Förklaring:

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas enlgt följande f --------------------------------------------------------------------------------------------------- Förklarng: nta att redan har hänt Då är "alla möjlga fall" de element som lgger V kan betrakta som ett nytt utfallsrum Händelsen händer detta fall endast om resultat hamnar Därför ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Exempel Låt 0, 0 och 0 5 estäm sannolkheten för om v vet att har hänt Med andra ord bestäm Från formeln + har v 0 5 0 + 0 0 0 Därför 0 5 0 Svar: 0 5 Från ovanstående formel f får v följande vktga relatoner och kan användas för beräknng av sannolkheten för snttet För tre händelser har v av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Exempel I en låda fnns 6 röda R och gröna kulor Man tar en kula på måfå och upprepar dragnngen gånger utan återlämnng Vad är sannolkheten att få resultat följande ordnng a R,, R b,, c, R, d R,R,R a R R R R R R 8 5 9 0 6 b 8 9 0 c 8 9 6 0 d 8 9 5 0 6 DEN TOTL SNNOLIKHETEN Låt n Ω där är dsjunkta händelser Sannolkheten för en händelse kan beräknas enlgt följande formel: n n Lagen om total sannolkhet Sannolkheten för k gvet att har hänt är n k k k k Exempel Ett företag som tllverkar glödlampor har tllverknngen förlagt tll tre olka fabrker Fabrk står för 0%, fabrk för 5 %, och fabrk för 5% av tllverknngen, Man vet att en av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR glödlampa från fabrken är defekt med 8% sannolkhet Motsvarande felsannolkhet för fabrk är % och % för fabrk Man har blandat glödlampor från de tre fabrkerna ett stort centralt lager a eter tar på måfå en glödlampa från lagret Vad är sannolkheten att glödlampan är defekt b nna tar på måfå en glödlampa ur lagret och fnner att den är defekt Vad är sannolkheten att den tllverkats fabrk? etecknng: D En lampa är defekt, K En lampa är korrekt En lampa har tllverkats fabrk, En lampa har tllverkats fabrk En lampa har tllverkats fabrk a Den totala sannolkheten att lampan är defekt är D D + D + D 0 0 008 + 05 00 + 05 0 0 0075 b Sannolkheten att en defekt lampa tllverkats fabrken är D D 05 00 D 05555% D D 0075 Svar: a 0075 b 055 OEROENDE HÄNDELSER Defnton Två händelser och är oberoende om och endast om Förklarng nta att 0 och 0 Då är enkelt att bevsa följande relaton Detta kan tolkas på följande sätt: Om och endast om då är sannolkheten för om har hänt lka med sannolkheten om nte har hänt Med andra ord händelsen beror ej om har hänt ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exempel Låt 0, 0 5 och 0 8 estäm om och är oberoende händelser För att avgöra om och är oberoende kontrollerar v om kravet defntonen är uppfyllt Först bestämmer v med hjälp av formeln + 0 8 0 + 05 0 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Nu beräknar v vänster- och högerledet kravet : VL 0 HL 0 lltså och är INTE oberoende eftersom V kan säga att och är beroende Egenskaper för två oberoende händelser nta att och är oberoende dvs Då gäller och symmetrskt,, Med andra ord, om och är oberoende då är : och också oberoende händelser, och samt och Exempel 5 Låt och vara oberoende händelser och 0, 0 estäm a b c d, e a 0 08 b + 0 + 0 008 0 5 c 0 08 0 d 06 0 0 e 06 08 0 8 Tre eller flera oberoende händelser egreppet "oberoende händelser" för tre eller flera händelser kan defneras på lknande sätt: Defnton V säger att,, n är oberoende om följande gäller k k oavsett vlka k händelser,, k v plockar ut bland händelserna,, n För tre händelser, som specellt fall av ovanstående defnton, har v följande defnton Defnton Tre händelser, och är oberoende om följande krav är uppfyllda: av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Det är enkelt att bevsa följande egenskap: Om, och är oberoende så är också gäller för,,,, och,,,, oberoende Samma Erfarenhet vsar att om händelser är oberoende ordets vanlg menng, får v rmlga resultat om v betraktar händelserna som oberoende sannolkhetsteorns menng {dvs sådana fall kan v använda formeln } k k eräknng av sannolkheten för unonen av oberoende händelser Låt,, n vara oberoende händelser Då gäller enlgt De Morgans lagar n n Därför n oberoende händelser [ n ] n n Exempel 6 I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K, K oberoende av varandra med sannolkheterna 0, 0, 0 respektve 0 Hela systemet fungerar om det fnns mnst en fungerande väg mellan och