KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007

Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2................................. 6 Uppgift 3................................. 7 Derivatans definition.............................. 8 Uppgift 1................................. 8 Uppgift 2................................. 9 Momentan hastighet.............................. 10 Uppgift 1................................. 10 Uppgift 2................................. 11 Deriveringsreglerna.............................. 12 Uppgift 1................................. 12 Uppgift 2................................. 13 Uppgift 3................................. 14 Uppgift 4................................. 15 Uppgift 5................................. 16 Kapital, ränta och tid.............................. 17 Uppgift 1................................. 17 Exponentialfunktionen............................. 19 Uppgift 1................................. 19 Uppgift 2................................. 20 Uppgift 3................................. 21 Funktionens extrempunkter.......................... 22 Uppgift 1................................. 22 Uppgift 2................................. 23 Uppgift 3................................. 24 3

INNEHÅLL Att bestämma konstanter........................... 25 Uppgift 1................................. 25 Uppgift 2................................. 26 Uppgift 3................................. 27 Uppgift 4................................. 28 Uppgift 5................................. 29 Andra problem med derivata......................... 30 Uppgift 1................................. 30 Uppgift 2................................. 31 Uppgift 3................................. 32 Aritmetiska talföljder och summor...................... 33 Uppgift 1................................. 33 Uppgift 2................................. 34 Uppgift 3................................. 35 Geometriska talföljder och summor..................... 36 Uppgift 1................................. 36 Uppgift 2................................. 37 Uppgift 3................................. 38 Uppgift 4................................. 39 Uppgift 5................................. 40 Uppgift 6................................. 41 Optimeringsproblem.............................. 42 Uppgift 1................................. 42 Uppgift 2................................. 43 Uppgift 3................................. 44 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL Genomsnittlig förändringshastighet Uppgift 1 År 1960 1965 1970 1975 1980 1985 Folkmängd (miljard) 2.98 3.29 3.63 4.00 4.37 4.82 Storleken hos jordens befolkning under perioden 1960 till 1985 visas i tabellen ovan. Bestäm befolkningens genomsnittliga förändringshastighet mellan år 1965 och 1980 Vi betecknar folkmängden med f och årtalet med t. Vi får då f t = f 1980 f 1965 4.37 3.29 = 1980 1965 1980 1965 = 1.08 15 0.072 Svar: Genomsnittliga tillväxthastigheten är 72 miljoner/år Håkan Strömberg 5 KTH Syd

GENOMSNITTLIG FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Uppgift 2 Bestäm för funktionen f(x) = 3x 2 4x den genomsnittliga förändringshastigheten mellan x = 3 och x = 7. Vi tecknar ändringskvoten y x = f(7) f(3) 7 3 = 119 15 7 3 Svar: Den genomsnittliga förändringshastigheten är 26 = 26 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten för funktionen för x = 20 till x = 28 f(x) = 13500 e x 3 På kurvan till funktionen finns de två punkterna, (20, f(20)) och (28, f(28)). Det är k-värdet hos den linje som går genom dessa två punkter vi ska bestämma. k = f(28) f(20) 28 20 = 1.19376 17.1806 28 20 Svar: Den genomsnittliga förändringshastigheten är 2. = 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

