5 Övningar Deforation 1.1 a) Stången AB har längden 1.2 i obelastat tillstånd. En yttre last förlänger stången ed BB = 0.2. Hur stor blir töjningen? b) Vanliga konstruktionsstål klarar töjningar på några få h. Beräkna hur ånga stången AB kan förlängas o axial töjning är ax =2h? c) Hur lång blir stången o B förflyttas sträckan x i en riktning so är 30 ot stångens längdaxel? d) Hur stor blir töjningen i AB när förskjutningen av B till B sker i 30 ot stången ursprungliga riktning? Änden A är ledat fastsatt. Utgå från att x π 1.2 och förenkla föregående svar ed hjälp av Maclaurinutveckling. Hur stort fel ger förenklingen o x =3? 1.2 Stängerna, AB och BC, är upphängda vid A resp C sat förenade vid B. Knutpunkten B förskjutes en sträcka vertikalt nedåt. Beräkna töjningen i stängerna. Studera speciellt fallen o = fi/2 sat π L o. 1.3 Två stänger är förenade enligt figur. Beräkna den horisontella resp vertikala förskjutningen av punkt B, då stängerna erhållit töjningarna a resp b. Ange resultatet för så töjningar. 65
1.4 Beräkna töjningarna i stängerna o knutpunkten B i geoetrin i uppgift 1.1 förskjutes sträckan horisontellt åt höger. Spec. o o = fi/2 och o π L o. 1.5 Fyra likadana stänger ed längden L, är förenade till en konstruktion enligt fig. på vardera stången sitter en trådtöjningsgivare. Trådtöjningsgivarna är seriekopplade så att de äter edeltöjningen hos stängerna. O ittpunkten förs ut i någon riktning stycket bestä denna edeltöjning. Spec. o π L. 1.6 Beräkna töjningarna i stängerna o knutpunkten B i uppg. 1.1 belastas av en vertikal kraft T. Stängerna antas vara elastiska så att vardera stångkraften F är proportionell ot respektive stångs förlängning dvs. F = k. Fjäderkonstanten k antas vara given och lika för båda stängerna. Beräkna förskjutningen av B. Använd att π L o. 1.7 En 3 lång stålstång so värs 10 C får töjningen = 10 5. Hur ycket längre blir stången? Vilken kraft uppstår i stången o den är fastsatt så att längdändringen förhindras? Stången so har cirkulärt tvärsnitt ed radien 30. Fjäderkonstanten k har uppskattats till 57 10 7 N/. Töjning 2.1 a) Hur definieras töjningskoponenterna x, y och xy o förskjutningarna u(x, y) och v(x, y) är kända? b) På en yta uppätta förskjutningar, u och v i x- resp.y-led beskrivs av följande uttryck u = (0.8x 2 +1.5x 1.1y +4.2) 10 5 och v =(2.6xy 3.4x +0.6) 10 5. Beräkna x y planets töjningskoponenter i punkten x = y =0. Visa ed en skiss hur en kvadrat deforeras i närheten av x = y =0. 66
c) Kvadraten ABCD deforeras till roboiden A B CD. Uppskatta största och insta töjning geno att äta läpliga avstånd i figuren. Ange även uppskattade värden på x, y och xy. d) Följande töjningar har uppätts på en deforerad struktur: x =0, y =0, xy =0.2 10 5. Bestä största och insta töjning i x y planet geno att beräkna töjningsatrisens egenvärden. Jäför ed uppg. c) e) Ange vinklarna ellan x-axeln och huvudtöjningarnas noraler geno att beräkna egenvektorer till töjningsatrisen i föregående uppgift? Jäför ed uppg. c) 2.2 I vidstående konstruktion ges de horisontella stängerna töjningen x och de vertikala töjningen y. Vinkeln EFG inskas rad. Bestä ett villkor på så att vinklarna i ABCD förblir räta efter deforationen. Spec. o x, y och π 1. 2.3 Under vilka villkor är följande uttryck för förskjutningar och skjuvning kopatibla? u = ax 2 y 2 + bxy 2 + cx 2 y v = ax 2 y + bxy xy = x 2 y + xy + x 2 + y 2.4 Vidstående töjningar har an ätt upp på en kropp. Töjningstillståndet får anses vara plant. Bestä: 67
