Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Vårterminen 2008 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder Fysikaliska modeller Kontinuitetesekvationen: q t + div j = k kommer från ökning + utöde = nyproduktion. Här är q = densitet (mängd/m 3 ), j = strömtäthet (mängd/m 2 s) och k = källtäthet (mängd/m 3 s) Diusionsekvationen: q t D q = k fås ur kontinuitetsekvationen och Fick's lag j = D grad q. D kallas diusionskonstanten. Värmeledningsekvationen: ρcu t λ u = k fås på samma sätt som diusionsekvationen. Energidensiteten q och temperaturen u kopplas ihop genom q t = ρcu t. Motsvarigheten till Fick's lag är Fouriers lag j = λ grad u (λ är värmeledningsförmågan). Vågekvationen: u tt c 2 u = f/ρ, där f = kraftfördelning, ρ = massdensitet och u = utböjningen. För ljudvågor är u = relativa tryckstörningen (= (p p 0 )/p 0 ). Laplaces ekvation u = 0 och Poissons ekvation u = f kan tolkas som stationär diusion, stationär värmeledning, stationär svängning, stationär potentialströmning eller elektrostatisk potential. Randvillkor kan vara av typ Dirichlet (u given), Neumann ( u n given) eller blandade. Homogena randvillkor innebär u = 0 eller u u n = 0 eller αu + β n = 0. För värmeledning och diusion gäller j n = λ grad u n = λ u n Ett Neumann-villkor betyder alltså att ödets normalkomponent är given. I en dimension har de homogena randvillkoren följande tolkningar. Värmeledning (diusion) u(a, t) = 0 temperaturen (koncentrationen) i a är 0 u (a, t) = 0 inget utöde i a, isolerad (sluten) ände αu(a, t) + β u (a, t) = 0 Newtons avsvalningslag gäller i a (omgivningens temp = 0) Transversella och longitudinella svängningar. u(a, t) = 0 utböjningen i a är 0 fast ände u (a, t) = 0 kraften i a är 0 lös ände αu(a, t) + β u (a, t) = 0 fjäderkraft verkar i änden Ljudvågor u(a, t) = 0 tryckstörningen i a är 0 öppen ände u (a, t) = 0 hastigheten i a är 0 sluten ände Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar. Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena randvillkor och givna begynnelsevillkor. ut au Sök först icke-triviala lösningar av typ u(x, t) = T (t)x(x) xx = 0 till hom. randvillkor T X at X = 0 hom. randvillkor 1 a T = X X = λ hom. randvillkor T T + aλt = 0 X = λx hom. randvillkor

Dierentialekvationerna för X resp T kan nu lösas var för sig. Ekvationen för X tillsammans med randvillkoren ger diskreta värden på λ, egenvärdena λ k och tillhörande egenfunktioner X k (x) = ϕ k (x). Totalt får man u k (x, t) = c k e aλ kt ϕ k (x). För homogena Dirichletvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = sin(kπx/l), k = 1, 2,... För homogena Neumannvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = cos(kπx/l), k = 0, 1,... Med superposition nner vi er lösningar u(x, t) = k c ke aλ kt ϕ k (x). Konstanterna c k bestäms av begynnelsevillkoren. (Oftast med lämplig Fourierserieutveckling.) Värmeledning i en begränsad stav med ansatsmetod Detta är en förkortad variant av föregående och används om man vet vilka egenfunktionerna ϕ k är. Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor och givna begynnelsevillkor. Ansätt då direkt u = u k (t) sin(kπx/l) (Dirichlet) eller u = k=1 u k (t) cos(kπx/l) (Neumann) Derivera termvis och sätt in i dierentialekvationen. Detta leder till dierentialekvationerna u k (t) + aλ ku k (t) = 0 med lösningarna u k (t) = c k e aλ kt. Koecienterna c k bestäms av begynnelsevillkoret. Kommentar: En fördel med denna metod är att den också fungerar för inhomogena dierentialekvationer (u t au xx = f(x, t)). Skillnaden är att man får en inhomogen dierentialekvation för u k (t), se nedan. Samma ansatser fungerar ockå för den endimensionella vågekvation (odämpad u tt c 2 u xx = f(x, t) eller dämpad u tt au t c 2 u xx = f(x, t)) med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor, och för Laplace/Poissons ekvation ( u = f) på en rektangel med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor i x-led. k=0 Diusion och värmeledning med homogena randvillkor i operatorform. Detta är en vidarutveckling av föregående och kan användas på allmännare dierentialekvationer med allmännare homogena randvillkor. Med A = (eller en allmännare dierentialoperator av Sturm-Liouvilletyp) och D A = u C 2 (Ω) αu + β u = 0} kan värmeledningsproblemet formuleras n ut + aau = f u(x, 0) = g Bestäm först egenfunktioner och egenvärden till A genom att lösa Au = λu, u 0 u D A (Om problemet är välbekant och man redan vet vilka egenfunktionerna är behöver man naturligtvis inte räkna ut dem.) Ansätt en lösning u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x). Utveckla f och g i egenfunktioner till A. Här utnyttjas att dessa är en ortogonal bas i L 2. f(x, t) = k f k ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x) 2

Koecienterna f k och g k beräknas med projektionsformeln t ex f k = (ϕ k f)/(ϕ k ϕ k ). (I fallet med sinus- eller cosinusserier är detta de vanliga formlerna för beräkning av Fourierkoecienter.) Derivera u termvis (använd Aϕ k = λ k ϕ k ), sätt in i värmeledningsekvationen och begynnelsevillkoret. Detta leder till följande dierentialekvation för u k (t) u k (t) + aλ ku k (t) = f k (t), u k (0) = g k. Lösningen kan skrivas som summan av en partikulärlösning u k,part och allmänna homogena lösningen c k e aλkt. Konstanterna c k bestäms av begynnelsevärdet (u k (0) = g k ). Alternativ om f inte beror på t. Låt u stat vara en stationär (= tidsoberoende) lösning till diffekvationen och randvillkoren. v = u u stat uppfyller då ekvationen t + aav = 0 v. v(x, 0) = g u stat Denna löses som ovan, med ansatsen v(x, t) = k v k(t)ϕ k (x), och ger en homogen dierentialekvation för v k. Totala lösningen är av formen u = u stat + k c ke aλkt ϕ k (x). Här ses att om alla λ k > 0 så u u stat, t (ungefär som e aλ1t, där λ 1 är det minsta egenvärdet). I detta alternativet kan man alltså direkt utläsa den asymptotiska (= stationära) lösningen u stat. I lösningen till det förra alternativet kan man se den stationära lösningen i form av en serie. Vågekvationen med homogena randvillkor, begränsat område Med A =, D A = u C 2 (Ω), homogena randvillkor} kan problemet formuleras utt + c 2 Au = 0 u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x) Problemet löses analogt med värmeledningsekvationen. Starta med att bestämma egenfunktioner till A. Utveckla i dessa u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x), h(x) = k h k ϕ k (x). Insättning i vågekvationen leder till med lösningar av typ u k (t) + c2 λ k u k (t) = 0, u k (0) = g k, u k (0) = h k u k (t) = a k cos c λ k t + b k sin c λ k t om λ k > 0 och u k (t) = a + bt om λ k = 0. a k och b k bestäms av begynnelsevärdena. Lösningen blir en överlagring av stående vågor med egenvinkelfrekvenserna ω k = c λ k. Svängningen är odämpad och 'behåller sin form'. Inhomogena randvillkor Starta med att homogenisera randvillkoren genom att sätta v = u ũ där ũ uppfyller randvillkoren. Välj ũ så enkel som möjligt. Ofta går det bra med en konstant eller ett första- eller andragradspolynom. Dirichlets problem u = f i Ω, u = 0 på Ω kan