Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Potens- och eponentiallagar. 7. Logaritmlagarna. 8. Invers funktion och sammansatt funktion. 9. Enkla trigonometriska samband. 0. De elementära funktionernas grafer.. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem.. Enkla asmptotundersökningar.. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning.. Användning av derivata. 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer.. 6. Polnomkunskap. 7. Grundläggande definitioner och satser inom ovanstående områden.
. Algebraiska förenklingar. (Behandlar eempelvis konjugatregeln, kvadreringsregler, att göra liknämnigt, förlänga, förkorta, dubbelbråk, polnomdivision o.dl.) Innan några övningar presenteras ges här en kort repetition. I detta basområde använder du flitigt tre grundregler nämligen: a b a b a b (Konjugatregeln) a b a ab b (Kvadreringsregel) a b a ab b (Kvadreringsregel) a c b c a b a b a c b c De tre första bör man känna igen även från höger till vänster. (Förkortning med c) (Förlängning med c) Låt a b c och d vara positiva heltal utan annan gemensam faktor än. För att bråken a 7 b 5 c 9 d och a b c 6 ska gå att addera eller subtrahera behöver vi förlänga varje bråk så att de får gemensam d7 nämnare. Det är då räknemässigt fördelaktigt att välja den minsta gemensamma nämnaren (mgn). I detta fall blir Bråket mgn a 7 b c 9 d 7 a 7 b 5 c 9 d ska alltså förlängas med b6 d och det andra bråket med a c. Alltså är a 7 b 5 c 9 d a b c 6 d b 6 d 7 a 7 b c 9 d a c 7 a 7 b c 9 d 7 b 6 d a c a 7 b c 9 d 7 Motsvarande gäller även för polnom. Eempelvis är mgn till och 5 polnomet 5. Således är 5 5 5 Nedan kommer du också att lösa ekvationer. Tänk på att den rot du får fram ska gå att sätta in i uttrcken i ekvationen i fråga.
. Lös ekvationen. Lös ekvationen. Lös ekvationen 5 5 5 5 5. Faktorisera uttrcket 5. Förenkla 6. Förenkla 7 5 7 5 5 5 5 7. Förenkla 6 8 8. Förenkla a b b c a b b c a b 9. Förenkla
0. Lös ekvationen. Lös ekvationen. Lös ekvationen med avseende på a a a a 5 där a a a och a.. Lös ekvationen med avseende på a a a a a a a. Lös ekvationen där a 0 a a a 9a 5. Dividera polnomet 6 med polnomet 5 6. 6. Dividera polnomet 5 a 5 med polnomet a.. Reella andragradsekvationer. (Ekvationerna kan lösas via kvadratkomplettering eller känd formel.) 7. Låt a b och c vara konstanter. Uttrck b och c i a så att a b c för all (Högerledet är en kvadratkomplettering av uttrcket i vänster led.) 8. Kvadratkomplettera uttrcket 9. Kvadratkomplettera uttrcket 5 9 dels med avseende på, dels med avseende på.
