Institutionen för matematik 2000 04 06 KTH Bronislaw Krakus Inledning till Maple www.math.kth.se/~bronek/maple/inledning.pdf > tubeplot([cos(t), sin(t), 0], t = Pi..2*Pi, radius = 0.25*(t - Pi), orientation = [106, 154]); Delar av detta häfte är mer eller mindre kopierade från http://www.cs.chalmers.se/cs/grundutb/gu//datorboken/html/bok.fm_67.html http://math.umu.se/~leifp/mapleintro/mapleintro.html http://www.math.kth.se/~gunnarj/adi99/dimap/dima.html
Allmänt. Maple är ett matematikprogram som förutom numeriska beräkningar även inkluderar symbolisk formelmanipulation ( räkning med bokstäver ) samt två och tredimensionell grafik. När du startar Maple får du fram ett fönster med en prompt > Vid denna prompt skriver du in kommando i form av text, som Maple kan tolka. Alla kommandon måste avslutas med semikolon ; eller kolon :. Kommandon exekveras genom att man trycker på returtangenten. Markören skall då befinna sig i kommandoraden. > 4 + 5; 9 > Om kommandot avslutas med : skrivs inte resultatet ut på skärmen. > 4 + 5: > Beräkningen har utförts men resultatet skrivs inte ut. > 4 + 5 > Warning, premature end of input Här har man glömt att avsluta kommandoraden med ;. Detta kan rättas till genom att komplettera antingen den första eller den andra raden med ;. Dvs > 4 + 5; > 9 eller > 4 + 5 > ; 9 Flera kommandon (avskilda med kolon eller semikolon) kan skrivas på samma rad > 4 + 5; 4*5; 9 20 1
Kommandon kan sträcka sig över flera rader i väntan på ett semikolon. I samband med siffror måste man emellertid använda \ innan man bryter rad. > 1 + 111111111111111111111111111111\ 11111111; 11111111111111111111111111111111111112 Om man använder SHIFT RETURN exekveras inga kommandon utan man kan fortsätta att skriva nya kommandon på en ny rad. > 4 + 5; 6-7; 8*9; 10/11; 9-1 72 10 11 Normal klipp- och klistringsteknik (copy, cut, paste) kan användas. Numerisk räkning. De aritmetiska operationerna skrivs som brukligt i datorsammanhang: Addition + Subtraktion - Multiplikation * Division / Potens ^ Gruppering av operationer ( ) Den vanliga ordningen mellan operationerna gäller: ^ binder starkare än * och /, som i sin tur binder starkare än + och -. Ordningen modifieras med parenteser: > 5 + 4*3^2; > (5 + 4)*3^2; > ((5 + 4)*3)^2; 41 81 729 2
Heltal, rationella tal och flyttal skrivs på vanligt sätt: > 1 + 2.34 + 5.678; > 2/5 + 4/7; 9.018 34 35 Observera att till skillnad från en räknedosa så räknar Maple exakt med rationella tal. Vill man tvinga fram en flyttalsaproximation går det att göra med kommandot evalf(talet) : > evalf(2/5 + 4/7);.9714285714 Antalet siffror som skall skrivas ut kan styras med evalf(talet, antalet siffror). Här beräknas en flyttalsapproximation av 2 5 + 4 med tolv siffrors noggrannhet: 7 > evalf(2/5 + 4/7, 12);.971428571429 Omvänt, ett decimaltal kan approximeras med ett rationellt > convert(0.971428571429, rational); 34 35 Maple kan också räkna med komplexa tal. Den imaginära enheten tecknas i Maple I. > (1 + 2*I) + (3 + 4*I); 4 + 6 I > (1 + 2*I)*(3 + 4*I); > (1 + 2*I)/(3 + 4*I); > (1 - I)^5/(1 + I); 5 + 10 I 11 2 + 25 25 I 4 I 3