för vissa Ω lösas analogt med variabelseparation och egenfunktionsutveckling. För en rektangel separerar man i variablerna x och y. (Lösningsmetoden är mycket lik motsvarande för den endimensionella vågekvationen på ett begränsat intervall.) För icke-homogena Dirichletvillkor kan det vara bra att dela upp i delproblem och använda superposition (se ex 3.9 i boken). För Ω = enhetscirkeln används polära koordinater variabelseparation (ex 3.17 i boken). För detta problem, med g(θ) = δ(θ), går serien att summera och man kommer fram till Poissons formel för enhetscirkeln (kap 5.2.2). 3

Hilbertrum, operatorer, egenfunktioner Ett linjärt rum H är en mängd med addition och multiplikation med skalärer, som följer de vanliga räknelagarna. Tex R n och C 2 (Ω). (u v) är skalärprodukt i H om (u λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 (u v 1 ) + λ 2 (u v 2 ) (u v) = (v u) (u u) 0 med likhet u = 0 Speciellt gäller att (u λv) = λ(u v) och (λu v) = λ(u v). Normen av u är u = (u u). Linjära rum med skalärprodukt kallas prehilbertrum. Ett fullständigt prehilbertrum kallas Hilbertrum. Ett viktigt exempel på Hilbertrum är L 2 (w, Ω) med skalärprodukten och normen (u v) = Ω ( 1/2 u(x)v(x)w(x) dx resp u = u(x) 2 w(x) dx). Ω Funktionen w(x) > 0 kallas viktfunktion. I prehilbertrum gäller Pythagoras sats: u v = u + v 2 = u 2 + v 2 Schwarz olikhet: (u v) u v med likhet då och endast då u och v är proportionella. Triangelolikheten: u + v u + v. Ortogonalitet: Funktionerna ϕ k } 1 är parvis ortogonala i pre-hilbertrummet H om (ϕ k ϕ l ) = 0 då k l. Om dessutom ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) = 1 är systemet ortonormerat. Projektioner Låt ϕ 1,, ϕ n vara parvis ortogonala och låt M = [ϕ 1,, ϕ n ] vara det linjära höljet av ϕ 1,, ϕ n. Projektionen på M av ett godtyckligt u H denieras av P M u = n 1 1 ρ k (ϕ k u)ϕ k där ρ k = ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) Minsta-kvadrat-metoden är en följd av projektionssatsen som säger att inf u v M v 2 = u P M u 2, dvs att P M u är det element i M som bäst approximerar u om avvikelsen mäts i norm. Med hjälp av Pythagoras sats ses att avvikelsen u P M u 2 = u 2 P M u 2 = u 2 n (ϕ k u) 2. k=1 ρ k Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess: Ur en linjärt oberoende följd skapas ett ortogonalt system som har samma linjära hölje som den ursprungliga följden. Om 1, x, x 2,... ortogonaliseras med skalärprodukten i L 2 (w, Ω) fås olika ortogonalpolynom. Med viktsfunktionen w(x) = 1 och intervallet Ω = [ 1, 1] fås Legendrepolynomen P n. Konvergens i norm: u n u i H u n u 0. Generaliserade Fourierserier Låt u vara ett element i ett pre-hilbertrum H och ϕ k } 1 parvis ortogonala i H, då är c k = 1 ρ k (ϕ k u) de generaliserade Fourierkoecienterna för u och 1 c kϕ k är den generaliserade Fourierserien för u. Det är inte säkert att serien konvergerar mot u. Om varje u H kan skrivas u = 1 c ku k (konvergens i norm), så säger man att ϕ k } 1 är en ortogonal bas för H. 4

Exempel: e ikπx } är en ortogonal bas i L 2 ([ 1, 1]) sin kπx} 1 är en ortogonal bas i L 2 ([0, 1]) cos kπx} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([0, 1]) Legendrepolynomen P k (x)} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([ 1, 1]) sin kπx sin jπy} j,k=1 är en ortogonal bas i L 2 (Ω), Ω : 0 x 1, 0 y 1 Jn (α n,k r) cos nθ, J n (α n,k ) sin nθ är en ortogonal bas i L 2 (r, Ω), J 0 (α 0,k r), n, k = 1, 2,... Ω : 0 r 1, 0 θ < 2π Parsvals formel: Om ϕ k } 1 c k 2 ϕ k 2. är en ortogonal bas för H och u = 1 