Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Talet e. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Centrala innehållet Orientering kring ( ) begreppet gränsvärde. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion. Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
En liten sammanfattning I detta moment har vi introducerat begreppet derivata. Vi började med att titta på en sekants (en rät linje som skär grafen i två punkter) lutning. Vi kom fram till att k-värdet på denna sekant kan beräknas med följande formel; k = Δy Δx = y ' y ) f a + h f(a) = x ' x ) h där h är avståndet mellan x1 och x2. Då vi minskar avståndet mellan de två punkter där sekanten skär grafen blir det här talet h väldigt litet (det närmar sig 0 ). Avståndet blir så litet att vi kan tänka oss att de här två punkterna går ihop till en enda punkt och sekanten övergår då till at kallas för en tangent (en tangent är en rät linje som bara nuddar grafen i en enda punkt). Tangentens lutning får vi genom att beräkna sekantens lutning och undersöka vad som händer då avståndet mellan x1 och x2 närmar sig 0. En kurvas lutning i en punkt är densamma som tangentens lutning i punkten. Tangentens lutning är derivatan. Derivatans definition f 0 (a) = lim 4 6 f(a + h) f(a) h Vidare provade vi att räkna ut några olika funktioners derivator med hjälp av denna definition och insåg ganska snabbt att det var ganska jobbigt. Vilken tur vi har att det finns några smarta snubbar som kommit på att det finns deriveringsregler!
Polynomfunktioner. Om vi har funktionen g x = x 8 2x : + 2 så deriverar vi x 8 för sig, 2x : för sig och 2 för sig. Funktion Derivata x ; nx ;=) så g x = 5x : 8x A. Titta på formelbladet, sid 3. Som du ser finns inte funktionen k x ; med och inte heller funktionen k. Vissa av reglerna är bäst att lära sig utantill. Kommer du exempelvis ihåg att om f x = 5x så är f x = 5 och att derivatan av en konstant är noll; om f x = 7 så är f x = 0. Exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 K, 3 K och 4 K Funktion Derivata 2 K 2 K 0,69 3 K 3 K 1,10 4 K 4 K 1,39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi börjar leta Funktion Derivata 2,5 K 2,5 K 0,9162 2,6 K 2,6 K 0,9555 2,7 K 2,7 K 0,9933 2,71 K 2,71 K 0,9969 2,72 K 2,72 K 1,0006 Nu är vi nära, talet borde ligga mellan 2,71 och 2,72, men för att hitta det exakta talet kan vi hålla på ganska länge. Det är tur att någon gjort det åt oss. Talet vi söker är talet e. Talet e är (precis som π) ett irrationellt tal, det har alltså hur många decimaler som helst, men vi kan skriva ett ungefärligt närmevärde till e. e 2,7182818 Det som är så bra med talet e är att om f x = e K så är f x = e K. På formelbladet står det: Funktion e K e WK Derivata e K ke WK
Med hjälp av detta blir det nu också lättare att förstå hur vi kommer fram till deriveringsregler för andra exponentialfunktioner (se lektion med överskrift Derivatan av exponentialfunktioner). Funktion a K Derivata a K ln a Vi har tittat på flera deriveringsregler, men det finns fortfarande funktioner som vi inte har deriveringsregler för. Om vi har en funktion som vi inte har några deriveringsregler för kan vi använda oss av ändringskvoten/differenskvoten f a h f(a + h) 2h Det innebär att vi tar en punkt som ligger lite till vänster om den punkt vi är intresserade av och en punkt som ligger lite till höger om denna punkt och räknar ut k- värdet för den räta linje som går genom dessa två punkter. På så sätt kan vi få ett ungefärligt värde på derivatan. Vi kan även titta på grafen till en funktion och dra en del slutsatser om derivatan i olika punkter. Exempelvis kan vi se om derivatan f x är större än, mindre än eller lika med 0. I de punkter där kurvan lutar uppåt är derivatan större än 0. Om vi har en vändpunkt ( till exempel max-/minpunkt) är derivatan 0 i denna punkt. I de punkter där kurvan lutar nedåt är derivatan mindre än 0. Slutligen kan vi även rita ut tangenter till grafen och sedan räkna ut dess k-värde, att rita ut en tangent är inte alltid så enkelt och därmed inte heller så tillförlitlig metod. Ibland kan vi ha tur och då kan det vara så att någon har ritat tangenten åt oss och den här någon är ofta ganska bra på att rita tangenter För att komma hit har vi använt oss av några hjälpbegrepp ; gränsvärde och naturliga logaritmer. Gränsvärde använder vi oss av i derivatans definition då vi undersöker vad som händer då h 0 (h går mot noll). Vi kan även använda gränsvärde i andra sammanhang, exempelvis då vi studerar olika funktioner och funderar över vad som händer då x blir stort eller som vi säger x (x går mot oändligheten). I samband med att vi studerar