a) xy b) huvudtöjningarna e) deras riktningar d) axial skjuvning i planet 2.5 För en askindetalj har an ätt upp x =0.0002, y = 0.0002 och i 45 ot x-axeln 45 =0.000346. Beräkna: a) 1 och 2 b) deras riktningar 2.6 En spegel är fäst vid en etallplåt vinkelrätt ot dess yta och så att spegelns plan bildar 45 ed både x- ochy-riktningarna. En ljusstråle infaller vinkelrätt ot spegeln. Hur ycket vrider sig den reflekterade ljusstrålen o plåten sträcks 1/20 %i x-riktningen och 1/50 % i y-riktningen? 2.7 På en plan obelastade ytan av en kropp uppritades en kvadrat ABCD, när kroppen var obelastad. Vid belastning uppättes att sidan AB förlängts 1.10 h, sidan BC förkortats 0.80 h och diagonalen AC ino ätnoggrannheten vare sig förlängts eller förkortats. Man önskar nu upprita ett axelkors (två korsande, ot varandra vinkelräta linjer) så beska at att ändringen av den räta vinkeln vid belastning (saa belastning so tidigare) blir större än för varje annat axelkors. Hur skall detta axelkors orienteras i förhållande till kvadraten ABCD? 2.8 I en plåtyta uppäts töjningen noll i två riktningar 1 och 2 ed 60 vinkeldelning. Vilken inforation o töjningstillståndet ger detta 68
resultat? 2.9 På en plan obelastad yta av en kropp uppättes töjningar i 6 olika riktningar. Man erhöll: 0 0.122 30 0.08 60 0.02 90 0.10 120 0.04 150 0.06 Vid bearbetning av försöksresultaten upptäcktes att ett av resultaten troligen var något felaktigt. Vilket? 2.10 En kub ed sidan a utsättes för tryck på två otstående sidor och ytor så att dessa närar sig varandra stycket. Det gäller π a och kubens voly är antas vara konstant. Hur stor blir ändringen av ryddiagonalens längd? Spänning 3.1 a) Vad karakteriserar en noralspänning respektive en skjuvspänning? b) Hur ser spänningsatrisen i x y planet? Tag fra en forel för atrisens egenvärden. c) En upphängd jäntjock tråd belastas enbart av gravitationen. Tråden har längden L, gravitationen är g, och tråden har ett cirkulärt tvärsnitt ed diaetern är D. Materialet har densiteten fl. Hur varie- 69
rar spänningen i tråden ed avståndet x från upphängningen? 3.2 På ytan av en belastad kropp verkar spänningarna enligt figuren. Bestä a) huvudspänningarna, b) deras riktningar, c) ax skjuvspänning d) e ektivspänningen enligt deviationsarbets- och skjuvspänningshypoteserna 3.3 På ett yteleent av en belastad kropp verkar spänningarna enligt figuren. Bestä a) huvudspänningarna, b) deras riktningar, c) ax skjuvspänning d) e ektivspänningen enligt deviationsarbets- och skjuvspänningshypoteserna 3.4 En plåt utsätts för tre lastsyste, so vart och ett ger upphov till enaxlig dragning ed beloppet 100 N/ 2 en verkande i riktnlngar ed 60 vinkeldelning. Bestä det resulterande spånningstillståndet. 3.5 Ett robiskt plåtfält ABCD är enligt figuren utsatt för belastningar P 1 och P 2 per längdenhet varvidp 1 verkar parallellt ed BC ochp 2 parallellt ed AB. Beräkna huvudspänningarna i plåtfältet. Speciellt får antas att = 45 och P 2 /P 1 =1/2. 3.6 Följande spänningar är uppätta: x = 30 N/ 2, y = 30 N/ 2 och xy = 40 N/ 2. Övriga spänningar är noll. Kan an 70
vrida koordinatsysteet så att detta spänningstillstånd otsvarar ett rent skjuvspänningstillstånd, dvs så att av alla spänningar endast xõ y Õ = 0. O så är fallet ange hur koordinatsysteet skall vridas sat värdet på xõ y Õ. 3.7 På den fria ytan av en belastad kropp har an uppätt spänningarna x = 60 N/ 2, y = 40 N/ 2 och xy = 30 N/ 2. Bestä de riktningar för vilka sabanden =3 gäller. 3.8 Ett torn ed assiv cirkulär tvärsektion bär en assa M. Diaetern strax under assan är D o. Materialet har densiteten fl. Hur skall diaetern variera för att variera längs tornet för att tryckspänningen skall vara densaa överallt? Enaxlig linjär elasiticitet 4.1 En jäntjock stång ed längden L, arean A, elasticitetsodulen E och tyngden G är fäst i ett tak enligt figur. Vad blir dess förlängning a) under den egna tyngden b) under inverkan av egna tyngden jäte en yttre kraft G i fria änden so figuren visar? 4.2 En stång ed data enligt figuren roterar kring sin ittpunkt ed vinkelhastigheten Ê rad/s. Bestä stångens längdökning på grund av centrifugalbelastningen, då stångaterialet har tätheten fl. 71
