5C1201 Strömningslära och termodynamik

5C1201 Strömningslära och termodynamik Föreläsning 12: Kompressibel strömning Introduktion samt isentropisk strömning Målsättning: att formulera de grundekvationer som gäller då strömningen är kompressibel, att visa att i dessa grundekvationer måste ingå en eller flera tillståndsekvationer för fluiden, att repetera några centrala delar från termodynamiken som är av betydelse då strömningen är kompressibel, att definiera begreppen ljudhastighet och Mach-tal, att härleda relationen mellan Mach-talet och det termodynamiska tillståndet vid endimensionell isentropisk strömning av en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter samt att studera relationen mellan Mach-talet och tvärsnittsareafördelningen i isentropisk strömrörsströmning av en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter. Detta är den första i en serie av tre föreläsningar som behandlar kompressibel strömning. Hela detta avsnitt behandlas i M7 kap. 11 och materialet till denna föreläsning återfinns i 11.1-11.3 och 11.7-11.8. Övningsmaterial finns i Ek kap. 1och 2.1-2.2. 12.1 Grundekvationer Som framgår av bild 1 ger de konserveringslagar man kan formulera för ett kompressibelt strömningsfält (kontinuitets-, kraft- och energiekvationerna) inte ett slutet ekvationssystem. Man har fler obekanta än ekvationer. För att sluta ekvationssystemet måste man lägga till ekvationer som specificerar vilken typ av fluid man behandlar. Dessa samband får vi från termodynamiken där de kallas tillståndsekvationer. En mer generell term är konstitutiva ekvationer. Den typ av fluid vi ska behandla i denna kurs är en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter (eller specifika värmen). Det ger två stycken tillståndsekvationer enligt bilden och därmed har vi ett slutet ekvationssystem som, i princip, är lösbart. 12.2 Några termodynamiska grunder Enligt ovan ska vi behandla kompressibel strömning av ideala gaser. En sammanfattning av tillståndsekvationen för en ideal gas finns i bild 2. En sådan gas är ett s.k. enkelt termodynamiskt system och för sådana gäller enligt termodynamiken att varje 1

Kompressibel strömrörsströmning grundekvationer Kontinuitetsekvationen ρua= konst. Kraftekvationen (Eulers ekvation) 1 dp + u du =0 ρ 2 ekvationer, 3 obekanta. Energiekvationen (HS1 öppet system) (h + 12 ) u2 =0 3 ekvationer, 4 obekanta. Ideal gas pv = RT 4 ekvationer, 5 obekanta....medkonstantaspecifikavärmen h = c p T 5 ekvationer, 5 obekanta. Tvärsnittsareafördelningen A förutsätts känd. h är entalpin och v =1/ρ. sl11001s 021129 ( c AK) Bild 1: tillståndsvariabel (t.ex. tryck, temperatur, täthet, inre energi, entalpi, entropi) kan skrivas som en funktion av högst två andra tillståndsvariabler. För en ideal gas gäller dessutom att den inre energin, som vi här ska beteckna e, och entalpin h enbart är en funktion av temperaturen T (bild 3). I mer avancerad analys av kompressibla strömningsfält för man ofta även in ter- Ideal gas Tillståndsekvation: p ρ = RT Def.: En ideal gas är en gas i vilken intermolekylära krafter är försumbara. För detta krävs att dimensionen på de molekyler som gasen består av är liten jämfört med avståndet mellan molekylerna. ρ = densiteten, p = trycket, T = temperaturen, R = R/M = gaskonstanten, R = N A k = universella gaskonstanten = 8 314,3 J/(kmol K), M = gasens medelmolmassa, N A = Avogadros tal = 6,02252 10 26 partiklar/kmol, k = Boltzmanns konstant = 1,38054 10 23 J/K. sl11002s 021129 ( c AK) Bild 2: 2