0. Lös ekvationen. Lös ekvationen. Lös ekvationen 0 0 5 0 0 5. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot. (I många fall kan dessa uppgifter behandlas enligt receptet: Kvadrera, lös, pröva.) Lös ekvationerna i uppgifterna... 5. 6. 7. 8. 9 9. 0.. 8. 5.. Enkla absolutbeloppsproblem.. För vilka reella gäller att? 5. För vilka reella gäller att? 5
6. För vilka reella gäller att? 7. För vilka reella gäller att? (Tänk på att.) 8. För vilka reella gäller att 9. För vilka reella gäller att?? 0. För vilka reella gäller att?. För vilka reella gäller att 5 7. För vilka reella gäller att 7 5 7? 5 7?. För vilka reella gäller att?. Rita kurvan. 5. Rita kurvan. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Beräkna 6. 7. Beräkna 8 5 8 6 9 6. 8. Utveckla 5. 9. Utveckla. 50. Utveckla. 5. Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av 5. Vilken är högstagradspotensen (inklusive koefficienten) i 9 5? 6. Potens- och eponentiallagar. 5. Förenkla a a a. 6
5. Förenkla a a 5 a. 55. Förenkla 7 8 z 8 z. 56. Förenkla 8 7 8 z z. 57. Förenkla. 58. Lös ekvationen 5 6. 59. Förenkla a a. a 60. Lös ekvationen 7. 6. Bestäm om 6 6. Lös ekvationen 6. Förenkla. 6. Förenkla. 65. Förenkla e e. 66. Lös ekvationen 0 5 67. Förenkla. 7. Logaritmlagar. 68. Förenkla ln6 ln. 69. Förenkla ln. 70. Förenkla ln a b ln a b. 7
7. Förenkla ln a b a ln b. 7. Förenkla ln ln ln. 7. Lös ekvationen 0 0. 7. Lös ekvationen. 75. Lös ekvationen 6 8 0. (Sätt t.) 76. Lös ekvationen 9 6 7. 77. Lös ekvationen ln ln ln6. (Glöm inte att pröva!) 78. Lös ekvationen ln ln. 79. Lös ekvationen ln ln 6. 80. Lös ekvationen ln ln. 8. Lös ekvationen ln ln ln. 8. Bestäm talet k i form av ett enda logaritmvärde så att k ln5 lg5. 8. Hur ska eponenten se ut för att e? 8. Invers funktion och sammansatt funktion. Bestäm inversen och dess definitionsmängd till funktionerna i uppgifterna 8 86. 8. f 7 85. f 0 86. f 0 87. Beräkna f! g om f och g e. 88. Beräkna och förenkla f! g g! f om f sin och g ". 89. Betrakta funktionen f α. Bestäm α så att f! f f för alla 0 90. Betrakta funktionerna f och g # a b. Bestäm de reella konstanterna a och b så att f! g " g! f för alla reella 8
9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. sin 5 e sin 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g cos cos Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Enkla trigonometriska samband. (Eempel på samband kan vara dubbla och halva vinkeln, additions- och subtraktionsformler, hjälpvinkelteknik. Vidare krävs kännedom om de trigonometriska funktionernas värden för vinklar av tp 6 o.dl.) Finn i uppgifterna 9 05 alla lösningar till respektive ekvation. 9. sin. 95. cos. 96. cos. 97. sincos. 98. cos sin. 99. cos cos. 00. cos sin cos. 0. sin sin. 0. cos sin. 0. sin sin. 0. tan. 9
05. $ tan. 06. Skriv sin cos 7 cos sin 7 som ett enda sinusuttrck genom att använda lämplig additionssats. 07. Använd hjälpvinkelteknik för att bestämma A i omskrivningen sin cos A sin δ. 08. Betstäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 09. Bestäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 0. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då %'&.. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då 0 ( (. 0. De elementära funktionernas grafer.. Skissera grafen för α 0 dels då α, dels då α.. Skissera grafen för e %)&.. Skissera grafen för e %*&. 5. Skissera grafen för sin %)&. 6. Skissera grafen för cos %'&. 7. Skissera grafen för tan %'&. Vissa är dock undantagna. Vilka? 8. Skissera grafen för ln 0. 9. Skissera grafen för ln 0. 0. Skissera grafen för arcsin. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arctan. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arcsin arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Kombinera de fra graferna nedan med funktionerna arcsin arccos sin + ( ( cos 0 ( (. a) b) 0 c) d)
. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem. Beräkna gränsvärdena i uppgifterna 5. 5 7 5. lim,.- 5 6. 6. lim,.-. e 7. lim,.- e 5. 8. lim n,.- / n0 n. 9. lim n,.- / n0 n. 0. lim n,.- /. lim n,.-. lim n,.- n n n n. n! n. n0 n. sin. lim, 0. sin., lim. 5. lim, 0 sin. 6. lim, 0 e. e sin 7. lim, 0 sin. 8. lim, 0 e sin.
ln 9. lim, 0 ln 0. lim,.- ln cos. lim, 0 cos.... lim, 0. lim, 0. lim, 0 ln. lg. sin ln sin.. Enkla asmptotundersökningar. (Notera att om f a b g, där g # 0 då så är a b en sned asmptot till f då.) Bestäm i uppgifterna 5 5 samtliga asmptoter. 5.. 6.. 7. 5. 8. 5 e. 9. sin. 50.. 5. 7 ln 0. 5..
. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning. Derivera funktionerna i uppgifterna 5 66. 5. 5. 5. 5. 55. 5 e. 56. sincos. 57. 58. sin cos. e sin cos. 59. ln. 60. ln. 6. ln. 6. e sin cos. (Jfr uppgift 58.) 6. arcsin arccos. 6.. 65. cosh sinh. 66... Användning av derivata. (Tangent, samband mellan derivatans tecken och funktionens monotonitet, enkel kurvritning o.dl.) 67. Bestäm en ekvation för tangenten till 8 i den punkt där. 68. Markera i en teckentabell i vilka intervall som derivatan av funktionen f # är negativ respektive positiv. Markera också var funktionen avtar respektive väer.
69. Bestäm största och minsta värdet av e då 0 ( (. 70. Bestäm största värdet av ln då 0. 7. Visa att funktionen f e 5%)&6 är strängt väande. 7. Visa att funktionen f arcsin arccos 7 ( (, är konstant. Vad är konstanten? 7. Rita funktionen f arctan arctan 0. 7. Låt f t vara antalet mobiltelefonabonnemang vid tiden t. Vilket tecken har f 898 t om ökningen av f t avtar? 75. En partikel (kanske en planet) rör sig längs ellipsen 9 (Se figuren till höger!) Hur nära kommer partikeln 0? (Kvadraten på avståndet från en punkt på ellipsen till 0 ges av uttrcket, där kan hämtas från ellipsens ekvation.) 0 76. En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 0? 77. En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 5 0? 78. En tank har en halvsfärisk form med radien 0 cm. Tanken är flld med vatten till djupet h cm. Då ges vattenvolmen av V cm och ökar med 0.0 cm/s? h 60 h cm. Med vilken hastighet ökar volmen då djupet är 0 79. I en ideal gas, där temperaturen är konstant, gäller enligt Bole att pv konstant, där p är trcket och V volmen. Vid ett visst tillfälle är trcket 5 och ökar med 5 enheter per s. Vid samma tillfälle är volmen 60 enheter. Med vilken hastighet ändras den? 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer. 80. Bestäm imaginärdelen av i i 8. Bestäm absolutbelopp och argument för det komplea talet i.
8. : Skriv i i polär form. 8. Bestäm absolutbeloppet av e iθ då θ är reellt. 8. Vilket är det minsta absolutbelopp, som förekommer bland de komplea talen e i e i5 e i; och e iθ där θ är reellt? 85. Vilket av de komplea talen ligger längst från origo? i e - i 0 i 86. Bestäm det komplea talet z så att i z iz i 87. Bestäm argumentet av i 0 i i 88. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 89. Markera i det komplea talplanet de z för vilka z i< 90. Lös ekvationen z 0z 6 0 9. Lös ekvationen z i 9. Lös ekvationen z 8 6i 9. Lös ekvationen z iz 9 6i 9. Lös ekvationen z 9 6i z i 5
95. $ Lös ekvationen z i (Halvera högerledets argument och dra roten ur högerledets absolutbelopp och du har en rot.) 96. Lös ekvationen z i 97. Lös ekvationen z i 98. Lös ekvationen z 0z 5 i 99. Lös ekvationen z iz i 00. Lös den binomiska ekvationen Svara i polär form. z 5 0. Lös z 8 6. Polnomkunskap. (Konjugerade nollställen till polnom med reella koefficienter. Faktorsatsen.) 0. Tredjegradspolnomet p har reella koefficienter och bl.a. nollställena och i Vilka andra nollställen har p? 0. Skriv upp ett femtegradspolnom med reella koefficienter och med nollställena i i och. 0. Ekvationen z z 5z 9 0 har bl.a roten z 5i. Bestäm samtliga rötter. 05. Polnomet z 6z z 6 har nollställen, som alla har samma realdel. Bestäm samtliga nollställen. 6
