Mekanik 2 f or F Obligatorisk del



Relevanta dokument
Analytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem

Föreläsning 9: Beräkning av tröghetsmoment och tröghetsprodukter (kap ) Kinetisk energi för roterande stelt system: T rot

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Institutionen för teknikvetenskap och matematik. Kurskod/kursnamn: F0004T, Fysik 1. Tentamen datum: Skrivtid:

Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, typgodkänd kalkylator, lexikon, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll.

Andra EP-laborationen

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

Mekanik Föreläsning 8

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Mekanik F, del 2 (FFM521)

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter hur svåra de är.

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O

Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

" e n och Newtons 2:a lag

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Övning 7 Diffraktion och upplösning

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen i Mekanik II

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 2 Dynamik

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

Inlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B

hela rapporten:

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid:

SF1626 Flervariabelanalys

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid:

MEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen.

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

Tentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M.

Tentamen i Mekanik Statik

Mekanik KF, Moment 2. o Ingenting händer: T! = T! o Den blir kortare: T! =!! o Den blir längre: T! = 2T!

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Mekanik III Tentamen den 19 december 2008 Skrivtid 5 tim De som klarat dugga räknar ej uppgift m/2

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Övning 8 Diffraktion och upplösning

TFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 12 januari :00 13:00. Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa ng.

TFYA16/TEN :00 13:00

Tentamen Fysikaliska principer

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik

STOCKE OLMS UNIVERSITET FYS IKUM

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:

Transkript:

Tentamen i Mekanik 2 för F, FFM521 och FFM520 Tisdagen 15 apri 2015, 8.30 12.30 Examinator: Martin Cederwa Jour: Martin Cederwa, ankn. 3181, besöker tentamenssaarna c:a k. 9.30 och 11.30. Tiåtna hjäpmede: Physics Handbook, Beta, Chamersgodkänd kakyator. Samma uppgifter och reger gäer för FFM520 och FFM521. Tentamen består av en obigatorisk de (uppg. 1 4) och en överbetygsde (uppg. 5 och 6). Varje uppgift ger maximat 10 poäng. För godkänt (betyg 3) krävs 16 poäng på den obigatoriska deen. Om betyg 3 uppnåtts rättas även överbetygsdeen. Gränser för betyg 4 och 5 är 36 resp. 48 poäng. Aa svar ska motiveras, införda storheter förkaras iksom va av metoder. Lösningarna förväntas vara västrukturerade och begripigt presenterade. Erhåna svar ska i förekommande fa anayseras m.a.p. dimension och rimighet. Även skisserade ösningar kan ge depoäng. Skriv och rita tydigt! Lycka ti! Obigatorisk de 1. En ste kropp med densiteten ρ är formad som ett rätbock med sidorna a, b och c. Bestäm kroppens huvudtröghetsaxar, och beräkna tröghetsmatrisen i ett ämpig system. (En uträkning krävs; ev. färdiga eer memorerade former får inte användas.) 2. Ett höghastighetståg har en inbyggd automatik som utar vagnarna i kurvorna så att ingen kraft i sided ska uppevas. Corioiskrafter kan dock inte kompenseras på detta sätt. Antag att en passagerare har en (horisonte) hastighet reativt vagnen på högst 5 m/s, då tåget kör med farten 360 km/h genom en kurva med krökningsradie 1.0 km. Viken utningsvinke har vagnen? Är Corioiseffekterna acceptaba, eer behöver man bygga om banan? Hur stora krökningsradier anser du vara acceptaba (ur denna synpunkt) för ett tänkt framtida tåg som håer en hastighet 1000 km/h? 3. En pende består av en iten massa m som sitter fast i ett ätt snöre med ängden. Snörets andra ända är fästad i en punkt i taket, som rör sig horisontet en periodisk rörese enigt x(t) = a sin ω 0 t. Penden rör sig endast i panet som spänns av x-axen och vertikaen. Kaa pendens utsagsvinke θ. Bestäm θ(t) för små svängningar om begynnesevikoren är θ(0) = 0, θ(0) = 0. Vad händer då ω 0 sammanfaer med pendens egenfrekvens? 4. Den ena änden av en rak homogen panka kan gida mot ett gatt gov och dess andra ände mot en gatt vägg. Pankan befinner sig hea tiden i ett vertikapan. Om pankan startar från via med en mycket iten vinke mot väggen (så gott som upprätt, atså), vad bir dess vinkehastighet då den bidar vinken θ mot väggen? Vid viken vinke ämnar pankans övre ände väggen?

