Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a n1 x 1 +a n x +...+a nn x n = b n Detta system har vi tidigare påpekat att det kan skrivas om på matrisform a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a 31 a 3... a 3n x 1 x... x n = Den första matrisen i uttrycket, vi kallar den här A, är systemets koefficientmatris och vektorn efter likhetstecknet är dess högerled. Normalt är alla koefficienter kända. Då det(a 0 har A en invers A och därmed ekvationssystemet en lösning. Den man får genom att multiplicera, från vänster, båda leden i A x = b med A. b 1 b... b n A x = b A A x = A b E x = A b x = A b Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

3x y +z = 7 x +y z = 3 multiplicera med -3 x 3y +z = 1 multiplicera med -3 3x y +z = 7 addera rad 1 till och 3 3x 3y +6z = 9 3x +9y 6z = 3 3x y +z = 7 4y +8z = 16 multiplicera rad med +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 addera rad till 3 +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 +1z = 36 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Gausselimination är ett exempel på en sådan metod. Vi önskar lösa ekvationssystemet 3x+y+z w = 6 x y+z+w = 4 x y+3z+w = 6 x+y z w = Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Håkan Strömberg KTH Syd

Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Vi skriver först om systemet i en totalmatris 3 1 1 1 3 1 1 6 4 6 Vänster om det vertikala strecket finns koefficientmatrisen och på andra sidan högerledet. Genom att tillämpa de regler som finns i sats 1 ska vi nu successivt överföra denna matris till en form, från vilken vi enkelt kan avläsa lösningen. Byt plats på rad 1 och rad 4. Addera gånger rad 1 till rad. 1 1 1 1 3 3 1 Addera gånger rad 1 till rad 3. Addera 3 gånger rad 1 till rad 4. 1 1 0 3 4 3 0 3 7 6 3 1 Addera gånger rad till rad 3. 4 6 6 5 8 6 1 1 0 3 4 3 3 3 1 1 1 0 3 4 3 0 3 7 6 0 7 5 5 6 6 5 8 9 Multiplicera rad 4 med och byt plats på rad och rad 4. 1 1 0 3 4 3 5 0 0 3 3 3 0 7 5 9 1 1 0 1 7 5 0 0 3 3 0 3 4 3 9 3 5 Addera 3 gånger rad till rad 4. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Addera 6 gånger rad 3 till rad 4 1 1 0 1 7 5 0 0 3 3 0 0 5 18 9 3 3 1 1 0 1 7 5 0 0 3 3 0 0 7 0 9 3 14 Multiplicera rad 4 med 1/7 och byt plats på rad 3 och rad 4. Addera 3 gånger rad 3 till rad 4. 1 1 0 1 7 5 0 0 1 0 0 0 3 3 Multiplicera rad 4 med 1/3. Addera 7 gånger rad 3 till rad. 1 1 0 1 7 5 0 0 1 0 0 0 0 1 Addera 5 gånger rad 4 till rad. Addera gånger rad till rad 1. 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Addera gånger rad 3 till rad 1. 9 3 9 0 1 1 0 1 7 5 0 0 1 0 0 0 0 3 1 1 0 1 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 9 3 5 0 Addera gånger rad 4 till rad 1. 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 Ur den sista matrisen kan vi så utläsa lösningen x = 1, y = 0, z = och w =. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Kvadratiska system där det(a = 0 Vi riktar nu intresset mot kvadratiska ekvationssystem där determinanten för koefficientmatrisen har värdet 0 och inleder diskussionerna med några enkla exempel Exempel 1. { x+3y = 9 x y = 1 Detta ekvationssystem har lösningen x = 3 och y = 1. Matriserna i uttrycket A x = b har följande utseende. A = ( 3 1 x = ( x y b = ( 9 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = ( 3 1 = 7, och systemet tillhör alltså inte den kategori vi tänkt studera här. Exempel. { x+y = 3x+6y = 5 Detta system har determinanten 1 6 3 = 0 och tillhör, liksom nästa exempel, system där koefficinetmatrisens determinant är 0. Exempel 3. { 3x y = 4 9x 3y = 1 Determinanten är här 3 ( 3 ( 9 = 0. Eftersom varje ekvation i ekvationssystemen ovan motsvarar ekvationen för en rät linje kan vi grafiskt visa de tre systemen i figur 1. Figur 1: De tre systemen från ovan Vi ser att de två linjerna från exempel 1 skär varandra i punkten (3,1, vilket överensstämmer med lösningen ovan. I exempel verkar linjerna vara parallella vilket skulle betyda att lösning saknas linjerna har ingen skärningspunkt. Om vi använder tekniken från förra avsnittet för att lösa detta ekvationssystem och adderar 3 gånger rad 1 till rad får vi ( 1 3 6 5 ( 1 0 0 Från sista raden får vi att 0x+0y =, som är en omöjlighet och därför saknar ekvationssystemet lösningar. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Ett liknande resonemang vad gäller exempel 3 ger då vi adderar 3 gånger rad 1 till rad ( ( 3 4 3 4 9 3 1 0 0 0 Bara med den skillnaden att nu motsvarar sista raden 0x+0y = 0 och det är sant för alla värden på x och y. Eftersom de två linjerna blivit en, förstår vi att de två ekvationerna är identiska. Vi har egentligen endast en ekvation med två obekanta. I det läget bestämmer vi oss för att y = t och x = (4 + t/3. För varje värde på t får man en punkt på linjen, som samtidigt är en ny lösning. Det finns alltså oändligt många lösningar till det tredje ekvationssystemet. Ovan har vi med enkla exempel visat tre olika fall och redovisar nu denna sats. Sats. Linjära ekvationssystem har antingen en, ingen eller oändligt många lösningar. Homogena och inhomogena ekvationssystem Då högerledet i ekvationssystemet består av enbart nollor, kallas systemet homogent. Så fort åtminstone ett element är 0 kallas systemet däremot inhomogent 3x+4y+5z = 0 x y+3z = 0 4x+3y 4z = 0 3x+4y+5z = 1 x y+3z = 3 4x+3y 4z = Samma koefficientmatris i två olika ekvationssystem. Det vänstra är homogent och det högra är inhomogent Underbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är fler än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet underbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är alltså m < n. Betraktar vi de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element, så vet man att de n kolonnvektorena är linjärt beroende. Detta medför att det homogena systemet alltid har oändligt många lösningar där den triviala lösningen, den då x 1 = x = x 3 =... = x n = 0, är en. För det inhomogena systemet kan antalet lösningar vara ingen eller oändligt många. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Överbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är mindre än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet överbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b a 31 x 1 +a 3 x +...+a 3n x n = b 3 a 41 x 1 +a 4 x +...+a 4n x n = b 4... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är m > n. Betraktar vi även här de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element. Så kan dessa kolonner vara antingen linjärt beroende eller linjärt oberoende. Tar vi med både homogena och inhomogena system, så får vi fyra olika kategorier av överbestämda system. För homogena system med linjärt oberoende kolonnvektorer finns bara den triviala lösningen. För det inhomogena systemet med linjärt oberoende kolonnvektorer finns det antingen ingen eller endast en lösning. Då kolonnvektorerna är linjärt beroende har det homogena systemet oändligt många lösningar och det inhomogena ingen eller oändligt många lösningar. Sammanfattning Vi avslutar genomgången av olika typer av linjära ekvationssystem med en översiktstabell där m står för antalet ekvationer och n för antalet obekanta. n < m Kolonnerna oberoende n < m Kolonnerna beroende n = m Kolonnerna oberoende n = m Kolonnerna beroende n > m Kolonnerna beroende linjärt linjärt linjärt linjärt linjärt Homogent system Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Oändligt många lösningar Inhomogent system Ingen eller en enda lösning Ingen eller oändligt många lösningar Entydig lösning Ingen eller oändligt många lösningar Ingen eller oändligt många lösningar Extra 1. Givet matriserna A = ( 1 0 0 3 0 B = ( 4 0 0 5 6 0 Bestäm 4A+3B. Lösning: ( ( 1 0 4 0 0 4 +3 0 3 0 5 6 0 = ( 4 0 8 0 1 0 ( 1 0 0 + 15 18 0 = ( 16 0 8 15 30 0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Extra. Lös ekvationssystemet med avseende på x och y { x+8y = u x+7y = v Lösning: Vi får x = 7u 8v 6 och y = u+v Den sökta inversen är ( x y 6 och kan ställa upp följande matrisuttryck = 1 ( ( 7 8 u 6 v ( 1 7 8 6 Extra 3. Lös ekvationssystemet med hjälp av matrisalgebra { x+3y = 8 5x y = 1 Lösning: Vi får uppställningen ( 3 5 ( x y = ( 8 1 Vi vet nu att A till A( är 1 ( a a 1 a 11 a a 1 a 1 a 1 a 11 Eftersom A x = b har lösningen x = A b kan vi direkt skriva ( ( ( x 1 3 8 = y ( 5 3 5 1 ( x y = 1 19 ( 9 38 = ( 1 1 Vi har matrisen A nedan. Vilka värden har a 3 och a 31? 1 3 4 8 A = 0 1 1 3 0 1 Vilken typ är A av? 3 Utför matrismultiplikationen nedan BC = 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

