Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r, e r i pln är en ortonormerd bs om följnde villkor är uppflld: 1 bsvektorern är prvis vinkelrät ortogonl bsvektorern hr längden 1, dvs e r 1, e r 1 oh e r z 1 Då är tillhörnde Oz ett ortonormert kortre ON koordintsstem ONkoordintsstemet klls även det krtesisk koordintsstemet efter frnske mtemtiker Rene Desrtes Alltså, i ett ortonormert sstem är lrn vinkelrät oh enhetssträkorn hr smm längd -eln z-eln Betekning: Bsvektorer i ett ON-sstem betekns oftst i r, r j oh k r men även som ovn e r, e r, e r z eller e r 1, e r, e r 3 Längden v en vektor oh vståndet melln två punkter i ett ON-Sstem Det är väldigt enkelt tt gör vståndsberäkningr i ett ON-koordintsstem vi kn nvänd Ptgors sts på rätvinklig tringlr Avståndsberäkning i plnet O med ON-koordintsstem: r v r är längden v vektorn v, -------------------------------------------------------------------------------- Om A 1, 1 oh B, är två punkter i plnet med ON koordintsstem då är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet AB 1, 1 oh längden blir, enligt ovnstående formel, AB 1 1 Avståndet melln två punkter A oh B som vi beteknr da,b är smm som längden v vektorn AB dvs da,b AB 1 1, som vi kn även se direkt Ptgors sts på nednstående figur da,b AB 1 1, På liknnde sätt beräknr vi längden v en vektor i 3D-rummet med ett ON koordintsstem r Låt v,, z r Då är vektors längd v z Om A 1, 1, z1 oh B,, z är två punkter i 3D-rummet med ett ON koordintsstem då är AB 1, 1, z z1 oh längden blir, enligt ovnstående formel AB 1 1 z z1 r Nednstående grf förklrr formeln v z r v d z z Därför r v z
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 3 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Eempel: Bestäm längden v vektorn v r 1,,3 b Bestäm vståndet melln punktern A1,1,1 oh B -1,, 1 Bestäm den enhetsvektor som hr smm riktning som u r 1,, Lösning: v r z 1 9 1 le b Först AB,, z z,1, 1 1 1 Därför da,b AB 1 5 le u r z 1 16 1 Den enhetsvektor som hr smm riktning som u r är 1 r 1 1 r u 1,,,, u 1 1 1 1 1 r r u u Svr: v r 1 b da,b 5 1 r 1 r u 1,, u 1 Cirkel oh irkelskiv Definition En irkel är mängden v ll punkter i ett pln som ligger på smm vstånd, irkelns rdie till en given punkt irkelns entrum I ett ortonormert koordint sstem kn vi nge en irkel med rdien r oh entrum i punkten C,, som mängden v ll punkter P, som stisfierr ekvtionen r Cirkelns ekvtion: r
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Definition En sluten öppen irkelskiv med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i plnet vrs vståndet till C är r < r 1 r C, P, Alltså, för vrje punkt P, på en sluten irkelskivn med rdien r entrum i punkten C,, gäller r i ett ON koordint sstem O 1 3D motsvrigheter till irkel oh irkelskiv är sfär oh klot Sfär oh klot Definition En sfär är mängden v ll punkter i 3D-rummet som ligger på smm vstånd, sfärens rdie till en given punkt sfärens entrum --------------------------------------- Sfärens ekvtion i ett ON sstem: r z z Definition Ett slutet öppet klot med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i 3D-rummet vrs vståndet till C är r < r