Överbetygsde 5. En rotationssymmetrisk kropp är uppbyggd av en ätt axe med ängden, på viken en tunn homogen cirkeskiva med radie r och massa m är fästad vinkerätt mot axen. Axens ände är momentfritt fästad i en punkt O på ett horisontet pan, och cirkeskivan ruar utan gidning på panet så att precessionshastigheten runt vertikaen genom O är Ω. Bestäm kraften på kroppen från infästningen i punkten O samt kontaktkraften på cirkeskivan i kontaktpunkten med panet (det får förutsättas att den senare saknar horisonte komponent) ti storek och riktning! 6. Ett homogent kot ruar utan gidning på ett suttande pan (en ki). Det suttande panet kan i sin tur gida friktionsfritt mot ett horisontet underag. Vi kan inskränka oss ti att betrakta pan rörese, för både kotet och kien, i ett vertikat pan spänt av vertikaen och injen på kien med brantast utning. Inför reevanta storheter och använd Lagranges formaism för att beräkna kotets acceeration reativt det fixa underaget, samt dess vinkeacceeration. Göm inte att kontroera rimigheten, t.ex. genom att titta på några extrema parameteruppsättningar.

Lösningsförsag ti tentamen i Mekanik 2 för F, FFM521 och FFM520 Onsdagen 15 apri 2015, 8.30 12.30 Examinator: Martin Cederwa 1. Av symmetriskä är huvudtröghetsaxarna genom masscentrum paraea med rätbockets sidor. Med avseende på den axe som är parae med sidan med ängden a ser kroppen ut som en rektange med sidorna b och c och täthet ρa. Motsvarande huvudtröghetsmoment bir b/2 b/2 De övriga fås genom permutation. c/2 dy dz ρa(y 2 + z 2 ) = 1 c/2 12 ρabc(b2 + c 2 ). 2. Lutningsvinken α fås genom tan α = v2 /R g. I exempet är detta ungefär 1, så utningen bir c:a 45. (Det verkar som att krökningsradien redan är i minsta aget för denna hastighet.) Corioisacceerationen vid en reativ horisonte hastighet u är 2ωu 1 m/s 2, en tionde av tyngdacceerationen. Kanske i högsta aget. Antag att hastigheten skaas upp med en faktor a och radien med en faktor b. Corioisacceerationen skaas då som a/b, medan tan α går som a 2 /b. Om man accepterar högre utningsvinkar kan man (m.a.p. Corioiseffekter) åta krökningsradien öka med samma faktor som tågets fart. 3. Man kan sätta upp pendens röreseekvationer antingen i ett inertiasystem, där { x = a sin ω0 t + sin θ, y = cos θ, eer i ett system med origo i den acceerade upphängningspunkten, och då inkudera en fiktiv kraft (det senare aternativet kan bi itet effektivare). Om man väjer det förra har man { ẍ = aω 2 0 sin ω 0 t + θ cos θ θ 2 sin θ, ÿ = θ sin θ + θ 2 cos θ. Insättning i mẍ = S sin θ, mÿ = S cos θ mg, och eiminering av snörkraften S ger ekvationen för θ: som för småvinkar approximeras av θ + g sin θ = aω2 0 θ + g θ = aω2 0 Denna differentiaekvation har den amänna ösningen θ(t) = sin ω 0 t cos θ, sin ω 0 t. aω 2 0 (ω 2 ω 2 0 ) sin ω 0t + A cos ωt + B sin ωt, där ω = g. Notera att partikuärösningens ampitud är större ju närmare egenfrekvensen ω 0 igger. Insättning av begynnesevikoren ger A = 0, aω 3 0 B = ω(ω 2 ω0 2).