DERIVATANS DEFINITION Derivatans definition För att derivera ett polynom, är det enklast att använda de deriveringsregler vi lärt oss. Ofta förekommer det dock uppgifter där man ska ta fram derivatan med hjälp av derivatans definition. Det leder till längre räkningar. Att kontrollera att man räknat rätt är enkelt. Uppgift 1 Bestäm med hjälp av derivatans definition f (3) då f(x) = 2x 2 + 3 Genom derivatans definition kan vi skriva f(3 + h) f(3) 2(3 + h) 2 + 3 (2 3 2 + 3) lim = lim = h 0 h h 0 h 2(9 + 6h + h 2 ) + 3 18 3 18 + 12h + 2h 2 + 3 18 3 lim = lim = h 0 h h 0 h 12h + 2h 2 h(12 + 2h) lim = lim = lim 12 + 2h = 12 h 0 h h 0 h h 0 Svar: f (3) = 12 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = x 3 + x + 4 Vi kan med enkla medel bestämma derivatan till detta polynom och vet att vi ska få resultatet f (x) = 3x 2 + 1 Men här är vi tvingade att använda oss av derivatans definition f(x + h) f(x) lim h 0 h Vi utvecklar täljaren och får = lim h 0 (x + h) 3 + (x + h) + 4 (x 3 + x + 4) h (x+h) 3 +(x+h)+4 (x 3 +x+4) (x 3 +3x 2 h+3xh 2 +h 3 )+(x+h)+4 (x 3 +x+4) 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 + h h(3x 2 + 3xh + h 2 + 1) Vårt gränsvärdesproblem får nu följande utseende h(3x 2 + 3xh + h 2 + 1) lim = lim 3x 2 + 3xh + h 2 + 1 = 3x 2 + 1 h 0 h h 0 Målet är nått! Svar: f (x) = 3x 2 + 1 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

MOMENTAN HASTIGHET Momentan hastighet Hastigheten i ett bestämt ögonblick får man genom att derivera den funktion, ofta kallad s(t), som bestämmer läget hos ett föremål vid en given tidpunkt och bestämma s (t) för aktuell tid. Istället för ett föremåls hastighet, kan det handla om förändringshastigheten hos en befolkning, ett kapital eller något annat. Uppgift 1 En nyårsraket skjuts upp lodrätt. Raketens höjd h meter över marken vid tiden t sekunder ges av funktionen h(t) = 10t t 2 Bestäm raketens hastighet vid tiden 3 sekunder. Vi deriverar funktionen h(t) och med hjälp av h (3) kan vi bestämma raketens hastighet vid tiden 3 sekunder. h (t) = 10 2t och h (3) = 10 2 3 = 4 Svar: Raketen har hastigheten 4 meter/sekund. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Lägeskoordinaten s i meter hos ett föremål ges av funktionen s(t) = 2 e t 2 Bestäm den momentana hastigheten då t = 9 sekunder. Vi startar med att derivera s(t) för att därefter bestämma s (9) som ger svaret. och s (t) = 2 1 2 e t 2 = e t 2 s (9) = e 9 2 = 90 Svar: Den momentana hastigheten vid tiden 9 sekunder är 90 meter/sekund. Håkan Strömberg 11 KTH Syd

DERIVERINGSREGLERNA Deriveringsreglerna Uppgift 1 Derivera f(x) = 3x 3 2x 2 + x + 1000 Den enklaste deriveringsuppgift man kan förvänta sig Svar: f (x) = 9x 2 4x + 1 f (x) = 9x 2 4x + 1 Håkan Strömberg 12 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm f (x) till f(x) = e 2x + 1 e 3x Ofta kan man skriva om den givna funktionen så att deriveringen sedan blir enklare Nu deriverar vi, först en gång och sedan en gång till f(x) = e 2x + e 3x f (x) = 2e 2x + 3e 3x f (x) = 4e 2x + 9e 3x Om man inte vill ha negativa exponenter svarar man Svar: f (x) = 4 + 9e3x e2x Håkan Strömberg 13 KTH Syd

DERIVERINGSREGLERNA Uppgift 3 Bestäm f (x) f(x) = 1 3 x 1 x 2 Här är det ännu viktigare att vi skriver funktionen på ett enklare sätt, innan vi deriverar för att få derivatan korrekt Nu är det dags f (x) = x 4 3 3 ( 2)x 3 = 1 3x 4 3 f(x) = x 1 3 x 2 + 2 x 3 = 1 3 3 x 4 + 2 x 3 = 2 x 3 1 3x 3 x Redan efter första steget är ju f (x) korrekt, men man bör åtminstone utföra andra steget innan man bestämmer sig för att svara. Svar: f (x) = 2 x 3 1 3 3 x 4 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 Derivera f(x) = 4 x + x 4 Antingen använder vi oss av omskrivningen och då får vi som ger eller så använder man deriveringsregeln som förstås, ger samma resultat Samma? Ja eftersom a b = e bln a f(x) = e xln 4 + x 4 f (x) = ln 4 e xln 4 + 4x 3 D [a x ] = ln a a x f (x) = ln 4 4 x + 4x 3 e xln 4 = 4 x Svar: f (x) = ln4 4 x + 4x 3 alternativt f (x) = ln4 e xln 4 + 4x 3 Håkan Strömberg 15 KTH Syd