funktioner kan det även vara intressant och veta vad som händer med funktionens värde då x närmar sig ett värde som funktionen inte är definierad för. Naturliga logaritmer använde vi för att kunna komma till att derivera exponentialfunktioner av typen y = a K genom att vi vet att y = a K = e YZ [\ = e YZ [ K och exponentialfunktioner med basen e var ju trevliga att derivera. Om vi deriverar y får vi y 0 = ln a e YZ [ K = ln a a K. Naturliga logaritmer är även bra att använda då vi löser exponentialekvationer. Vi använder då den naturliga logaritmen på samma sätt som 10- logaritmen. Kom ihåg att ln e = 1, ln e ' = 2 osv.
Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? När vi använder oss av derivatans definition så använder vi oss av följande formel f a = lim h 0 f a + h f(a) h där den första delen i formeln utläses limes h går mot noll. Vi räknar ut ett gränsvärde då talet h närmar sig noll. I bland vi även vara intresserade av att veta vad som händer då en variabel närmar sig något annat tal, eller att veta vad som händer då x går mot oändligheten ( ). Om vi betraktar funktionen y = 5 0, 5 x så kan vi vara intresserade av att veta vad som händer då x blir så stort att det närmar sig oändligheten. Vi skriver lim 5 0, x h 5x. Rita upp grafen på miniräknaren och vi kan se att grafen närmar sig x-axeln, men den går aldrig under x-axeln. Det ser ut som att funktionsvärdet närmar sig 0, dvs lim 5 0, x h 5x = 0. Då vi ska bestämma ett gränsvärde kan det ibland vara bra att först förenkla det uttryck som vi undersöker. *Då vi undersöker ett rationellt uttryck där x kan vi få problem och knepet är då att dividera både täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. Ex Bestäm a) lim 4 6 4 + h ' 4 ' h b) lim K h 5x + 4 x ' Lösning: 4 + h ' 4 ' a) lim 4 6 h h(8 + h) = lim 4 6 h 16 + 8h + h ' 16 8h + h ' = lim = lim 4 6 h 4 6 h lim 8 + h = 8 4 6 b) Vi har ett fall där vi får vi dividerar därför täljare och nämnare med nämnarens dominerande term. lim K h 5x 5x + 4 x ' = lim x ' + 4 x ' K h x ' x ' = = lim K h 5 x + 4 x ' 1 Eftersom 8 8 0 då x och 0 då x K Kn 5 = lim K h x + 4 x ' = 0
Ex 1 Bestäm gränsvärdet a) lim 4 6 h + 4 b) lim 4 ' h + 4 c) lim 4 6 5 + 2h d) lim 4 6 h + 4 d) lim 4 6 h ' + 3h h x ' 9 e) lim K A x 3 4x + 1 f) lim K x Se sid 83-84
Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? En rät linje genom två punkter på en kurva kallas sekant. För att bestämma lutningen i en punkt a kan vi välja två punkter som ligger nära a och dra en rät linje mellan dessa två punkter, en sekant. Om vi beräknar k värdet på denna sekant får vi en bra approximation till derivatan i punkten a. Vi har då använt oss av en ändringskvot/differenskvot. En ändringskvot/differenskvot använder vi för att beräkna ett närmevärde till en funktions derivata i de fall vi inte har några deriveringsregler. Derivatans definition f a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi beräknar k värdet på en sekant som går genom en punkt där x = a och en punkt där x = a + h. Om vi sedan låter avståndet mellan dessa punkter bli väldigt litet, vi låter h 0 (h gå mot noll) får vi derivatan, alltså lutningen i punkten a. Denna lutning är även tangentens lutning. En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt där kurvans lutning är lika med tangentens lutning. Ex I bilden nedan är funktionen y = 0,2x 1,3 K ritad (den svarta). Den bål linjen är tangenten till kurvan då x = 5. Bestäm ett närmevärde till derivatan med hjälp av a) en differenskvot (lutningen på en sekant) b) att bestämma tangentens lutning.