4.3 Från en iljösatellit hänger en fritt svävande tråd so används för att äta solvindens intensitet. Tråden laddas av elektroner so gör att tråden förlängs och det stör ätningen. Beräkna hur ycket längre tråden blir och hur stor den största spänningen blir när kroppskrafterna X = qx ed q =0.1 µn/ 2 påverkar tråden. Tråden är hyfsat rak och L =8k lång. Materialet har elasticitetsodulen E =4GPa och en cirkulär tvärsnittsyta ed diaetern 60 µ. X = qx L/2 4.4 En assiv stypad kon AB ed längden L, belastas av en kraft, F. Stångtvärsnittet är cirkulärt ed en varierande diaeter D = D o (2 x L ) där x är avståndet från upphängningen. För att spara aterial lanseras idén att göra en lika lång stång av saa aterial ed konstant diaeter D = 3 2 D o. Beräkna kvoten ellan förlängningen av stången ed konstant tvärsnittsyta och den ed varierande tvärsnittsyta. Man kan bortse från konens egentyngd. x L/2 4.5 Bestä stångkrafterna då kraften P är anbringad so figuren visar. Sätt speciellt = 30. 72
4.6 I ett stag AB har en förspänning uppkoit efter nedkylning. Spänningen betecknas o. På avståndet L 1 från övre änden på staget angriper en kraft P iriktning ot B. Vid vilket värde på P blir stagets undre del spänningslös? 4.7 Tre stållinor, vardera ed tvärsnittsarean 10 2, skall tillsaans bara en last på 1 ton. Linornas längder i ospänt tillstånd är 9.98, 9.99 och 10.00. Bestä spänningarna i de tre linorna då lasten pålagts E =2 10 5 N/ 2 4.8 En stel rätvinklig plåttriangel ed tyngden P uppbärs av tre ekvidistanta, parallella och identiska linor av ett linjärt elastiskt aterial. Bestä krafterna i de tre linorna. 73
4.9 På ytan av en belastad kropp har vidstående töjningar ätts upp. Då E =2 10 5 N/ 2, =1/3, beräkna a) skjuvningen xy b) 1 och 2 c) ax i planet d) 1 och 2 ed riktningar e) ax ipunkten 4.10 Ett plant deforationstillstånd kännetecknas av x =1 10 3, y =2 10 3 och xy =1 10 3. Beräkna e ektivspänningen enligt skjuvspänningshypotesen och enligt deviationsarbetshypotesen. E = 2 10 5 N/ 2, =0.3. 4.11 Geno ätningar på en konstruktion har an i en punkt på en obelastad yta funnit, att töjningarna i ytans plan i två ot varandra vinkelräta riktningar är x = 10 4 och y =2 10 4. I den aktuella punkten gäller dessuto ax = 115 N/ 2 sat att en huvudspänning är positiv och en negativ. Beräkna huvudspänningarnas storlek. E = 210000 N/ 2, =0.3. 4.12 En stel rätvinklig plåttriangel ed tyngden P uppbärs av tre ekvidistanta, parallella och fullständigt lika trådar. Vilka blir krafterna i de tre trådarna o aterialet har spänningstöjningssabandet = ( / o ) N. Studera särskillt fallet N =2. (Se figur till uppgift 4.6). 4.13 För att kunna bestäa e ektivspänningen (enligt skjuvspänningshypotesen) i en punkt på en obelastad yta av en kropp äter an töjningarna i de två ot varandra vinkelräta riktningar so an tror är huvudtöjningsriktningar. Man erhåller Õ 1 =0.25h, Õ 2 =0.35h. Senare inser an att osäkerheten o huvudtöjnings riktningarna är rätt stor, och det är öjligt att an tagit iste på upp till 20. Måste an göra o ätningarna o an inte onödigtvis vill introducera större fel än 2% på e ektivspänningen? 74