Några exempel på beräkningar som din räknedosa förmodligen inte klarar. > ifactor(39916800); ( 2) 8 ( 3) 4 ( 5) 2 ( 7 ) ( 11) Maple har delat upp talet 39916800 i faktorer dvs 39916800 = 2 8. 3 4. 5 2. 7. 11 > isprime(1111111333333); isprime(3333331111111); true false Du har frågat Maple om talen 1111111333333 och 3333331111111 är primtalen. > ilcm(5, 6, 7, 8, 24); 840 840 är minsta gemensamma multipeln ( minsta gemensamma nämnaren ) av 5, 6, 7, 8 och 24. > igcd(1212, 3332, 444564); 4 vilket innebär att 4 är största gemensamma delaren till talen 1212, 3332 och 444564. > sum(k/(1 + k^4), k = 2..6); 13264736840 72719387969 Maple har beräknat summan 2 1 + 2 + 3 4 1 + 3 + 4 4 1 + 4 + 5 4 1 + 5 + 6. Behöver du ett allmänt 4 1 + 64 uttryck för summan 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2? > sum(k^2, k=1..n); 1 + + 3 ( n + 1) 3 1 2 ( n + 1) 2 1 6 n 1 6 Övningar. 1. Beräkna 2 med 100 decimalers noggrannhet. ( x skrivs i Maple sqrt(x).) 2. Beräkna π med 100 decimalers noggrannhet. Talet π skrivs i Maple Pi. (pi betyder i Maple bokstaven π.) 3. Vilket av de rationella talen 19 6, 22 7 och 25 8 är bäst approximation av π? 4
4. Approximera π med ett rationellt tal med 20 decimalers nogranhet. Tips: Du kan ha användning av convert(tal, rational, 20). 5. Verifiera att Maple kan formler för summan av den aritmetiska serien 1 + 2 + 3 + + n och den geometriska serien a + a 2 + a 3 + + a n. De elementära matematiska funktionerna laddas in automatiskt vid starten. Här är en lista över några av dem: exp, ln, log[b] (logaritmen med basen b) sin, cos, tan arcsin, arccos, arctan sqrt, abs, signum Alla dessa måste skrivas med parenteser t ex sin(x) och inte bara sin x. Några exempel: > evalf(sin(pi/9) + 2*cos(Pi/7)); 2.143957879 Om man vill använda resulatet av tidigare beräkningar så kan man hänvisa till dessa med hjälp av procenttecken % för senaste resultat % % för näst senaste resultat %%% för näst näst senaste resultat > sin(pi/9) + 2*cos(Pi/7); sin 1 + 9 π 2 cos 1 7 π > evalf(%); 2.143957879 > sqrt(%%); sin 1 + 9 π 2 cos 1 7 π > evalf(ln(%%%), 50);.38132679854381830512584495710708207878836524749505 5
Räkning med symboler ("räkning med bokstäver"). För symboliska beräkningar (men även för numeriska) har man ofta användning av kommandon expand, simplify, combine, factor (med varierande framgång) > simplify(a/b+c/d); ad+ cb bd > simplify(cos(2*x)/(cos(x) - sin(x))); sin( x ) + cos( x) > simplify(exp(x + y)/exp(x - y)); e ( 2 y) > combine(2*cos(x)^2*cos(y) - cos(y) - 2*sin(x)*cos(x)*sin(y)); cos ( y + 2 x) > expand(sin(x + y)); sin( x ) cos( y ) + cos( x ) sin( y) > expand((a + b)^3); a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 > factor(a^3 - b^3); ( a b ) ( a 2 + ab+ b 2 ) Övningar. 6. Förenkla e2x + e 2x + 2 e x + e x. 7. Uppdela x 9 + y 9 i faktorer. 8. Uttryck sin 5x med hjälp av sin x och cos x. 9. Uttryck cos 5 x med hjälp av cosinus av multiplar av x (dvs några av cos x, cos 2x osv). 10. Skriv 1 (x + 1)(x + 2) + 1 (x + 2)(x + 3) + 1 (x + 3)(x + 4) + 1 (x + 4)(x + 5) ett bråk. 11. För vilka värden på konstanterna a och b är x3 + ax 2 4 x 2 + x + b = x 2? + 1 (x + 5)(x + 6) som 6