Ett enkelt termodynamiskt system I ett enkelt termodynamiskt system är varje tillståndsvariabel en funktion av maximalt två andra tillståndsvariabler. En ideal gas är ett exempel på ett enkelt termodynamiskt system. Ienidealgasgäller dessutom att den inre energin e, entalpin h och de specifika värmena c v och c p enbart är en funktion av temperaturen T. sl11003s 021202 ( c AK) Bild 3: merna termiskt ideal gas och kaloriskt ideal gas. Definitionerna framgår av bilderna 4 och 5. Notera att det i allmänhet krävs att det pågår en kemisk reaktion i strömningen för att en ideal gas inte ska vara termiskt ideal. Sådana problem behandlar vi inte här alla gaser i denna kurs är termiskt ideala. Notera också att med en kaloriskt ideal gas avser man detsamma som en ideal gas med konstanta värmekapaciteter. Termiskt ideala gaser För en ideal gas (eng. perfect gas) gäller p ρ = RT där R = R/M är gaskonstanten, R är den universella gaskonstanten och M gasen (medel)molmassa. Om det förekommer kemiska reaktioner i gasen ändras medelmolmassan M och därmed även gaskonstanten R. Def.: En termiskt ideal gas (eng. thermally perfect gas) är en gas där gaskonstanten R verkligen är en konstant, dvs. en gas i vilken inga kemiska reaktioner pågår. sl11004s 021202 ( c AK) Bild 4: 3

Kaloriskt ideala gaser För en ideal gas (eng. perfect gas) gäller p ρ = RT Utgående från denna ekvation kan man visa att den specifika inre energin e och den specifika entalpin h e = e(t ) h = h(t ) och att de speicifika värmekapaciteterna c v = c v (T ) c p = c p (T ) Om temperaturen T inte är för hög (för luft 500 à 1 000 K) gäller approximativt att c v och c p är konstanta. Def.: En kaloriskt ideal gas (eng. calorically perfect gas) är en ideal gas i vilken c v och c p är konstanta. I en kaloriskt ideal gas gäller för ändringar i inre energin e och entalpin h e = c v T h = c p T sl11005s 021202 ( c AK) Bild 5: Det strömmande mediet i många av de problem vi ska studera i denna kursdel är luft. Luft är en blandning av flera olika gaser varav de viktigaste visas i bild 6. Om luftens temperatur blir för hög får man betydande effekter av kemiska reaktioner mellan de olika gaser som luften består av. Sådan effekter ska vi inte intressera oss för i denna kurs. Vidare gäller att de specifika värmekapaciteterna för luft är oberoende Luft Luft kan, förutom vid extremt höga tryck, betraktas som en ideal gas. Torr luft har sammansättningen (volymskoncentrationen) 78,084% N 2 20,946% O 2 0,934% Ar 0,033% CO 2 Resterande 0,003% utgörs av olika spårämnen som t.ex. ädelgaser, vätgas och olika kväveoxider. Detta ger att gaskonstanten för luft R = 287,06 J/(kg K) Luft är en termiskt ideal gas upp till den temperatur där N 2 -ocho 2 -molekylerna börjar dissociera. När detta inträffar beror av trycket. Vid 100 kpa börjar luft dissociera vid en temperatur en bit över 2 000 K. sl11006s 021203 ( c AK) Bild 6: 4

Entropin isentropi Entropin s definieras så att differentialen ds = (δq) rev. T där (δq) rev. är värmeöverföringen från omgivningen till gasen vid en (internt) reversibel tillståndsändring. Om den reversibla tillståndsändringen dessutom är adiabatisk, dvs.om (δq) rev. =0 framgår från definitionen ovan att ds =0 dvs. entropin är konstant. En tillståndsändring där entropin s är konstant kallas isentropisk. Från ovan framgår att en reversibel och adiabatisk tillståndsändring är isentropisk. sl11007s 021203 ( c AK) Bild 7: av temperaturen om denna inte är alltför hög (bild 5). I denna kursdel kommer vi att behandla ett fenomen där tillståndsändringen i gasen inte är reversibel. I alla andra problem är tillståndsändringen reversibel. Vi ska även förutsätta att alla tillståndsändringar sker adiabatiskt, dvs. utan något värmeutbyte med omgivningen. I en tillståndsändringen som är adiabatisk och re- Isentropisk tillståndsändring i en ideal gas För en gas som satisfierar Boyles lag pv = f(t ) gäller vid en isentropisk tillståndsändring att pv γ = konst. eller p ρ γ = konst. där γ = c p c v För en ideal gas gäller dessutom att p T = konst. γ/(γ 1) och ρ = konst. T 1/(γ 1) sl11008s 021204 ( c AK) Bild 8: 5