Viskoelasticitet 5.1 Materialbeteendet hos en stång är påfallande olinjärt. Man har funnit att den reologiska odellen i figuren ger en godtagbar beskrivning ed aterialkonstanterna är E = 16000 N/ 2, 1 = 16 10 10 Ns/ 2 och 2 = 1 10 11 Ns/ 2. Stången belastas av en konstant spänning enligt diagraet. Hur stor förutsägs den kvarvarande töjningen i stången vara när lång tid förflutit? 5.2 En polykarbonatskiva kan beskrivas av den reologiska odellen i figuren, där aterialkonstanterna är E 1 = 1400 N/ 2, E 2 = 2600 N/ 2 och =3 10 10 Ns/ 2. Skivan utsätts under lång tid för en konstant deforation. Direkt när deforationen appliceras stiger spänningen till ett högt värde so avattas ed tiden. Hur ycket har spänningen i aterialet sjunkit när lång tid förflutit? 5.3 Ett vibrationsdäpande aterial enligt figuren ed E 1 = 500 N/ 2, E 2 = 200 N/ 2 och = 10 5 Ns/ 2 belastas ed konstant spänning. Efter hur lång tid har aterialet nått 90 % av sin slutliga deforation? 75
5.4 Ett trabekulärt ben, dvs huvuddelen av ett lårben har en efterelastisk e ekt vilket betyder att det återtar sin ursprungliga for efter avlastning en ed viss tidsfördröjning. En enkel odell av aterialet ges i figuren. En belastning på o = 20 MPa appliceras under 5 sekunder. Då har en töjning t uppstått och belastningen tas bort. Beräkna t och hur lång tid ytterligare det tar innan töjningen inskat till 0.05 t? Materialkonstanterna är E = 14 GPa, och =1.5 GPa s. 5.5 Ett rör av ett aterial so används vid förhöjd teperatur har egenskaper, so beskrivs av aterialodellen i figuren, där E 1 = 350 kn/ 2, E 2 = 195 kn/ 2 och =3 10 13 Ns/ 2. Rören har en tvärsnittsarea på 1000 2. Till vilken kraft åste an förspänna bultarna för att dragkraften i de efter 2 år inte skall understiga 150 kn? Man kan anta att underlaget, so bultarna spänns eot, är styvt och att alltså bultarnas deforation ej förändras under de två åren. 5.6 Ett olinjärt aterial befinns vid enaxlig belastning beskrivas hyggligt av den reologiska odell so visas i figuren. Ange en di erentialekvation so kan användas för att beskriva enaxlig dragning. Använd aterialparaetrar enligt figuren. 5.7 En viskoelastiskt struktur antas beskrivas väl av en odellodellen i proble 5.5. Följande aterialkonstanter E = 5000 N/ 2, 1 =3 10 5 Ns/ 2 och 2 =9 10 5 Ns/ 2 har uppätts under ett experient. Strukturen belastas av en konstant töjning o =2 10 3. Töjningen påtvingas ed konstant töjningshastighet fra till tiden = 20 s. Efter det bibehålls 76
konstant töjning. Vad blir den största spänning so uppträder i strukturen? 5.8 Ett Kelvin-aterial enligt figuren belastas ed en spänning så so diagraet visar. Beräkna töjningen vid tiden t =2 o 0 = 500 N/ 2 och = 2000 s. Materialet har elasticitetsodulen E = 25000 N/ 2 och =1.0 10 8 Ns/ 2. Vridning 6.1 En stång av längden L är utsatt för vridande oent figuren. Bestä förvridningen o stångsektionen har de utseenden so visas i figurerna och o aterialet har skjuvodulen G. Observera den drastiska skillnaden för tunnväggiga rör. 6.2 Ett slutet rör har tre olika väggtjocklekar enligt figur. Rörets edeldiaeter är 150. Beräkna vridstyvhetens tvärsnittsfaktor. 77
6.3 En konisk stång ed cirkulärt tvärsnitt belastas av ett vridande oent M. Radien är 10% indre i stångens ytterände dvs den har radien R vid infästningen och 0.9R i den belastade ytteränden. Radien varierar linjärt ellan stångens ändar. Hur ycket större blir 6.4 En till halva sin längd urborrad cylindrisk axel är belastad ed ett vridande oent M v. Beräkna fria ändens förvridning, då ax = 80 N/ 2, G = 80000 N/ 2, d = 20 och L = 500. 6.5 Ett cirkulärt tunnväggigt rör ed edeldiaetern 2a och längden 2L är inspänt i bägge ändar. Väggtjockleken l den ena halvan av röret är h, iden andra 2h. I tvärsnittet beläget på avståndet 2L/3 från den vänstra inspänningen verkar ett yttre vridande oent M v. Sök förvridningen av detta tvärsnitt. Skjuvodulen är G. 6.6 Upprita diagra, so Visar hur oent och varierar utefter stången i figur. Beräkna också axiala förvridningen från neutralläget, o ax = 100 N/ 2 och L = 500. Stången, so är av stål, har cirkulärt tvärsnitt ed diaetern d = 30. 78