4 Tre matriser A(4, B(3 4, C( 5 ska multipliceras samman till D. Ställ upp det enda möjliga uttrycket för denna multiplikation. Vilken typ får D? 5 Beskriv detta ekvationssystem med ett matrisuttryck. 3x z = 1 z+y = 0 4x = 7 1 a 3 = 1 och a 31 = A(3 4 3 4 BAC. D får typen (3 5 5 1 0 0 1 4 0 0 5 1 0 4 4 3 3 x y z = 1 0 7 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

Så beräknas en invers Vi har i tidigare föreläsning sett vikten av att känna till A, Bland annat vid lösandet av ekvationssystem. Att hitta inversen till A( är som vi vet ganska enkelt. Här ska vi först koncentrera oss på matriser av typen (3 3 och deras inverser. Ett krav, för att det ska finnas en invers till A, är att det(a 0. Vi är redan bekanta med hur determinanten till (3 3-matriser bestäms. Om vi har matrisen A = så kan vi först ange följande formel för A = 1 det(a a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 13 a 3 a 1 a 33 a 1 a 3 a 13 a a 3 a 31 a 1 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 1 a 11 a 3 a 1 a 3 a a 31 a 1 a 31 a 11 a 3 a 11 a a 1 a 1 Denna formel är svår att lära sig utantill. Så här kommer man fram till den. Vi startar med A(3 3 a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 och bildar en tillfällig matris B a a 33 a 3 a 3 (a 1 a 33 a 3 a 31 a 1 a 3 a a 31 B = (a 1 a 33 a 13 a 3 a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 3 a 1 a 31 a 1 a 3 a 13 a (a 11 a 3 a 13 a 1 a 11 a a 1 a 1 Ett element i B bildas genom att stryka den rad och den kolumn som elementet befinner sig i och bestämma determinanten till den ( matris som återstår. Dessutom får elementen tecken enligt + + + + + När vi sedan bestämmer B T får vi adj A och A = 1 det A adj A Bättre är då kanske, att försöka finna en metod att räkna sig fram till inversen. Vi använder här Jacobis metod som fungerar för alla matriser A sådana att det(a 0. Exempel 4. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Målet är nu att få en E-matris till vänster om det lodräta strecket. Matrisen till höger om strecket är då A. Samma tre regler som vid Gausselimination gäller även här. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera rad1 till rad Addera rad1 till rad3 Addera rad till rad3 1 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Multiplicera rad och rad3 med 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Addera rad till rad1 Addera rad3 till rad1 Addera rad3 till rad 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 6 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 6 0 1 0 1 5 0 0 1 0 Äntligen har vi kommit fram till att 6 A = 1 5 0 Det är fritt fram att kontrollera att A A = E. Exempel 5. När vi ska lösa ekvationssystemet 3x y z = 3z+y = y x = kan man ställa upp ekvationen A x = b, söka A och till sist få lösningen genom x = A b. Det är dock enklare att lösa ekvationssystemet med Gausselimination. Vi har gjort det förut och vi gör det igen! Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Multiplicera rad3 med 3 Addera rad1 till rad3 Multiplicera rad med 4 Addera rad till rad3 3 0 1 3 0 3 0 1 3 3 6 0 6 3 0 1 3 0 4 5 3 0 4 8 0 4 5 3 0 4 8 0 0 3 13 Vi få nu direkt z = och sätter in detta värde i rad och får 4y( = 8 som ger y = 1. Till slut sätter vi in z = och y = 1 i rad1 och får 3x 1( =, som ger x = 0. Svar: x = 0,y = 1 och z = Exempel 6. För att ett ekvationssystem ska ha en entydig lösning måste determinanten av koefficientmatrisen var 0. Med hjälp av denna kunskap kan vi avgöra för vilket a detta ekvationssystem har en entydig lösning x+3ay+z = 7 x+z = 3 y+z = 4 Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 3a 0 0 1 3a 0 0 1 = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Exempel 7. För vilka värden på a har ekvationssystemet entydiga lösningar? ax+y+3z = 4 x+y+5z = 7 3x+y+az = Koefficientmatrisen är A = a 1 3 5 3 1 a A = a 1 3 5 3 1 a = a +15 38 5a+a = a 4a 6 Ekvationen a 4a 6 = 0 har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = eller a = 3. Exempel 8. Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna { x+ay+ a = 0 ( ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a ( ax 3y = A = ( 1 a a 3 det(a = 3 a( a. det(a = 0 då a a 3 = 0, som har rötterna a 1 = och a = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 och a 3. x = y = 1 a 1+a 1+a Det är uppenbart att då a = så saknar systemet lösning. Addera 3 gånger rad1 till rad [ 1 3 3 3 [ 1 3 0 0 8 Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] 1 3 1 3 Addera rad1 till rad. [ 1 3 1 0 0 0 Vilket betyder oändligt många lösningar. ] ] ] Håkan Strömberg 13 KTH Syd

