa.
10 LABORATION : Kopplade svängningar 4..3 Kopplade svängningar på luftkuddespår Använd en uppställning som i figur 3. Låt hela tiden fjädrarna hänga ihop med samma glidkropp (k 1 med m 1 och k med m ). 1. Belasta glidkropparna jämnt med två 50 g-vikter vardera. Mät svängningsfrekvenserna ω 01 och ω 0 för en glidkropp i taget i spåret med sin fjäder. Mät genom att ta tid på 0 perioder.. Bestäm m 1 och m. 3. Koppla ihop glidkropparna enligt figur 3 och sätt dem i svängning. Är kropparnas rörelse en harmonisk svängning? Uppgift 7: Hur skall du sätta igång svängningen för att få så många frekvenser som möjligt i Fourierspektrumet? 4. För det här systemet finns två harmoniska svängningsmoder (egensvängningar). Dessa har vinkelfrekvenser ω a och ω b med tillhörande amplitudförhållanden A 1 /A ω. Att hitta dem genom att prova sig fram är ganska svårt. Enligt teorin kan vi beräkna dem genom villkoret (17). Du har redan mätt upp de övriga storheter som ingår i determinanten. Lös ekvations-systemet för hand eller i ComSol och glöm inte att det är ω du får. 5. Ställ in de två egensvängningarna på spåret. Mät frekvensen och jämför med de teoretiska värdena. Visa labbassistenten att du lyckats hitta egensvängningarna. 6. Gör om punkterna 1-5 ovan med vikterna borttagna från glidkropp. 4.3 Redovisning Mätningar, resultat och slutsatser redovisas skriftligt för de tre delmomenten. Ingen detaljerad beskrivning av utförandet behöver göras. De numrerade uppgifterna skall redovisas för labbassistenten innan laborationen och därefter bifogas laborationsrapporten.