DERIVERINGSREGLERNA Uppgift 5 Derivera f(x) = x3 3 x 2 Längre fram i din utbildning kommer du att associera denna uppgift med derivering av kvot. Men eftersom detta ännu inte ingår din repertoar måste du hitta en annan väg. Vi skriver om funktionen Nu kan vi derivera f(x) = x3 x 2 3 x 2 = x 3 x 2 = x 3x 2 f (x) = 1 + 6x 3 = 1 + 6 x 3 Svar: f (x) = 1 + 6 x 3 Håkan Strömberg 16 KTH Syd

INNEHÅLL Kapital, ränta och tid Uppgift 1 Vi utgår från formeln y = C a t Där y är det kapital vi har efter att förändringsfaktorn a, har fått verka på startkapitalet C under tiden t. a) Beloppet 10000 kr sätts in på banken till 5% årlig ränta. Hur stort är beloppet med ränta på ränta efter 6 år Antag att beloppet var x kr. Den enklaste tillämpningen av formeln Vi får direkt svaret genom uttrycket Svar: 13401 kr x = C a t 10000 1.05 6 = 13401 b) Efter 6 år på banken till 5% ränta hade ett kapital vuxit till 13401 kr. Vilket belopp sattes in för 6 år sedan. Antag att det insatta beloppet var x kr. Vi får då följande förstagradsekvation: som vi klär med tal till: y = x a t Svar: 10000 kr 13401 = x 1.05 6 x = 13401 1.05 6 x = 10000 Håkan Strömberg 17 KTH Syd

KAPITAL, RÄNTA OCH TID c) Ett kapital växte från 10000 till 13401 kr på 6 år. Hur stor var räntan? Antag att förändringsfaktorn var x. Vi får då följande potensekvation Vi sätter in kända tal och får y = C x t 13401 = 10000 x 6 x 6 = 13401 ( 10000 13401 x = 10000 x = 1.05 Från detta förstår vi att räntan var 5%. Svar: 5% d) Hur lång tid tar det för ett kapital att växa från 10000 kr till 13401 kr med 5% ränta? Antag att det tar x år.vi får då följande exponetialekvation Efter att vi satt in kända tal y = C a x ) 1 6 Svar: Det tar 6 år. 13401 = 10000 1.05 x 1.05 x = 13401 10000 ( ) 13401 lg1.05 x = lg 10000 ( ) 13401 x lg1.05 = lg 10000 x = lg ( ) 13401 10000 lg 1.05 x = 6 Håkan Strömberg 18 KTH Syd

INNEHÅLL Exponentialfunktionen Uppgift 1 Bestäm C och a hos exponentialfunktionen f(x) = C a x Då vi vet att punkterna (95, 2988) och (5, 37) ligger på funktionens kurva. Genom att sätta in de två punkterna i den givna funktionen får vi ekvationssystemet { 37 = C a 5 Vi löser ut C i båda ekvationerna Vi har eliminerat C och får 2988 = C a 95 Vi får nu direkt C, till exempel genom C = 37 a 5 C = 2988 a 95 2988 = 37 a 95 a 5 a 95 = 2988 a 5 37 a 90 = 2988 37 ( 2988 a = 37 a = 1.05 C = 37 1.05 5 = 29 ) 1 90 Svar: Den eftersökta funktionen är f(x) = 29 1.05 x Håkan Strömberg 19 KTH Syd