Exempel 9. Bestäm inversen till A = 1 1 0 1 1 0 Lösning: Vi startar med att bestämma 1 1 det A = 0 1 1 0 = +0+4 0 0 = 1 Nu är det dags att bestämma adj A, men först B, eftersom vi inte orkar transponera direkt. ( B = ( 3 ( 4 1 1 som sedan ger För säkerhets skull en test: A = 1 1 adj A = AA = 1 1 0 1 1 0 +4 6+4 1 +1 0+ 0 3+4 0+1 +0+ 4+0 4 +0 1 3 4 1 1 3 4 1 = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Problem 1. Lös ekvationen Där Svar: x 1 = 8,x = 3 ( 0 1 B = 5 1 Problem. Lös tipsekvationen BC x = b C = 1 x x 1 1 1 ( 4 5 1 = 0 b = ( 3 Svar: x 1 = 1,x = 4 Problem 3. Lös ekvationen då Svar: x = 6 A = ( 1 0 3 AB = BA B = ( x 7 0 1 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

1 Det är visserligen långt ifrån huvudräkning, men ändå, bestäm med Jacobis metod, A då 1 4 A = 1 1 0 Utför du detta en gång till så sitter det sedan. Alltså, bestäm med Jacobis metod, A då 5 3 7 A = 1 0 3 Kan du beräkna den här determinanten i huvudet? 1 31 46 17 10 4 18 0 0 0 0 7 15 41 10 1 3 det(a = 0 A = 10 4 1 9 4 0 37 14 A = 19 7 36 13 Håkan Strömberg 15 KTH Syd

Mer om ekvationssystem Exempel 10. I figuren ovan ser vi de åtta möjligheter som tre plan kan förhålla sig till varandra. Studera figurerna och fyll i tabellen under rubriken antal lösningar. Svaren kan Håkan Strömberg 16 KTH Syd

vara 0, 1, oändligt många plan eller oändligt många linje. Figur Antal lösningar System 1 3 4 5 6 7 8 I nästa steg ska du klassificera följande åtta ekvationssystem. De beskriver var och en ett av de åtta fallen i figurerna. Fyll i tabellen ovan med bokstaven för det system som motsvarar viss figur. a c e g 3x1y+z = 4 x 4y+z = x 6y+3z = x+y z = x+y z = 0 x y+z = x+y+z = x y z = 4 x+4y+4z = 10 x+y+z = 3 x+y+z = 8 x y+3z = a b d f h 3 1 4 1 4 1 1 6 3 3x+y z = 3 6x y+4z = 6 x+y z = 3 x y z = 4 x+y = 0 x+y z = 5x+1y+z = 15x+36y+3z = 10 0x+48y+4z = 3x+y+z = 6x 4y z = 4 15x+10y+5z = 10 Addera /3 gånger rad1 till rad3 och rad3 3 1 4 0 /3 1/3 /3 0 7/3 7/3 0/3 Addera 7 gånger rad till rad3 3 1 4 0 /3 1/3 /3 0 0 0 8 Håkan Strömberg 17 KTH Syd