Lämpig rimighetskontro: dimension; mycket stora och mycket små ω 0,... Om ω 0 = ω fås istäet en partikuärösning aω 2 t cos ωt. Den kan förstås bara använcas för små tider. 4. Låt pankans ängd vara och dess massa m. Pankans mittpunkt rör sig på en cirke med radie 2 med farten 2 θ, där θ är vinken mot väggen. Dess röreseenergi är då T = 1 2 m( 2 θ) 2 + 1 1 2 12 m2 θ2 = 1 6 m2 θ2. Dess potentiea energi (reativt den vid θ = 0) är V = 1 2mg(cos θ 1). Energiprincipen, T + V = 0, ger farten vid vinken θ, θ 2 = 3g (1 cos θ). För att besvara den andra frågan behöver man betrakta krafter, och ta reda på när den horisontea kraften från väggen skue behöva bi negativ (en dragkraft) för att röresen ska försiggå som antaget. Masscentrum har en centripetaacceeration med beoppet θ 2 2 = 3g 2 (1 cos θ), och en tangentie acceeration θ 2 = 3g 2 sin θ. Den horisontea deen av acceerationen bir 3g 2 (1 cos θ) sin θ + 3g 2 sin θ cos θ = 3g 2 sin θ(2 cos θ 1). Pankan tappar kontakten med väggen då cos θ = 1 2, dvs. θ = 60. 5. Vi börjar med att bestämma rotationsvektorn. Precessionen Ω är given, vi tar den riktad uppåt i figuren. Ruvikoret ger att den momentana rotationsaxen går ängs panet. Spinnet ν är riktat ängs kroppens symmetriaxe, nedåt åt höger i figuren i tesen, och är så stor att dess vertikaa komponent är Ω (nedåt). Det kan vara praktiskt att införa en vinke α, som är vinken mean kroppens symmetriaxe och panet. Då är tan α = r/, och man har ν sin α = Ω. Sedan behöver man ta fram tröghetsmatrisen, för att kunna bida röresemängdsmomentet. Tröghetsmomentet m.a.p. O runt symmetriaxen är I ζ = 1 2 mr2 och runt vinkeräta axar I = 1 4 mr2 + m 2. Precessionsvektorn behöver deas upp i huvudtröghetsriktningar innan dearna mutipiceras med resp. tröghetsmoment. Med ζ-axen riktad ängs spinnvektorn får man då 1 L ζ = I ζ (ν Ω sin α) = I ζ Ω( sin α). sin α Den andra deen av Ω ger upphov ti L ξ, där ξ-axen är vinkerät mot ζ-axen och pekar snett uppåt ti höger, L ξ = I Ω cos α. Den horisontea komponenten av L transporteras av Ω. Med ˆη ut ur pappret: d dt L = ˆηΩ(L ζ cos α + L ξ sin α). Detta ska åstadkommas av de vridande momenten runt O. Tyngdkraften bidrager med mg cos αˆη och kontaktkraften F i panet med F cos α ˆη. Samar vi ihop detta får vi ekvationen F cos α mg cos α = I ζω 2 cos α sin α + (I ξ I ζ )Ω 2 sin α cos α. Här kan man förstås sätta in tröghetsmomenten och de trigonometriska funktionerna, men det bir inte speciet mycket mer uppysande.

Den vertikaa kraften i O ska baansera övriga, och är atså mg F. Den horisontea kraften i O ska åstadkomma masscentrums centripetaacceeration, och är mω 2 cos α. 6. Inför några reevanta storheter: Kiens massa: M, kotets massa: m, kotets radie: r, kiens utningsvinke: α. Det finns två frihetsgrader, som kan parametriseras med x, en horisonte koordinat för kien, och θ, en rotationsvinke för kotet. Väj x positiv åt det hå där kien är högre, och θ positiv då kotet ruar uppför. Nu kan vi skriva ned kinetiska och potentiea energier. Det enda som kräver eftertanke är kotets transationshastighet, som har en vertika komponent r θ sin α och en horisonte komponent ẋ + r θ cos α. Lagrangefunktionen bir L = T V = 1 2 Mẋ2 + 1 [ 2 m (r θ sin α) 2 + (ẋ + r θ cos α) 2] + 1 2 2 5 mr2 θ2 mgrθ sin α Lagranges ekvationer är Härur kan man ösa för θ och ẍ: = 1 2 (M + m)ẋ2 + mr cos αẋ θ + 7 10 mr2 θ2 mgr sin αθ. 0 = d L dt ẋ L x = (M + m)ẍ + mr cos α θ, 0 = d L L dt θ θ = mr cos αẍ + 7 5 mr2 θ + mgr sin α. 5g sin α θ = 7r ẍ = 5g sin α cos α 7 1 1 5 m 7 M+m cos2 α, m 1 M + m 1 5 m 7 M+m cos2 α. Tecknen verkar bra: kotet acceererar nedåt och trycker kien åt sidan. Uttrycket i nämnaren kan inte bi no. Förutom dimensionskontro kan man koa några extremfa. Om α = 0 händer ingenting, som väntat. Om M >> m bir ẍ = 0, och θ stämmer med ett kot som ruar nedför ett pan. Om α = π 2 fås inte fritt fa, utan runing ängs en odrät vägg, och ẍ = 0.