EXPONENTIALFUNKTIONEN Uppgift 2 En kropp läggs i frysboxen! Temperaturen T(C ) hos denna kropp avtar exponentiellt med tiden t (minuter) enligt formeln T(t) = C e kt 25 Efter 60 minuter har temperaturen sjunkit från 36.7C till 30C. Hur lång tid dröjer det innan kroppen har temperaturen 0C? Eftersom kroppen har temperaturen 36.7C vi t = 0 får vi att C = 61.7. Vi har nu funktionen 36.7 = C e 0 25 C = 61.7 T(t) = 61.7 e kt 25 Då t = 60 får vi ekvationen nedan och kan bestämma konstanten k. 30 = 61.7 e 60k 25 e 60k = 55 61.7 ln ( ( ) e 60k) 55 = ln 61.7 ( ) 55 60k = ln ( 61.7 ) 55 ln 61.7 k = 60 k = 0.00191 Vi har nu hela funktionen T(t) = 61.7e 0.00191t 25 Håkan Strömberg 20 KTH Syd

INNEHÅLL Med hjälp av den kan vi bestämma tiden då kroppen fryser Svar: Efter 473 minuter 0 = 61.7e 0.00191t 25 25 = 61.7e 0.00191t 25 61.7 = e 0.00191t ( ) 25 ln = ln ( e 0.00191t) 61.7 ( ) 25 ln = 0.00191t 61.7 ( ) 25 ln 61.7 t = 0.00191 t 473 Uppgift 3 Vi vet av en exponentialfunktion f(x) = C e kx Att f (x) = 2f(x) och att f(0) = 100. Bestäm k och C. Från f(0) = 100 får vi f(0) = C e 0 att C = 100 och vi kan teckna funktionen f(x) = 100 e kx Nu vet vi dessutom att f (x) = 2f(x) vilket leder till Svar:f(x) = 100e 2x 100k e kx = 2 100 e kx k = 2 Håkan Strömberg 21 KTH Syd

FUNKTIONENS EXTREMPUNKTER Funktionens extrempunkter Uppgift 1 Här ska vi ta reda på derivatans nollställen. Lös ekvationen f (x) = 0 då f(x) = 1 x + x Rötterna till f (x) = 0 ger funktionens f(x) nollställen. Om det är max- eller minpunkter efterfrågas inte. Därför är denna uppgift bara ett förstadium till vad som komma skall Vi deriverar och får f (x) = 0 ger ekvationen f (x) = x 2 + 1 x 2 + 1 = 0 x 2 = 1 1 x 2 = 1 x = ±1 Svar: x = 1 och x = 1. Inget annat efterfrågas. Håkan Strömberg 22 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm funktionens extrempunkter och klassificera dem. f(x) = x 3 9x 2 120x + 128 Första steget är att finna rötterna till f (x) = 0 och därför startar vi med att derivera funktionen f (x) = 3x 2 18x 120 som i nästa steg leder till ekvationen 3x 2 18x 120 = 0 x 2 6x 40 = 0 x = 3 ± 9 + 40 x = 3 ± 7 x 1 = 10 x 2 = 4 Funktionen har två extrempunkter: (10, f(10)) = (10, 972) och ( 4, f( 4)) = ( 4, 400). Genom att derivera en gång till och bestämma f (x) kan vi avgöra extrempunkternas typ. f (x) = 6x 18 som ger f (10) = 6 10 18 = 42 > 0 minpunkt f ( 4) = 6( 4) 18 = 42 < 0 maxpunkt Ett alternativ till att använda andraderivatan är att skissa kurvan genom teckenstudium x x < 4 x = 4 4 < x < 10 x = 10 x > 10 f (x) + 0 0 + f(x) ր max ց min ր Håkan Strömberg 23 KTH Syd

FUNKTIONENS EXTREMPUNKTER Uppgift 3 Bestäm funktionens f(x) = x 3 + 18x 2 39x 952 största respektive minsta värde i intervallet 3 x 10. För att svara på denna fråga måste man först ta reda på funktionens extremvärden. Om dessa punkter ligger inuti intervallet måste man ta hänsyn till dem tillsammans med f(3) och f(10). Vi startar med att derivera och lösa ekvationen f (x) = 0. och så f (x) = 3x 2 + 36x 39 3x 2 + 36x 39 = 0 x 2 + 12x 13 = 0 x = 6 ± 36 + 13 x = 6 ± 7 x 1 = 1 x 2 = 13 Vi ser då att ingen av extrempunkterna ligger inuti intervallet 3 x 10. Detta betyder att f(3) = 880 och f(10) = 1458 avgör funktionens största respektive minsta värde på intervallet. Svar: Största värde är 1458 och minsta värde är 880. Figur 1: Denna graf övertygar oss Håkan Strömberg 24 KTH Syd