c kϕ k så är u 2 = k En operator A har egenfunktionen ϕ med egenvärdet λ om Aϕ = λϕ, ϕ 0 och ϕ D A. En operator A är symmetrisk om (Au v) = (u Av) för alla u, v D A. En symmetrisk operator har reella egenvärden och egenfunktioner hörande till olika egenvärden är ortogonala. A är positivt semidenit om (Au u) 0 för alla u D A, då är alla egenvärden 0. Sturm-Liouvilleoperatorerna Au = 1 w ( (pu ) + qu) (w, p > 0, q 0) med homogena randvillkor, av typ αu + β u = 0 (α, β 0, ej båda = 0) på randen Ω, är symmetriska och positivt n semidenita. Dess egenfunktioner bildar en ortogonal bas i L 2 (w, Ω). (Observera viktfunktionen.) För att nna en ortogonal bas av egenfunktioner till en operator i era variabler kan man göra en variabelseparation och ett täthetsresonemang som visar att varje u L 2 (w, Ω) kan approximeras godtyckligt bra med linjärkombinationer av de separerade egenfunktionerna. (Se ex H.27, S.4 och S.6 ( Ex 28 i kap H, Ex 3 och Ex 6 i kap S i gamla kompendiet)). Härvid uppkommer några endimensionella dierentialekvationer som man måste behärska. Variabelseparation i u = λu i polära koordinater (2 dimensioner) Separationen u(r, θ) = R(r)Θ(θ) i u = λu ger upphov till (Se ex S4): Θ-ekvationen: Θ + cθ = 0. Har man 2π-periodiska randvillkor (Θ(π) = Θ( π), Θ (π) = Θ ( π)) nns icketriviala lösningar om och endast om c = n 2 där n = 0, 1, 2,.... Dessa är cos nθ, sin nθ} 0 eller einθ }. I detta fall är egenvärdena dubbla om n 0. (Se ex H.25.) R-ekvationen: R + 1 r R + (λ ν2 )R = 0 R(r) = r2 aj ν (r λ) + by ν (r λ) om λ > 0 ar ν + br ν om λ = 0, ν 0 a ln r + b om ν = λ = 0. I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas 1 r ( (rr ) + ν2 R) = λr (obs w = r). r (För λ 0 nns lösningen på formelbladet. För λ = 0 är diekvationen Eulerhomogen och kan i de esta fall lösas med ansatsen R = r p. Fallet λ = ν = 0 behandlas speciellt, se lemma S.1) Variabelseparation i u = λu i sfäriska koordinater (3 dimensioner) Separationen u(r, s, φ) = R(r)S(s)Φ(φ), där s = cos θ i u = λu ger upphov till (se ex S.6): Φ-ekvationen: Φ + dφ = 0. S-ekvationen: ((1 s 2 )S ) + (l(l + 1) m2 )S = 0 1 s2 S(s) = apl m (s) + bqm l (s), l = 0, 1, 2,..., m = 0... l 5

Se formelbladet. ( I kvantmekaniken, där man använder exponentiell framställning av φ-funktionerna används m = l... l.) R-ekvationen: R + 2 l(l + 1) r R + (λ r 2 )R = 0 ar l + br l 1 om λ = 0, l = 0, 1, 2,... R(r) = aj l (r λ) + by l (r λ) om λ > 0, l = 0, 1, 2,... I Sturm-Liouvilleform kan R-ekvationen skrivas 1 r 2 ( (r2 R ) + l(l + 1)R) = λr (obs w = r 2 ). (För λ 0 nns lösningen på formelbladet. För λ = 0 är dierentialekvationen Eulerhomogen, pröva anatsen R = r p. I fallet l = 0 kan ekvationen lösas med elementära metoder, se ex S.5.) Integraltransformer, intgralformler, Greenfunktioner Värmeledning, diusion på R. Kan lösas med Fouriertransform (eller Laplacetransform) i x-led. För problemet ut au xx = 0, x R, t > 0 u(x, 0) = g(x) kan lösningen direkt skrivas med formeln u(x, t) = G(x α, t)g(α) dα = G g(x, t) där G(x, t) = e x2 /4at / 4πat (se formelblad) är Greenfunktionen för värmeledning. Lösningarna innehåller ofta erf(x) = 2 x π 0 e y2 dy (spec är erf( ) = 1), se formelblad. Alltså 2 är erf(x) en primitiv funktion till π e x2 och således är b a e y2 dy = π 2 (erf(b) erf(a)). Halvoändliga områden Problem på halvoändliga områden (x 0) kan utvidgas till hela R med hjälp av speglingar. Gör en udda spegling om u(0, t) är given (Dirichletvillkor) och jämn spegling om u x (0, t) är given (Neumannvillkor). För beräkning av