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 5 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ------------------------------------------- Slutet klot i ett ON koordintsstem: z z r ------------------------------------------- Öppet klot i ett ON koordintsstem: z z < r Ellips Definition En ellips är mängden v ll punkter i ett pln vrs vstånd till två givn punkter, brännpunktern, hr en konstnt summ d 1 d konstnt Ellipsen med medelpunkten,, oh hlvlrn, b som ligger på resp -eln hr ekvtionen 1 b Brännpunktern om >b är F 1 -, oh F, där b Anmärkning: Ellipsen med medelpunkten,, oh hlvlrn, b som är prllell på resp -eln hr ekvtionen 1 b
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ÖVNINGAR: Uppgift 1 A1,1,1 oh B,3, är två punkter i rummet Beräkn längden v vektorn AB b Bestäm två enhetsvektorer en med smm oh en med motstt riktning som är prllell med AB Bestäm två vektorer med längden 5 som är prllell med AB d Bestäm mittpunkten S på sträkn AB Lösning: AB 1,,3 AB 1 3 1 1 1 b v r 1 AB 1,,3 AB 1 1 1 v r AB 1,,3 AB 1 v r 5 w 1 5v 1 1,,3, 1 v r 5 w 5v 1,,3 1 1 1 z1 z 3 5 3 5 d Mittpunkten på sträkn AB är S,,,,,, Uppgift Beräkn omkretsen v tringeln ABC, där A1,1,1, B 1,,5, C3,,3 b Använd Ptgors sts för tt bestämm om ABC är en rätvinklig tringeln Bestäm tngdpunkten T för tringeln ABC Lösning: Först, vektorn AB,3, Avståndet melln A,B är d A, B AB 3 5 AC,1, d A, C AC 1 3 BC,, d B, C BC 1 3 Därmed blir omkretsen 53 3 8 3 b Ptgors sts gäller för en tringel om oh endst om tringeln är rätvinklig Sidn AB är störst i vårt fll Tringeln är INTE rätvinklig eftersom 3 3 5 d Tngdpunkten för tringeln ABC är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet 1 T 3 Svr: Omkretsen 3 3, Uppgift 3 Bestäm en punkt P sådn tt 1 3 z1 z z3 5 7 9 5,,,, 3 3 3 3 3 3 5 7 8 b Nej T,, 3 3 3 AP PB CD där A1,1,1, B,,3, C,,1 oh D 1,, är fr punkter i rummet Lösning: Låt P,,z Vi beräknr vektorern AP 1, 1, z 1 PB,,3 z CD 1,,3 substituerr i ekvtionen AP PB CD oh får 1, 1, z 1,,3 z 1,,3 Efter förenkling hr vi,,z, 1,,3 Härv 1, oh z3 Till slut 1/, 1 oh z1/ Därmed P1/, 1, 1/ Svr: P1/, 1, 1/ 7, 3 3 Uppgift Låt A,1,1, B,3, Bestäm den punkt P som delr sträkn AB i förhållndet 3:7 Lösning: Låt P,,z Från 3 AP AB 1 hr vi 3, 1, z 1,,3 1 Härv -, -1 6/1 oh z-1 9/1 eller, 16/1 oh z19/1 Svr: P, 16, 19 Uppgift 5 Rit den irkel vrs ekvtion i ett ortonormerd O-koordintsstem är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Tips Använd kvdrtkomplettering oh skriv irkeln på formen r Lösning: vi grupperr termer oh -termer oh kvdrtkompletterr 1 1 1 9 Om vi jämför ovnstående med irkelns ekvtion på formen r ser vi tt, 1 oh r 9, dvs, 1 oh r 3 Cirkeln hr entrum i punkten C-,1 oh rdien r 3 Uppgift 6 Rit elipsen vrs ekvtion är Lösning: För tt skriv ellipsen på formen 1 delr vi med ekvtionen b 3 oh får 3 som vi kn skriv på följnde sätt 1 / 3 Om vi jämför med 1 får vi: b oh b / 3 b / 3 Alltså hr ellipsen hlvlrn oh b / 3 1 15
9 v 1 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet Uppgift 7 Härledning v ellipsens ekvtion Vi betrktr en ellips som hr brännpunktern F 1 -, oh F, som består v de punkter vrs vstånd till två brännpunktern, hr en konstnt summ d 1 d Vi inför betekning * b Bevis tt ellipsen hr ekvtionen 1 b Lösning: Låt P, vr en punkt på ellipsen Från d 1 d hr vi Vi flttr en rot till den vänstr sidn oh kvdrerr båd sidor : Efter förenkling hr vi Vi delr med oh igen kvdrerr båd leden för tt eliminer roten oh därefter förenklr ekvtionen : ] [ ] [ Enligt * inför vi betekningen b oh får ellipsens ekvtion
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet b Om vi delr med 1 b b b hr vi ellipsens ekvtion på formen