Lösning a) Vi väljer en punkt som ligger lite till vänster om den punkt där x = 5 och en punkt som ligger lite till höger om punkten. Jag väljer här att ta punkterna där x ' = 5,001 och x ) = 4,999, det vill säga h = 0,001. k = Δy Δx = y ' y ) f 5 + h f 5 h f 5,001 f 4,999 = = x ' x ) 2h 0,002 = 0,2 5,001 1,38,66) 0,2 4,999 1,3 :,rrr 1,72 0,002 Detta innebär att f (5) 1,72. b) Jag väljer två pnkter som jag försöker läsa av så bra som möjligt. (4,2) och (6; 5,4). k = Δy Δx = y ' y ) x ' x ) = 5,4 2 6 4 = 3,4 2 = 1,7 Detta innebär att f (5) 1,7. Ex 2 Använd en differenskvot för att bestämma ett ungefärligt värde på derivatan till funktionen f x = 4 K 0,3x då x = 2. Ex 3 För funktionen y(x) finns värdetabellen x 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 y 83,4 84,6 85,8 86,1 86,6 Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till f (9,4). Ex 4 Nedan är grafen y = x ' + 1 ritad. Skissa en tangent i punkten där x = 1. Bestäm sedan tangentens lutning och berätta vad du beräknat.
Derivera enklare funktioner med hjälp av derivatans definition. Derivatans definition f 0 a = lim h 0 f a + h f(a) h kommer från att vi räknar ut ett k värde på en sekant som går igenom (a, f(a)) och (a + h, f(a + h)). När vi sedna låter punkten (a + h, f(a + h)) närma sig punkten (a, f(a)), det vill säga h 0 så kommer sekantens lutning närma sig tangentens lutning. Tangentens lutning är derivatan i punkten. Alla de deriveringsregler som vi använt kommer från att vi använt oss av derivatans definition, därför är det bra att ha koll på hur vi använder derivatans defintion. Ex f(x) = x ', bestäm f (3) a) med hjälp av derivatans definition. b) med hjälp av en deriveringsregel. Lösning a) Derivatans definition ger oss att så f 0 a = lim 4 6 f a + h f(a) h f 0 f 3 + h f 3 3 + h ' 3 ' 9 + 6h + h ' 9 3 = lim = lim = lim 4 6 h 4 6 h 4 6 h 6h + h ' h(6 + h) = lim == lim = lim 6 + h = 6 4 6 h 4 6 h 4 6 b) Vet att om funktionen är x ; så är derivatan nx ;=), så f(x) = x ' f 0 x = 2x f 0 3 = 2 3 = 6 Ex 5 f x = x ' + 3, bestäm f 5 med hjälp av derivatans definition. Ex 6 f x = 3x + 1, bestäm f 2 med hjälp av derivatans definition. Ex 7* Visa att om f x = 2x A så är f 0 x = 6x ' med hjälp av derivatans definition.