2-dimensionell och 3-dimensionell grafik. En kurva på formen y = f(x) där a x b kan ritas med hjälp av ritar Maple kurvan y = sin x, 0 x 3π. x + 1 plot(f(x), x=a..b);. Här > plot(sin(x)/sqrt(x + 1), x=0..3*pi); Man kan rita flera kurvor i samma koordinatsystem > plot({sin(x)/sqrt(x + 1), cos(x), x/5-1}, x=0..3*pi, y=-1..1); Har den sträcka som sammanbinder punkterna (2,2) och (3,6) några gemensamma punktern med den triangel som har hörnpunkterna (2,3), (4,2) och (3,5)? > plot({[[2,2], [3,6]], [[2,3], [4,2], [3,5], [2,3]]}); Kurvor på formen f(x,y) = 0, till exempel cirkeln x 2 + y 2 1 = 0, kan ritas med hjälp av kommandot implicitplot. Detta kommando laddas dock inte automatiskt vid starten utan måste öppnas med hjälp av with(plots) > with(plots): implicitplot(x^2 + y^2-1 = 0, x=-1..1, y=-1..1); 7
> implicitplot((x^2 + y^2 + 2*y)^2-4*(x^2 + y^2) = 0, x=-3..3, y=-4..1, grid = [35,35]); Med hjälp av plot3d(f, x=a..b, y=c..d) kan du rita rymdytor vilka ges på formen z = f(x,y), till exempel ytan z = x 2 + y 2 > plot3d(x^2 + y^2, x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2 + y^2, x=-1..1, y=-sqrt(1 - x^2)..sqrt(1 - x^2)); Övningar. 12. Låt 3 x 5. Ligger kurvorna y = sin x + 2 x och y = 3 ln x cos x på olika sidor av linjen y = 4? 13. Ligger cirkeln x 2 + y 2 =1 inom triangeln med hörnpunkterna (2,3), ( 3, 1) och (1, 2)? 14. Rita ytorna z = 20 cos x2 + 3y 2 och z = 5 2x 2 y 2, där 3 x 3 och 3 y 3, i ett 1 + x 2 koordinatsystem. 15. Är x ln(x + 1) sin 6x 10 för alla 0 x 5? 16. Rita kurvan y = 3 x för (a) 0 x 1, (b) 1 x 0, (c) 1 x 1. Maple behöver din hjälp! 8
Hjälpsystemet Maple innehåller många kommandon och det är naturligtvis omöjligt att komma ihåg alla deras namn. Man lär sig dem som man oftast använder, och vid behov letar man i dokumentationen eter andra. Det mest effektiva sättet att hitta information är att söka i Maples inbyggda hjälpsystem. Information om vad ett speciellt kommando utför får man genom att skriva?kommandotnamnet (och sedan trycka på returtangenten). Genom att bara skriva? får man allmän information om Maple. T ex efter >?expand får man fram ett fönster med information om Maples kommandot expand. Det finns även en hjälpmeny längst till höger på menyraden. Där kan du söka i en systematisk katalog och göra fritextsökning. Du rekommenderas att testa?index och?intro. Observera att understrukna ord är hypertextlänkar som tar dig vidare om du klickar på dem. Övningar. 17. Är x 1000 1 jämnt delbar med x 4 x 3 + x 2 x + 1? Tips:?rem. 18. Hur tolkar du de två nedanstående raderna? > iquo(21,4); 5 Tillordning av namn (variabler) Tillordning eller bindning av namn har stor praktisk betydelse när man arbetar med Maple. Man spar mycken tid på att binda vanligt förekommande deluttryck till lämpliga namn, och sedan använda namnen vid evaluering. Detta görs med tillordningsoperatorn :=. Genom > a := 2; har man till symbolen a ordnad värdet 2, så att det bundna namnet sedan evalueras till respektive uttryck > a + 3; 5 9