Ljudhastigheten En ljudvåg är en infinitesimal tryckstörning. Denna utbreder sig med ljudhastigheten a. Tillståndsändringen då ljudvågen passerar är isentropisk (dvs. adiabatisk och reversibel). Man kan visa att ljudhastigheten a 2 = ( ) p ρ s För en gas som uppfyller Boyles lag pv = f(t ) ger detta p ρ γ = konst. a 2 = γ p ρ Om gasen dessutom är ideal gäller även att a 2 = γrt sl11009s 021203 ( c AK) Bild 9: versibel är entropin s konstant, man säger att strömningen är isentropisk (bild 7). Då tillståndsändringen i en ideal gas är isentropisk gäller de samband som visas i bild 8 mellan tillståndsvariablerna tryck, täthet och temperatur. Notera att kvoten c p /c v mellan gasens specifika värmen i denna kursdel betecknas med γ och inte med k som i termodynamikdelen. Dessa olika beteckningar är främst historiskt betingade. Inom energitekniken med dess tillämpningar används vanligen k eller κ eller κ som beteckning på denna kvot medan inom strömningmekanik och dess tillämpningar beteckningen γ är mycket vanlig. 12.3 Ljudhastigheten och Mach-talet Ljudhastigheten a är utbredningshastigheten för små tryckpulser. Notera att dessa tryckpulser utbreder sig med denna hastighet relativt gasen. Tryckpulsens hastighet relativt en rumsfast observatör är alltså en annan. Under nästa föreläsning kommer vi att härleda uttrycket för ljudhastigheten som finns längst ned till vänster i bild 9. Den översta relationen på bild 8 och tillståndsekvationen för en ideal gas ger de inramade relationerna. Notera att om gasens termodynamiska tillstånd varierar från punkt till punkt i ett strömningsfält så gör även ljudhastigheten det. Man har alltså en lokal ljudhastighet i varje punkt i fältet. Vi kommer senare under innevarande föreläsning att se att vid isentropisk strömning av en termiskt och kaloriskt ideal gas är det inte strömningshastigheten i sig som primärt påverkar gasens termodynamiska tillstånd utan kvoten u/a mellan strömningshastigheten u och den lokala ljudhastigheten a. Denna kvot kallas Mach-talet och vi ska beteckna detta M. 6

Bernoullis ekvation vid isentropisk strömrörsströmning Utgå från Eulers ekvation 1 dp + u du + g dz =0 ρ Detta är kraftekvationen vid stationär och friktionsfri strömning längs en strömlinje. Integrera längs strömlinjen dp ρ + 1 2 u2 + gz = konst. Isentropisk strömning, Boyles lag pv γ = konstant = p 0 v γ 0 vilket ger att dp ρ = γ p γ 1 ρ och att γ p γ 1 ρ + 1 2 u2 + gz = konstant sl12001s 021203 ( c AK) Bild 10: 12.4 Bernoullis ekvation och energiekvationen vid isentropisk strömrörsströmning Eulers ekvation är en differentialekvationsformulering av kraftekvationen (Newtons andra lag) för friktionsfri strömning. Denna härleddes för strömrörsströmning under Energiekvationen vid endimensionell strömning Energiekvationen för ett öppet adiabatiskt system som inte utbyter något axelarbete med omgivningen ( h + 1 ) 2 u2 + gz =0 vilket ger att h = γr T γ 1 = γ γ 1 ( ) p ρ Energiekvationen kan alltså skrivas För en kaloriskt ideal gas gäller att h = c p T och för en termiskt ideal gas att c p = γr ( ) p och = R T γ 1 ρ γ p γ 1 ρ + 1 2 u2 + gz = konstant längs en strömlinje. sl12002s 021204 ( c AK) Bild 11: 7

