Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR NOLLRUMMET och BILDRUMMET ill e lijärildig. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN. NOLLRUM (Kerel (kär i kuroke Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ekorer i R o ild på ollekor i R kll ildige ollru ( eller kär och eeck ed ker(t eller Null(T. Solik ekrier i ollrue på följde ä ker( T { R : T ( } O T ge på rifore T ( A då är ker( { T R : A } Med dr ord ollrue är löigägde ill ekioe ( T. ------------------------------------------------------------------------------------------------ BILDRUM (ärderu ärdeägd Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ilder ( ll fukioe ärde T ( i R kll ildige ildru (oer: ärderu ärdeägd och eeck ed i(t. Solik ekrier i ildrue på följde ä i( T { T ( : Ekile defiiio: i( T { R R } : T (. för ågo Allå k i(t defiier o ägde ll d A hr i e löig R. R } R för ilk ekioe T ( För e gie ri A p k i geo T ( A defiier T : R R. Därför defiierr i ildru I(A och ollru ker(a för e ri elig följde. Defiiio. Nollrue ker(a ill e ri A p defiier o ägde ll - dieioell ekorer o ifierr ekioe A. Defiiio. (Bildrue ill e ri Lå A r e ri pe. Bildrue ill A eeck i(a och defiier o I( A { A R }. Efero Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR p( A er i ildrue i de här flle pä upp rie koloekorer i (T p(. E och dieioe ildrue k eä ed hjälp de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor. Eepel. Agör o ågo ekorer ( ( eller c ( illhör ollrue ker( T. Beä ollrue ill ildige T frå R ill R då T ( ( c O ll ekorer i orrue hr i rpuker i origo då ildr ll ädpuker e ägd i R. Tolk de ägd geoerik ( e puk e lije e pl eller hel R Löig: Vi eräkr T ( ( ( Efero ( T illhör ekor ollrue ker( T. De dr ekor ( illhör INTE ollrue ker( T för T ( (7 Vekor c ( illhör ollrue ker( T för T ( c (. Vi eäer löigägde ill ekioe ( T. T hr i Frå ( ( o ger å klär ekioer: ( ( i äder Gueliiioe Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Vi hr å ledde riler och e fri riel o i eeckr ed. Löige och krier i på ekorfor ( ( ( Däred är ker (T { ( } där rierr fri. c O rpuker ligger i origo då ildr ll ädpuker { ( } e lije i R (o går geo origo. Sr: Se oåede löig. ker (T { ( } c E lije i R (o går geo origo. Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o defiier ( T Beä ildige ollru (kär ker(t Beä e ill ollrue c Beä ollrue dieio. Löig: Vi eäer löigägde ill ekioe ( T. Frå ( T hr i o i krier o klär ekioer: See hr å ledde riler och å fri riler och. See löig. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr - och -dele : Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Aildige ollru är ker(t ker(t { }. Vi äger ollrue pä upp å ekorer och leri eeckr ker(t p( Vi er ollrue är e ägd ll lijär koiioer o ild ed hjälp å ( upper lijär oeroede ekorer och o därför ugör e ill ollrue. Däred är ollrue dieio le ekorer ( le fri riler Sr: ker(t { } eller ( leri ker(t p( E ill ollrue är. c di(ker(t. Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d A T ( Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Beä ildige ollru (kär ker(t Beä e ill ollrue c Beä ollrue dieio. d Vilke ägd ildr ädpuker ill ollrue ekorer o rpuker ligger i origo?. Löig: Vi löer ekioe T ( d A eller Morde ekioe är o hr löig. See hr å ledde riler ige fri riel och ed de riil löige o i krier på ekorfor:. Sr: ker(t { } Nollrue o eår r e ollekor hr ige. (elig defiiioe eår e oeroede ekorer och däred k ie iehåll c di(ker(t. d E puk (origo Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d T ( A Beä ildige ollru (kär ker(t e ill ollrue c ollrue dieio. d rie rg. Sid 5 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR e o ågo ekorer illhör ollrue ker( T. Löig: Vi löer ekioe A eller 5 Morde ekioe är 5 5 5 See hr ledde riel och fri riel. See löig u u 5. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr u- - - och -dele : u u u u 5 u Sr: ker(t p( Sid 6 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Vekorer är lijär oeroede och päer hel ollrue. Därför ildr ekorer e ill ker(t. c di(ker(t le ekorer ( le fri riler. d Mrie rg ed le rie oeroede rder le oeroede koloer le ledde eor i rie rppfor le ledde riler i rppfore för orde ekioe. e A Allå illhör ker(t. {Vi k kri korre ker(t } För de dr ekor gäller 8 A Däred illhör ie ker(t. { Vi k kri ker(t}. BILDRUMMET ( Ige i kuroke o illhör e lijärildig. O T defiier ed e ri A p då eår ildrue ll ekorer A T ( p( Allå ildrue ( o kll äe rie koloru i de här flle pä upp rie koloekorer Sid 7 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR (T i p(. E och dieioe ildrue k eä ed hjälp de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor. ------------------------------------------------------------------------------------------------- Eepel 5. Vi erkr e lijär ildig T ed rie A Beä ildige ildru i(t Beä e ill ildrue c Beä ildrue dieio. d Beä rie rg. e Agör o ågo ekorer illhör ildrue i( T. f Beä ll ekorer R åd ( T där. Löig: Bildru i(t pä up rie koloekorer och därför i(t p(. Aleri eeckig: i(t { z : z och är klärer o rierr fri}. För älj e ill p( äljer i (ör le lijär oeroede koloekorer; de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor. Sid 8 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR ~ ~ Ledde eor fi i för och dr koloer och därför äljer i rie för och dr kolo o ill ildrue (kolorue. de redje koloekor är eroede de för å. Sr E ild koloekorer. Aärkig: Efero redje koloekor är e lijärkoiio för å hr i p( p( för rje lijär koiio o ikluderr redje ekor k urck ed hjälp de för å ekorer. Vi förlorr ige koiio o i r or eroede ekorer ld de o päer upp e uderru. Sr c Bildrue dieio är ( le ildrue ekorer le ledde eor i rie rppfor. d Mrie rg är ( le oeroede koloekorer le oeroede rdekorer le le ledde eor i rie rppfor. e För gör o illhör i(t uderöker i o ekioe A är koie ( d o ekioe hr i e löig. Frå A hr i See hr oädlig åg löigr. Vekor illhör ildrue i(t efero ee A är koie ( lör d de fi å A ( eller ( T De dr ekor illhör ie ildrue i(t efero ekioe A kr löig ( koroller jäl. All löigr ill ekioe ( T d ill ekioe A elig e-dele ge Sid 9 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR. Vi k kri de på ekorfor där är e godcklig reell l. Sr: I(T p( p( E är (. c di(i(t d Rg(A e illhör ildrue i(t. illhör ie ildrue i(t. f där är e godcklig reell l. Eepel 6. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d A T ( Beä ildige ollru (kär ker(t e ill ollrue c ollrue dieio. d ildige ildru i(t e e ill ildrue f ildrue dieio. g rie rg. Löig: Vi löer ekioe A eller Morde ekioe är Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR See hr ledde riel och fri riel. See löig. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr u- - - och -dele : Sr: ker(t p( Vekorer är lijär oeroede och päer hel ollrue. Därför ildr ekorer e ill ker(t. c di(ker(t le ekorer ( le fri riler d ildige ildru i(t pä upp koloekorer där oeroede rr o ledde eor. Därför i(t p( e e ill ildrue är f ildrue dieio di(i(t ( le ledde eor i rie rppfor. g rie rg ( le ledde eor i rie rppfor. DIMENSIONSSATSEN O i erkr e ri A p och orde ekioe A Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR efer i öerför ee ill rppfore er i ( le ledde riler ( le fri riler ( le ll riler d di( i(a di(ker(a eller rg(a di(ker(a Eepel 7. Tee 9 Uppgif 6 Berk e lijär ildig T : R R åd löigägde ill T ( ge där är e reell preer. Beä ollrue Ker(T Beä ildrue I(T Löig E ä lö uppgifer är för eä ildige ri och därefer Ker(A och I(A. Lå A r de ri o hör ill ildige T. Lå c d. Ekioe T ( k kri på fore A eller ( c d Vi k för eä A ed hjälp gie löig: Elig gde är e löig för rje R. Vi k därför älj ågr - ärde uiuer i och eä c och d. O i e äljer får i är e löig ill och därför gäller ( uiuer och i : ( c d O i äljer får i är e löig ill och därför( uiuer och i : Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR ( c d Frå och eräkr i c och d. Vi k e grupper de ekioer o iehåller och : och och eä / och /. På ä frå c d och c d hr i c / och d /. / / Däred lir A /. / / Här hr i oedelr I(ASp( Sp(. För eä Ker(A löer i ekioe A eller / E fri riel. Därför. Allå Ker(TKer(A Sp ( ( Aärkig: Sp ( Sp ( Sr: Ker(TKer(A Sp ( I(T I(ASp(. Eepel 8. Tee --j Uppgif 7 (leri löig Beä ll lijär ildigr T : R R o uppfller följde å kr: Vekorer och ugör e för ollrue för T. Bildrue för T är lije ed rikigekor. Löig: Lå A r illhörde ildigri. Vi k eä A ed hjälp gi å kr. Bildrue för T är lik i(a p(k k k där k k och k är koloer i A. Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Elig gde är ildrue i(a p(. Däred är rje kolo i A e lijär koiio ekor d hr fore för ågo. Lå k k och c k r koloekorer i A. Då är c A där i e c är kild frå. ( O ll c är då är A e ollri och i(a { } o ie äer ed år gde i(a p(. Vi eäer och c ed hjälp för illkore d i äder ekorer och o ligger i ollrue: Frå A hr i c d (ek Frå A hr i c c d c (ek Vi k älj c ( e godcklig l kil frå då är och. Här c A och z z T ( Vi k kri de på äe på följde for: z z T ( ( Sr: z z T ( ( (där är e godcklig l kil frå Sid 5
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR eller T (. z z Sid 5 5