Vill man sedan ha tillbaka a som en symbol skriver man a := 'a'; eller a := evaln(a); > a := 'a'; a:= a > a + 3; a + 3 Antag att du skall arbeta med funktionen f(x) = x3 + 2x 2 + 3x + 2 och säg att du vill dela upp x 3 + 2x 2 + x + 2 f(x) i faktorer, beräkna värdet av f(3) och rita grafen till f på intervallet 0 x 4. Du kan till symbolen f ordna värdet x3 + 2x 2 + 3x + 2 x 3 + 2x 2 + x + 2 > f := (x^3 + 2*x^2 + 3*x + 2)/(x^3 + 2*x^2 + x + 2); f := x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2 och faktorisera > factor(f); ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2) ( x 2 + 1 ) ( x + 2) beräkna f(3) > subs(x = 3, f); 28 25 rita kurvan y = f(x) > plot(f, x=0..4); 10
Övningar. 19. Förklara varför de slutliga resultaten (q värden) är olika i dessa två kommandorader: > p := 'p': q := 1 + p: p := 2: p := 1: q; 2 > p := 'p': p := 2: q := 1 + p: p := 1: q; 3 20. En funktion g har definierats så att dess graf fås genom att man flyttar grafen till funktionen f(x) = x4 x 3 +1 två steg till vänster och tre steg upp. Bestäm det allmänna x 2 + x + 2 uttrycket för g(x). Ekvationslösning. Här har man oftast användning av kommandon solve (för att få en exakt lösning) och fsolve (flyttalslösning). De båda kommandon försöker hitta lösningar och man får alltid räkna med att de missar någon eller t o m alla lösningar. Lös ekvationen 6x 3 35x 2 8x + 12 = 0. > solve({6*x^3-35*x^2-8*x + 12 = 0}, x); Skriver du i stället -2 1 { x = },{ x = 6 },{ x = } 3 2 > s := solve(6*x^3-35*x^2-8*x + 12 = 0, x); -2 s :=,, 3 6 1 2 så har du till symbolen s ordnad dessa tre lösningar som du kanske brukar numrera: x 1 = 2 3, x 2 = 6 och x 3 = 1. I Maple kan du numrera de genom s[1], s[2] och s[3]. Du kan nu 2 t ex beräkna summan respektive produkten av rötter > s[1] + s[2] + s[3]; 35 6 > s[1]*s[2]*s[3]; 4 3 (men det viste du kanske utan att räkna något.) 11
Här löser vi ett ekvationssystem > ek1 := 2*x - 3*y - 4*z = 1; ek2 := 3*x + 4*y - 5*z = 2; ek3 := 4*x + 5*y + 6*z = 3; ek1 := 2 x 3 y 4 z = 1 ek2 := 3 x + 4 y 5 z = 2 ek3 := 4 x + 5 y + 6 z = 3 > solve({ek1, ek2, ek3}, {x,y,z}); 1 23 1 { z =, x =, y = } 36 36 18 > solve({ek1, ek2}, {x,y}); 31 { x = +, } 17 z 10 2 y = + 17 17 z 1 17 Ofta kommer det att se ut så här > ekvation := x^5 + 2*x^2 + 1 = 0; losningar := solve(ekvation); ekvation := x 5 + 2 x 2 + 1 = 0 losningar := RootOf (_Z 5 + 2 _Z 2 + 1) och då kan du rädda dig med > allvalues(losningar); -1.363964602,.05277415109.6881474094 I,.05277415109 +.6881474094 I,.7347564521.9996524475 I,.7347564521 +.9996524475 I då du får flyttalslösningar (även icke reella). Ibland hittar inte solve någon lösning alls > solve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0); > Ett sådant svar innebär alltså att antingen finns det inte någon lösning eller att uppgiften var för svårt för solve. Om man kan nöja sig med en flyttalslösning så kan fsolve användas > fsolve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0);.4230281819 12