Talet e. Vi införde talet e i samband med att vi skulle derivera exponentialfunktioner. Eftersom polynomfunktioner var så smidiga att derivera då vi använde oss av deriveringsregler hoppades vi på att hitta lika smidiga deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi försökte hitta något mönster genom att derivera 2 x, 3 x och 4 x Funktion 2 x 3 x 4 x Derivata 2 x 0, 69 3 x 1, 10 4 x 1, 39 Hur kan vi bestämma den här sista faktorn? Vi ser inga självklara samband För att komma runt det här problemet kan vi ju ta den bas som ger faktorn 1. Det borde ju finnas ett sådant tal, och det talet borde ligga mellan 2 och 3, eftersom dessa baser ger faktorn 0,69 respektive 1,10. Vi började leta och insåg att talet vi söker är e 2, 7182818 Alltså om f x = e x så är f x = e x 1, men den där ettan skriver vi ju inte ut, så f x = e x. Det som är viktigt att komma ihåg är att e är ett tal som ska behandlas som vilket tal som helst i andra sammanhang. Exempelvis är e + e = 2e 5, 4 och om vi ska derivera f(x) = ex, ja då får vi f (x) = e. Det som också är bra att ha koll på när det gäller talet e är att om vi ska lösa en exponentialexvation av typen e 2x = 3 så använder vi oss av den naturliga logaritmen ln. Ex Vi har funktionen f(x) = e ', bestäm f 0 x. Lösning f(x) = e ' 7,4 f 0 x = 0 Ex Lös ekvationen 5e AK = 30. Lösning 5e AK = 30 e AK = 6 ln e AK = ln 6 3x ln e = ln 6 3x = ln 6 x = ln 6 3
Ex 8 Derivera a) y = 2 ƒ b) y = e 'K c) y = e K + 2ex Ex 9 Lös följande ekvationer a) e K + 6 = 7 b) 3e K 1 = 17 c) 7e 'K + 10 = 94
Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Potensfunktioner har vi en deriveringsregel för. Denna regel säger att om funktionen är x n så är derivatan nx n=1. Exponentialfunktioner har vi också deriveringsregler för. Vi vet att om funktionen är e x så är derivatan e x och att om funktionen är e kx så är derivatan ke kx, dessa regler gäller bara för de exponentialfunktioner som har talet e som bas. Om vi har en exponentialfunktion som inte har basen e utan ett annat tal gäller att om funktionen är a x så är derivatan a x ln a. Ex Derivera funktionerna a) y = 3x + 3 K b) y = 2e AK + 90 c) y = x' 3 Lösning a) y = 3x + 3 K y = 3 + 3 K ln 3 b) y = 2e AK + 90 y = 2 3e AK = 6e AK c) y = x' 3 = 1 3 x' y 0 = 1 3 2 x = 2x 3 Ex 10 Derivera Ex 11 Bestäm lutningen i den punkt då x = 1. a) y = 3x : 4 a) y = 7x ' 4x + 3 b) f(x) = 5 b) y = x 3 + 4 c) y = e K c) y = e K 2x d) y = 5x ' 4x d) f x = ex + 3 e) f(x) = 3x ' e)* f x = x f) y = xa 4 f) y = 4 x ' g) y = 2e AK g) f x = 5 K + 12x h) f x = 3 K + 5x 1 h)* y = 3 4 8K
Ex 12 Du har funktionen f x = 2x A + 2x + 5. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten ( 1,1). Ex 13* Du har funktionen f x = 2 K. Bestäm ekvationen för tangenten i den punkt då x = 3. Ex 14 För vilket x-värde har f och g samma lutning om f x = 7x ' + 3x och g x = 3x ' + 19x 15?
Använda dig av derivata i problemlösning (från Ma3b Matematik 5000) Ex 15 Antalet rovdjur i en nationalpark beskrivs av funktionen y = f(t) där t är antalet år efter det att nationalparken inrättades. Vad betyder det i detta sammanhang att a) f(5) = 120 b) f 0 5 = 10 c) f 0 t = 0 då t 10? Ex 16 För abborarna i en insjö är funktionen f x = 0,017x A en modell för sambandet mellan vikten y gram och längden x cm. a) Beräkna f(40) och tolka svaret. b) Lös ekvationen f(x) = 400 och tolka svaret. c) Beräkna f (40) och tolka svaret. Ex 17 Temperaturen y C i en kopp kaffe avtar enligt funktionen y = 70 e =6,6A:K + 20 där x är tiden i minuter. a) Beräkna temperaturen efter 10 minuter. b) Efter hur lång tid är temperaturen 35 C? c) Hur snabbt sjunker temperaturen i genomsnitt under de 10 första minuterna? d) Hur snabbt sjunker temperaturen då det gått 10 minuter? Ex 18 Från NP ht 2012
Fler övningar som du kan/bör träna på Diagnos och Blandade övningar rekommenderade uppgifter Steg 1 Steg 2 Steg3 Diagnos, sid 123 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13 Blandade övningar sid 124-126 1,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24, 25, 26, 27 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 29, 30, 31, 32 11, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 Titta även på De anteckningar ni fått till varje lektion Sammanfattning på sid 120 121 Kan du det här? 2 sid 122 Sant eller falskt sid 119