Sv = ar till basproblemen... 5. 0. 7 5. 9 60 5 6. 7. 8. 9. 0. 8 7 9 b c 5. Lösning saknas.. a a a. a. a 5. 6. a a a a 7. b 8. 5 a och c a 5 9. 5 resp. 5 9 0. 6. 5... 5. Lösning saknas. 6. 7. Lösning saknas. 8. 5 9. 6 0... 8. Lösning saknas.. och 5. 6. > eller 7. och 8. 9. 0. och och 7
. 0. 0. Inga. 58. 59. a 5 8 60. 8 8 a 5 6. 5 6. 6 5. 6. 6. 65. e 66. 0 5 67. 6. 5 7. 0 8. 5 5 0 0 5 9. 6 96 6 6 8 50. 6 96 6 6 8 5. 760 5. 60 5. a 5 6 5. a 55. z 56. 57. 6 6 a 5 5 z 68. 69. ln ln 70. lna lnb 7. 5lna 0lnb 7. ln 7. 7. 75. 76. 0 77. 78. 79. e ln0 ln0 lg0 8
80. 0 e 8. e 8. k lge 00. n n heltal 0. n eller n n heltal 7 8. ln 8. f 7 %)& 85. f 86. f 0 87. e 88. cos 89. α 0 eller α n 7 eller n n hel- 0. tal 0. n eller 0. 05. 06. sin 7 07. A 5 n n heltal n n heltal n n heltal 90. a b 0 08. δ 9. f 5 och g sin 9. f e och g " sin 9. f och g cos 6 n eller 5 n n hel- 6 9. tal 09. δ 0. Största värde är och minsta. Största värde är och minsta. 95. 8 n n heltal 96. 5 8 n n heltal 97. n eller 5 n n heltal 98. n n heltal 6 99. n 7 n heltal 9
.? 8. ln e. 9. e ln ln 5. sin 0. 6. cos arcsin 7. Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: ( ( tan Undantagna är n n heltal. 0
. @ arccos 6. 7. 7 8. e 9. e. Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: 0 ( ( 0. e.. arctan.. 0 5.. Definitionsmängd: & Värdemängd: arcsin arccos 6. 7. 8. 9. 0. 0 Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: A B. a) sin b) arccos c) cos d) arcsin 5.. ln. 0. 0. 0 5. är sned asmptot då. 6. är sned asmptot då.
7. C 5 är sned asmptot då och 0 är lodrät asmptot. 8. 5 är sned asmptot då D men inte då E. 9. är sned asmptot då. Notera att asmptot. 0 inte är någon lodrät 50. är sned asmptot då. Ingen lodrät asmptot. 5. 7 är sned asmptot då D och 0 är lodrät asmptot då 0 -. 5. Ingen sned asmptot men är lodrät asmptot. 5. 5 8 5. 5 55. e 5 56. cos 57. 58. e 59. 60. 6. cos sin cos tan 6. ln 65. 0 66. 67. 8 68. f 8 0 0 f F G F 69. Största värde: e Minsta värde: e 70. e 7. f 8 # e 0 utom i en enda punkt, nämligen. Detta ger att f är strängt väande. 7. f 8 7 0 för alla i intervallet. Detta ger att f är konstant. Det konstanta värdet kan bestämmas i vilken punkt som helst. Eempelvis är f 0 ". 7. Derivatan är 0 för 0. Alltså är f H f I för alla 0. För 0 gäller att f J f 7K f 7. Grafen får utseendet f 6. e sin cos 6. arccos arcsin
7. L Negativt 89. 75. Kortaste avstånd är 5 5. 76. Kortaste avstånd är. z i 77. Kortaste avstånd är. 78. Volmen ökar med 9 cm /s. 79. Volmen minskar med volmsenheter/s. 80. 5 90. z 5 i 9. z i i 8. Absolutbeloppet är och argumentet n n heltal 8. e i; 8. 8. 85. i 86. z i 87. n n heltal 88. 6 9. z i 9. z z i 9. z z i 95. z i 96. z i 97. z M i N 98. z i z 6 i 99. z i z i 00. z e ik; 5 k 0 0. z z O i 0. i 0. z 5 5z 7z z 8z 6 0. Samtliga rötter är z P och z 5i. 05. Samtliga rötter är z och z i.