Bernoullis ekvation och energiekvationen Dåströmningen är stationär, friktionsfri och isentropisk och gasen satisfierar Boyles lag lyder Bernoullis ekvation γ p γ 1 ρ + 1 2 u2 + gz = konstant Energiekvationen kan också skrivaspå denna form. Förutsättningen är då attmanharen stationär och adiabatisk strömning av en termiskt och kaloriskt ideal gas. För en gas som satisfierar Boyles lag gäller att ljudhastigheten a 2 = γ p ρ γ p γ 1 ρ = a2 γ 1 Denna ekvation kan alltså även skrivas 1 γ 1 a2 + 1 2 u2 + gz = konstant Vid strömning av gaser kan man normalt försumma ändringar i den sista termen (gz). sl12003s 021204 ( c AK) Bild 12: föreläsning 2, se avsnitt 2.3. Eulers ekvation kan integreras längs strömröret i de fall man har ett entydigt samband mellan trycket p och tätheten ρ och resultatet kallas Bernoullis ekvation. Om strömningen är isentropisk och om gasen är ideal har man det samband mellan p och ρ som ges i bild 8 ovan. Integrering genomförs i bild 10 som visar Bernoullis ekvation vid isentropisk strömning av en ideal gas. Notera alltså att det finns flera former av Bernoullis ekvation, inte bara den som gäller för inkompressibel strömning och som presenterades under den första delen av kursen. Ett annat uppenbart exempel, som dock inte kommer att behandlas i denna kurs, är isoterm strömning av en ideal gas. Ur termodynamisk synvinkel är strömrörsströmning ett öppet system som inte utbyter något axelarbete med omgivningen. Energiekvationen för ett sådant system som dessutom är adiabatisk visas i bild 11. Om gasen som strömmar genom strömröret dessutom är ideal visas i denna bild att energiekvationen får samma form som Bernoullis ekvation. I bild 12 visas att Bernoullis ekvation och energiekvationen kan formuleras så att den lokala ljudhastigheten kommer in explicit. Denna form av dessa ekvationer kommer att vara utgångspunkten i fortsättningen. Den tredje termen i dessa ekvationer uttrycker variationen i den potentiella energin längs strömröret. I bild 13 visas att höjdvariationen längs strömröret måste vara stor för att denna term ska ha någon betydelse. Den typen av problem kommer vi inte att vara intresserade av inom ramen för denna kurs. Maximal höjdändringar vi kan tänka oss här är en eller annan meter (typiska vertikal dimensioner på t.ex. flygplan). Den tredje termen kommer därför att försummas i fortsättningen. Men kom ihåg det om du stöter på ettproblemdär denna approximation kanske inte är giltig. Målsättningen här är att formulera relationer för hur det termodynamiska tillstån- 8