Vi får en lösning och vi undrar om det inte finns flera. Vi ritar kurvan y = x 2 + 2 sin x 1 > plot(x^2 + 2*sin(x) - 1, x=-infinity..infinity); Kurvan skär x axeln i två punkter (lösningar till ekvationen). Nu får man pröva sig fram och hitta ett intervall som innehåller dessa punkter > plot(x^2 + 2*sin(x) - 1, x=-3..1); Den andra lösningen ligger mellan 2 och 1 och vi får den med hjälp av > fsolve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0, x=-2..-1); -1.725171205 Övningar. 21. För vilka reella värden på konstanten a är x = 3 1 en rot till ekvationen 10x 4 + 2ax 2 + a 3 x + 248 = 0? 22. Verifiera att planen 2x + 3y + 4z = 1, 3x + 4y + 5z = 2 och 4x + 5y + 6z = 3 skär varandra längs en rät linje. 23. Bestäm konstanterna a och b så att linjerna (a + b)x + by = 1 och 5ax + 3by = b går båda genom punkten (2,2). 24. Grafen till funktionen f(x) = x4 + 4x 3 + 7x 2 + 6x +1 är symmetrisk med avseende på linjen x 2 + 2x + 2 x = a. Bestäm a. 25. Bestäm skärningspunkterna mellan cirkeln x 2 + y 2 = 4 och parabeln y = x 2 + x 2. 13
Derivator och integraler. I Maple deriverar man med hjälp av kommandot diff(funktion, variabel). > f := (sin(x) + 1)/cos(x)^2; sin( x) + 1 f := cos( x) 2 > fprim := diff(f, x); vilket ser bättre ut efter förenklingen 1 fprim := + 2 ( sin( x) + 1 ) sin( x) cos( x) cos( x) 3 > simplify(fprim); cos( x) 2 + 2 sin( x) + 2 cos( x) 3 Andra derivatan fås genom diff(f, x, x); eller diff(f, x$2);. Om du har glömt hur man deriverar en kvot g(x) kan du få hjälp av Maple h(x) > simplify(diff(g(x)/h(x), x)); x g( x ) h( x ) g( x) x h( x) h( x) 2 Som du ser är g(x) Maples beteckning för derivatan dg x dx. Kommandot int(f, x); ger den obestämda integralen f(x) dx utan integrationskonstant. > int(f, x); sin( x) cos( x) 1 + cos( x) Du ser att Maple kommer ihåg den tidigare definierade funktionen f(x). Den bestämda integralen av f över intervallet a x b fås genom int(f, x=a..b);. > int(f, x=0..pi/4); 2 14
Även generaliserade integraler kan beräknas > int(x/(1 + x^3), x=0..infinity); 2 9 π 3 Om Maple inte kan beräkna en integral ser det ut som här > int(sin(x)/sqrt(1 + x^2), x); sin( x) d 1 + x 2 x dvs Maple svarar med det uttryck det inte kan beräkna. Övningar. 26. Rita grafen till funktionen f(x ) = x3 +1 och dess derivata i samma x 2 + x + 1 koordinatsystem. Med hjälp av grafen avgör vilken kurva är vilken. 27. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2x + 1 + ln x e 1 x tangenten kurvan i någon annan punkt än tangeringspunkten. i punkten (1, 3). Skär 28. Bestäm största och minsta värdena till funktionen f(x) = 179x3 + 121 cos(2x 5) 1 + x 4. 29. Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = x 2 + x + 1 och y = 7x2 1 + x 2. 30. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då det ändliga område som begränsas av x axeln och kurvan y = x 3 + (6 3)x 2 + (8 4 3)x 2 3 = 0 roterar ett varv kring x axeln. Varningar. Visst kan man bli imponerad av Maples kraft och om man inte läser matte för nöjes skull (du blir kanske förvånad, men det finns de som inte gör det) så är det lätt att fråga sig: Varför skall jag lära mig alla dessa obegripligheter när Maple klarar allting?. Det enkla svaret är att man inte har någon glädje av Maple om man inte vet vad det skall göra och för detta måste man ha goda mattekunskaper. Det måste man också ha för att kunna bedömma rimligheten i Maples svar eftersom Maple kan göra fel! Några exempel på detta. (Det kan tänkas att i den för tillfället senaste versionen av Maple är de nedanstående felen rättade.) Vi begär att Maple skall lösa olikheten ln(x 3 ) ln( x 2 ) < 0. Olikheten är rena rama nonsens, ty ln( x 2 ) är inte definierad eftersom x 2 0. Man förväntar sig någon slags protest men 15
> olikhet := ln(x^3) - ln(-x^2) < 0; solve(olikhet); olikhet := ln( x 3 ) ln( x 2 ) < 0 RealRange ( Open( -1), Open( 0) ) Maple påstår att varje tal 1 < x < 0 är en lösning. Bara för skojs skull ber vi Maple om att det skall lösa ekvationen x2 x är: Alla x > 0.) = 1 (vi vet ju att svaret > solve(sqrt(x^2)/x = 1); x Utan att skämmas svarar Maple alla x. Vet Maple att 3 1 = 1? > a := (-1)^(1/3); Vi förenklar 1 3 a := (-1) > simplify(a); altså 1 = 1 2 + 3 2 1 1 + 2 2 I 3 i (enligt Maple). Det finns ingen punkt (x,y) som satisfierar ekvationen (x 2 + y 2 + 1) 10 = 0, men Maple kan ändå rita denna kurva. (Beroende på plattform kan din bild se annorlunda ut. Ändra 10:a till något annat tal.) > with(plots): > implicitplot((x^2 + y^2 + 1)^10 = 0, x=0..4, y=0..4); 16
Några användbara kommandon. solve(f, x); Försöker lösa x ur ekvationen f = 0. Exempelvis tredjegradsekvationer går bra men normalt inte ekvationer av grad fyra eller högre. solve({f1, f2}, {x, y}); Försöker lösa x och y ur ekvationssystemet f 1 = 0, f 2 = 0. fsolve(f, x=a..b); Försöker beräkna x rötter till ekvationen f = 0 i intervallet a x b. Rent numerisk lösning som fordrar att alla andra parametrar än x i f har ett numeriskt värde. eval(f, x = a); Ersätter x med a i uttrycket f. Om a är ett numeriskt värde utförs numerisk evaluation. subs(x = a, f); Ersätter x med a utan efterföljande evaluation. evalf(f); Ger det numeriska värdet (10 siffror) av uttrycket f om sådant finns. evalf(f, n); Ger det numeriska värdet av f med n siffror. simplify(f); Förenklar uttrycket f på ett ospecificerat sätt. normal(f); Kan användas för att förenkla exempelvis rationella funktioner så att gemensamma faktorer divideras bort. expand(f); Utför framförallt alla hopmultipliceringar av parenteser. combine(f); Används som motsatt operation till expand. plot(f, x=a..b); Ritar kurvan y = f på intervallet a x b plot({f, g}, x=a..b); Ritar kurvorna y = f och y = g på intervallet a x b i samma koordinatsystem. 17
with(plots): implicitplot(f = 0, x=a..b, y=c..d); Ritar kurvan f = 0 för a x b, c y d. diff(f, x); Utför derivering av f med avseende på x. diff(f, x, x); Ger andraderivatan av f med avseende på x. int(f, x); Ger f:s obestämda integral med avseende på variabeln x utan integrationskonstant. int(f, x=a..b); Beräknar den bestämda integralen av f med avseende på x med gränserna a och b. 18