INNEHÅLL Att bestämma konstanter Det är inte ovanligt med uppgifter, där man ska bestämma en funktion, som är given, så när som på en eller flera koefficienter. Ofta används bokstäverna a, b och c för att uttrycka dessa. Observera att man aldrig löser dessa uppgifter genom att gissa värden på de okända koefficienterna. Istället får man ledtrådar genom värden på f(x) och f (x). Denna typ av problem kan varieras på många sätt. Även om de allra flesta problem av denna typ handlar om polynom kan det förekomma även potens- och exponentialfunktioner. Uppgift 1 Bestäm konstanterna a och b så att funktionen får en minpunkt i (1, 36) Vi startar med att derivera f(x) f(x) = 4x 2 ax b f (x) = 8x a Vi vet nu att f (1) = 0 detta leder fram till ekvationen 8 1 a = 0 a = 8 Vi har kommit ett steg närmare lösningen och har nu f(x) = 4x 2 8x b Men vi har också att f(1) = 36, som ger 4 1 2 8 1 b = 36 b = 32 Vi vet nu att funktionen är f(x) = 4x 2 8x 32. Att det verkligen handlar om en minpunkt ser vi genom att Svar: f(x) = 4x 2 8x 32 f (x) = 8 > 0 minpunkt Håkan Strömberg 25 KTH Syd

ATT BESTÄMMA KONSTANTER Uppgift 2 Bestäm a, b och c i funktionen f(x) = ax 2 + bx + c Då vi vet att funktionens graf skär x-axeln i punkterna (3, 0) och ( 1, 0) och y- axeln i punkten (0, 3). Då f(0) = 3 får vi direkt och vi kan skriva a 0 2 + b 0 + c = 3 c = 3 f(x) = ax 2 + bx 3 De andra två punkterna ger oss ekvationssystemet { a 3 2 + b 3 3 = 0 a ( 1) 2 + b ( 1) 3 = 0 Vi multiplicerar båda led i andra ekvationen med 3 och får { 9a + 3b = 3 3a 3b = 9 Vi adderar ekvationerna led för led och får ekvationen 12a = 12, som ger a = 1. Direkt följer så ekvationen 9 1 + 3b = 3, där b = 2. Svar: Den sökta funktionen är f(x) = x 2 2x 3 Håkan Strömberg 26 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm a och b i funktionen då f (x) f(x) = 0 och f(0) = 3 Genom f(0) = 3 får vi f(x) = a e bx a e b 0 = 3 a = 3 Vi har kommit ett steg närmare och har nu Vi deriverar och får f(x) = 3e bx f (x) = 3be bx Givet är att f (x) f(x) = 0 som ger ekvationen Svar: f(x) = 3e x 3be bx 3e bx = 0 b = 1 Håkan Strömberg 27 KTH Syd

ATT BESTÄMMA KONSTANTER Uppgift 4 Bestäm a i funktionen så att linjen tangerar funktionens kurva f(x) = x 2 x a y = 3x 10 Att en linje tangerar en kurva innebär att linjen och kurvan har en gemensam punkt (x, f(x). Dessutom ska linjens k-värde vara lika med funktionens derivata i den punkten, f (x) = k Vi deriverar och får Då linjen har k = 3 löser vi f (x) = 3 Då x = 2 ger linjen f (x) = 2x 1 2x 1 = 3 x = 2 y = 3 2 10 = 4 Alltså måste punkten (2, 4) ligga på funktionens kurva, vilket ger ekvationen Svar: f(x) = x 2 x 6 2 2 2 a = 4 a = 6 Håkan Strömberg 28 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 5 Bestäm a så att då f (a) = 3 f(x) = (x a)(x + 1) Vi startar med att utveckla parenteserna i f(x), så att funktionen enkelt ska gå att derivera. f(x) = x 2 + x ax a som ger Vi har nu att lösa ekvationen f (a) = 3 Svar: f(x) = x 2 x 2 f (x) = 2x + 1 a 2a + 1 a = 3 a = 2 Håkan Strömberg 29 KTH Syd