Den potentiella energin Energiekvationen för adiabatisk strömning längs en strömlinje lyder h + 1 2 u2 + gz = konstant Om konstanten i högerledet utvärderas i stagnationstillståndet kan energiekvationen skrivas (h h 0 )+ 1 2 u2 + + g (z z 0 )=0 Ändringen i den potentiella energin kan försummas jämfört med ändringen irörelseenergin om g (z z 0 ) u 2 1 2 z z 0 u2 2g Typiska strömningshastigheter är betydligt större än 10 m/s låt 30 m/s vara en undre gräns. Det ger uppskattningen z z 0 302 2 10 m 50 m sl12013s 040125 ( c AK) Bild 13: det i gasen varierar med hastigheten längs strömröret. Sådana relationer bör man alltid skriva på dimensionslös form. Vi måste därför definiera ett lämpligt termodynamiskt referenstillstånd. Ett lämpligt sådant är det s.k. stagnationstillståndet som defineras i bild 14. De sökta relationerna erhålls om man utgår från energiekvationen (eller Bernoullis Stagnationstillståndet Definition: Stagnationstillståndet är det termodynamiska tillstånd som nås efter en (tänkt eller verklig) isentropisk uppbromsning till vila. Stagnationstillståndet betecknas med index 0. Notera att så länge strömningen längs en strömlinje är isentropisk såharman samma stagnationstillstånd i alla punkter längs denna strömlinje. En isentropisk strömning är adiabatisk. Energiekvationen ger alltså vid isentropisk strömning h + 1 2 u2 = konstant = h 0 Detta innebär att stagnationsentalpin h 0 är konstant även vid adiabatisk strömning. Detta gäller även stagnationstemperaturen i en kaloriskt ideal gas ty h 0 = c p T 0 sl12004s Bild 14: 9

Termodynamiska relationer vid isentropisk strömning Energiekvationen och Bernoullis ekvation kan skrivas Detta ger följande s.k. isentroprelationer a 2 + 1 2 (γ 1) u2 = konstant = a 2 0 Dividera med a 2 = γrt ( a0 ) 2 T ( 0 u = a T =1+1 2 (γ 1) a För in machtalet ) 2 M = u a där a är den lokala ljudhastigheten. T T 0 = p p 0 = ρ ρ 0 = [1+ 12 (γ 1) M 2 ] 1 [1+ 12 (γ 1) M 2 ] γ/(γ 1) [1+ 12 (γ 1) M 2 ] 1/(γ 1) sl12005s Bild 15: ekvation) skriven i den form från bild 12 ovan som innehåller ljudhastigheten. Vidare måste man utnyttja relationen mellan ljudhastigheten och den absoluta temperaturen från bild 9 och relationerna mellan trycket p, tätheten ρ och temperaturen T då tillståndsändringen är isentropisk från bild 8. De resulterande relaionerna finns presenterade i bild 15 och dessa relationer är plottade i bild 16. Notera det naturliga sl12006s Bild 16: 10

Isentropisk strömrörsströmning Eulers ekvation dp + u du =0 ρ Isentropi i en ideal gas Stationär strömrörsströmning. Kontinuitetsekvationen ρ(x) u(x) A(x) = konstant Differentiera och dividera med ρua dρ ρ + du u + da A =0 p = p(ρ, s) dp = a 2 dρ Detta ger att da A = du ( M 2 1 ) u sl12007s Bild 17: sätt som Mach-talet M = u/a kommer in. Notera också att alla dessa tre termodynamiska tillståndsvariabler avtar då gasen accelereras mot allt högre Mach-tal. T.ex. har trycket halverats efter en acceleration från vila till M = 1. 12.5 Inverkan av strömrörets tvärsnittsarea Tvärsnittsarean har en mycket intressant, och förvånande, inverkan på en isentropisk strömrörsströmning. Detta kan analyseras om man utgår från kontinuitetsekvationen som i bild 17. Om man utnyttjar att gasen är ideal och att strömningen är isentropisk får man det inramade sambandet. Notera att faktorn (M 2 1) byter tecken då Mach-taletM passerar 1. Detta innebär här att areaändringen da och hastighetsändringen du har olika tecken vid underljudsströmning (M < 1) och samma tecken vid överljudsströmning (M >1). Detta förhållande illustreras i bild 18. Notera också att om areaändringen da =0såär antingen Mach-talet M = 1 eller såär hastighetsändringen du = 0. Den viktigaste tillämpningen här är den som visas i den övre vänstra figuren i bild 19. Det är alltså möjligt att accelerera en strömning till ett överljudsmachtal genom en dysa med en minsta sektion. Detta under förutsättning att förhållandena i övrigt tillåter denna typ av strömning. Vi kommer att återkomma till detta under den tredje föreläsningen om kompressibel strömning. En viktig tillämpning av detta är i konstruktionen av vindtunnlar för överljudsströmning. En annan viktig tillämpning är i utblåsmunstycket från raketmotorer och från vissa jetmotorer. Till slut ska vi formulera en relation mellan strömrörets tvärsnittsareafördelning A och Mach-talet M. Som vanligt vill vi ha denna relation på dimensionslös form. I detta fall vill vi normera tvärsnittsarean A med dess värde i något lämpligt referenstillstånd. Stagnationstillståndet som vi använt ovan är olämpligt ty då vinärmar oss detta så 11