Systemet saknar lösning. Om vi tittar på två plan i taget får vi tre ekvationssystem { 3x1y+z = 4 x 4y+z = som har lösningen l 1 = ( 6,,0 +(3,1,1t, en linje. Sätt z = t och lös ekvationssystemet med avseende på x och y. Lös först ut x, x = 4 t+11y 3 ur första ekvationen och sätt in i den andra 4 t+11y 3 4y+t = 4 t+11yy+3t = 6 y = +t Detta ger x = 4 t+11( +t 3 x = 6+3t { 3x1y+z = 4 x 6y+3z = som har lösningen l = (46/7,10/7,0 +(3,1,1t en linje. { x 4y+z = x 6y+3z = som har lösningen l 3 = (10,,0+(3,1,1t en linje. Varje par av plan skär varandra utefter en rät linje. Riktningsvektorern (3, 1, 1 är gemensam för de tre linjerna, vilket betyder att de är parallella. Figur 3. b 3 1 3 6 4 6 1 1 3 Addera gånger rad1 till rad. Addera /3 gånger rad1 till rad3. 3 1 3 0 0 0 0 0 /3 4/3 Byt plats på rad och rad3 3 1 3 0 /3 4/3 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Vi ser att planen i rad1 och rad är identiska, till exempel genom att dividera båda led i plan med. Det tredje planet skär dessa två efter en rät linje. Figur 5. Håkan Strömberg 18 KTH Syd

c Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad3. 1 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 0 0 0 Planet på rad1 är identiskt med planet på rad3. Planet på rad är parallellt med de andra två planen. Systemet har alltså ingen lösning. Figur 7. d Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera gånger rad till rad3 1 4 1 0 0 1 1 4 0 3 8 0 3 5 1 4 0 3 8 0 0 3 3 Systemet har en entydig lösning, nämligen z =, y = och x = 1. Figur 8 e Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera rad till rad3 1 1 1 1 4 4 4 10 1 1 1 0 6 0 6 1 1 1 0 6 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Då vi som i a löser ekvationen mellan två plan i sänder får vi varje gång samma linje: l = (,3,0 +(0,,1t. Figur 6 Håkan Strömberg 19 KTH Syd

f Addera 3 gånger rad1 till rad. Addera 4 gånger rad1 till rad3. 5 1 1 15 36 3 10 0 48 4 5 1 1 0 0 0 4 0 0 0 9 Systemet saknar lösning. Vi ser att det handlar om tre parallella plan. Figur. g 1 1 1 3 8 1 3 Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. 1 1 1 3 0 0 0 0 1 Byt rad med rad3 1 1 1 3 0 1 0 0 0 Systemet saknar lösning. Vi ser att planet i rad 1 är parallellt med planet i rad. Det tredje planet skär de andra två. Figur 4. h 3 1 6 4 4 15 10 5 10 Addera gånger rad1 till rad. Addera 5 gånger rad1 till rad3. 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. De tre planen är identiska. Figur 1. Håkan Strömberg 0 KTH Syd

Här har vi den ifyllda tabellen Figur Antal lösningar System 1 plan h ingen f 3 ingen a 4 ingen g 5 linje b 6 linje e 7 ingen c 8 punkt d Exempel 11. Lös ekvationen Från determinanten får vi x 1 x 0 5 9 3x 3 = 0 Som har rötterna x 1 = 5 och x = 3 Exempel 1. Lös olikheten Från determinanten får vi ekvationen 1x +455x 6x = 0 3x +45 6x = 0 x +x5 = 0 3 x 1 1 x 3 > 0 3 3+x x x8 = 0 x x 4 = 0 x x = 0 som har rötterna x 1 = 3 och x = 4. Vi kan nu skriva olikheten (x+3(x 4 > 0 Med gammal känd teknik får vi x < 3 eller x > 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Problem 4. Bestäm inversen till Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad med Addera 3 gånger rad till rad3. C = 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 3 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 1 Multiplicera rad3 med 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 Addera rad3 till rad Addera gånger rad till rad1 Den sökta inversen är 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 0 4 0 1 0 0 0 1 3 C = 4 3 Håkan Strömberg KTH Syd