ANDRA PROBLEM MED DERIVATA Andra problem med derivata Uppgift 1 Bestäm det intervall då både f(x) och f (x) är negativa då f(x) = x 2 + x 12 Vi startar med att ta reda på funktionens nollställen att lösa ekvationen f(x) = 0 x 2 + x 12 = 0 1 x = 1 ± + 48 2 4 4 x = 1 ± 7 2 2 x 1 = 3 x 2 = 4 Vi får x x < 4 x = 4 4 < x < 3 x = 3 x > 3 f(x) + 0 0 + f(x) < 0 då 4 < x < 3 Nu över till derivatan f (x) = 2x + 1 f (x) = 0 då 2x + 1 = 0 eller då x = 1 och vi får 2 x x < 1 2 x = 1 2 x > 1 2 f (x) 0 + f (x) < 0 då x < 1. Vi kan nu sammanställa det hela. 2 Svar: 4 < x < 1 2 Håkan Strömberg 30 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Funktionen f(x) = x 2 9 har en tangent som är parallell med den räta linjen Bestäm ekvationen till denna tangent 2y 8x 3 = 0 Vi startar med att skriva om ekvationen för den givna linjen 2y 8x 3 = 0 2y = 8x 3 y = 4x 3 2 Den givna linjen har k = 4. Vi deriverar nu f(x) f (x) = 2x Genom att lösa ekvationen f (x) = 4 får vi reda på för vilket x derivatan är 4. 2x = 4 x = 2 För tangenten har vi redan k = 4 och behöver dessutom en punkt på denna linje (2, f(2)) eller (2, 5). Så långt har vi ekvationen till tangenten Svar: y = 4x 13 y = kx + m y = 4x + m 5 = 4 2 + m m = 13 10-3 -2-1 1 2 3 4-10 -20 Figur 2: Vi avslutar med att visa grafen Håkan Strömberg 31 KTH Syd

ANDRA PROBLEM MED DERIVATA Uppgift 3 Bestäm normalen till funktionen i den punkt på kurvan där x = 3 f(x) = x 2 Lösning Punkten genom vilken normalen ska gå är (3, f(3), som i klartext är (3, 9). Först deriverar vi f(x) och bestämmer f (3) ger f (x) = 2x f (3) = 6 Vi vet nu att tangenten till kurvan i punkten (3, 9) har k-värdet 6. Vi vet också att en normal till kurvan går vinkelrät mot tangenten. Eftersom k t k n = 1 måste k-värdet för vår normal vara k = 1 6. Har man en punkt (3, 9) och k = 1 kan linjens (normalens) ekvation bestämmas: 6 Svar: y = x 6 + 19 2 y = kx + m y = 1 6 x + m 9 = 3 ( 1 6) + m m = 19 2 Håkan Strömberg 32 KTH Syd

INNEHÅLL Aritmetiska talföljder och summor Uppgift 1 Det första och andra talet i en aritmetisk talföljd är a 1 = 10 och a 2 = 17. Bestäm det 555:e talet i denna talföljd Lösning Differensen d ges genom a 2 a 1 = 17 10. Med hjälp av formeln a n = a 1 + d(n 1) kan vi bestämma Svar: a 555 = 3888 a 555 = 10 + 7(555 1) = 3888 Håkan Strömberg 33 KTH Syd

ARITMETISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 2 De två första talen i en aritmetisk talföljd är 8 och 13. Hur många tal ingår i summan av denna följd, om man vet att summan är 101100? Lösning Vi har visserligen formeln men samtidigt två obekanta s n = n(a 1 + a n ) 2 101100 = n(8 + a n) 2 Ingenstans har vi utnyttjat att vi känner differensen d = 5. Samtidigt kan vi också formeln a n = a 1 + d(n 1) som i vårt fall ger a n = 8 + 5(n 1) Vi ersätter nu a n i den första formeln med detta uttryck och får Svar: 200 tal n(8 + 8 + 5(n 1)) 101100 = 2 202200 = n(16 + 5n 5) 202200 = 16n + 5n 2 5n 5n 2 + 11n 202200 = 0 n 1 = 200 (n 2 = 1011 ) 5 Håkan Strömberg 34 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Hur många av talen i den aritmetiska talföljden 12, 20, 28... är < 600 Lösning Formeln ger oss a n = a 1 + d(n 1) 600 = 12 + 8(n 1) 588 = 8n 8 n = 596 8 n = 74.5 a 74 = 596 och a 75 = 604. Svar: 74 stycken. Håkan Strömberg 35 KTH Syd

GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Geometriska talföljder och summor Uppgift 1 I en geometrisk talföljd är det första talet a 1 = 4 och den konstanta kvoten k = 3 4. Bestäm a 10 Lösning Vi finner svaret med hjälp av formeln a n = a 1 k n 1 Vi får nu Svar: a 10 = 19683 65536 a 10 = 4 ( ) 10 1 3 = 19683 4 65536 Håkan Strömberg 36 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 I en geometrisk talföljd är det första talet 3 och det 18:e talet 393216. Beräkna kvoten i den geometriska talföljden. Lösning Genom formeln får vi ekvationen Svar: Kvoten är 2. a n = a 1 k n 1 393216 = 3 k 18 1 k 17 = 131072 k = 131072 1 17 k = 2 Håkan Strömberg 37 KTH Syd

GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 3 I en geometrisk talföljd är den konstanta kvoten k = 2 och första talet a 1 = 3. Vilket ordningsnummer har talet 24576? Lösning Genom formeln får vi ekvationen Svar: Talets ordningsnummer är 14 a n = a 1 k n 1 24576 = 3 2 n 1 8192 = 2 n 1 lg 8192 = lg2 n 1 n 1 = lg8192 lg2 n = 14 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 De två första talen i en geometrisk talföljd är 3 och 6. Bestäm summan av de 10 första talen. Lösning Vi ser direkt att k = 6 3 = 2 Med hjälp av formeln kan vi ställa upp Svar: 3096 s n = a 1(k n 1) k 1 s 10 = 3(210 1) 2 1 = 3069 Håkan Strömberg 39 KTH Syd

GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 5 För en geometrisk talföljd med kvoten k = 2 är summan av de 12 första talen 24570. Bestäm första talet i talföljden. Lösning Vi startar med formeln och kan ställa upp ekvationen Svar: a 1 = 6 s n = a 1(k n 1) k 1 24570 = a 1(2 12 1) 2 1 24570 = a 1 (2 12 1) 24570 = 4095a 1 a 1 = 6 Håkan Strömberg 40 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 6 Adam sparar 10000 kr om året, som han sätter in på banken på nyårsaftonen varje år. Han får 5% ränta. Hur mycket pengar har han på banken precis efter att han satt in årets 10000 kr för 10 gången? Lösning De 10000 kr han just satt in har han ännu inte fått någon ränta på. De 10000 kr han satt in förra nyårsafton har hunnit föröka sig till 10000 1.05 = 10500 kr. De pengar han satt in för två år sedan har vuxit till 10000 1.05 2 = 11025 kr och så vidare. Vi har att bestämma följande geometriska summa: 10000 + 10000 1.05 + 10000 1.05 2 +... + 10000 1.05 9 Som tur är finns det en formel som fixar det hela Vi fyller i det vi vet och får s n = a 1(k n 1) k 1 s n = 10000(1.0510 1) 1.05 1 = 125779 Svar: Adam har 125779 kr Håkan Strömberg 41 KTH Syd