estäm sannolkheten att systemet a, b fungerar a serekopplade komponenter K K K K b parallellkopplade komponenter K K K K Lösnng a Systemet fungerar om alla komponenter fungerar: K K K K oberoende händelser K K K K 0 0 0 0 000 b Systemet fungerar om mnst en väg mellan och fungerar: 5 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Först beräknar v sannolkheten att ngen vägg fungerar: K K K K oberoende händelser K K K K 09 08 07 06 00 mnst en väg fungerar ngen väg fungerar dvs K K K K K K K K 00 06976 Svar: a 0 00 b 0 6976 ÖVNINSUIFTER: Uppgft För de två händelserna och gäller att 0 7, 0 och 0 5 a Rta mängddagram och bestäm b estäm och förklara om och är oberoende händelser a Från + har v 0 5 0 + 0 b V säger att och är oberoende händelser om Från + har v 0 7 05 + 0 0 Eftersom 0 och 05 0 0 ser v att och är oberoende händelser 6 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Svar a 0 b och är oberoende händelser Uppgft För händelserna och gäller 0, 0 6 och 0 8 estäm c c a, b, c d e vgör om och är oberoende händelser a 0 0 06 b + + 08 06 + 0 0 c 06 0 06 c c c d De Morgans lag 0 0 76 c c c De Morgans lagar e 0, 06 0 0 6 och är beroende händelser eftersom 7 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Uppgft För händelserna och gäller 0, och 0 5 och U 0 8 a estäm b vgör om och är oberoende händelser? Svar a 05 och 0 Svar b Nej Uppgft För händelserna och gäller 0, och 0 5 och U 0 8 a estäm b estäm [ ] a 0 0 05 Detta substtuerar v formeln + 08 + 05 0 0 b 0 0 0 [ ] 07 Uppgft 5 Oberoende händelserna, och nträffar med följande sannolkheter: 0, 0 och 08 estäm sannolkheten att a ngen av, och nträffar, b alla tre nträffar c exakt en av,, nträffar Lösnng c c c a ngen av, och nträffar 07 06 0 0 08 8 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR b alla tre nträffar 0 0 08 0 096 c exakt en av,, nträffar c c c c c c + + 0 06 0 + 07 0 0 + 07 06 08 08 Svar a 0 08 b 0 096 c 08 Uppgft 6 Låt, och vara oberoende händelser som nträffar med sannolkheterna 05, 0 och 0 estäm sannolkheterna för följande händelser: a Ingen av,, nträffar b Mnst en av,, nträffar c Exakt en av,, nträffar d Exakt två av,, nträffar e lla tre händelser, och nträffar f Mnst två av,, nträffar g Högst två av,, nträffar h och men nte nträffar a Ingen av,, nträffar [oberoende händelser] 0 5 0608 0 bhändelsen " Mnst en av,, nträffar" är komplement tll händelsen " Ingen av,, nträffar " Därför Mnst en av,, nträffar Ingen av,, nträffar 076 lternatv: Mnst en av,, nträffar 0 076 c Exakt en av,, nträffar { } notera att, och är tre dsjunkta mängder + + oberoende händelser + + 06 d + + 06 e 00 f Mnst två av,, nträffar exakt två nträffar + exakt tre nträffar 06+0000 g Högst två av,, nträffar ngen nträffar+ exakt en nträffar+ exakt två nträffar0+06+06096 h 06 9 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Uppgft 7 Vad är sannolkheten att det blr kontakt mellan punkterna och nedanstående schema om reläkontakterna x, y, z och w slutes med sannolkheterna 0, 0, 06 resp 08 och händelserna att de olka kontakterna sluts är oberoende V har kontakt mellan punkterna och om mnst en väg fungerar och dessutom kontakten w är sluten Väg fungerar om både x, y är slutna v x y 008 v z 06 Sannolkheten för [ Väg eller Väg och W] är då p v + v v v w 06 08 05056 Uppgft 8 I nedanstående system fungerar komponenter K, K, K, K oberoende av varandra, med sannolkheterna 090, 085, 080 respektve 075 Hela systemet fungerar om det fnns mnst en fungerande väg mellan och estäm sannolkheten att systemet fungerar K K K K K K Väg fungerar med sannolkheten vk*k 0765 Väg fungerar med sannolkheten vk080 Väg fungerar med sannolkheten vk075 Ingen väg fungerar q v v v 0075 Sannolkheten att mnst en väg fungerar är - Ingen väg fungerar 007509885 Svar 0988 Uppgft 9 0 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR I fguren ovan är a, b, c, d och e kontakter, som är slutna oberoende av varandra med sannolkheterna 08, 07, 06, 05 respektve 0 eräkna sannolkheten att a ngen lampa lyser, b exakt en lampa lyser a M e0, L ab056 K D0 ngen lampa lyser - M - L - K 088 b exakt en lampa lyser M *- L *- K + - M * L *- K + - M *- L K 076 Uppgft 0 Vad är sannolkheten att det blr kontakt mellan punkterna E och F nedanstående schema om reläkontakterna a,b,c, d, e, f och g slutes, oberoende av varandra med sannolkheterna 0, 0, 0, 0, 05, 06, resp 07 lock : v v a b 00 