Exempel 13. Lös för alla möjliga a, ekvationssystemet ax+y+z = 1 x+ay+z = a x+z+az = a Först bestämmer vi determinanten för koefficientmatrisen. a 1 1 1 a 1 1 0 1+a = a (1+a+1 a (1+a = a 3 +a a Ekvationen a 3 +a a = 0 har rötterna a 1 = 0, a = 1 och a 3 =. För dessa tre värden på a finns ingen entydig lösning till systemet. Vi ställer nu upp totalmatrisen och ser vad Gausseliminationen leder till för de tre fallen. Då a = 0 By plats på rad 1 och rad. Addera gånger rad1 till rad3. 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 När a = 0 har vi oändligt många lösningar. För att se vad dessa lösningar bildar sätter vi z = t, som ger y = 1 t och till sist x = t. Lösningarna bildar alltså linjen (x,y,z = (0,1,0 +(1,,t Då a = Vi får totalmatrisen 1 1 1 1 1 1 0 4 Byt plats på rad1 och rad 1 1 1 1 1 1 0 4 Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3 1 1 0 3 3 3 0 6 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Addera /3 gånger rad till rad3 1 1 0 3 3 3 0 0 0 4 Ur totalmatrisen får vi då att för a = saknas lösning. Då a = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Byt plats på rad och rad3. 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Som tidigare sätter vi z = t och får då y+t = 0, y = t. Till sist får vi x + t + t = 1, som ger x = 1 t. Lösningarna ligger utefter linjen: (x,y,z = (1,0,0 +(,1,1t För a då det(a 0 Detta blir den mest krävande beräkningen. Vår totalmatris är a 1 1 1 1 a 1 a 1 0 1+a a Byt plats på rad1 och rad3 1 0 1+a a 1 a 1 a a 1 1 1 Addera gånger rad1 till rad. Addera a gånger rad1 till rad3. 1 0 1+a a 0 a a a a 0 1 1 a a 1 a 3 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Addera /a gånger rad till rad3 1 0 1+a a 0 a a a a 0 0 a a a 3 +a Jaha! Vi får z = a3 +a a a+ = a(a(a+1 = a(a+1 (a(a+ a+ Detta z substituerar vi nu i rad och får ay a (a+1 a+ y = y = y = y = = a a a a + a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a a+ a a y = a+ Återstår så att lösa ut x. Vi får genom substitution x+ a(a+1 a+ = a x = a (a+ a(a+1 a+ x = a a+ Till sist får vi lösningen: x = a a+ y = a+ z = a(a+1 a+ Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Exempel 14. Bestäm under vilken vinkel linjen x = 3 t y = 1+t z = t skär planet 3x+y z = 0. Vi har linjens riktningsvektor r = (,1, och planets normalvektor n = (3,,. Vi startar med att med hjälp av formeln θ = arccos bestämma vinkeln mellan dessa två vektorer n r n r θ = arccos (3,, (,1, (3,, (,1, Detta leder till θ = arccos 3 7 Slår vi detta resultat på dosa får vi θ 109.1. Vinkeln mellan de två vektorerna kan ses som både 109.1 och 180 09.1 70.9. Vi är intresserade av ett resultat som är < 90 och väljer därför 70.9. Vinkeln mellan planet och linjen blir då 90 70.9 19.1 Exempel 15. Lös ekvationssystemet { x 3y+z = 8 4x 6y+z = 17 Lösningen kan ses som skärningen mellan två plan. Systemet är underbestämt, det finns fler obekanta än ekvationer. Vi vet att detta system inte kan ge en entydig lösning två plan kan inte skära varandra i endast en punkt! Vi tar till Gausselimination och ställer upp totalmatrisen [ ] 3 1 8 4 6 17 Addera gånger rad1 till rad [ 3 1 8 0 0 0 1 Detta betyder att systemet saknar lösning. Planen är parallella vilket vi lätt kan se när vi betraktar planens normalvektorer ] Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Exempel 16. Vi tar ett till liknande { x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 Upp med totalmatrisen Addera gånger rad1 till rad [ 3 5 4 6 1 8 [ 3 5 0 0 3 ] ] Ur detta får vi att z = 3. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får x+3y+ 3 = 5 x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x Lösningen är som väntat en linje x+3t = 13 3 x = 13 6 3t x = 13 9t 6 y = t z = 3 Exempel 17. Lös ekvationssytemet x+y+z+w = 1 x y+z w = 1 x y+z+w = 1 Åter ett underbestämt problem med följande totalmatris 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad3. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Sätt w = t ger z = 1 t. Sätt in w = t i rad, ger y t = 0, y = t. Till sist får vi x genom x t+(1 t+t = 1 och x = t. Svar: x = t,y = t,z = 1 t,w = t Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Exempel 18. Lös det underbestämda ekvationssystemet x+y+z+w = 8 x+y+3z+4w = 10 3x+4y+5z+6w = 18 Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad 8 1 3 4 10 3 4 5 6 18 1 3 4 10 8 3 4 5 6 18 Addera gånger rad1 till rad. Addera 3 gånger rad1 till rad3. 1 3 4 10 0 4 6 0 4 6 Addera gånger rad till rad3 1 3 4 10 0 4 6 0 0 0 0 0 Sätt z = s och w = t ger från rad ekvationen y 4s 6t =, y = 6 3t s. In med y,z och w i rad1 ger x+(6 3t s+3s+4t = 10, x = +s+t. Svar: x = +s+t y = 6 3t s z = s w = t Exempel 19. Denna uppgift består i att först bestämma två tredjegradspolynom och därefter ta reda på i vilka punkter de skär varandra. Man vet att det första polynomet går genom följande punkter och att det andra har följande data x 5 8 3 y 50 838 68 x 1 4 5 - y - 160 306 - Vi första polynomet har följande utseende p 1 (xa 3 x 3 +a x +a 1 x+a 0 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Det andra p (xb 3 x 3 +b x +b 1 x+b 0 Det är de 8 koefficienterna som ska bestämmas. Det första polynomet med tillhörande data ger ekvationssystemet 15a 3 +5a +5a 1 +a 0 = 50 51a 3 +64a +8a 1 +a 0 = 838 7a 3 +9a +3a 1 +a 0 = 68 8a 3 +4a +a 1 +a 0 = Har en lösning som leder fran till polynomet Över till det andra polynomet som har en lösning som leder till p 1 (x = x 3 +5x +x0 b 3 +b +b 1 +b 0 = 64b 3 +16b +4b 1 +b 0 = 160 15b 3 +5b +5b 1 +b 0 = 306 8b 3 +4b b 1 +b 0 = p (x = x 3 +3x 3x 4 För att se var dessa polynom skär varandra sätter vi p 1 (x = p (x x 3 +5x +x0 = x 3 +3x 3x 4 x 3 x 5x+6 = 0 Här kan man gissa all tre rötterna om man har tur! x =, x = 1 och x = 3. Återstår att bestämma p 1 ( =,p 1 (1 = och p 1 (3 = 68, som ger skärningspunkterna (,, (1,, (3,68 60 40 0-3 - -1 1 3 4 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

Extra 4. Beräkna A, A 3, A 4, A 5 och gissa vad A n blir då ( 0 A = 0 3 Lösning: En korrekt gissning är ( A 4 0 = 0 9 ( A 4 16 0 = 0 81 A n = ( n 0 0 3 n Extra 5. För vilka värden på a har matrisen A en invers. 1 1 1 1 a 1 a ( A 3 8 0 = 0 7 ( A 5 3 0 = 0 43 Lösning: Bestäm 1 1 1 1 a 1 a = a a a då a a 3 = 0 saknar matrisen invers. Ekvationen har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: för a och a 3 har matrisen en invers. Håkan Strömberg 30 KTH Syd