OPTIMERINGSPROBLEM Optimeringsproblem Troligtvis den intressantaste typen av problem i denna del av kursen. Genom, ofta en geometriskt, problem ska du ställa upp den funktion som du senare ska finna en max- eller minpunkt för. Normalt bör man dessutom bestämma funktionens definitionsmängd. Uppgift 1 Bestäm två icke negativa tal vars summa är 9, sådana att produkten av det ena talet och kvadraten av det, andra blir så stor som möjligt. Lösning Antag att de ena talet är x. Då måste det andra vara 9 x (eftersom deras summa ska vara 9) Bilda nu funktionen, som utgör produkten mellan det ena talet och kvadraten av det andra. Det känns enklast att skriva f(x) = x 2 (9 x) även om g(x) = x(9 x) 2 skulle fungera. Funktionen har definitionsmängden 0 x 9. Vi deriverar och löser ekvationen f (x) = 0. För att kunna derivera är vi i denna kurs tvungna att skriva om funktionen till med derivatan som leder till ekvationen f(x) = 9x 2 x 3 f (x) = 18x 3x 2 18x 3x 2 = 0 3x(6 x) = 0 x 1 = 0 x 2 = 6 Vi har hittat två extrempunkter då x = 0 och då x = 6 Genom andraderivatan tar vi reda på vilken typ f (x) = 18 6x och f (0) = 18 > 0 minpunkt f (6) = 18 36 < 0 maxpunkt Då intervallets gränser f(0) = f(9) = 0 vet vi att funktionens största värde är f(6) = 108. Svar: Kvadrera talet 6 och multiplicera med 3 ger största produkten, 108 Håkan Strömberg 42 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 I en trädgård finns 50 äppelträd. Varje träd producerar 800 äpplen. För varje nytt träd man planterar i trädgården kommer äppelskörden att minska med 10 äpplen/träd. Hur många träd ska planteras för att få största möjliga totala skörden? Lösning Antag att vi planterar ytterligare x träd. Vi kan nu teckna funktionen f(x) = (50 + x)(800 10x) Definitionsmängden är 0 x 80. För att finna maxpunkten måste vi som vanligt derivera och lösa ekvationen f (x) = 0. Men först måste vi utveckla parenteserna. Derivatan blir Extrempunkten får vi genom ekvationen f(x) = 40000 + 300x 10x 2 f (x) = 300 20x 300 20x = 0 x = 15 Är det en maxpunkt? Andraderivatan ger svaret. f (x) = 20 < 0 maxpunkt Vi ska alltså plantera 15 nya träd. Då kommer den totala skörden att bli 42250 pall. Svar: 15 träd Håkan Strömberg 43 KTH Syd

OPTIMERINGSPROBLEM Uppgift 3 Vilken är den ur ekonomisk synpunkt billigaste cylindriska konservburk med rymdmåttet 1 liter, som kan konstrueras? Burken ska förstås ha både lock och botten och det handlar om att använda så lite plåt som möjligt! Lösning Det handlar om att välja rätt mått på burkens höjd och radie. Först påminner vi om att 1 liter = 1dm 3. Cylinderns volym bestäms genom V C = hπr 2 Cylinderns totala begränsningsyta bestäms genom A C = 2πr 2 + 2πr h Två cirkelskivor och en rektangel. Alla längdmått i dm. Vi vet att volymen ska vara 1 dm 3 och genom denna ekvation kan vi uttrycka h i r 1 = hπr 2 h = 1 πr 2 Ersätter vi nu h med detta uttryck i formeln A C får vi Arean som funktion av radien A(r) = 2πr 2 + 2πr 1 πr 2 = 2πr2 + 2 r Det är denna funktion vi, på traditionellt sätt, ska finna en minpunkt för Vi löser så ekvationen A (r) = 0 A (r) = 4πr 2 r 2 4πr 2 r 2 = 0 4πr = 2 r 2 4πr 3 = 2 r 3 = 1 2π r = 3 1 2π r 0.54 För att bestämma vilken typ av extrempunkt det gäller tar vi fram A (r) = 4π + 4 r 3 Håkan Strömberg 44 KTH Syd

INNEHÅLL som är > 0 för alla r > 0, alltså en minpunkt. Återstår att bestämma h h = 1 ( 3 π 1 2π ) 2 1.08 Svar: r = 0.54 dm och h = 1.08 dm Håkan Strömberg 45 KTH Syd