Isentropisk strömrörsströmning da A = du ( M 2 1 ) u sl12008s Bild 18: gäller att strömrörets tvärsnittsarea A. Man använder därför normalt det s.k. kritiska tillståndet vilket definieras i bild 20. Man finner det sökta sambandet om man utgår från kontinuitetsekvationen. Detta visas i bild 21 och det sökta sambandet finns plottat i bild 22. Notera från denna plot att för ett givet areaförhållande finns två lösningar till Mach-talet, ett underljuds- Isentropisk strömrörsströmning da A = du ( M 2 1 ) u sl12009s Bild 19: 12

Det kritiska tillståndet Definition: Det kritiska tillståndet är det termodynamiska tillstånd som nås efter en (tänkt eller verklig) isentropisk hastighetsändring till machtalet M =1. Det kritiska tillståndet betecknas med index eller index c. Tillståndsvariablernas värden i det kritiska tillståndet används huvudsakligen för normering. Skälet till att föra in det kritiska tillståndet som komplement till stagnationstillståndet är att ett strömrörs tvärsnitt A dåmannärmar sig stagnationstillståndet. sl12010s Bild 20: machtal och ett överljudsmachtal. Att så måste vara fallet inser man från bild 19. Vilket Mach-tal man får beror på andra faktorer. Denna analys måste dock vänta till den sista föreläsningen i denna kursdel! En viktig del av problemlösningen till detta avsnitt går ut på att tillämpa de relationer som presenterats i bilderna 15 och 21 ovan. Dessa relationer brukar kallas Areafördelningen vid isentropisk strömning Utgå från kontinuitetsekvationen ρua= ρ u A där betecknar det s.k. kritiska tillståndet. I detta är u = a vilket ger att A A = ρ ρ u a = M ρ ρ ( ) 1/2 T T eller A A = M ρ ( ) 1/2 T [ρ ( ) ] T 1/2 1 ρ 0 T 0 ρ 0 T 0 Här är ( ) 1/2 [ ρ T = 1+ γ 1 ] γ+1 1 2 M 2 γ 1 ρ 0 T 0 2 ρ ( ) T 1/2 [ ] 1 γ+1 γ +1 2 γ 1 = ρ 0 T 0 2 vilket ger att A A = M γ +1 2 1+ γ 1 2 M 2 1 γ+1 2 γ 1 sl12011s 040125 ( c AK) Bild 21: 13

sl12012s Bild 22: isentropsambanden (där det är underförstått att det handlar om strömrörsströmning av en kaloriskt ideal gas). Dessa samband har man traditionellt givit i tabellform och en sådan tabell återfinns dels längs bak i läroboken (M7) och dels i slutet av den exempelsamling som hör till denna kursdel (Ek). Sambanden som visas i bild 15 är dock inga problem med de miniräknare som är allmänt använda idag. Notera dock att det inte går att lösa ut Mach-talet M explicit från den relation som finns i bild 21! Då man behöver detta kan tabellen vara en bra genväg. Det finns även MatLab rutiner som gör dessa beräkningar och som den som är intresserad kan få tillgång till. I detta paket ingår även rutiner för andra samband som kommer att härledas på nästa föreläsning. 14