6.7 En cylindrisk stav är saansatt av ett rör ed ytterradien R 2 och innerradien R 1 och en stav ed radien R 1.Friktionen ellan stav och rör är så stor att ingen glidning sker vid vridning av den saansatta staven. Bestä spänningarna i ett tvärsnitt av staven då ett vridande oent M v appliceras. Elasticitetsoduler och Poissons tal är enligt figuren. Böjning 7.1 Beräkna nedböjningen under kraften. 7.2 Beräkna nedböjningen (x) ed hjälp av elastiska linjens ekvation. 7.3 En konsolbalk ed längden L är belastad ed en tyngd P i ytteränden enligt vänstra figuren, so visar anordningen ovanifrån. Man vill, av utryesskäl flytta tyngden åt sidan, en önskar bibehålla saa nedböjning vid P. Kan detta åstadkoas geno att an sågar av balken och svetsar ihop de båda delarna i rät vinkel so visas i den högra figuren, och i så fall, var skall an såga av balken (ange x)? Balkens tvärsnitt är cirkulärt. Poissons tal är. 79
7.4 En rak konsolbalk har konstant bredd b och variabel höjd h(x) =a Ô x. Balken är utförd av ett aterial ed tätheten fl och elasticitetsodulen E. Beräkna nedböjningen vid x =0under inverkan av balkens egen tyngd. 7.5 Beräkna nedböjningen (x) ed hjälp av elastiska linjens ekvation för en konsolbalk enligt figuren. En utbredd last q(x) =q o sin(fix/2l) belastar balken, so har längden L och böjstyvheten EI. 7.6 Ett band av fjäderstål träs ellan rullar ed diaetern d so är placerade så so figuren visar. L = 20 c, a = 10, d =2. För vilka värden på tjockleken h överskrids inte sträckgränsen s = 960 N/ 2? E =2 10 5 N/ 2. 7.7 Två konsolbalkar ed saa bredd en olika höjder (h och 2h) är lagda på varandra enligt figuren. Hur långt kan an driva in en kil (höjd h, längd l) utan att plasticering uppstår någonstans? Balkarna är av saa aterial och tål böj- påkänningen b utan att plasticeras. Spec: L =1, l = 10 c, h = 40, E =2 10 5 N/ 2, b = 300 N/ 2 80
7.8 En rak balk ed konstant tvärsnitt ligger på ett horisontellt och stelt underlag. Man lyfter balken ed en vertikal kraft P i vardera änden. Balkens tyngd är Q. Ivilket intervall ligger P då balkens kontakt ed underlaget är reducerad till en linje (x =0)? Beskriv vad so händer ed balkens krökning vid x =0i intervallet för P? 7.9 En balk ed konstant rektangulär sektion är upplagd på två stöd och belastad enligt övre figuren. Man vill inska största påkänningen i balken geno att utföra den enligt den undre figuren, dvs ed linjärt varierande höjd, en oförändrad bredd och oförändrad voly. I vilken proportion kan största pänningen inskas geno en sådan åtgärd? Bortse från balkens egentyngd. 7.10 En vikt ed tyngden P = 16000 N hänger i ett bandstål ed bredden 40. Bandstålet, so är lagt över en skiva ed 2 diaeter (se fig.), har elasticitetsodulen 200000 N/ 2 och sträckgränsen 600 N/ 2. För vilka tjocklekar på bandstålet ligger axiipåkänningen under sträckgränsen? 7.11 En tråd BD är spänd ellan ett fundaent och ittpunkten på en konsolbalk ABC. Bestä nedböjningen vid B då kraften P påläggs enligt figuren. 81
7.12 En konsolbalk ed varierande böjstyvhet är belastad av en kraft så so figuren visar. Balkens tvärsnitt är rektangulärt ed konstant höjd h och linjärt varierande bredd b(x) =b o x/l. Balkens längd är L. Bestä nedböjningen vid kraften. Materialet har elasticitetsodulen E. 7.13 En balk ed längden 2L är upplagd på tre stöd enligt figur. Balken är belastad ed en jänt utbredd belastning Q. Rita diagra so visar oent och tvärkraft. 82