c d 0 b v + v v v 076 lock : av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR v v e 05 f g 0 b v + v v v 07 p b b 00976960 Svar : Sannolkheten att det blr kontakt mellan punkterna E och F är p 00976960 Uppgft Ett företag som tllverkar batterer av en vss typ har tllverknngen förlagt fyra olka fabrker Fabrk står för 0 % av tllverknngen, fabrk 0 %, fabrk 0%, fabrk D 0% Sannolkheten för att ett batter från fabrk är korrekt är 95 % Motsvarande sannolkheten för ett korrekt batter från är 90 %, från 85 % och från D 70 % Man köper ett batter och fnner att det är korrekt Vad är sannolkheten att det tllverkats fabrk? korrekt00*095+00*090+00*085+00*070 089 den totala sannolkheten för korrekt korrekt 00 085 korrekt 09 korrekt 089 Svar : 09 Uppgft Ett företag som tllverkar batterer har tllverknngen förlagd tll fyra olka fabrker Fabrk står för 0% av tllverknngen, fabrk %, fabrk % och fabrk D 5% Man vet att ett batter från fabrk har 75 % sannolkhet att räcka mer än 0 drfttmmar Motsvarande sannolkheter för fabrkerna och och D är 80 %, 85 % respektve 90 % Man har blandat batterer från de fyra fabrkerna ett stort centralt lager a Vad är sannolkheten att ett batter som tas på måfå ur lagret skall räcka mer än 0 drfttmmar b Man tar på måfå ett batter ur lagret och fnner att det räcker mer än 0 drfttmmar Vad är sannolkheten att det tllverkats fabrk? a korrekt00 075 + 0 080 + 0 085 + 05 090 085 total sannolkhet 0 085 b korrekt 0 085 Uppgft Ett nytt test av blod ger postvt utslag 99% av fallen för smttat blod och av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR negatvt utslag 95% av fallen för osmttat blod v erfarenhet vet man att crka % av alla prover som genomförs har smttat blod Vad är sannolkheten att ett blodprov som har gett postvt utslag verklgen är smttat? Låt S vara händelsen att blodprovet är verklgen smttat Låt O vara händelsen att blodprovet är verklgen osmttat Låt OS vara händelsen att blodprovet ger postvt utslag Låt NE vara händelsen att blodprovet ger negatvt utslag lod smttat 00 osmttat 098 postvt utslag 099 negatvt utslag 00 postvt utslag 005 negatvt utslag 095 Då gäller: Den totala sannolkheten för postvt utslag är OS S OS S + O OS O 00 099 + 098 005 00688 Härav OS S S OS S 00 099 S OS 08779 OS OS 00688 Svar: 88% Uppgft Sannolkheten för att en person har en vss sjukdom beror på åldern För hela befolknngen gäller: p Ålder del av befolknngen har sjukdomen med sannolkheten 0-7 år % 0,00 8-0år 7% 0,05-60 år 0% 0,00 60- % 0,050 eräkna sannolkheten för att en slumpmässgt vald person som har sjukdomen är mellan 8 och 0 år : En person är 8 0, : En person är sjuk Sökt : 0,70,05 0,55 0,0,00 + 0,70,05 + 0,00,00 + 0,0,050 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Några exempel med statstsk kontroll: Uppgft 5 Vd en statstsk mottagnngskontroll skall man avvsa eller acceptera nkommande parter om 0 enheter vardera Man använder följande tvåstegsförfärande Först väljs enheter på måfå ur partet Om någon av dessa är defekt så avvsas partet Om ngen är defekt väljer man på måfå ut ytterlgare 0 enheter bland de återstående 6 Om någon av dessa är defekt så avvsas partet, annat fall accepteras det Vad är sannolkheten att avvsa ett part som nnehåller defekta enheter? Metod : avvsa-acceptera -Test OK*Test OK Test OK 6 0 0 0 0 86 0 6 0 6 0 Svar : 0 86 0 6 0 Metod : avvsa avvsa I Test + avvsa Test -Test OK + Test OK*-Test OK TEST: 6 alla korrekta Testp 0 6 mnst en defekt Test-alla korrekta Test 0 TEST: p mnst en defekt Test betngat att alla är korrekta TEST 6 0 0 6 0 av 5

rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR Sannolkheten att avvsa ett part är p+p 86 0 0 6 0 0 6 0 6 + Svar: 86 0 0 6 0 0 6 0 6 + Uppgft 6 Vd en statstsk mottagnngskontroll skall man avvsa eller acceptera nkommande parter om enheter vardera Man använder följande tvåstegsförfarande Först väljs enheter på måfå ur partet Om någon av dessa är defekt så avvsas partet Om ngen är defekt väljer man på måfå ut ytterlgare bland de återstående 9 Om högst en av dessa är defekt så accepteras partet Vad är sannolkheten att acceptera ett part som nnehåller defekta och 8 korrekta enheter? V betecknar T partet accepteras vd första steget lla tre enheter korrekta T partet accepteras vd andra steget Högst en defekt artet accepteras om det passerar båda steg 0090909 5 55 9 5 9 5 0 8 0 + T T T T T Svar: 090909 0 5 av 5