derivator med avseende på x används (se avsnitt D.11 i boken) (u ) xx = (u xx ) + 2u(0, t)δ respektive (u + ) xx = (u xx ) + + 2u x (0, t)δ. Dessa regler blir speciellt enkla om randvillkoren vid x = 0 är homogena (u(0, t) = 0 resp u x (0, t) = 0). För icke-homogena randvillkor är det därför ofta bra att först homogenisera. För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfunktionsutvecklingar, men vissa problem kan också lösas med upprepade speglingar. Vågekvationen Den homogena endimensionella vågekvationen u tt c 2 u xx = 0 har alltid den allmänna lösningen u(x, t) = ϕ(x ct)+ψ(x+ct). Svårigheten är att hitta lösningar som uppfyller givna begynnelseoch randvillkor. Vågekvationen på R kan lösas med Laplace- eller Fouriertransformation i x-led. Till problemet u tt c 2 u xx = 0, x R, t > 0 u(x, 0) = g(x) u t(x, 0) = h(x) 6

kan lösningen direkt skrivas med d'alemberts formel (se formelblad). u(x, t) = 1 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 1 2c x+ct x ct h(y) dy. Problem på halvoändliga områden (x 0), t ex svängande halvoändlig sträng, kan utvidgas till hela R med hjälp av speglingar. Udda spegling om u(0, t) = 0 (fast inspänd ände) och jämn spegling om u x (0, t) = 0 (lös ände). Lösningarna kan också (i enkla fall) konstrueras med geometriska resonemang, fortskridande vågor, reektion i ändpunkter (speglingar). För problem på ändliga intervall (0 x L) använder man vanligen egenfunktionsutvecklingar, men man kan också använda med upprepade speglingar. Poissons/Laplaces ekvation u = f Problem i ett halvplan (x R, y 0) kan lösas med Fourier(Laplace)transform i x-led. För Dirichlets problem i ett halvplan (med f = 0): uxx + u yy = 0, x R, y > 0 u(x, 0) = g(x) kan lösningen direkt skrivas med Poissons integralformel, u(x, y) = P (x α, y)g(α) dα = P g(x, y), där P (x, y) = y/(π(x 2 + y 2 )) är Poissonkärnan för halvplan (se formelblad). För motsvarande problem i enhetscirkeln (Ω : x 2 + y 2 < 1) är lösningen π u(r, θ) = P (r, θ α)g(α) dα = P g(r, θ) π där P (r, θ) = (1 r 2 )/(2π(1 + r 2 2r cos θ)) är Poissonkärnan för enhetscirkeln (se formelblad). Liknande problem i kvartsplan eller halvcirkel (x > 0) kan utvidgas till halvplan respektive cirkel med hjälp av spegling (av g och u), udda om u(0, y) är given och jämn om u x (0, y) är given. För det allmännare problemet (Dirichlets problem för Laplaceoperatorn på Ω), u = f i Ω u = g på Ω kan lösningen skrivas (se formelblad) med hjälp av Greenfunktionen G(x; α) för Dirichlets problem på Ω (denition se formelblad) G u(x) = G(x; α)f(α) dα (x; α)g(α) ds α. n α Ω Svårigheten är att bestämma Greenfunktionen G(x; α) Beräkning av Greenfunktionen G(x, a) för några enkla områden Ω. 1. För Ω = R n är Greenfunktionen G(x; α) = K(x α), där K(x) är fundamentallösning till Laplaceoperatorn ( K = δ). För Ω = R 2 eller R 3 nns fundamentallösningarna på formelbladet. 2. För Ω = halvplan eller halvrum spegla udda och använd punkt 1. Greenfunktionen är G(x; α) = K(x α) K(x α), där α är spegelpunkt till α. För kvartsplan spegla först i ena axeln sen i den andra (totalt 4 punkter). Ω 7

3. Om Ω är cirkelskivan eller klotet x < ρ spegla udda i cirkeln och använd fundamentallösningar. Greenfunktionen är G(x; α) = K(x α) K(C(x α)), där α är konjugerad punkt (se boken kap 5.5) till α och konstanten C = α /ρ är vald så att G = 0 på randen Ω. Kommentarer: För begränsade områden kan Greenfunktioner bestämmas med egenfunktionsutvecklingar. För halvplan/halvrum med homogena Neumannvillkor kan man använda jämna speglingar. 8